Table des matières TABLE DES MATIÈRES 1

Transcription

1 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Rappels et fondamentaux Théorème de Gauss Structure du champ électrostatique Théorème d'ampère Structure du champ magnétique Electrostatique Loi de Coulomb Distribution de charges Circulation du champ électrique Théorème de Gauss Dipôle Les Conducteurs Les Condensateurs Association de condensateurs Energie électrostatique Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges Equations locales de l'électromagnétisme Electrocinétique Vecteur densité de courant Intensité du courant Conservation de la charge électrique Régime permanent Résistance (Conducteur Ohmiques) Magnétostatique Loi de Biot et Savart cas d'une distribution volumique de courant Propriété du champ magnétique Le champ magnétique est à ux conservatif Théorème D'ampère Le Potentiel Vecteur Equation du potentiel vecteur Expression du potentiel vecteur Travail des forces de laplace, énergie magnétique Théorème de Maxwell Action subie par un dipole magnétique plongé dans un champ magnétique Coecients d'induction Coecient d'induction mutuelle de deux circuits liformes Cas de n circuits Coecient d'auto-induction

2 2 TABLE DES MATIÈRES 4 Magnétique Loi De Lenz Force électromotrice Champ Electromoteur Force électromotrice induite Loi de Faraday Théorème de Maxwell-Faraday Coecients d'induction Flux Du Champ Magnétique B1 créé par C1 à travers C Flux Du Champ Magnétique B2 créé par C2 à travers C Coecient D'Auto-Induction Généralisation à n circuits Énergie Magnétique Loi D'Ohm Généralisée Énergie Magnétique D'Un Circuit Isolé Énergie Magnétique De Deux Circuits Autres expressions pour un seul circuit Opérateurs Diérentiels Équations de Maxwell Ondes Électromagnétiques dans le vide Équations aux champs Structure de l'onde plane Théorème de Poynting

3 1 RAPPELS ET FONDAMENTAUX 3 1 Rappels et fondamentaux 1.1 Théorème de Gauss a) Forme intégrée " Σ g E. ds = Q ε 0 (1.1) b) Forme locale ( E ) = ρ (1.2) ε Structure du champ électrostatique c) Forme intégrée E. dl = 0 (1.3) Γ d) Forme locale E = (V ) (1.4) 1.3 Théorème d'ampère e) Forme intégrée B. dl = µ0.i (1.5) C f) Forme locale ( B ) = µ 0. j (1.6) 1.4 Structure du champ magnétique g) Forme intégrée B. ds = 0 (1.7)

4 4 h) Forme locale (B) = 0 (1.8) 2 Electrostatique 2.1 Loi de Coulomb F 1/2 = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 û12 (2.1) 1 4πε 0 = SI 2.2 Distribution de charges Distribution volumique Distribution surfacique dq = ρ dv Q = ρ dv V (2.2a) (2.2b) Distribution Linéique dq = σ ds Q = σ ds S (2.3a) (2.3b) dq = λ dl ˆ Q = λ dl L (2.4a) (2.4b) 2.3 Circulation du champ électrique dc = E (M). dm (2.5) La circulation de E ne dépend que des points A et B, et ne dépend donc pas du chemin suivi. On pose dc = dv E = (V ) (2.6) V = 1 q + constante 4πε 0 r (2.7) F e = q. E (2.8) = (q V ) (2.9) = U (2.10)

5 2 ELECTROSTATIQUE 5 la force électrostatique dérive d'une énergie potentielle. Flux électrostatique : W AB = U = q.v (2.11) = 1 qq 4πε 0 r ˆ B A (U. ) dm (2.12) (2.13) = U A U B (2.14) où dω est l'angle solide sous lequel on voit la surface ds dφ = E. ds (2.15) dφ = q dω 4πε 0 (2.16) 2.4 Théorème de Gauss 2.5 Dipôle Moment dipolaire (unité C.m) : " Σ g E. ds = V ρ dv ε 0 (2.17) Potentiel du dipole : P = q NP (2.18) Moment des forces : V (M) = p 4πε 0 cos(θ) r 2 (2.19) Résultante des forces : Γ 0 = P E (2.20) R = ( p. ()) E (2.21) Cas où le système n'est pas neutre : i q i 0 En première approximation, le système est équivalent à une charge ponctuelle placée en 0 et de valeur q i i Cas où le système est neutre : q i i = 0 Le système est équivalent à un dipole, de moment dipolaire : P = q i. a i (2.22) i

