Bio-Statistique. 1 ère partie. Discipline : Bio-statistique, Bio-mathématique et Sciences de l Information

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1 Bio-Statistique 1 ère partie Disciplie : Bio-statistique, Bio-mathématique et Scieces de l Iformatio

2 OBJECTIFS PEDAGOGIQUES Réaliser l importace du problème de la variabilité ihérete au doées médicales, compredre les pricipau cocepts qui permettet de la gérer et aisi de pouvoir faire les choi écessaires à la prise e charge des malades avec le miimum d erreur. OBJECTIFS TERMINAUX 1. Eumérer les pricipales sources de variabilité biologique (les mettre e évidece sur u eemple simple).. Epliquer les cocepts d échatillo, de populatio, de représetativité. 3. Compredre et utiliser les cocepts d itervalle de cofiace et de test de comparaiso. 4. Savoir epliquer ce que représete les risques α et β. 5. Epliquer clairemet les phrases : «La différece observée est sigificative à %», ou «La différece est pas sigificative», appliquées à u eemple cocret. 6. Savoir epliquer les cocepts de : - jugemet de sigificatio - jugemet de causalité. 7. Savoir iterpréter ue equête épidémiologique, epliquer les cocepts de biais, de facteur de cofusio, de risque relatif : RR, (ou odd ratio : OR), de risque attribuable : RA. OBJECTIFS CONTRIBUTIFS 1. Recoaître les différets types de variables et epliquer commet l o peut évetuellemet passer d u type à l autre.. Recoaître la loi ormale, citer les autres lois de probabilité. 3. Décrire u échatillo par quelques techiques élémetaires : histogramme, fractiles, calculer ue moyee, ue variace, u écart-type, ue médiae, et epliquer la sigificatio des paramètres précédets. 4. Estimer ue moyee ou ue fréquece théorique. 5. Comparer ue moyee observée et ue moyee théorique, deu moyees observées. 6. Comparer ue fréquece observée à ue fréquece théorique. Comparer deu ou plusieurs fréqueces observées (comparaiso de %, de Chi (χ ). 7. Lire correctemet les tables usuelles : ε, z, u, t, χ, r.) 8. Recoaître si deu séries d observatios sot appariées et les comparer. 9. Mesurer le degré de liaiso etre deu variables quatitatives par le coefficiet de corrélatio liéaire. Tester la sigificatio de celui-ci

3 10. Discuter l itérêt respectif de la comparaiso de moyees et du coefficiet de corrélatio liéaire das le cas de séries appariées (double mesure sur u idividu). 11. Coaître les coditios d applicatio de ces calculs. 1. Iterpréter correctemet α, β et p. RECHERCHE CLINIQUE ET EPIDEMIOLOGIE Objectif gééral : être capable de défiir les cocepts et les méthode élémetaires écessaires pour aborder les problèmes médicau qu il s agisse de cliique ou d épidémiologie. 1. Défiir l épidémiologie. Citer et défiir ses braches pricipales.. Défiir les domaies de recherche cliique écessaires à la prise e charge des malades et idiquer leurs différeces et leurs lies avec l épidémiologie. 3. Défiir et distiguer equête descriptive, equête étiologique, equête d itervetio : situatio epérimetale et situatio d observatio. 4. Défiir ce qu est u registre de populatio, e doer les avatages et les difficultés. 5. Défiir et calculer u tau brut de mortalité et u tau de mortalité spécifique. 6. Défiir et calculer u tau d icidece et u tau de prévalece. Idiquer leur itérêt e Saté Publique. 7. Compredre les pricipes de la stadardisatio par trache d âge appliqués au tau précédets (tau stadardisés). 8. Parmi les equêtes épidémiologiques, défiir et distiguer equête de cohorte et equête cas/témois. Idiquer les avatages et icovéiets respectifs. Défiir equête trasversale et equête logitudiale. 9. Défiir ce qu est u facteur de risque. Idiquer les argumets qui plaidet e faveur du caractère causal d u facteur de risque. 10. Défiir, calculer et iterpréter le risque relatif et le risque attribuable das u eemple simple. 11. Coaître les différetes phases de l epérimetatio thérapeutique et leur stratégie respective. 1. Citer et défiir les pricipau facteurs qui doivet ou peuvet être pris e compte das le protocole d u essai thérapeutique (choi des facteurs à comparer, otio de placebo, critères de choi ou d eclusio des sujets, moye d assurer la comparabilité des groupes, simple ou double aveugle, facteurs iterveat das la détermiatio du ombre de sujet écessaire, critères de jugemet, règles d éthique et de cofidetialité (lois). 13. Evaluer u sige, u eame, ue décisio médicale e calculat leur sesibilité et leur spécificité, leurs valeurs prédictives positives et égatives.

4 SOMMAIRE INTRODUCTION A LA METHODE STATISTIQUEEN RECHERCHE CLINIQUE ET EPIDEMIOLOGIQUE...1 I. La fialité...1 II. La valeur des Chiffres... III. La biostatistique...5 IV. Solutios statistiques...7 V. La causalité...9 VI. Coclusios...9 Bibliographie de base...10 CHAPITRE I : Buts et pricipes...11 I. La variabilité...11 II. Populatio, Echatillo...13 III. Variable aléatoire...14 IV. Fluctuatios d échatilloage...15 V. Les lois de la probabilité...17 VI. Quelques défiitios et eemples... Résumé...8 CHAPITRE II : Itervalle de fluctuatio d u paramètre...9 I. Itroductio...9 II. Itervalle de fluctuatio d u pourcetage...31 III. Itervalle de fluctuatio d ue moyee...3 Résumé...35 CHAPITRE III : Estimatio Itervalle de cofiace d u paramètre...36 I. Itroductio...36 II. Défiitio et propriétés d u estimateur...36 II.1. Défiitio...36 II.. Propriétés d u estimateur...37 III. Estimatio d ue moyee...37 III.1. Estimatio poctuelle...37 III.. Estimatio par itervalle de cofiace...37 IV. Estimatio d u pourcetage...39 IV.1. Estimatio poctuelle...39 IV.. Estimatio par itervalle de cofiace...39 Résumé...4

