Exercices Trigonométrie

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1 I Le cercle trigonométrique Savoir-faire 1 : Associer nombres réels et points du cercle trigonométrique Exercice 1 Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points A, B, C et D, images par enroulement des réels suivants 11π ; π ; π et π Exercice Le triangle IAB est équilatéral. Déterminer tous les nombres réels dont les points A et B sont images par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique. Exercice 3 M est le point image du réel π par enroulement de la droite des réels. 3 Donner un nombre réel positif et un autre nombre réel négatif associés à M. Exercice M est le point image du réel π par enroulement. Indiquer, parmi les nombres réels suivants, ceux qui sont associés au même point M du cercle trigonométrique : 13π π 17π ; ; ; 8π ; π. Savoir-faire : Déterminer le cosinus et le sinus d un réel Exercice 1. Calculer cos π π et sin. Vérifier ces résultats avec la calculatrice.. Calculer cos ( 7π ) et sin ( 7π ). Vérifier ces résultats avec la calculatrice. 3 3 Exercice 6 A est le point du cercle trigonométrique image du nombre réel 19π Donner deux autres réels qui ont pour image le point A par enroulement de la droite numérique.. Déterminer les coordonnées du point A. Exercice 7 1. Tracer le cercle trigonométrique, puis placer de manière approximative les points images par enroulement de la droite numérique des nombres réels 8π 1π 10. suivants : π ; ; 7 9. En déduire les signes des cosinus et sinus de chacun de ces nombres réels. Exercice 8 On donne sin b = 1 3. Calculer la valeur exacte de cos b sachant que π < b < 3π. Exercice 9 1. Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points associés aux réels x tels que sin x = 0,.. Colorer en rouge l arc de cercle formé des points associés aux réels x tels que sin x 0,. Exercice Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points associés aux réels x tels que cos x = 0,.. Colorer en rouge l arc de cercle formé des points associés aux réels x tels que cos x 0,. Savoir-faire 3 : Convertir des unités d angle Exercice Convertir en radians et 7π en degrés. 1. Convertir 7π en degrés et 7 en radians. Exercice 1 1. Donner la mesure en radians de chacun des angles suivants : 10 ; 60 ; 110 ; 0. Exprimer en radians les mesures des angles d un : a. Triangle équilatéral. b. Triangle rectangle isocèle.

2 II Mesures d un angle orienté Savoir-faire : Déterminer des mesures d angles orientés Exercice 13 Les points A, B, C et D sont les sommets d un carré. Donner une mesure en radians des angles suivants : 1. (OI, OB ). (OA, OB ) 3. (OD, OI ). (OA, OC ) Exercice 1 IABI DE est un hexagone régulier. Le point S est l un des sommets de cet hexagone. Déterminer avec quel point de l hexagone le point S coïncide dans chacun des cas suivants : 1. (OI, OS ) = π 3. (OA, OS ) = π 3 3. (OE, OS ) = π Exercice 1 Soit le cercle trigonométrique de centre O et A un point de. Placer les points M, N P et Q de tels que : 1. (OA, OM ) = π + kπ. (OA, ON ) = 3π + kπ 3. (OA, OP ) = π + kπ 3. (OA, OQ ) = π + kπ Exercice 16 IABCD est un pentagone régulier 1. Donner la mesure de chacun des angles suivants : (OI, OA ) ; (OI, OB ) ; (OA, OB ) ; (OD, OB ). Déterminer la valeur exacte des coordonnées du point A. Exercice 17 Soit u, v et w des vecteurs non nuls tels que : (u, v) = π 3 + kπ et (v, w ) = 7π 3 + kπ Déterminer des mesures des angles (u, v) ; (u, w ) ; (v, 3w ) et ( w, u ). Exercice 18 Soit u, v et w des vecteurs non nuls tels que : (u, v) = 7π 88π + kπ et (u, 3w ) = kπ Démontrer que les vecteurs v et w sont colinéaires. Exercice 19 Soit u, v et w des vecteurs non nuls tels que : (u, v) = π 6 + kπ et (u, w ) = π 1 + kπ Donner toutes les mesures des angles (u, v) ; (u, 3u ) ; (v, w ) et ( w, v). Exercice 0 Montrer que, pour tout quadrilatère ABCD, on a : (AB, AD ) + (DA, DC ) + (CD, CB ) + (BC, BA ) = kπ Savoir-faire : Déterminer la mesure principale d un angle orienté Exercice 1 Déterminer la mesure principale, en radians, d un angle orienté dont une mesure est 97π 6. Exercice Quelle est la mesure principale, en radians, d un angle orienté de mesure 7π? 017π?

