Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques

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1 Recueil d annales en Mathématiques Terminale S - Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : septembre 2005

2 Tableau récapitulatif des exercices indique que cette notion a été abordée dans l exercice SR : suites récurrentes; SAr : suites arithmétiques; SG : suites géométriques; SAd : suites adjacentes N Lieu Année QCM SR SAr SG SAd f(x) = x Fcts Intégr Proba Amérique du Nord Juin Asie Juin France Juin La Réunion Juin Inde Avril Nouvelle-Calédonie Mars Amérique du Sud Nov Nouvelle-Calédonie Nov Antilles-Guyane Juin Centres étrangers Juin 2004 France Juin La Réunion Juin Liban Juin Inde Avril Nouvelle-Calédonie Nov Centres étrangers Juin Liban Juin Inde Avril Nouvelle-Calédonie Mars Antilles-Guyane Sept Asie Juin Centres étrangers Juin Amérique du Sud Nov 200 Frédéric Demoulin Page

3 Exercice Amérique du Nord, Juin 2005 (6 points) Le graphique fourni en fin d énoncé sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par f(x) = 2x + x + Étudier les variations de f sur l intervalle [0; 2] Montrer que si x [; 2] alors f(x) [; 2] 2 (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = f(u n ) v 0 = 2 et pour tout entier naturel n, v n+ = f(v n ) (a) Le graphique donné ci-dessous représente la fonction f sur l intervalle [0; 2] Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u n ) et (v n ) en laissant apparents tous les traits de construction À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u n ) et (v n )? (b) Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, v n 2 Pour tout entier naturel n, v n+ v n On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, u n 2 Pour tout entier naturel n, u n u n+ v n u n (c) Montrer que pour tout entier naturel n, v n+ u n+ = (v n + ) (u n + ) En déduire que pour tout entier naturel n, v n u n 0 et v n+ u n+ 4 (v n u n ) ( ) n (d) Montrer que pour tout entier naturel n, v n u n 4 (e) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel α Déterminer la valeur exacte de α,5,0 0, ,5,0,5 2,0 Frédéric Demoulin Page 2

4 Exercice 2 Asie, Juin 2005 (7 points) On s intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2 On définit, pour tout entier naturel n, l intégrale : I n = 2 0 n! (2 x)n e x dx Calculer I 2 Établir que pour tout entier naturel n, 0 I n 2n ( e 2 ) n! 3 À l aide d une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n, I n+ = I n 2 n+ (n + )! 4 Démontrer par récurrence que e 2 = + 2! On pose, pour tout entier naturel n, u n = 2n n! 2! + + 2n n! + I n (a) Calculer u n+ u n et prouver que pour tout entier naturel n 3, u n+ 2 u n (b) En déduire que pour tout entier naturel n 3, 0 u n u 3 ( 2) n 3 6 En déduire la limite de la suite (u n ) puis celle de la suite (I n ) 7 Justifier enfin que : ( e 2 = lim + 2 ) n +! ! + + 2n n! Exercice 3 France, Juin 2005 (4 points) Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : () deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : l une est croissante, l autre est décroissante et u n v n tend vers 0 quand n tend vers + ; (2) si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a u n v n ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente; toute suite décroissante et minorée est convergente Démontrer alors la proposition suivante : «Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite» Frédéric Demoulin Page 3

5 Partie B On considère une suite (u n ), définie sur N dont aucun terme n est nul On définit alors la suite (v n ) sur N par v n = 2 u n Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point Si (u n ) est convergente, alors (v n ) est convergente 2 Si (u n ) est minorée par 2, alors (v n ) est minorée par 3 Si (u n ) est décroissante, alors (v n ) est croissante 4 Si (u n ) est divergente, alors (v n ) converge vers zéro Exercice 4 La Réunion, Juin 2005 (4 points) Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies Aucune justification n est demandée Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point Donner trois propositions ou plus à une question, ou bien n en donner aucune, ne rapporte aucun point Si, par application de ce barème, le total des points de l exercice est négatif, il est ramené à zéro Les suites suivantes sont convergentes : ( ) ( 2 n 2n + ( ) n ) ( n (a) n 2005 (b) (c) nsin ) ( ) n (d) n + n lnn n>0 n N n>0 n> 2 On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : u n v n w n, lim (u n) = et lim (w n) = n + n + Alors : (a) lim (v n) = 0 n + (b) La suite (v n ) est minorée (c) Pour tout n de N, on a : v n (d) On ne sait pas dire si la suite (v n ) a une limite ou non { u0 =,5 3 Une suite (u n ) est définie sur N par u n+ = 2u n pour tout entier naturel n (a) La suite (u n ) converge vers, abscisse du point d intersection des droites d équations y = x et y = 2x (b) La suite (v n ), définie sur N par v n = u n, est géométrique (c) La suite (v n ) est majorée (d) La suite (w n ), définie sur N par w n = ln (u n ), est arithmétique 4 Deux suites (x n ) et (y n ) sont définies pour n > 0 par les relations : x n = n + n n et y n = n + + n n Alors : (a) Les suites (x n ) et (y n ) sont toutes les deux croissantes (b) x 3 = 9 20 et y 3 = (c) Les suites (x n ) et (y n ) ne sont pas majorées Frédéric Demoulin Page 4