5 CHAPITRE IV : Pricipe des tests d hypothèse risques d erreur puissace et ombre de sujet écessaire...43 I. Estimatio & test : problèmes différets...43 II. Pricipes des tests statistiques...44 II.1. Formuler l hypothèse ulle H 0 et l hypothèse alterative H II.. Détermier ce que devraiet être les observatios si H 0 était vraie...46 II.3. Vérifier si les observatios sot coformes au valeurs attedues sous l hypothèse ulle...46 II.4. Choisir la règle de décisio...47 III. Le risque α = risque de première espèce = seuil de sigificatio...48 IV. Le degré de sigificatio...49 V. Le risque β et la puissace d u test statistique...51 VI. Applicatio au calcul du ombre de sujets écessaire...5 VII. Test uilatéral ou test bilatéral...54 Référeces bibliographiques...57 CHAPITRE V : Variables qualitatives : Comparaiso de pourcetages Test du Chi Deu...58 I. Comparaiso de deu pourcetages Test de l écart réduit...58 I.1. Comparaiso d u pourcetage observé à u pourcetage théorique...58 I.. Comparaiso de deu pourcetages observés...61 II. Test du Chi deu e séries idépedates...64 II.1. Itroductio...64 II.. Comparaiso d ue distributio observée à ue distributio théorique...64 II.3. Comparaiso de plusieurs distributios observées...70 Résumé...76 CHAPITRE VI : Variables quatitatives Comparaiso de moyees...77 I. Comparaiso d ue moyee observée à ue valeur théorique...77 I.1. Rappel : la moyee d u échatillo radomisé est ue variable aléatoire...78 I.. Les hypothèses : ulle et alterative...79 I.3. Pricipe des calculs...80 I.4. E pratique...81 I.5. Lire la table de studet...8 I.6. Eemples...83 II. Comparaiso de deu moyees observées sur des échatillos idépedats...84 II.1. Les hypothèses : ulle et alterative...84 II.. Pricipe des calculs...85 III. Comparaiso de deu moyees sur des échatillos appariés...89 III.1. Hypothèses ulle et alterative...90 III.. Pricipe des calculs...90 III.3. Eemple...91 IV. Comparaiso de plusieurs moyees : itroductio à l aalyse de variace...9 Référeces bibliographiques...95

6 CHAPITRE VII : Aalyse de la liaiso etre deu variables quatitatives la corrélatio...96 Itroductio...96 I. Pricipe de détermiatio de R...96 I.1. Pricipales propriétés du coefficiet de corrélatio...99 II. Test de la liaiso etre variables II.1. Test d idépedace (ou test du coefficiet de corrélatio) : II.. Iterprétatio de R III. Itervalle de cofiace et statistiques iféretielles III.1. Comparaiso de r à la valeur théorique p III.. Estimatio d u coefficiet théorique p : Itervalle de cofiace de r III.3. Comparaiso de coefficiets de corrélatio observés IV. Corrélatio et régressio liéaires IV.1. Cas où les variables étudiées sot etièremet aléatoires par leur ature et leur distributio IV.. Cas où les variables jouet u rôle dissymétrique V. Coditios de validité o respectées V.1. Pricipe de la corrélatio o paramétrique Résumé Aee : Tables statistiques Table de Studet Table du Chi Deu Table du coefficiet de corrélatio...11

7 INTRODUCTION A LA METHODE STATISTIQUE EN RECHERCHE CLINIQUE ET EPIDEMIOLOGIQUE I. LA FINALITE La suppressio de la maladie est la fialité de toute recherche das le domaie médical. La fialité spécifique à la recherche cliique et à l épidémiologie c est d estimer si, au iveau de l homme, les hypothèses sur les mécaismes pathologiques et les moyes d actio qui e découlet ot u réel impact sur la maladie. O peut vouloir agir pedat la maladie : la guérir, ou avat la maladie : la préveir. Lorsque la maladie est présete, l actio commece au diagostic que l o va chercher à redre plus sesible afi qu il soit le plus précoce possible, ce qui peut permettre u traitemet plus efficace et mois lourd ; o peut aussi vouloir redre le diagostic plus spécifique, afi d e miimiser les erreurs. Sesibilité et spécificité d u eame diagostique peuvet être évaluées : aisi le frottis cervical das le dépistage des cacers du col de l utérus a ue sesibilité de 40% et ue spécificité de 98%. Ce qui veut dire que sur 100 patietes ayat u cacer du col asymptomatique, u 1 er frottis cervical e sera positif que 40 fois, par cotre lorsque le frottis est positif, la patiete est porteuse d u cacer du col 98 fois sur 100. La répétitio des frottis permet l amélioratio de la sesibilité. U ème type de recherche va tedre à améliorer les résultats thérapeutiques e optimisat les traitemets eistats ou e e ivetat de ouveau ; la détermiatio de groupe à proostic différet permettra d adapter le traitemet à l évolutio de la maladie. Par eemple l adjoctio d ue chimiothérapie au traitemet loco-régioal das les cacers du sei surveat avat la méopause, améliore la survie d eviro 10% à 5 as, pour les femmes présetat beaucoup de gaglios evahis, cette amélioratio est de 15% ; alors qu elle apparaît pas lorsque les gaglios sot idemes. Polycopié de Bio-statistique 1 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

8 U 3ème objectif peut être d empêcher la maladie d apparaître, pour cela il faut e coaître la ou les causes, ou à défaut les facteurs de risque, aisi o coaît les causes de ombreuses maladies ifectieuses, par cotre pour d autres affectios comme les cacers ou les maladies cardio-vasculaires, o e coaît que les facteurs qui «favoriset» l apparitio de la maladie. O évalue aisi que la prise d œstrogèes à la méopause multiplie par 6 ou 8 le risque de faire ultérieuremet u cacer de l edomètre. Mais coaître causes ou facteurs de risque e suffit pas, ecore faut-il avoir les moyes de les supprimer : les vacciatios ot pas supprimé toutes les maladies ifectieuses et que faire pour empêcher les ges de fumer? Ce rapide survol des objectifs de la recherche cliique permet d e préciser les caractéristiques : les recherches s effectuat sur l homme, le respect de l éthique domie l esemble des travau et le recueil des doées se fait das u cotete médicalisé. il s agit de recherches pluridiscipliaires écessitat ue étroite collaboratio etre fodametalistes, cliicies et biologistes qui devrot effectuer ue démarche scietifique commue. les résultats sot basés sur des observatios dot la stratégie d obtetio d ue part, et l aalyse d autre part, doivet permettet l iterprétatio et l etrapolatio à d autres sujets. II. LA VALEUR DES CHIFFRES Nous avos vu, das les eemples cités plus hauts, que les résultats des diverses recherches se résumet par des chiffres, ou par des comparaisos de chiffres : u tau de sesibilité, u tau de survie, u risque, etc Il paraît doc idispesable que les chiffres sur lesquels vot être basées des décisios e soiet pas le fruit du hasard, voire le résultat d u biais. Il faut doc que la faço d obteir ces résultats (stratégie) et l eactitude de leur valeur (statistique) puisset garatir la justesse des coclusios. Aisi apparaisset deu domaies complémetaires : d ue part celui de la plaificatio des études, d autre part celui de l iterprétatio des valeurs observées. Preos u eemple : soit deu traitemets A et B d ue maladie M ; A doe 50% de guériso et B 60% ; peut-o dire que B et supérieur à A? Polycopié de Bio-statistique Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

