MINISTÈRE DE LA COMMUNAUTÉ FRANÇAISE ADMINISTRATION GÉNÉRALE DE L ENSEIGNEMENT ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

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1 MINISTÈRE DE LA COMMUNAUTÉ FRANÇAISE ADMINISTRATION GÉNÉRALE DE L ENSEIGNEMENT ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Service général des Affaires pédagogiques, de la Recherche en pédagogie et du Pilotage de l Enseignement organisé par la Communauté française ENSEIGNEMENT SECONDAIRE Enseignement technique de qualification Troisième degré Classe de 7 e qualifiante MATHÉMATIQUES inclus dans les options de base groupées PROGRAMME 332P/2006/249

2 AVERTISSEMENT Le présent programme entre en d application à partir de l année scolaire 2006/2007, en 7 e année secondaire technique qualifiante, dans les options de base groupées comportant un cours de mathématiques. Ce programme figure sur RESTODE, serveur pédagogique de l enseignement organisé par la Communauté française. Adresse : Il peut en outre être imprimé au format PDF.

3 TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES... 2 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES DE LA SEPTIÈME ANNÉE QUALIFIANTE... 3 Objectifs spécifiques... 3 COMPÉTENCES À DÉVELOPPER... 5 I. ANALYSE... 6 II. GÉOMÉTRIE... 8 Exemples de situations d'apprentissages

4 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES DE LA SEPTIÈME ANNÉE QUALIFIANTE DE L'ENSEIGNEMENT TECHNIQUE DE QUALIFICATION Pour atteindre les différents objectifs pédagogiques, ce nouveau programme précise les intitulés des différentes matières à rencontrer, les compétences à développer et donne des orientations méthodologiques pour permettre aux élèves de maîtriser ces compétences. La présentation de ce document en une énumération de points de matières et de compétences est due à un souci de clarté et d'efficacité. Elle ne donne nullement un ordre de matières à respecter et à voir de façon linéaire. Bien au contraire, les différents chapitres s éclairent mutuellement. De nombreuses applications; issues des cours techniques, font appel à des notions mathématiques. Le professeur choisira donc les applications en tenant compte des options des élèves et veillera à trouver, autant que faire se peut, des situations ouvertes. La théorie sera réduite au minimum et le professeur centrera son enseignement sur l acquisition des compétences prévues par le programme. La quantité de matières a été volontairement limitée de manière à permettre au professeur de répondre aux souhaits de ses collègues techniciens et d'éventuellement approfondir certaines matières étudiées précédemment. Objectifs généraux Le cours de mathématiques ne peut se limiter à transmettre des savoirs : il doit privilégier le développement de compétences qui permettront aux jeunes de s'insérer, de s'impliquer et de s'épanouir dans une société en évolution permanente. Pour ce faire, il faut donc : ENSEIGNER DES MATHÉMATIQUES VIVANTES ET CONCRÈTES Des activités, des situations-problèmes, liées à l option choisie par les élèves ou rencontrées dans la vie courante, permettront à ceux-ci de découvrir, et donc de vivre, les mathématiques. Dans l'enseignement de qualification, l'interdisciplinarité permet de rendre les mathématiques plus concrètes, et donc plus motivantes. La coopération avec les professeurs de cours techniques est donc essentielle. FAVORISER UNE RÉELLE ACTIVITÉ DES ÉLÈVES Par une approche claire, simple, concrète et compréhensible par tous, le professeur donnera du sens aux mathématiques. Il veillera à dispenser un enseignement pratique, utile et valorisant. Les élèves seront placés devant des activités variées où curiosité, participation et responsabilité seront favorisées. Confrontés à un problème, ils apprendront à démarrer une recherche, à découvrir une, voire des stratégies, à éviter les pièges, à se corriger, à utiliser les erreurs commises pour arriver à une solution. On habituera l élève à observer, raisonner et justifier. 3

5 ADAPTER L APPRENTISSAGE DES MATHÉMATIQUES A L'ÉVOLUTION TECHNOLOGIQUE DE LA SOCIÉTÉ Il est indispensable d'adapter son enseignement aux nouvelles technologies : l'ordinateur et la calculatrice doivent occuper une place prépondérante dans l enseignement des mathématiques. Leur utilisation comme outil pédagogique permettra d ailleurs au professeur d'apporter un éclairage nouveau sur les mathématiques. L'introduction de l'une ou l'autre matière du programme ou la résolution d'un problème avec l aide de l'ordinateur attirera chez l'élève plus d'attention et pourra susciter chez lui un plus grand intérêt pour le cours de mathématiques. HABITUER LES ÉLÈVES A présenter des travaux soignés ; éviter les fautes d'orthographe ; s'exprimer correctement ; se poser des questions ; contrôler la plausibilité des solutions. Objectifs spécifiques Les notions théoriques sont limitées à l indispensable ; par contre, l accent est mis sur des exemples et des exercices qui permettent aux élèves de découvrir l intérêt et la portée des notions abordées. L'approfondissement relatif des différents chapitres dépendra de la composition et du niveau de la classe, ainsi que des nécessités des cours techniques. Les élèves s'efforceront entre autres de refaire régulièrement à domicile tous les exercices résolus en classe. Les machines à calculer (calculatrices ou micro-ordinateurs) sont un outil indispensable; il est recommandé d'y recourir pour l'exécution de calculs, mais aussi chaque fois que leur utilisation peut favoriser l'approche intuitive d'une notion. 4