6 (d) Les suites (x n ) et (y n ) sont adjacentes Exercice 5 Inde, Avril 2005 Pour tout entier naturel n, on pose u n = n0 2 n On définit ainsi une suite (u n) n N Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l équivalence suivante : u n+ 0,95u n si et seulement si 2 On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par (a) f(x) = ( + x) 0 Étudier le sens de variation et la limite en + de la fonction f ( + n) 0,9 (b) Montrer qu il existe dans l intervalle [; + [ un unique nombre réel α tel que f(α) =,9 (c) Déterminer l entier naturel n 0 tel que n 0 α n 0 (d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6, on a : ( + n) 0,9 3 (a) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) à partir du rang 6 (b) Que peut-on en déduire pour la suite? 4 En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6, l encadrement : En déduire la limite de la suite (u n ) n N 0 u n 0,95 n 6 u 6 Exercice 6 Nouvelle-Calédonie, Mars 2005 Partie A Étant donnés deux points distincts A 0 et B 0 d une droite, on définit les points : A milieu du segment [A 0 B 0 ] et B barycentre de {(A 0 ; ), (B 0 ; 2)} Placer les points A, B, A 2 et B 2 pour A 0 B 0 = 2 cm Quelle conjecture peut-on faire sur les points A n et B n lorsque n devient très grand? 2 On munit la droite (A 0 B 0 ) du repère (A 0 ; ı ) avec ı = A 0 B 0 Soit u n et v n les abscisses respectives 2 des points A n et B n Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a : u n+ = u n + v n 2 et v n+ = u n + 2v n 3 Frédéric Demoulin Page 5

7 Partie B On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 = 0, v 0 = 2, u n+ = u n + v n et v n+ = u n + 2v n 2 3 Démontrer que la suite (w n ) définie par w n = v n u n est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs 2 Montrer que la suite (u n ) est croissante puis que la suite (v n ) est décroissante 3 Déduire des deux questions précédentes que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et ont la même limite 4 On considère la suite (t n ) définie par t n = 2u n + 3v n Montrer qu elle est constante Partie C À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la limite des points A n et B n lorsque n tend vers + Exercice 7 Amérique du Sud, Novembre 2004 Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par : f(x) = xe x On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; ı, j ) (unité graphique : 0 cm) (a) Déterminer la limite de f en + (b) Partie A Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations (c) Construire Γ dans le repère (O ; ı, j ) ] [ 2 (a) Montrer que, pour tout réel m de 0 ;, l équation f(x) = m admet deux solutions e (b) Dans le cas où m =, on nomme α et β les solutions (avec α < β) 4 Déterminer un encadrement d amplitude 0 2 de α (c) Résoudre l équation f(x) = m dans le cas où m = 0 et m = e Partie B On considère la suite (u n ) définie sur N par : { u 0 u n+ = α = u n e un, pour tout entier naturel n où α est le réel défini à la question A2(b) (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n > 0 (b) Montrer que la suite (u n ) est décroissante (c) La suite (u n ) est-elle convergente? Si oui, déterminer sa limite Frédéric Demoulin Page 6