9 Les coditios pour coclure B > A sot : - 1 ) Que la différece observée e soit pas due au hasard, e effet si ces pourcetages de guériso ot été calculés à partir de 10 malades, cela veut dire qu e fait A doe 50% de guériso ± 30% et B 60% ± 50%, c est à dire que si l o faisait ue ème étude o pourrait trouver A = 60% et B = 50%. O dit que la différece observée est le fait du hasard. Par cotre si l o a trouvé ces mêmes pourcetages de guériso sur 400 malades, cela veut dire que A doe 50% ± 5% de succès et B 60% ± 5% et l o peut coclure (e faisat u calcul dot ous parleros ultérieuremet) que les résultats du groupe B sot supérieurs à ceu du groupe A. O dit que la différece est «sigificative». De telles coclusios impliquet doc l utilisatio d ue méthodologie adéquate permettat de porter des coclusios e miimisat les risques d erreur d iterprétatio : cette méthodologie est la biostatistique. - ) Que la différece sigificative observée etre A et B (=10%) soit la coséquece réelle de l applicatio de deu traitemets différets. Supposos que les malades auquels o a doé A soiet plus gravemet atteits que ceu auquels o a doé B, la différece est alors due à ue gravité différete et o à u traitemet différet. Par eemple : les malades traités par radiothérapie comparés à ceu traités par chirurgie pour u cacer de la même localisatio et de même stade, aurot toujours ue survie plus basse, car la chirurgie «sélectioe» les bos cas : les opérables. Ue étude de recherche cliique ou d épidémiologie écessite doc : 1 ) ue hypothèse à vérifier, ) ue stratégie ou u pla d étude, 3 ) le recueil de doées, 4 ) l aalyse de ces doées. 5 ) l iterprétatio des résultats. - Le choi de la stratégie qui recueillera des iformatios iterprétables, avec le miimum de biais est le poit de départ essetiel de toute recherche. Les méthodes mathématiques e vieet qu esuite et ot de ses que si le problème a d abord été circoscrit et la boe solutio pour y répodre choisie. Polycopié de Bio-statistique 3 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

10 - Le recueil et la validatio des doées : ue aalyse mathématique sophistiquée e permettra pas de redre de la valeur à des doées fausses ou icomplètes. La mise à la dispositio des cliicies d u outil iformatique est u phéomèe iéluctable et souhaitable, mais il faut être cosciet des avatages et des icovéiets de ces moyes. Certes l ordiateur facilite le recueil et permet de mieu maîtriser les iformatios médicales. Il doe au médecis la possibilité de pratiquer des bilas sur des grads ombres, mais cet avatage est assorti d u effort quat à l acquisitio d u ouveau mode de travail et à la écessité d eregistrer des doées de qualité : o e peut ressortir que ce que l o a etré. Au mois 3 types d icovéiets, certes évitables, peuvet être cités : d ordre techique : la duplicatio du recueil des doées par plusieurs cliicies peut être source d erreurs d u fichier à l autre. d ordre psychologique : augmetatio de la tedace au séparatisme chacu ayat «so fichier» alors que la multi-discipliarité est sûremet plus fructueuse. d ordre scietifique : l aalyse statistique deviet dispoible par «touche iterposée» ce qui peut doer ue «pseudo-apparece scietifique» à des doées fausses - L aalyse des doées écessite comme ous l avos vu le recours à ue méthodologie adéquate, qui permettra d iterpréter les résultats observés e estimat les risques d erreur et doc le degré de cofiace que l o pourra accorder au coclusios de l étude. Aisi lorsque les résultats d ue étude sot obteus, o doit s iterroger pour savoir si les résultats observés sot «aléatoires», c est à dire qu o les a obteus par hasard (si o recommeçait l étude o e trouverait d autres), ou au cotraires «sigificatifs» c est à dire coséquece réelle du phéomèe étudié. Preos l eemple d u hypotique dot o étudie l activité e mesurat la durée pedat laquelle il fait dormir. Sur u premier sujet, o observe ue durée de sommeil de 5 heures. Peut-o dire que l hypotique fait dormir 5 heures? Certes o, car si l o traite u ème sujet, puis u 3 ème o observera des temps de sommeil variables, par eemple : 1 heure ou 8 heures. Que dire alors de l activité de l hypotique? Autres eemples : Si l o désire coaître la valeur d u ezyme, par eemple la γgt, comme test diagostique de l alcoolisme, o mesurera la γgt das u groupe de sujets ormau et das u groupe d alcooliques. O pourra observer que certais sujets «alcooliques» ot Polycopié de Bio-statistique 4 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

11 des tau plus bas que certais sujets «ormau». Que coclure sur la perturbatio de la γgt par l alcool? Si o veut détermier le pourcetage «ormal» de lymphocytes saguis, c est à dire le pourcetage que l o doit retrouver chez tout sujet sai, e faisat la mesure sur «10 sujets» ous trouveros presque 10 valeurs différetes, alors commet détermier ue orme? Quad pourra-t-o dire qu u sujet est pathologique? III. LA BIOSTATISTIQUE La coclusio de ces eemples, c est que touts les paramètres que ous voulos étudier ot comme caractéristique commue d être spotaémet «variables» d u idividu à l autre, ou d u groupe à l autre, c est ce qu o appelle des variatios aléatoires. Il e est de même pour l apparitio des maladies, leur évolutio, la répose au traitemets où les valeurs observées mélaget des variatios aléatoires et des variatios «provoquées» qui sot celles qui e fait ous itéresset. Il faudrait doc dissocier ce qui est variatios aléatoires de ce qui est variatios provoquées, pour cela il est écessaire d utiliser ue méthode de raisoemet qui ous permette de coclure malgré cette variabilité aléatoire et cette méthode est l iterprétatio statistique. O s aperçoit aisi que la statistique (fémii sigulier) a rie à voir avec les statistiques (fémii pluriel) qui, elles, e sot que des déombremets type recesemet et e permettet aucue etrapolatio quat à leurs coclusios : aisi le calcul du ombre de veuves passées sur le Pot Neuf e 1860 qui est de et ue douteuse, est u simple déombremet! (Réf.D.Schwartz et E.Labiche...). Que va faire la statistique? Repreos l eemple de l hypotique. Si o cotiue à epérimeter le produit sur d autres sujets, o peut représeter les résultats observés sur u graphique avec e ordoée le temps de sommeil et e abscisse le ombre de cas, o obtiet aisi u histogramme dot l aspect se modifie au fur et à mesure que le ombre de sujets augmete puis se stabilise même si o cotiue à augmeter le ombre de sujets (figure 1). C est à dire qu après avoir observé suffisammet de cas, la courbe obteue représete pratiquemet l esemble des résultats que l o peut observer avec u tel hypotique, doc o a mis e évidece ue certaie costate représetée par cette courbe. Commet peuto résumer cette courbe? Polycopié de Bio-statistique 5 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