3 Exercice 3 Déterminer la mesure principale, en radians, puis deux autres mesures d un angle orienté dont une mesure en radians est : 1. π. 7π Exercice On donne l algorithme incomplet suivant Savoir-faire 6 : Utiliser les angles orientés en géométrie Exercice 8 Le triangle ABC est un triangle équilatéral. La droite (AH) est la hauteur issue de A et G est le centre de gravité du triangle ABC. En utilisant l orientation donnée par la figure, donner toutes les mesures des angles orientés suivants. a. (HA, HC ) b. (CB, CA ) c. (AC, CB ) d. (GA, GC ) e. (AG, CG ) 1. Compléter cet algorithme de manière à ce qu il affiche en sortie la mesure principale d un angle orienté dont une mesure est X.. Modifier cet algorithme dans le cas où X est négatif. Exercice 1. Donner la mesure principale d un angle de mesure 10 rad.. Donner la mesure principale d un angle de mesure 017 ard. Exercice 6 Le point M est un point du cercle trigonométrique, défini par une mesure α en radians de l angle (OI, OM ). Dans chacun des cas suivants, déterminer la mesure principale de cet angle et placer le point M sur ce cercle. a. α = 3π b. α = 109π 6 Exercice 7 Soit C le cercle trigonométrique de centre O et A un point de. On définit les points M, N, P et Q de tels que : (OA, OM ) = π + kπ ; (OA, ON ) = 3π et (OA, OQ ) = π + kπ + kπ ; (OA, OP ) = π 3 + kπ Déterminer la mesure principale des angles : (OM, ON ) ; (OP, OM ) ; (OQ, ON ) et (ON, OP ). Exercice 9 ABC est un triangle tel qu une mesure de (AB, AC ) est π et une mesure de (BA, BC ) est π. La droite (AH)est la hauteur issue de A. 6 Déterminer les mesures principales des angles orientés suivants. a. (AB, BC ) b. (AH, CA ) c. (AH, BA ) Exercice 30 Le triangle ABC est rectangle et isocèle et une mesure de (AB, AC ) est π. Le triangle ADB est équilatéral et une mesure de (AD, AB ) est π. 3 Déterminer la mesure principale des angles (AD, AC ) ; (BC, BD ) et (BA, DB ). III Calculs trigonométriques Savoir-faire 7 : Utiliser les formules des angles associés Exercice 31 Déterminer le cosinus et le sinus de : π 6 ; 7π 6 ; π ; 3π ; π et 9π d. (AH, CB )

4 Exercice 3 Exprimer les réels données en fonction de cos x ou de sin x. a. cos(x + 3π) b. cos(x 7π) c. cos( x + π) d. sin(x + 9π) e. sin(x 8π) f. sin( x π) g. cos (x π ) h. cos (x 3π ) i. cos (7π x) j. sin (x π ) k. sin (x 3π ) l. sin (7π x) Exercice 33 Calculer les expressions ci-dessous sans calculatrice. A = sin x + cos (x + π ) + cos x sin (x + π ) B = sin π + sin π + sin 6π + sin 8π C = cos 3π 7 cos π 10π 11π + cos cos Exercice 3 Soit x un réel de l intervalle [ π ; π] et M le point du cercle réel x. 1. Placer le point M tel que sin x = 1.. Placer les points du cercle C associés aux réels : π a. + x b. π x c. π + x d. π x 3. Calculer cos x.. Calculer : associé au a. cos ( π + x) b. sin (π + x) c. cos (3π x) d. sin (π x) e. cos(3π + x) f. cos(π x) g. sin(π + x) h. sin(π x) Exercice 3 Logique Soit x et y deux réels. On considère la proposition suivante : «si y = x + kπ, alors sin y = sin x». Savoir-faire 8 : Résoudre une équation trigonométrique Exercice 36 Résoudre dans ] π; π] l équation sin x = sin 3π solutions sur le cercle trigonométrique. Exercice 37 Résoudre dans R l équation cos x = 3. et représenter ses Exercice 38 Résoudre les équations proposées dans R puis dans I. Puis placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux solutions de l équation. 1. cos x = cos ( 3π ) ; I =] π; π].. sin x = sin ( 3π ) ; I = [0; π[. 3. cos x = cos π ; I = [0; π[. 7 Exercice 39 Déterminer les solutions de l équation sin x + 1 = 0 dans [0; π[, puis dans [π; π[. Exercice 0 1. Résoudre l équation sin x = 3 dans [0; π], puis dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.. Résoudre l équation cos x = 3 dans [0; π[, puis dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. 3. Résoudre l équation cos x = 1 dans [0; π[, puis dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.. Résoudre l équation cos x + 1 = 0 dans ] π; π], puis dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.. Résoudre l équation sin x 1 = 0 dans ] π; π], puis dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. 1. Dire si cette proposition est vraie ou fausse.. Que peut-on dire de la réciproque de cette proposition?