6 6 2.6 Les Conducteurs 2.6 Les Conducteurs E intérieur = 0 (2.23) D'où : V int = c te (2.24) ρ int = c te (2.25) i) Théorème de Coulomb E = σ ε 0 (2.26) j) Pression électrostatique P = σ2 2ε 0 (2.27) 2.7 Les Condensateurs Les faces en regard ont des charges opposées (inuence totale). La charge Q 1 (charge de l'armature interne) est appelée charge du condensateur. Q 1 = C(V 1 V 2 ) (2.28) Association de condensateurs a) En série 1 C = 1 C C 2 (2.29) b) En parallèle C = C 1 + C 2 (2.30) 2.8 Energie électrostatique Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles a) Pour une charge ponctuelle dans un potentiel V U p = qv (2.31)

7 2 ELECTROSTATIQUE 7 b) Cas de deux charges ponctuelles U p = 1 2 (q 1V 2 + q 2 V 1 ) (2.32) c) Plusieurs charges ponctuelles Avec V i potentiel créé par les utres charges au point où se trouve q i : U p = 1 n 2 ( q i V i ) (2.33) i=1 V i = 1 q j (2.34) 4πε 0 r ij j i Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges a) Répartition volumique de charges U p = 1 ρ(m)v (M) dv (2.35) 2 objet b) Répartition surfacique de charges U p = 1 σ(m)v (M) ds (2.36) 2 surface c) exemple d'application : la sphère chargée On a : V = σ ε 0 R (2.37) d'où U p = Q2 1 4πε 0 2R (2.38) d) Energie potentielle d'intéraction d'un dipôle dans un champ U p = p. E (2.39)

8 8 2.9 Equations locales de l'électromagnétisme 2.9 Equations locales de l'électromagnétisme ( E ) = 0 (2.40) e) Equation de Maxwell-Gauss ( E ) = 0 (2.41) f) Equation de Poisson V + ρ ε 0 = 0 (2.42) 2.10 Electrocinétique Vecteur densité de courant j = nq v (2.43) où ρ m est la densité volumique de charges mobiles donc = ρ m v (2.44) Intensité du courant dq dt = j. ds (2.45) Conservation de la charge électrique I = j. ds (2.46) Σ Régime permanent ( j ) + ρ t = 0 (2.47) v = µ E (2.48) avec µ : mobilité des porteurs de charges. On dénit la conductivité de la manière suivante : σ = n n i q i µ i (2.49) i=0

9 3 MAGNÉTOSTATIQUE Résistance (Conducteur Ohmiques) 3 Magnétostatique V A V B = RI (2.50) R = ρl S (2.51) Force de Lorentz F = q ( E + v B ) (3.1) ˆ F totale = conducteur I dl B (3.2) 3.1 Loi de Biot et Savart B (M) = ˆ circuit µ 0 I dl u (3.3) 4π P M cas d'une distribution volumique de courant B (M) = ˆ conducteur µ 0 j u dv (3.4) 4π P M 2 On appele M = I. S le moment dipolaire magnétique (S orienté suivant la règle du tire bouchon) 3.2 Propriété du champ magnétique Le champ magnétique est à ux conservatif Soit Σ une surface fermée : Σ ( B ) = 0 (3.5) B. ds = V ( B ) dv (3.6) = 0 (3.7) Le ux de B à travers une surface fermée est nul. On dit que B est à ux conservatif Théorème D'ampère ˆ C B. dl = µ0 ˆ C j. ds (3.8)

10 Le Potentiel Vecteur a) Expression locale du théorème d'ampère ( B ) = µ 0 j (3.9) 3.3 Le Potentiel Vecteur Comme ( B ) = 0, alors B est un champ de rotationnel. On écrit B = ( A ) (3.10) A est par dénition le potentiel vecteur A est déni a un gradient près ( A = A + (f). On choisit généralement pour avoir : ( A ) = 0 (3.11) Remarque : C'est ce que l'on appelle la jauge de Coulomb. C'est à dire qu'on choisi la fonction f ( A est déni à un gradient près) pour que la divergence de A soit nulle Equation du potentiel vecteur A + µ 0 j = 0 (3.12) Expression du potentiel vecteur A x = µ 0 j x (P ) 4π P M objet A = µ 0 4π objet j (P ) P M dv (3.13) dv (3.14) 3.4 Travail des forces de laplace, énergie magnétique Théorème de Maxwell W L = I. Φ (3.15) Cela permet de dénir une énergie potentielle d'intéraction magnétique : U I = I.Φ (3.16)