12 figure 1 Le premier idice auquel o pese est la moyee (Σ/), mais cette moyee (ici 5 heures) e résume pas totalemet l iformatio : supposos u autre hypotique B qui doe la courbe B (figure ). La valeur de la moyee est la même que pour A, et pourtat la forme de la courbe est pas la même : plus de sujets sous B que sous A, sot loi de la moyee : il y a ue plus grade variabilité avec B qu avec A. Il faut doc créer u idice résumat cette variabilité. Cet idice s appelle la variace et mesure l écartemet des valeurs observées par rapport à la moyee (ou dispersio), aisi l hypotique A a ue variace plus petite que l hypotique B. figure Le calcul statistique va doc permettre de défiir les caractéristiques (moyee, variace) de la répartitio (ou distributio) du paramètre étudié, o pourra esuite comparer ces caractéristiques d u groupe à l autre. Deu poits importats sot à oter d emblée : 1) Les résultats sot résumés à partir d u groupe, ils e sot doc etrapolables qu à u groupe : aisi, si je dis que l hypotique A procure e moyee 5 heures de sommeil, ce résultat peut s appliquer à l esemble des ges qui vot utiliser ce produit, mais pas à u idividu doé de ce groupe qui, lui, peut dormir heures ou 8 heures! Il est cepedat Polycopié de Bio-statistique 6 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

13 possible de calculer, pour cet idividu, u itervalle probable de sommeil (3 à 7 heures par eemple ici), c est ce qu o appelle u itervalle de cofiace. Preos u autre eemple : lorsqu o dit que le tabac multiplie par 0 le risque de cacer du poumo, ceci s applique à l esemble d ue populatio, mais pour u fumeur particulier ce risque peut-être iférieur ou supérieur, et se situe das u itervalle égalemet estimable. ) Les résultats s eprimet e probabilité et o e certitude. Aisi si l o doe l hypotique A à u ème groupe de sujets, il est probable que ces sujets dormet e moyee 5 heures, mais ceci est pas ue certitude, e particulier ce ème groupe peut, par hasard, être costitué d isomiaques chroiques mois sesibles, doc dormir e moyee mois logtemps. Nous avos écrit plus haut que l o pouvait calculer l itervalle de la durée de sommeil d u idividu soumis à l hypotique, certes, mais il est cepedat possible, bie que peu probable, que le sujet dorme plus ou mois logtemps que l itervalle prévu. Cet itervalle e représete doc qu ue probabilité de durée de sommeil sous l hypotique A. Ce raisoemet de type probabiliste est lié à la ature variable des paramètres étudiés dot les courbes de dispersio tedet ± vers l ifii, et eplique bie des résultats cotradictoires recotrés das la littérature, lorsque l o e tiet pas compte de ce phéomèe uiversel. IV. SOLUTIONS STATISTIQUES Après avoir défii pour la variable étudiée, d ue part sa moyee d autre part sa dispersio (par le calcul de la variace), il va être possible de répodre au diverses questios abordées e recherche cliique, que l o peut classer e 3 types : 1) Défiir les valeurs dites «ormales». De ombreu paramètres biologiques sot utilisés e médecie et, afi de défiir des états pathologiques, il est tout d abord écessaire de défiir des ormes hors desquelles les valeurs serot cosidérées comme «aormales». Ceci cosiste à établir la courbe de dispersio du paramètre étudié sur u échatillo de sujets cosidérés comme ormau, puis de défiir l itervalle autour de la moyee (ou du tau) das lequel se situera 95% de la populatio. E dehors de cet itervalle, les valeurs serot cosidérées comme pathologiques. Nous voyos d emblée qu e agissat aisi 5% des sujets, bie que Polycopié de Bio-statistique 7 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

14 ormau, serot cosidérés comme pathologiques (figure 3), mais la prise e compte de 100% des sujets ormau est pas possible car cela reviedrait à predre e compte toutes les valeurs possibles jusqu à ± l ifii et o e pourrait plus défiir d état ormal ou d état pathologique. figure 3 : itervalle à 95 % ) Estimer ces valeurs avec ue certaie précisio. Si l o désire coaître le tau de guériso obteu avec u traitemet, il est raisoable de fier à l avace l itervalle de précisio que l o désire obteir. Aisi si j obties, par eemple, 60% de succès, il est préférable que l itervalle de cofiace de ce tau soit petit, ± 5%, plutôt que grad (± 0%) afi de m assurer que, lorsque j appliquerai ce traitemet à d autres malades, les résultats soiet proches de 60% et o de 40% comme ils pourraiet l être avec u résultat peu précis (c est à dire avec u grad itervalle de cofiace). 3) Comparer des paramètres d u groupe à u autre afi de coclure si u groupe est idetique à u autre : c est le problème le plus fréquet e recherche cliique. Par eemple : est-ce que les résultats obteus avec le traitemet A sot les mêmes qu avec le traitemet B? Est-ce qu u groupe de sujets vacciés fait mois souvet la maladie que les sujets o vacciés? Est-ce que les tau de leucocytes sot modifiés e cas d ifectio virale? Est-ce que les malades porteuses de cacer du sei et présetat des récepteurs au œstrogèes positifs ot ue meilleure survie? Est-ce que le tabac dimiue la fertilité? Le pricipe cosiste égalemet à calculer pour les groupes les idicateurs résumat la répartitio des valeurs des paramètres étudiés (tau ou moyees, variaces) et de comparer ces idices das les groupes afi de juger si la différece observée est compatible avec de simples variatios aléatoires ou au cotraire sigificative, c est à dire que les valeurs observées das les groupes étudiés diffèret trop pour être compatibles avec des variatios aléatoires (figure 4). Polycopié de Bio-statistique 8 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