6 On développera les compétences suivantes : COMPÉTENCES À DÉVELOPPER 1. Comprendre un message : extraire d un énoncé les données utiles et le but à atteindre ; analyser la structure globale d un texte mathématique et, en particulier, y distinguer l essentiel de l accessoire. 2. Traiter, argumenter, raisonner : traduire une information d un langage dans un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algébrique et réciproquement ; observer, comparer et justifier si possible. 3. Communiquer : utiliser le vocabulaire et le symbolisme nécessaires pour expliquer et justifier ; produire un dessin, un graphique ou un tableau afin d éclairer ou de résumer une situation. 4. Appliquer : étendre une règle, un énoncé ou une propriété; utiliser certains résultats pour traiter des questions issues d autres disciplines (cours techniques et de pratique professionnelle, ). 5

7 I. ANALYSE Dans la mesure du possible, les situations d'apprentissage seront en relation avec les cours techniques. Matières Compétences à atteindre Orientations méthodologiques Limites de fonctions irrationnelles. Lever une indétermination dans le cas d'une fonction irrationnelle. Il s'agit de donner un complément à l'étude des limites vue en cinquième année et qui ne prévoit pas l'étude des fonctions irrationnelles. Les moyens modernes de calcul seront utilisés aussi souvent que possible. Continuité d une fonction en un point. Lien entre «f ( x) est continue en a» et «lim f ( x) = f ( a)». x a Continuité dans un intervalle, continuité à gauche et à droite. Contrôler la plausibilité du résultat d un calcul en utilisant notamment une calculatrice. Ces notions seront interprétées graphiquement et numériquement au moyen de contre-exemples et d exemples. Les démonstrations ne sont pas au programme. On discutera en termes d exemples et de contreexemples de la pertinence des hypothèses. Représentation graphique de quelques fonctions irrationnelles. Utiliser les propriétés des dérivées des fonctions irrationnelles dans des applications diverses. Les fonctions seront choisies dans les applications relatives aux cours techniques. 6

8 Construire le graphique de la fonction réciproque d une fonction de référence, en déterminer le domaine, les racines,... Interpréter correctement les résultats fournis par une calculatrice. Établir les restrictions nécessaires à l existence des fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente. Construire le graphique de la fonction réciproque d une fonction de référence, en déterminer le domaine, les racines,... Interpréter correctement les résultats fournis par une calculatrice. Établir les restrictions nécessaires à l existence des fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente. La confrontation entre le graphique de la relation réciproque d une fonction trigonométrique et l interprétation des résultats fournis par une calculatrice conduit à la nécessité de fixer les domaines de définition pour obtenir des fonctions réciproques. Calculer les dérivées des fonctions cyclométriques. Calculer les dérivées des fonctions cyclométriques. On établira les dérivées de f ( x) = arcsin x; f( x) = arccos x; f( x) = arctg x. Dans le calcul de dérivées on pourra se limiter aux composées des fonctions cyclométriques avec une fonction de référence. 7

9 II. GÉOMÉTRIE Dans la mesure du possible, le professeur utilisera des situations concrètes, notamment en relation avec les cours techniques. Matières Compétences à atteindre Conseils méthodologiques Vecteurs du plan et de l'espace : composantes d un vecteur, somme de vecteurs, produit d un vecteur par un nombre Propriétés. Relation de Chasles. Le produit scalaire dans le plan et dans l espace. Décomposer un vecteur suivant les directions du repère et lui associer un couple ou un triplet de nombres. Calculer un produit scalaire. Caractériser en termes vectoriels différentes configurations géométriques. Interpréter géométriquement des relations vectorielles. Démontrer des propriétés géométriques en utilisant le calcul vectoriel. Le vecteur sera associé d une part à un couple ou un triplet de nombres, d autre part à une translation. Le but est de traiter vectoriellement quelques configurations géométriques. Les propriétés seront justifiées dans un contexte géométrique. On fera référence à l utilisation du produit scalaire en physique par exemple lors du calcul du travail d une force. Coordonnées polaires. Transformer l'équation cartésienne d'une courbe en équation polaire et réciproquement. L'introduction des coordonnées polaires se fera aussi simplement que possible. Quelques exemples de courbes en coordonnées polaires illustreront cette notion. 8

