Propositions de corrigés pour les exercices de révision concernant la géométrie

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1 Propositions de corrigés pour les exercices de révision concernant la géométrie Exercice 1 (d après le corrigé proposé par des formateurs de l IUFM d Aquitaine) 1) Les diagonales des quadrilatères obtenus sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Ce procédé permet donc de construire une famille de rectangles. Cas particulier : lorsque les diagonales sont perpendiculaires, on obtient un carré. ) Les diagonales des quadrilatères obtenus se coupent en leur milieu mais sont de longueurs différentes. Ce procédé permet donc de construire une famille de parallélogrammes (remarque : aucun de ces parallélogrammes n est un rectangle). Cas particulier : lorsque les diagonales sont perpendiculaires, on obtient un losange (remarque : ce losange n est pas un carré). 3) Q P On utilise les notations de la figure. Par hypothèse, on a O M=O P et O Q =O N. Par conséquent, O Q/O P = O N/O M. D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (NQ) sont parallèles. Donc MQNP est un trapèze. D autre part, dans les triangles O MQ et O PN, on a O M=O P, O N=O Q et les angles en O sont égaux (angles opposés par le sommet, obtenus à partir de deux droites sécantes). Ces deux triangles ont un angle et les deux côtés adjacents à cet angle de même longueur. Donc ces deux triangles sont isométriques donc QM = NP. MQNP est donc un trapèze isocèle.

2 4) D après les mesures imposées sur les bandes de bristol, on peut affirmer que N est sur le cercle de diamètre [RS]. Le triangle RNS dont un côté [RS] est un diamètre d un cercle et dont le sommet N est sur ce cercle est donc un triangle rectangle en N. Le quadrilatère MSNR possède donc un angle droit. 5) Le quadrilatère a été construit de la manière suivante : on trace d abord la diagonale [MN] puis on place P sur le cercle de diamètre [MN] et sur le cercle de 4,5 cm de rayon et de centre le point de [MN] situé à,5 cm de N. Le point Q est alors diamétralement opposé à P dans ce dernier cercle.

3 Questions complémentaires : 1) L'objectif de cette séance est de découvrir les propriétés des diagonales des quadrilatères usuels (carré, rectangle, losange). ) Avant de confronter les élèves au problème, le maître peut leur proposer de construire librement des quadrilatères en utilisant le matériel "squelette". Cette activité va permettre aux élèves de découvrir la technique de construction : on choisit deux bandelettes et on les fixe avec une attache parisienne, on pointe au crayon les quatre sommets, on utilise la règle pour tracer les côtés. La pratique "libre" de cette technique limitera les difficultés manipulatoires lors de la séance ultérieure et permet d'ores et déjà de prendre conscience du fait que le choix des bandelettes et de leur point d'attache a une influence sur la nature des quadrilatères construits. 3) 4) Dans la première classe, les élèves sont confrontés à la résolution d'un problème (de construction de figures) et se livrent à une démarche de recherche : ils peuvent essayer de construire le quadrilatère cherché avec deux bandelettes, vérifier le résultat avec les instruments, recommencer avec deux autres bandelettes si nécessaire, etc. Le savoir visé est construit par les élèves au cours des deux étapes de la séance : la nécessité de construire un rectangle par exemple, va conduire les élèves (parfois au terme de plusieurs essais), à assembler deux bandelettes de même longueur en leur milieu. Cette procédure sera décrite lors de la mise en commun, interprétée comme une propriété des diagonales du rectangle et formulée de manière adéquate. Dans la deuxième classe, les élèves ont pour tâche de vérifier un certain nombre de propriétés sur les diagonales de différents quadrilatères déjà tracés. Les propriétés des diagonales des quadrilatères n'apparaissent pas comme un outil pour résoudre un problème mais sont mises en évidence à partir d'un guidage de la part du manuel.

4 Exercice 1) a) b) Les côtés du triangle AFC sont les diagonales de faces d un même cube donc sont isométriques. Le triangle est donc équilatéral. Le triangle EHG correspond à la moitié d un carré (face du cube) découpé selon une de ses diagonales. C est donc un triangle rectangle isocèle (angle droit en H et HE = HG). )a) Le triangle est-il rectangle? est-il isocèle? est-il équilatéral? DJH NON OUI NON ACG OUI NON NON AFC NON OUI OUI EHG OUI OUI NON ACJ OUI NON NON Le triangle ERT est isocèle rectangle (la longueur des deux côtés isométriques est de 6 cm). On peut donc le construire pour obtenir la longueur RT.

5 Les deux triangles ERS et EST sont isométriques (les deux côtés de l angle droit ont pour longueurs respectives 3 cm et 6 cm). On peut donc construire l un deux pour obtenir la longueur commune de [ST] et [SR]. Pour construire le triangle isocèle SRT on effectue des reports des longueurs des côtés à l aide du compas : c est le contour de la surface imprimée dessinée en taille réelle. b) Le triangle RET est rectangle en E (car HEFC est un carré). On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : TR² = 6² + 6² = 7 d où TR = 7 = 6 (en cm) (valeur approchée : 8,485 cm)

6 c) Aire (RST) = RT SK ( si on appelle K le projeté orthogonal de S sur (RT) ) Or le triangle RES est un triangle rectangle en E (car HEAD est un carré). On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : RS² = ER² + ES² = = 45 d où RS = 45 = 3 5 (en cm) D où, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle RKS rectangle en K : SK² = RS² - RK² = RS² - RT = Aire (RST) = = 9 6 (en cm²) (valeur approchée,045 cm²) = = 7 d où SK = 7 = 3 3 (en cm)