15 Figure 4 V. LA CAUSALITE Pour pouvoir coclure, il restera ecore à eamier le problème de la causalité : quelle est la cause réelle de la différece observée? et ces relatios causales e pourrot être établies qu e foctio de la stratégie utilisée pour l étude. Aisi, e thérapeutique, ue relatio causale etre traitemet et résultat pourra être établie si la stratégie d étude permet de attribuer qu au seul traitemet la différece observée. Cette situatio est réalisée das le cas d essais thérapeutiques avec tirage au sort des traitemets à comparer, car il s agit alors d ue situatio epérimetale où les différets paramètres sot cotrôlés. Par cotre, das la plupart des autres études, et e particulier e épidémiologie, la relatio causale pourra eceptioellemet être établie car il s agit toujours de situatio d observatio, où de ombreu facteurs peuvet être la cause des différeces observées : aisi si l o trouve que les sujets atteits d ifarctus du myocarde ot u tau de cholestérol plus élevé que la ormale, o e peut pas dire que le cholestérol soit la cause de l ifarctus du myocarde, bie d autres facteurs iterveat. VI. CONCLUSIONS Pour coclure, ous estimeros otre premier but atteit si ous vous avos fait compredre les poits suivats : ue étude de recherche cliique, pour être valable, écessite : d avoir u but clairemet défii : les eregistremets systématiques type «pêche à la lige» e servet à rie. Polycopié de Bio-statistique 9 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

16 de suivre ue stratégie qui permettra de répodre au problème posé : importe quelle equête e peut répodre à importe quelle questio. de recueillir des doées de qualité, validées. d aalyser les doées e teat compte de leur variabilité : la méthode statistique est pas l art d aliger des chiffres, voire de les maipuler, mais de les iterpréter. d iterpréter les résultats, sas oublier le bo ses cliique : ue différece statistiquemet sigificative a pas forcémet u itérêt cliique. BIBLIOGRAPHIE DE BASE D.SCHWARTZ Méthodes statistiques à l usage des médecis et des biologistes., Flammario Ed 1963 A.LAPLANCHE, C. COM NOUGUE, R. FLAMANT. Méthodes statistiques appliquées à la recherche cliique., Flammario Ed 1986 E.ESCHWEGE, G.BONNEROT, F.DOYON, A.LACROIX Essais thérapeutiques, mode d emploi., Le Quotidie du Médeci, INSERM 1990 M.GOLDBERG L Epidémiologie sas peie., Collectio présetée par Ed Médicales ROLAND BETTEX Polycopié de Bio-statistique 10 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

17 CHAPITRE I BUTS ET PRINCIPES I. LA VARIABILITE La caractéristique essetielle des doées, das le domaie du vivat, est la variabilité. Bie que celle-ci soit, au yeu de tous, ue évidece, o e doera 4 eemples, d abord pour défiir quelques termes et esuite parce que la force de cette évidece a d égale que la faculté de l oublier à chaque istat. Ces 4 eemples coceret la variabilité du ombre de loges capsulaires das le fruit du coquelicot (figure 1), le temps d icubatio d ue maladie virale du tabac (figure ), la couleur des cheveu (tableau 1) et la surveue d u cacer brochique chez les fumeurs (tableau ). Nombre de coquelicots Nombre de loges Figure 1 : Distributio du ombre de loges capsulaires observée sur 1905 coquelicots (Biometrika, Vol, 190) Temps de latece e jours Figure : Distributio du temps de latece de la mosaïque du tabac observée sur 355 plats de tabac ioculés avec le virus de la mosaïque (D. Schwartz, Doées o publiées) Nombre de plats Nombre d eames ,00 1,0 1,40 1,60 Glycémie e grammes/litre Figure 3 : Distributio des glycémies à jeu observée sur 74 mesures cosécutives effectuées chez u sujet diabétique au cours d ue période de as cosidérée comme stable (D. Schwartz, Doées o publiées) Couleur de cheveu Blod Bru Noir Rou Total Nombre de sujets présetat cette couleur Tableau 1 : Couleur des cheveu Déombremet portat sur sujets. (D après Ammo,, Zur Athropologie Der Badeer) Evetualité Pas de cacer Cacer du Total du poumo Poumo Nombre de sujet Tableau : Cacer du poumo Déombremet portat sur sujets de see masculi de 50 à 69 as, fumat au mois 40 cigarettes par jour, suivis pedat 44 mois. (D après Hammod et Hor) Polycopié de bio-statistique 11 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

18 Les deu premiers caractères mesurables, sot dit quatitatifs, leur variabilité est représetée par u diagramme e bâtos ou histogramme ; celui-ci est fait de traits séparés pour le ombre des loges capsulaires, qui est ue variable discotiue, et de rectagles joitifs pour le temps d icubatio de la maladie, qui est cotiu. Le deu deriers caractères sot dits qualitatifs, ils e doet pas lieu à histogramme parce qu ils e sot pas logiquemet ordoables sur l ae des abscisses ; le 4 e caractères, qualitatif à classes, est le plus simple de tous les caractères ; il traduit aussi la forme la plus simple de la variabilité : à travers des différeces d aspect, ces 4 eemples traduiset le même fait : ue très grade variabilité ( cf. Défiitios 6). Cette variabilité peut être réduite par des procédés epérimetau, mais o supprimée ; aisi, das l eemple des plats de tabac, l ioculatio avait été faite das des coditios particulièremet stadardisées : suspesio de virus parfaitemet homogèe ioculée à des plats de tabac géétiquemet semblables, sur ue feuille de même rag etre des ervures de rag doé : le temps de latece a quad même varié de 13 à 34 jours. La variabilité e se réduit aucuemet à l erreur de mesure (le ombre de loges capsulaires das le fruit du coquelicot est parfaitemet mesuré), elle la comporte certes das de ombreu cas, mais pour l essetiel la variabilité traduit la fluctuatio biologique. Elle porte sur la morphologie (au ses large), la prédispositio à ue maladie, le temps que celle-ci met à apparaître, so évolutio, e fait sur la quasi totalité des caractéristiques d u sujet. O doit aborder les scieces du vivat péétré de l idée que la variabilité est, o l eceptio, mais la règle. Cette règle est costammet oubliée. Cet Aglais ous faire rire qui, voyat ue femme rousse e débarquat à Calais, coclut : «Ties, les Fraçaises sot rousses». Il igorait certes pas que la couleur des cheveu varie d ue femme à l autre, et pourtat Et si ous rios de so erreur, chacu de ous la commet sas cesse. Utel, découvrat 8 quartiers das u fruit de coquelicot, coclura automatiquemet : le fruit du coquelicot cotiet 8 quartiers. Plus grave, ce biologiste qui testera les effets ocifs d ue drogue sur 1 sige, sur 5 das le meilleur des cas. Si vous vous étoez de ce faible effectif, il évoquera d abord le pri du sige, puis il ajoutera que cette recherche est effectuée avec ue etrême précisio, grâce au microscope électroique, oubliat que l essetiel de la variabilité est d ordre biologique : si le produit est dagereu pour 1 sige sur 10, ce qui serait déjà éorme, il risque fort de e rie voir avec u si faible effectif. (* d après D.Schwartz) Polycopié de bio-statistique 1 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

