SUITES AFFINES - EXERCICES CORRIGES. ), définie à partir de la suite ( u. 1. On pose vn

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1 Exercice SUITES AFFINES - EXERCICES CORRIGES Das chaqe cas, motrer qe la site ( v, défiie à partir de la site ( v pis de e foctio de = = Exercice = et v = = 4 O cosidère e site ( défiie sr N par : a Motrer qe la site b Exprimer v pis e foctio de c E dédire lim v et lim, est géométriqe E dédire l expressio de = et v = = et v = 6 O pose v = = v est e site géométriqe dot o détermiera la raiso et le premier terme v = d Por tot N, o pose S = v v v et Σ = Doer e expressio de S et de e foctio de O costate qe, por tot apparteat à N, v est strictemet positif et o pose w l ( v w est e site arithmétiqe dot o détermiera la raiso et le premier terme a Exprimer w e foctio de b Por qelle valer de a-t-o : l ( 7 l ( 9 w =? Σ = Démotrer qe Exercice A er javier 4, j'ai e somme de sr mo compte réméré e itérêts composés à % par a O ote = Les itérêts sot versés chaqe aée le décembre Je décide q'à partir de je retirerai chaqe aée le er javier J'appelle le solde a er javier de l'aée (4 après mo retrait de a Calcler les soldes et de ce compte b La site de terme gééral est-elle arithmétiqe? Est-elle géométriqe? c Motrer qe por tot etier atrel, =, a O pose, por tot etier atrel, v = Calcler v b Motrer qe por tot, v =,v c Exprimer le terme gééral v de la site ( v e foctio de a E dédire l'expressio de e foctio de b Calcler e arrodissat à, près c A partir d er javier de qelle aée mo compte ara-t-il solde égatif por la première fois? Exercice 4 PARTIE A : La site ( défiie sr N par la doée de so premier terme = 8 et la relatio =,6 4 Calcler et v sr N e posat por tot etier atrel, v = O défiit e atre site v a Calcler les trois premiers termes de cette site b Motrer qe cette site v est géométriqe de raiso,6 et e dédire l'expressio de v e foctio =,6 Dédire des résltats précédets qe 4 Qelle est la limite de la site (? Page /

2 PARTIE B : Le présidet d'e associatio cltrelle costate qe chaqe aée l'associatio garde 6 % de ses acies adhérets et qe 4 persoes ovelles adhèret O sppose qe ces doées chiffrées restet les mêmes a fil des as A la créatio de cette associatio, e javier, il y avait 8 adhérets a Calcler le ombre d adhérets e javier b Qel sera le ombre d'adhérets e javier? E qelle aée, verra-t-o por la première fois l'effectif de l'associatio dépasser 99? Exercice U clb de sport propose la formle d aboemet sivate : Ue cotisatio aelle iitiale de eros qi agmete de % par a Cepedat, dès la secode aée, por fidéliser la clietèle, o effecte e rédctio de eros sr le motat de la cotisatio aelle Aisi, si C est le motat, exprimé e eros, de la cotisatio aelle la ième aée, o a C = et, por tot etier spérier o égal à, o a C =,C D la site défiie por tot etier spérier o égal à par D = C Soit a Motrer qe la site ( D est e site géométriqe de raiso, et préciser so terme iitial D b Exprimer D pis C e foctio de c Soit S la somme versée a clb par membre pedat aées avec cette formle Motrer qe S =, Page /

3 Exercice SUITES AFFINES - CORRECTION v = = = 6 = = v Por tot N, est doc géométriqe de raiso Aisi, por tot etier N, v = v q = 8 ( Comme por tot N, q = et de premier terme v = = = 8 v =, o ara v = = 8 Por tot N, v = = = = = v 4 4 est doc géométriqe de raiso q = et de premier terme v = = = Aisi, por tot etier N, v = v q = = Comme por tot N, v =, o ara = v = Por tot N, v = = = = = v est doc géométriqe de raiso q = et de premier terme v = = = Aisi, por tot etier N, v = v q = Comme por tot N, v Exercice =, o ara = v = = v = = = = = v a Por tot N, ( est doc géométriqe de raiso b Aisi, por tot etier N, v = v q = = Comme por tot N, v =, o ara c Pisqe < <, q = et de premier terme v = = 6 = = v = lim = c est-à-dire lim v = Grâce à l égalité = v, o dédit lim = d Por tot N, si o ote S = v v v, alors Pisqe por tot N, = v, o a doc : S 9 = v = = Page /

4 Σ = = v v v = v v v ( = S fois 9 = ( w = l v = l v = l l v = w l Por tot N, La site ( w est doc e site arithmétiqe de raiso r = l = l ( w a Aisi, por tot N, w = w r = l ( l = l ( l ( = ( l ( b Por qelle valer de a-t-o : = l 7 l 9 l = l l w ( l ( 9 l ( l ( ( l ( l (? ( = = = = et de premier terme = l ( v = l ( Exercice a Si o ote = alors est agmetée de % e fi d aée, doc deviet égal à, Pis a er javier o retire Aisi =, = 9 De même =, = 88, 4 b La site est pas arithmétiqe car Elle est pas o pls géométriqe car 8,6 8,94478,9 c Si o ote le solde a er javier de l'aée (4 après le retrait de, cette somme est agmetée e fi d aée de %, ce qi se tradit par e mltiplicatio par, De pls, cette somme est dimiée de a er javier de l'aée (4 Aisi le solde a er javier de l'aée (4 vat =, a v = = = 4 v = =, =, =, =, v b Por tot etier N ; c Aisi por tot N, v = v q = 4, a Pisqe por tot N, v = 4, = 4, c Résolvos b Aisi 4, 4 4 (, l l (, ( l 4, 6 l, =, o a = v = 4, Comme N, C st doc à partir de la ème aée qe le solde d compte sera égatif Page 4/

5 Exercice 4 PARTIE A : =, 6 4 =, = 88 et =, 6 4 =, = 98 a v = = 8 =, v = = 88 = et v = = 98 = 7 b Por tot etier N, v = =, 6 4 = 6,6 =,6 =,6v La site v est doc géométriqe de raiso,6 Aisi, por tot N, v = v,6 =,6 Pisqe v =, alors = v =,6 4 Pisqe <,6 <, lim, 6 = doc lim, 6 = et aisi lim = PARTIE B : la site désigat le ombre d adhérets e, o a = 8 Si o ote a Le ombre d adhérets e javier sera égal à =, 6 4 =, = 88 adhérets b Le ombre d'adhérets e javier sera égal à =, 6 4 =, = 98 adhérets D après les doées de l éocé, o a =,6 4 O retombe sr la site étdiée das la partie A, où o a motré qe por tot N,,6 = O résot 99, 6 99, 6,6 l l,6 ( l,86 l,6 Comme N, 6 C st doc à partir de la 6 ème aée qe le ombre d adhérets dépassera 99 Exercice a Por tot La site b Por tot * N, D = C =,C =,C =,( C =,D D est e site géométriqe de raiso, et de premier terme D = C = = * N, Pisqe D C c O calcle S = C C C D = D =,, = o a C = D =, = (, = D D D = D D D termes,, = D =,,, = =,, Page /

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