I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2

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1 Matrice p. 1/2

2 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2

3 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). p. 2/2

4 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). Les éléments a ij sont appelés les coefficients de la matrice. Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne. p. 2/2

5 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). On la note : A = (a ij ) (i,j) {1,,n} {1,,p} = (a ij ). Les éléments a ij sont appelés les coefficients de la matrice. Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne. Les éléments a ii sont appelés les coefficients diagonaux. p. 2/2

6 On représente A sous forme de tableau a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p.... A =.. a i1 a i2 a ij a ip.... a n1 a n2 a nj a np p. 3/2

7 Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. p. 4/2

8 Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. p. 4/2

9 Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. Une matrice à une ligne n = 1 s appelle une matrice-ligne. p. 4/2

10 Notation: L ensemble des matrices n p à coefficients dans IR se note M n,p (IR) et simplement M n (IR) lorsque n = p. Définitions: Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes n = p est dite carrée. Une matrice à une ligne n = 1 s appelle une matrice-ligne. Une matrice à une colonne p = 1 s appelle matrice colonne. p. 4/2

11 Matrice A diagonale si a ij = 0 pour i = j. p. 5/2

12 p. 5/2 Matrice A diagonale si a ij = 0 pour i = j. Exemple A = e

13 On appelle matrice identité notée I n la matrice diagonale d ordre n dont les termes diagonaux sont égaux à un. p. 6/2

14 p. 6/2 On appelle matrice identité notée I n la matrice diagonale d ordre n dont les termes diagonaux sont égaux à un. Exemple : n = 3 I 3 =

15 Une matrice A est triangulaire inférieure si a ij = 0 pour i < j. p. 7/2

16 p. 7/2 Une matrice A est triangulaire inférieure si a ij = 0 pour i < j. Exemple :

17 Une matrice A est triangulaire supérieure si a ij = 0 pour i > j. p. 8/2

18 p. 8/2 Une matrice A est triangulaire supérieure si a ij = 0 pour i > j. Exemple :

19 p. 9/2 Matrice B = t A transposée de A, (i, j) b ij = a ji.

20 p. 9/2 Matrice B = t A transposée de A, (i, j) b ij = a ji. Exemple A = t A = ( )

21 Une matrice A est symétrique si A = t A c est-à-dire (i, j) a ij = a ji. p. 10/2

22 p. 10/2 Une matrice A est symétrique si A = t A c est-à-dire (i, j) a ij = a ji. Exemple :

23 II-Opérations sur les matrices Si A et B sont de mêmes dimensions a 11 + b 11 a 1j + b 1j a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 2j + b 2j a 2p + b 2p.. A + B=.. a i1 + b i1 a ij + b ij a ip + b ip.... a n1 + b n1 a nj + b nj a np + b np p. 11/2

24 p. 12/2 Produit d une matrice A par un réel λ λa 11 λa 1j λa 1p λa 21 λa 2j λa 2p.. λa =.. λa i1 λa ij λa ip.... λa n1 λa nj λa np

25 p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C

26 p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C où C matrice n lignes et q colonnes avec c ij = p k=1 a ik b kj.

27 p. 13/2 Produit d une matrice A n lignes et p colonnes par une matrice B p lignes et q colonnes A B = AB = C où C matrice n lignes et q colonnes avec c ij = p k=1 a ik b kj. AB = BA

28 p. 14/2 A = B = ( )

29 p. 14/2 A = ( B = AB = )

30 p. 14/2 A = ( B = AB = ) qui n est pas égal à BA = ( )

31 Propriétés : Le produit matriciel est : associatif : ABC = (AB)C = A(BC) distributif par rapport à l addition : A(B + C) = AB + AC non commutatif : AB n est pas égal à BA en général. La matrice unité I est élément neutre pour la multiplication : AI m = I n A = A, si la matrice A est de dimensions (n, m). p. 15/2

32 A quoi sert une matrice? p. 16/2

33 p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire 3x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4

34 p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire 3x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4 peut s écrire sous forme matricielle Au = b

35 p. 16/2 A quoi sert une matrice? à représenter un système linéaire A = x 2y + z = 2 2x + y + z = 7 4x 3y + 2z = 4 u = x y z b = 2 7 4

36 Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. p. 17/2

37 p. 17/2 Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. Propriétés: I n A = A = A I n

38 Notation: Pour toute matrice A M n (IR), on pose A 0 = I n et si k IN, on note A k = A A k 1. Propriétés: I n A = A = A I n t ( t A) = A t (A + B) = t A + t B t (λa) = λ t A t (AC) = t C t A p. 17/2

39 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices p. 18/2

40 p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement

41 p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement ajouter un multiple d une ligne (colonne) à une autre ligne (resp. colonne)

42 p. 18/2 Opérations élémentaires On peut définir des opérations élémentaires sur les matrices permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement ajouter un multiple d une ligne (colonne) à une autre ligne (resp. colonne) multiplier une ligne ou une colonne par un nombre différent de zéro

43 Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. p. 19/2

44 p. 19/2 Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. Multiplier une matrice A par une matrice élémentaire à gauche (ie calculer PA) revient à effectuer l opération élémentaire correspondante sur les lignes de A.

45 p. 19/2 Matrice élémentaire: Une matrice P est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. Multiplier une matrice A par une matrice élémentaire à gauche (ie calculer PA) revient à effectuer l opération élémentaire correspondante sur les lignes de A. à droite (AP) revient à faire une opération sur les colonnes.

46 Exemples effectués en dimension 3 p. 20/2

47 p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation

48 p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation (lignes (ou colonnes) 1 et 2 de I 3 ) P 1 =

49 p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A

50 p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A P 1 = A = P 1 A =

51 p. 20/2 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A AP 1 permutation colonnes 1 et 2 de A

52 Exemples effectués en dimension 3 P 1 matrice de permutation P 1 A permutation lignes 1 et 2 de A AP 1 permutation colonnes 1 et 2 de A P 1 = A = AP 1 = p. 20/2

53 p. 21/2

54 P 2 matrice de dilatation p. 21/2

55 p. 21/2 P 2 matrice de dilatation (5 fois ligne (ou colonne) n 3 de I 3 ) P 2 =

56 p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A

57 p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A P 2 = A = P 2 A =

58 p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A AP 2 5 fois colonne n 3 de A

59 p. 21/2 P 2 matrice de dilatation P 2 A : 5 fois ligne n 3 de A AP 2 5 fois colonne n 3 de A A = P 2 = AP 2 =

60 p. 22/2

61 P 3 matrice de transvection p. 22/2

62 p. 22/2 P 3 matrice de transvection (ligne n 3<-(ligne n 3 + 5*ligne n 2) de I 3 ) (colonne n 2<-(colonne n 2 + 5*colonne n 3) de I 3 ) P 3 =

63 p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A

64 p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A P 3 = A = P 3 A =

65 p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A AP 3 (col. n 2<-col. n 2 + 5*col. n 3) de A

66 p. 22/2 P 3 matrice de transvection P 3 A : (ligne n 3 + 5*ligne n 2) de A AP 3 (col. n 2<-col. n 2 + 5*col. n 3) de A P 3 = A = AP 3 =

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