19 Compte teu de la variabilité de ses caractères ifiimet ombreu, u idividu e ressemble jamais à u autre. Cette diversité est d abord d ordre géétique. Notre idetité est façoée par des gèes iombrables doc chacu a plusieurs variates (allèles). Il e résulte, au momet de la reproductio, qui redistribue les gèes, u ombre quasi ifii de combiaisos possibles. De sorte qu eceptio faite des vrais jumeau (et ecore ) u idividu a pas, a jamais eu et aura jamais so double, l idividu est uique. Au différeces etre les idividus, s ajoutet les différeces das l eviroemet, das les hasard de la vie, qui fot que certais caractères (pas tous, mais beaucoup) variet d u momet à l autre, c est le cas otammet pour les résultats d eames biologiques (cf par eemple fig.3 : la glycémie d u sujet à jeu). A la variabilité iter-idividuelle se superpose doc ue variabilité itra-idividuelle (ecore plus souvet oubliée que la première). Et l idividu diffère de lui-même d u momet à l autre. II. POPULATION, ECHANTILLON II.1. UNE POPULATION est u esemble d uités sur lesquelles ue caractéristique peut être relevée. Le plus souvet, e épidémiologie, les uités sot des persoes (ou des aimau e epérimetatio aimale). Mais cela peut être aussi u groupe de persoes (par eemple la populatio des familles dot o compte le ombre d efats), ou ecore des etités biologiques (comme des cellules dot o relève le caractère cacéreu ou o). Très souvet, la populatio est de grade taille ; das de ombreu cas, les modèles statistiques que ous verros supposet qu elle est de taille ifiie. Les questios que l o se pose, les hypothèses que l o formule cocere la populatio. II.. UN ECHANTILLON est ue partie de la populatio. Il est habituellemet de taille suffisammet petite pour que la caractéristique à laquelle o s itéresse puisse effectivemet être mesurée sur tous les sujets qui le composet. Les observatios que l o fait sur u échatillo servet à répodre au questios que l o s est posé au iveau de la populatio. Il est doc importat que l échatillo soit costitué de telle sorte qu il puisse remplir ce rôle. C est otammet le cas lorsqu il s agit d échatillo représetatif, c est à dire u échatillo dot la compositio est coforme à celle de la populatio. La faço la plus simple de costituer u échatillo représetatif est de tirer au sort les sujets de l échatillo au sei de la populatio. Das l établissemet idéal du protocole d ue equête épidémiologique, o devrait défiir successivemet la populatio cible et l échatillo. Il arrive cepedat que l échatillo Polycopié de bio-statistique 13 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

20 soit costitué e foctio de diverses cotraites pratiques et que la populatio soit recostruite a posteriori e partat de l échatillo (Schwartz 1994). Il est, par eemple, fréquet de réaliser des equêtes sur u échatillo de sujets traités das quelques services hospitaliers avec lesquels o collabore. Cet échatillo a pas été etrait d ue populatio défiie au départ, mais costitué aisi pour des raisos de commodités telles que la collaboratio possible avec tel ou tel service. La populatio correspodate peut être, selo le problème que l o étudie, celle de l esemble des malades hospitalisés quel que soit le service, ou l esemble, fictif, des sujets qui, s ils étaiet malades, seraiet hospitalisés das l u des services participat à l equête. L échatillo est alors, par costructio, représetatif de la populatio aisi défiie. C est à elle que les observatios faites sur l échatillo peuvet être gééralisées. Il importe doc das la présetatio et l iterprétatio des résultats de bie décrire cette populatio (répartitio par âge, par see, par catégories professioelles ). III. VARIABLE ALEATOIRE Ue variable aléatoire associe ue valeur à chaque sujet de la populatio. Cette valeur peut être umérique : taille, ou e pas l être : malade/o malade, groupe sagui Le terme aléatoire sigifie qu o e peut pas prédire avec certitude, avat la mesure ou l observatio, la valeur de la variable pour u sujet. La seule iformatio dot o dispose pour chaque valeur de la variable est la probabilité de trouver u sujet qui ait cette valeur. Soit, par eemple, la variable X «malade/o malade». Pour u sujet dot o e coaît que le om, o peut e pas savoir si X a la valeur «malade» ou la valeur «o malade» avat d avoir iterrogé le sujet ou qu il ait été eamié par u médeci. Si l o sait, par eemple, qu il y a 5% de malades das la populatio, o peut cepedat affirmer que la probabilité que X = malade est 5% et X = o malade est 75%. Ue variable doat ue caractéristique au iveau des sujets (poids, taille, malade/o malade ) sera otée avec ue lettre majuscule (X) et la valeur prise sur u sujet par ue lettre miuscule (). O parle aussi de variable aléatoire au iveau d u échatillo. Par eemple, la moyee ou le pourcetage sot des variables aléatoires, puisqu elles associet à chaque échatillo ue valeur (qui est la moyee ou le pourcetage observé sur cet échatillo). Polycopié de bio-statistique 14 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

21 IV. FLUCTUATIONS D ECHANTILLONNAGE U échatillo est u sous-esemble, plus ou mois grad, des sujets de la populatio. Ue des coséqueces de la variabilité idividuelle est ue variabilité au iveau des échatillos, c est-à-dire que la compositio de deu échatillos tirés de la même populatio est, e gééral, pas la même. Ce phéomèe, qualifié de fluctuatio d échatilloage, est importat à compredre, car, das le domaie biomédical, il est etrêmemet fréquet de travailler sur des échatillos, l iclusio das ue equête de tous les sujets d ue populatio état, la plupart du temps, impossible. Pour le préseter, preos l eemple d ue populatio composée de 30% de malades et das laquelle o pred des échatillos successifs. Cosidéros échatillos de 0 sujets das cette populatio et comptos le ombre de malades observé das chacu d etre eu. Les résultats obteus sot illustrés par l histogramme de la figure 4. Ce derier idique que 8 échatillos e compreet aucu malade, que 60 e compreet 1, etc O observe, par ailleurs, qu aucu échatillo e compred plus de 15 malades. Figure 4 : Histogramme des ombres de malades observées sur échatillos de 0 sujets tirés d'ue populatio où le pourcetage vrai de malades est 30 % Nombres d'échatillos Nombre de malades par échatillo Ces résultats e sot qu u eemple. Ue autre série de échatillos e coduirait pas eactemet au même histogramme. Par eemple, il est possible qu u échatillo compree jusqu à 0 malades, ce qui e s est pas produit das la série que ous présetos. Cepedat, les coclusios seraiet de même ature : la variabilité idividuelle c est à dire ici le fait que les sujets e sot pas tous malades ou tous o malades coduit à ce que le pourcetage de malades observé varie d u échatillo à l autre. Polycopié de bio-statistique 15 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