5 Exercice 1 Algorithmique Compléter cet algorithme afin qu il affiche en sortie les solutions dans R de l équation sin x = sin A. Problème I Droites parallèles Les droites d 1, d, d 3 et d ont pour vecteurs directeurs respectifs les vecteurs u, v, w et t tels que : (u, w ) = π + kπ ; (v, w ) = π 3π + kπ et (u, t) = kπ Y a-t-il des droites parallèles parmi ces droites? Problème II Recherche de points Exercice Résoudre dans ] π; π] l équation cos (x + π ) = 1. Exercice 3 Résoudre dans [0 ; π] l équation ( cos x 1)(cos x + 1) = 0. Exercice Résoudre dans R l équation cos² x cos x = 0. Exercice Résoudre dans ] π; π] l équation sin² x 1 = 0. Exercice 6 Résoudre dans [0 ; π[ l équation sin ( π 6 x) =. Exercice 7 Résoudre dans ] π; π] l équation cos (x + π 7 ) = 1. Exercice 8 On pose cos π = m. 1. Exprimer sin π en fonction de m.. Exprimer le cosinus et le sinus de π et de 6π en fonction de m. 3. Simplifier π π, puis π + π.. En déduire, en fonction de m, le cosinus et le sinus de 3π 7π et de A et B sont les points du cercle trigonométrique associés aux réels π et π Déterminer une équation de la droite (AB), puis les coordonnées du milieu I de [AB].. Que représente la droite perpendiculaire à (AB) passant par I? 3. En déduire les coordonnées des points M du cercle trigonométrique tels que le triangle ABM soit isocèle. Problème III Angles et triangles Soit ABC un triangle quelconque. 1. Démontrer que (AB, AC ) + (BC, BA ) + (CA, CB ) = π + kπ.. Enoncer la propriété ainsi démontrée. Problème IV Angles et parallélogrammes ABCD étant un parallélogramme quelconque, démontrer que (AB, AD ) + (CB, CD ) = kπ Problème V Equations et angles associés En utilisant les formules des angles associées, résoudre dans R les équations : 1. cos x = sin x. sin(x) = cos x 3. cos(3x) = sin x. sin(3x) = sin(x). sin ( π + x) + cos (π x) = 1

6 Problème VI Inéquation trigonométrique On se propose de résoudre dans ] π; π] l inéquation sin x Résoudre dans ] π; π] l équation sin x 1 = 0. Puis placer sur le cercle trigonométrique les points A et B associés aux solutions.. Colorer en rouge l arc du cercle ensemble des points tels que le réel associés x vérifie : sin x En déduire l ensemble des solutions dans l intervalle ] π; π] de l inéquation sin x 1 0. Problème VII Problème de Synthèse 1. Résoudre dans R l équation X X 1 = 0.. On se propose de résoudre dans ] π; π], puis dans R, l équation (E) sin² x sin x 1 = 0 a. On pose X = sin x. Que devient l équation (E)? b. Résoudre dans ] π; π] l équation (E). Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. Quelles sont les solutions dans R de cette équations? 3. On considère l équation (E ) cos² x + ( 1) cos x = 0. a. Résoudre dans R l équation : X + ( 1)X = 0. b. Utiliser la question.a. pour résoudre (E ) dans l intervalle ] π; π]. c. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.. Résoudre dans ] π; π] l équation : sin² x + sin x = 0. Problème VIII Formule d arcs doubles Soit x un nombre réel de l intervalle ]0; π [. On considère les expressions algébriques : A = sin(x) et B = sin x cos x 1. Calculer les expressions A et B lorsque x vaut 0 ; π 3 et π. Que peut-on conjecturer?. Soit ABC le triangle isocèle en A représenté ciaprès. H est le pied de la hauteur issues de A et I est le pied de la hauteur issue de B. Une mesure de l angle BAH est x radians et la longueur AB est notée a. Donner la mesure de l angle géométrique BAC. 3. Montrer que BC = a sin x.. Etablir que BI = BC cos x.. En déduire BI en fonction de a et de x. 6. Montrer enfin que BI = a sin(x), puis conclure. Problème IX Equations trigonométriques 1. Résoudre dans R l équation sin x + cos x = 1.. Soit a et b des réels. Montrer que : a + b sin a + sin b = sin ( ) cos (a b ) 3. En déduire la résolution dans [0; π[ de l équation : sin x + sin x + sin 3x + sin x = 0.

7 Problème X Problème de synthèse ABCDE est un pentagone régulier direct, inscrit dans un cercle de centre O : les points A, B, C, D et E sont situés sur le cercle, dans cet ordre et dans le sens positif. 1. a. Déterminer les mesures en radians des angles ABO et BOD. b. En déduire les mesures principales, en radians, des angles (BO, BA ), (DO, OB) et (DO, AB ).. Démontrer qu une mesure en radians de (DO, EC) est π. 3. a. Déduire des questions précédentes que les vecteurs OA + OB et OC + OE sont colinéaires à OD. b. En déduire que le vecteur OA + OB + OD + OC + OE est colinéaire à OD.. Démontrer de même que les vecteurs OB + OC, OD + OA et OA + OB + OD + OC + OE sont colinéaires à OE.. Déduire des questions précédentes que OA + OB + OD + OC + OE = 0.

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