8 2 On considère la suite (w n ) définie sur N par w n = lnu n (a) Montrer que, pour tout n entier naturel, on a u n = w n w n+ (b) On pose S n = u 0 + u + + u n Montrer que S n = w 0 w n+ (c) En déduire lim n + S n 3 On considère la suite (v n ) définie sur N par son premier terme v 0 (v 0 > 0) et, pour tout entier naturel n, v n+ = v n e vn Existe-t-il une valeur de v 0 différente de α telle que, pour tout n, on ait u n = v n? Si oui, préciser laquelle Exercice 8 Nouvelle-Calédonie, Novembre 2004 On considère les deux suites (u n ) et (v n ) définies, pour tout entier naturel n, par : u 0 = 3 v 0 = 4 Calculer u, v, u 2 et v 2 u n+ = u n + v n 2 et v n+ = u n+ + v n 2 2 Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = v n u n (a) Montrer que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison 4 (b) Exprimer w n en fonction de n et préciser la limite de la suite (w n ) 3 Après avoir étudié le sens de variation des suites (u n ) et (v n ), démontrer que ces deux suites sont adjacentes Que peut-on en déduire? 4 On considère à présent la suite (t n ) définie, pour tout entier naturel n, par t n = u n + 2v n 3 (a) Démontrer que la suite (t n ) est constante (b) En déduire la limite des suites (u n ) et (v n ) Exercice 9 Antilles-Guyane, Juin 2004 a n+ = On définit les suites (a n ) et (b n ) par a 0 =, b 0 = 7 et 3 (2a n + b n ) b n+ = 3 (a n + 2b n ) Soit D une droite munie d un repère (O ; ı ) Pour tout n N, on considère les points A n et B n d abscisses respectives a n et b n Placer les points A 0, B 0, A, B, A 2 et B 2 2 Soit (u n ) la suite définie par u n = b n a n pour tout n N Démontrer que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme Exprimer u n en fonction de n 3 Comparer a n et b n Étudier le sens de variation des suites (a n) et (b n ) Interpréter géométriquement ces résultats 4 Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes Frédéric Demoulin Page 7

9 5 Soit (v n ) la suite définie par v n = a n +b n pour tout n N Démontrer que (v n ) est une suite constante En déduire que les segments [A n B n ] ont tous le même milieu I 6 Justifier que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes et calculer leur limite Interpréter géométriquement ce résultat Exercice 0 Centres étrangers, Juin 2004 Un employé se rend à son travail S il est à l heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l entreprise, s il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte,5ac Si l employé est à l heure un jour donné, la probabilité qu il soit en retard le lendemain est, s il est en 5 retard un jour donné la probabilité qu il soit en retard le lendemain est 20 Pour tout entier naturel non nul n, on appelle R n l événement «l employé est en retard le jour n» On note p n, la probabilité de R n et q n, celle de R n On suppose que p = 0 Détermination d une relation de récurrence (a) Déterminer les probabilités conditionnelles p Rn (R n+ ) et p Rn (R n+ ) (b) Déterminer p(r n+ R n ) en fonction de p n et p ( R n+ R n ) en fonction de qn (c) Exprimer p n+ en fonction de p n et de q n (d) En déduire que p n+ = p n 2 Étude de la suite (p n ) Pour tout entier naturel non nul n, on pose v n = p n 4 23 (a) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 3 20 (b) Exprimer v n puis p n en fonction de n (c) Justifier que la suite (p n ) est convergente et calculer sa limite Exercice France, Juin 2004 On considère la suite (u n ) définie par : { u 0 = u n+ = u n + 2n + 3 pour tout entier natureln Étudier la monotonie de la suite (u n ) 2 (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n > n 2 (b) Quelle est la limite de la suite (u n )? 3 Conjecturer une expression de u n, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée Exercice 2 La Réunion, Juin 2004 On considère la fonction f définie sur l intervalle [0; + [ par : Son tableau de variation est le suivant : f(x) = x 2 e x2 Frédéric Demoulin Page 8

10 x 0 + f(x) 0 Sa courbe représentative C et son asymptote, d équation y =, sont tracées ci-dessous y C x Partie A - Lecture graphique k est un nombre réel donné En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l intervalle [0; + [ de l équation f(x) = k 2 n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l équation f(x) = n admet deux solutions distinctes Partie B - Définition et étude de deux suites Soit n un entier supérieur ou égal à 2 Montrer que l équation f(x) = n admet deux solutions u n et v n, respectivement comprises dans les intervalles [0; ] et [; + [ 2 Sur le graphique, construire sur l axe des abscisses les réels u n et v n, pour n appartenant à l ensemble {2 ; 3 ;4} 3 Déterminer le sens de variation des suites (u n ) et (v n ) 4 Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite Procéder de même pour la suite (v n ) En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes Frédéric Demoulin Page 9

11 Exercice 3 Liban, Juin 2004 Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x (a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, k n kk n! k! (b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : (c) Montrer que : x n n! ( ) n x kk k k! x n lim n + n! = 0 2 (a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : n n (on pourra écrire nn comme un produit de n facteurs supérieurs ou égaux à ) n! (b) En déduire que : n! n n lim n + n! = + Exercice 4 Inde, Avril 2004 u 0 = 0 Soit u la suite définie par u n+ = pour tout entier naturel n 2 u n (a) Calculer u, u 2 et u 3 On exprimera chacun de ces termes sous forme d une fraction irréductible (b) Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N par w n = n n + (c) À l aide d un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, u n = w n ( ) n 2 Soit v la suite de terme général v n défini par v n = ln où ln désigne la fonction logarithme n + népérien (a) Montrer que v + v 2 + v 3 = ln 4 (b) Soit S n la somme définie pour tout entier naturel non nul n par : S n = v + v v n Exprimer S n en fonction de n Déterminer la limite de S n lorsque n tend vers + Frédéric Demoulin Page 0