22 O costate otammet que, bie que la valeur du pourcetage de malades soit 30% das l esemble de la populatio, seuls 1940 parmi les échatillos ot u pourcetage observé de malades eactemet égal à 30%. C est certes le cas le plus fréquet, mais d autres valeurs sot observées avec ue fréquece voisie. De plus, certaies valeurs s éloiget otablemet de 30% : c est aisi qu u des échatillos compred 15 malades, soit 75% de malades. Il est doc pas possible de résumer l esemble des observatios par le seul pourcetage de malades das la populatio. Il faut idiquer commet les observatios sot dispersées. O peut, par eemple, ous y reviedros plus loi, doer les limites das lesquels se trouvet la plupart des échatillos. Ici o observe que 356 échatillos compreet mois de 3 malades et que 179 e compreet plus de 10. Le pourcetage de malades est doc compris etre 15% et 50% (bores icluses) pour près de 95% des échatillos. L allure de l histogramme et l ampleur des fluctuatios d échatilloage dépedet bie sûr de la valeur du pourcetage de malades das la populatio, mais elles dépedet aussi de la taille des échatillos prélevés das la populatio. Si, par eemple, o pred des échatillos de 100 sujets, au lieu de 0, l histogramme deviet celui de la figure 5. Il est mois dispersé : o costate, e particulier, que les limites etre lesquelles se situe le pourcetage de malades observé pour 95% des échatillos sot cette fois 1% - 39%. Elles sot doc plus resserrées que celles de l histogramme précédet (15% - 50%). Cela correspod bie à l ituitio : l observatio faite sur u échatillo est d autat plus proche de la vraie valeur que la taille de l échatillo est grade. Figure 5 : Histogramme des ombres de malades observés sur échatillos de 100 sujets tirés d'ue populatio où le pourcetage de malades est 30 % Nombre d'échatillos Nombre de malades par échatillo Polycopié de bio-statistique 16 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

23 V. LES LOIS DE LA PROBABILITE V.1. LE CONCEPT DE PROBABILITE a été u pas cosidérable pour l itroductio de la rigueur das le domaie de l icertai. Le calcul des probabilités, qui est ue brache particulière des mathématiques, permet d établir des lois de probabilité. Ue loi de probabilité idique la probabilité pour qu ue variable pree ue valeur doée, par eemple que sur 100 lacers de pièces la variable «ombre de pile» égale 40, ou qu ue variable soit comprise das u itervalle doé, par eemple que sur 100 lacers le ombre de pile soit compris etre 0 et 30. U eemple particulièremet utilisé est celui d itervalles symétriques autour de la valeur «moyee», par eemple la probabilité pour que sur 100 lacers, le ombre de pile tombe das l itervalle allat de 40 à 60. Le calcul motre qu il y a 95 chaces sur 100 de tomber das cet itervalle dot 5 chaces sur 100 de tomber à l etérieur. C est là u résultat itéressat, parce qu alors que le hasard est capable de tous les caprices, je peu quad même faire u proostic à coditio d accepter certais risques d erreur : aisi je peu admettre que le ombre de pile sur 100 lacers sera compris etre 40 et 60, je e risque que 5 fois sur 100 de me tromper. Telles sot les «lois du hasard», associatio de deu mots apparemmet icompatibles : ce e sot pas des lois de certitude, je e peu pas affirmer qu o trouvera etre 40 et 60 fois pile, mais je peu «presque» l affirmer avec u risque d erreur faible. V.. DISTRIBUTION DE PROBABILITE La défiitio précédete est pas très opératioelle pour faire des calculs car elle demade des simulatios à chaque fois : si o voulait, par eemple, savoir quelle est la probabilité que sur 100 tirages de dés il y ait 0 fois le chiffre 4, il faudrait répéter de très ombreuses fois 100 tirages de dés pour avoir ue valeur assez précise. E outre, elle s applique mal à des populatios de taille ifiie. Il est doc écessaire de disposer de «formules» pour faire le calcul. Pour représeter (o dit aussi «modéliser») les distributios observées et permettre les calculs statistiques, o a besoi de lois de probabilité. Leur rôle est d associer ue probabilité de surveue à chaque évéemet possible. Il y a plusieurs lois de probabilité permettat de s adapter au différetes situatios que l o recotre selo la variable étudiée et selo la populatio cocerée. Il faut distiguer variables qualitatives et quatitative car la faço de décrire leurs lois de probabilité est Polycopié de bio-statistique 17 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

24 assez différete. De faço plus précise, o va cosidérer d ue part les variables discrètes, eglobat sous ce terme les variables qualitatives et cotiues discrètes, d autres part les variables cotiues (cf. Défiitios VI). V..1. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES Ue variable qualitative ou ue variable quatitative discrète pred des valeurs que l o peut éumérer : 1, k Défiir sa distributio de probabilité cosiste à doer les probabilités p 1, p k de chacue des valeurs possibles. Les p i peuvet avoir des valeurs quelcoques à coditio de respecter : 0 p i 1 (ue probabilité doit être comprise etre 0 et 1) et Σp i =1 (c est à dire que la probabilité que la variable pree l ue quelcoque des valeurs possibles est 100%). Eemples : Le cas le plus simple est celui d ue variable dichotomique comme malade/o malade. Ses deu valeurs sot souvet codées 0 = 0 pour les o malades et 1 =1 pour les malades. Les probabilités correspodates sot p 0 et p 1, avec p 0 + p 1 = 1 ; p 1 est souvet oté p ; p 0 =1- p 1 est alors oté q. Cosidéros le ombre X d observatios présetat ue certaie caractéristique (par eemple le ombre de malades) das u échatillo de sujets. X peut predre les valeurs etières de 0 à. La loi de probabilité de X s appelle la loi biomiale, ( 5.3.1). Lorsque la taille de l échatillo est très grade, X peut predre de ombreuses valeurs. L utilisatio de la loi biomiale deviet alors laborieuse et o lui préfère la loi de Poisso défiie das le paragraphe V... LOIS DE PROBABILITE CONTINUES, DENSITE DE PROBABILITE Ue variable quatitative cotiue a ue ifiité o déombrable de valeurs possibles. O e peut plus défiir sa distributio de probabilité e doat la liste des valeurs des probabilités p i d observer chacue des valeurs. La distributio de probabilité pour ue variable quatitative cotiue peut être décrite par ue foctio f appelée desité de probabilité. La loi ormale est la loi la plus utilisée pour les variables cotiues ( ) Polycopié de bio-statistique 18 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