10 Utiliser les lieux de bases et les propriétés connues pour effectuer une construction ou rechercher un lieu dans le plan et dans l'espace. Dans une recherche de lieu discerner ce qui est mobile de ce qui reste fixe. Problèmes de construction. Recherche de quelques lieux géométriques. Par lieux de base, on entend : ensembles de points situés à une distance donnée d'un point, d'une droite. ensembles de points équidistants de deux points, de deux droites. Selon le cas traité, on utilisera des propriétés des figures, des transformations du plan ou éventuellement une traduction analytique des propriétés. La caractérisation d'un ensemble de points exige des conditions nécessaire et suffisante. Dans certains cas, on pourra se limiter à déterminer des conditions nécessaires pour la découverte d'un ensemble qui contient le lieu. Cela sera mentionné dans les conclusions. 9

11 Exemples de situations d'apprentissages 1. Analyse Consignes : Dériver les fonctions : f : x f( x) = 5 x f : x f( x) = x³ 8 f : x f( x) = x² + 5 x² 4 f : x f( x) = Arcsin x Compétences : Savoir calculer une dérivée d'une fonction irrationnelle et d'une fonction cyclométrique. Savoir mis en œuvre : Calcul des dérivées. 2. Analyse Consignes : Étudier la continuité des fonctions suivantes et contrôler la plausibilité du résultat au moyen de la calculatrice : f : x f( x) = x² 5x+ 6 x 5 f : x f( x) = x + 6 Compétences : Utilisation de la calculatrice. Savoir mis en œuvre : La continuité d'une fonction. 3. Analyse Consignes : Représenter graphiquement la fonction suivante : f : x f( x) = x² + 1 et contrôler les résultats obtenus au moyen d'une calculatrice graphique ou d'un logiciel approprié. Compétences :. Savoir mis en œuvre : Domaine de définition d'une fonction, continuité, asymptotes, dérivées.. 4. Analyse Consignes : Déterminer l'équation des fonctions réciproques des fonctions et construire leurs graphiques : f : x f( x) = 5x+ 3 f : x f( x) = x² + 1 x + 2 f : x f( x) = x 1 Compétences : Construction de graphiques. Savoir mis en œuvre : Réciproque d'une fonction. 10

12 5. Géométrie Consignes : On donne les points A(5,3), B( 2, 4), C( 3, 4). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Déterminer les composantes des vecteurs AB, BC, CA, BA, CB, AC, AA. Calculer les longueurs des segments [ AB], [ BC],[ AC ]. Rechercher les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC. Compétences : Utilisation du calcul vectoriel. Savoir mis en œuvre : Propriétés du calcul vectoriel. 6. Géométrie Consignes : On donne les points A(5,3, 6), B( 2, 4, 2), C( 3, 4,5). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Déterminer les composantes des vecteurs AB, BC, CA, BA, CB, AC, AA. Calculer les longueurs des segments [ AB], [ BC],[ AC ]. Rechercher les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC. Compétences : Utilisation du calcul vectoriel. Savoir mis en œuvre : Propriétés du calcul vectoriel. 7. Géométrie Consignes : On donne les points A(5,3), B( 2, 4), C( 3, 4). uuur uuur uuur uuur uuur uuur Calculer les produits AB BC, AC BC, AB AC. Compétences : Calculer un produit scalaire. Savoir mis en œuvre : Définition du produit scalaire. 8. Géométrie Consignes : On donne les points A(5,3, 2), B( 2, 4, 8), C( 3, 4, 4). uuur uuur uuur uuur uuur uuur Calculer les produits AB BC, AC BC, AB AC. Compétences : Calculer un produit scalaire. Savoir mis en œuvre : Définition du produit scalaire. 9. Géométrie Consignes : Rechercher l'équation polaire de la droite d'équation cartésienne y = 5x. Rechercher l'équation polaire d'une hyperbole, d'une parabole ou d'une ellipse. Compétences : Transformer une équation cartésienne en une équation polaire.. Savoir mis en œuvre : Les coordonnes polaires. 10. Géométrie Consignes : Construire la médiatrice d'un segment. Compétences : Construction d'une droite. Savoir mis en œuvre : Propriétés de la médiatrice d'un segment. 11

13 11. Géométrie Consignes : Construire la bissectrice d'un angle.. Compétences : Construction d'une droite. Savoir mis en œuvre : Propriétés de la bissectrice d'un angle. 12. Géométrie 2 ou 3 lieux géométriques. 12