11 3 MAGNÉTOSTATIQUE Action subie par un dipole magnétique plongé dans un champ magnétique U I = M. B (3.17) Le moment des forces : Γ = M B (3.18) 3.5 Coecients d'induction Coecient d'induction mutuelle de deux circuits liformes On note Φ 2 1 = B2. ds1 (3.19) = µ ˆ ˆ 0 4π I dl 1. dl 2 2 (3.20) C 1 C 2 u 12 Le coecient de proportionnalité entre φ 2 1 et I 2 est appelé coecient d'induction mutuelle des circuits (1) et (2). Ainsi : M 21 = M 12 = µ ˆ 0 4π C 1 ˆ C 2 dl 1. dl 2 u 12 (3.21) L'énergie potentielle d'intéraction entre ces deux circuits : U I = 1 2 (M 12I 1 I 2 + M 21 I 2 I 1 ) (3.22) Cas de n circuits U I = 1 2 n i=1 n M ij I i I j (3.23) j=1 j i Coecient d'auto-induction Φ = L.I (3.24) avec par dénition, L le coecient d'auto-induction

12 12 4 Magnétique 4.1 Loi De Lenz Le courant induit a un sens tel que la force de Laplace qui lui est associée s'oppose au mouvement qui a donné naissance au courant induit. 4.2 Force électromotrice Champ Electromoteur E m = ( u + v ) B (4.1) Force électromotrice induite 4.3 Loi de Faraday E = C = dφ B dt Φ B = v B. dl (4.2) S (4.3) B. ds (4.4) e = dφ c dt (4.5) Théorème de Maxwell-Faraday ( E ) = B t B = ( A ) (4.6) (4.7) D'où : E = (V ) A t (4.8) 4.4 Coecients d'induction Flux Du Champ Magnétique B 1 créé par (C 1 ) à travers (C 2 ) M 21 = M 12 : Coecient d'induction Mutuelle Φ 21 = M 21.I 1 (4.9)

13 4 MAGNÉTIQUE Flux Du Champ Magnétique B 2 créé par (C 2 ) à travers (C 1 ) Φ 12 = M 12.I 2 (4.10) Coecient D'Auto-Induction L : Coecient D'Auto-Induction Φ = L.I (4.11) Généralisation à n circuits Le ux total Φ k à travers le circuit k vaut : Φ k = L k.i k + n M kj.i j (4.12) j=1 j k 4.5 Énergie Magnétique Loi D'Ohm Généralisée Énergie Magnétique D'Un Circuit Isolé Énergie Potentielle Magnétique : e = L. di dt + R.I (4.13) W M = 1 2.L.I 2 (4.14) = 1.Φ.I (4.15) Énergie Magnétique De Deux Circuits Énergie Potentielle Magnétique : W M = 1 2.L 1.I L 2.I M.I 1.I 2 (4.16) = 1 2 (Φ 1.I 1 + Φ 2.I 2 ) (4.17) Autres expressions pour un seul circuit W M = 1 j. A. dt (4.18) 2 = 1 B 2 dt (4.19) 2µ 0

14 Opérateurs Diérentiels 4.6 Opérateurs Diérentiels rot( (f)) = 0 (4.20) ( ( A )) = 0 (4.21) ( ( A )) = ( ( A )) A (4.22) 4.7 Équations de Maxwell a) Relation De Continuité b) Structure du Champ Électromagnétique ( j ) + ρ t = 0 (4.23) Théorème de Maxwell-Faraday ( B ) = 0 (4.24) ( E ) = B t (4.25) c) Relation entre les Sources et les Champs Théorème de Maxwell-Gauss ( E ) = ρ (4.26) ε 0 Théorème de Maxwell-Ampère ( B ) = µ 0. j + µ 0.ε 0. E t (4.27) 4.8 Ondes Électromagnétiques dans le vide Équations aux champs E µ 0 ε 0 2 E t 2 j = µ 0 t + 1 (ρ) (4.28) ε 0 B µ 0 ε 0 2 B t 2 = µ 0 ( j ) (4.29)

15 4 MAGNÉTIQUE Structure de l'onde plane a) Relation de dispersion 1 B = n E (4.30) c Pour une onde plane dans le vide k = ω c (4.31) b) Vitesse de Phase v ϕ = ω k (4.32) c) Vitesse de groupe Vitesse de propagation de l'énergie transportée par l'onde : v g = dω dk (4.33) d) Relation des vitesses v g v ϕ = c 2 (4.34) Théorème de Poynting ( P ) + u t = j. E (4.35) vecteur de Poynting P = E B µ 0 (4.36) densité d'énergie électromagnétique u = ε 0E B2 2µ 0 (4.37)