25 V.3. PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITE V.3.1. LA LOI BINOMIALE - Défiitio de la loi biomiale Soit X la variable dot la valeur est le ombre de malade k das u échatillo de sujets tirés au sort das ue populatio où le pourcetage de malade est P. X suit ue loi biomiale dot la distributio est défiie par : P(X = k) = C k P k (1 P) k avecc k =! k!( k)! La loi biomiale est caractérisée par deu paramètres : le ombre de sujets das l échatillo () et la probabilité de maladie das l esemble de la populatio (P). Elle est souvet otée B(,P) Eemple : Cosidéros ue populatio où le pourcetage de malades est P = 0,30 d ou o etrait des échatillo de taille = 0. La probabilité d observer k = 6 malades est : P ( X = 6) = 0! 0,3 6! 14! 6 0,7 14 Soit : P(X=6) = , ,00678 = 0,1916. C est à dire que sur échatillos, o s atted à e observer compreat 6 malades. - Tables de la loi biomiale Comme o le voit, le calcul des probabilités de la loi biomiale est assez laborieu, surtout lorsque est grad. Il eiste des tables doat les valeurs de P(X=k). Si est assez grad ( 30) o peut recourir à l approimatio par la loi ormale qui coduit à des calculs beaucoup mois lourds. - Moyee et variace de la loi biomiale Si X suit ue loi biomiale de paramètres et P, o motre que : E(X) = P et var(x) = PQ où E(X) est l espérace mathématique de X, ou moyee et var(x) est la variace de X Polycopié de bio-statistique 19 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

26 - Applicatio à la distributio d u pourcetage. Plutôt que s itéresser au ombre X de malades d u échatillo, il est beaucoup plus fréquet de cosidérer le pourcetage p o de malades. E effet, l iterprétatio de p o e déped pas de la taille de l échatillo. p o et X état liés par a otammet : X p 0 =, la distributio de p o se déduit directemet de celle de X. O E( X ) E ( p0 ) = = P et 1 var(p 0 ) = var(x) = PQ V.3.. LA LOI DE POISSON Comme pour la loi biomiale, ous preos l eemple d ue variable dot les deu modalités sot «malade» et «o malade», et ous itéressos au ombre X de malades das u échatillo de taille. Lorsque est très grad, X peut predre de ombreuses valeurs et l utilisatio de la loi biomiale deviet très laborieuse, otammet à cause du calcul de k C Pour décrire la distributio de X, o utilise alors la loi de Poisso défiie par : P( X k λ λ = k) = e ou λ est ue costate k! Moyee et variace de la loi de Poisso Si X suit ue loi de Poisso de paramètre λ, o motre que E(X) = λ et var(x) = λ V.3.3. LA LOI NORMALE - Défiitio La loi ormale (ou loi de Gauss, ou ecore loi de Laplace-Gauss) est la loi de probabilité la plus utilisée e statistique pour les variables cotiues. Elle est défiie par sa desité de probabilité : f ( ) 1 ( μ) ep σ π σ = Polycopié de bio-statistique 0 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

27 Le graphe de cette foctio est ue courbe e cloche (figure 4) 0,5 desité de probabilité 0,4 0,3 0, Figure 6 : Desité de probabilité et foctio de répartitio de la loi ormale. La loi ormale déped de deu paramètres μ et σ. O motre que μ est sa moyee et σ sa variace. - Table de la loi ormale Le calcul des probabilités associées à la loi ormale est pratiquemet pas possible avec des moyes simples tels qu ue calculette de poche. Par eemple, le calcul de P(X a) a 1 ( μ) demade celui de l itégrale ep d. C est pourquoi il est écessaire σ π σ de recourir à des tables. Il est cepedat pas evisageable de costruire ue table pour chaque valeur de μ et σ O se ramèe au cas où μ = 0 et σ = 1 par chagemet de variable. Si X suit ue loi ormale de moyee μ et de variace σ μ, alors Z = suit ue loi ormale de σ moyee 0 et de variace 1, dite loi ormale cetrée réduite. Eemples 0, Le poids de aissace des ouveau-és est distribué (approimativemet) selo ue loi ormale de moyee μ = 3,3 kg et d écart type σ = 0,5 kg. La probabilité qu u ouveau-é ait u poids X iférieur à,5 kg est P(X,5). Pour la calculer, o se ramèe à ue loi cetrée réduite e cosidérat,5 3,3 O a alors : P ( X,5) = P( Z ) = P( Z 1,6) 0,5 3,3 Z = X 0,5 Polycopié de bio-statistique 1 Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

28 La table 1 de la loi ormale cetrée réduite idique que P(Z > -1,6) = 0,945. La probabilité cherchée est doc égale à (1 0,945) = 0,055. V.4. INDEPENDANCE ENTRE DEUX VARIABLES ALEATOIRES La otio d idépedace etre deu variables est très utilisée e statistique. Sa défiitio précise écessite l eposé de otios de probabilité que ous e présetos pas ici.nous ous coteteros d ue défiitio ituitive : deu variables sot idépedates si la distributio de l ue e déped pas des valeurs de l autre. Par eemple le poids et la tesio artérielle seraiet idépedats si la distributio de la tesio artérielle est la même quel que soit le poids. D u poit de vue pratique, cela sigifie que si l o regroupait les sujets d ue populatio e sous-populatios de sujets de même poids, la distributio de la tesio artérielle serait la même das toutes ces sous-populatios. Ce est évidemmet pas le cas, ce qui sigifie que ces variables e sot pas idépedates. VI. QUELQUES DEFINITIONS ET EXEMPLES VI.1. DEFINITION DES VARIABLES VI.1.1. VARIABLES QUALITATIVES NON MESURABLES. O peut les classer selo leur propriété. E : see, couleur des cheveu, présece ou o d ue maladie. VI.1.. VARIABLES QUANTITATIVES MESURABLES. Il eiste u ordre aturel de l esemble des valeurs possibles. E : poids, tau de cholestérol, ombre d efats. - Cotiues : elles peuvet predre toutes les valeurs situées das u itervalle : tau de cholestérol/poids. - Discotiues ou discrètes : elles e peuvet predre qu u ombre limité de valeurs (souvet etières) E : ombre d efats. VI.1.3. VARIABLE ORDINALE OU QUALITATIVE ORDONNEE Eemple : Polycopié de bio-statistique Faculté de Médecie de Motpellier-Nîmes

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