12 Exercice 5 Nouvelle-Calédonie, Novembre 2003 On observe sur une longue période le nombre d accidents de scooters à un carrefour Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire S n qui totalise le nombre d accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale; on estime que l espérance mathématique de S n notée E(S n ) est égale à 0 Soit p la probabilité pour un scooter d être accidenté à ce carrefour pendant l année considérée ( ) ( ) k ( n 0 Calculer p, puis justifier l égalité P (S n = k) = 0 ) n k, où k est un entier naturel k n n tel que 0 k n 2 (a) Établir l égalité : ln [P(S n = 0)] = 0 ln ( 0 n où ln désigne la fonction logarithme népérien; en déduire que lim n + P (S n = 0) = e 0 (b) Démontrer que : 0 n P (S n = k + ) = P (S n = k) n k n 0 0 k +, où k est un entier naturel tel que 0 k n (c) Démontrer que si lim P (S 0 0k n = k) = e pour 0 k n, alors on a également : n + k! ), lim P (S 0 0k+ n = k + ) = e n + (k + )! pour 0 k + n (d) Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l entier naturel k que : lim P (S 0 0k n = k) = e n + k! où k est un entier naturel tel que 0 k n 0 0k 3 On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l on puisse admettre que e est k! une approximation acceptable de P (S n = k) Utiliser cette approximation pour calculer à 0 4 près la probabilité pour qu au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour Exercice 6 Centres étrangers, Juin 2003 On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (u n ) de nombres réels strictement positifs par u n = n2 2 n Pour tout entier naturel n > 0, on pose v n = u n+ u n (a) Montrer que lim n + v n = 2 Frédéric Demoulin Page

13 (b) Montrer que pour tout entier naturel n > 0, v n > 2 (c) Trouver le plus petit entier N tel que si n N, v n < 3 4 (d) En déduire que si n N, alors u n+ < 3 4 u n On pose pour tout entier naturel n 5, S n = u 5 + u u n 2 On se propose de montrer que la suite (S n ) n 5 est convergente (a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 5 : u n (b) Montrer que pour tout entier naturel n 5 : ( ) n 5 3 u 5 4 S n + 3 ( ) (c) En déduire que pour tout entier naturel n 5, S n 4u 5 ( ) n 5 3 u Montrer que la suite (S n ) n 5 est croissante et en déduire qu elle converge Exercice 7 Liban, Juin 2003 Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 On répète n fois l épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l urne; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d être tirées et que les tirages sont indépendants On note p n la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n premiers tirages et une boule blanche lors du n e tirage Calculer les probabilités p 2, p 3 et p 4 2 On considère les événements suivants : B n : «On tire une boule blanche lors du n e tirage»; U n : «On tire une boule blanche et une seule lors des n premiers tirages» (a) Calculer la probabilité de l événement B n (b) Exprimer la probabilité de l événement U n en fonction de n (c) En déduire l expression de p n en fonction de n et vérifier l égalité : 3 On pose : S n = p 2 + p p n p n = n 4 ( ) n 2 3 (a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : (b) Déterminer la limite de la suite (S n ) S n = ( ) n 2 + ( ) n 2 3 Frédéric Demoulin Page 2

14 Exercice 8 Inde, Avril 2003 On considère la suite numérique (u n ) définie sur N par : où a est un réel donné tel que 0 < a < On suppose dans cette question que a = 8 (a) Calculer u et u 2 u 0 = a, et, pour tout entiern, u n+ = u n (2 u n ) (b) Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l intervalle [0; 2], la droite D d équation y = x et la courbe P représentative de la fonction f : x x(2 x) (c) Utiliser D et P pour construire sur l axe des abscisses les points A, A 2, A 3 d abscisses respectives u, u 2 et u 3 2 On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l intervalle ]0; [ (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < u n < (b) Montrer que la suite (u n ) est croissante (c) Que peut-on en déduire? 3 On suppose à nouveau dans cette question que a = 8 On considère la suite numérique (v n) définie sur N par : v n = u n (a) Exprimer, pour tout entier n, v n+ en fonction de v n (b) En déduire l expression de v n en fonction de n (c) Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (u n ) Exercice 9 Nouvelle-Calédonie, Mars 2003 Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services On note, pour n entier naturel non nul, I n l événement «la société intervient durant le n e mois qui suit l installation d un photocopieur» et p n = p(i n ) la probabilité de l événement I n Le bureau d études a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée : p(i ) = p = 0,75 ; sachant qu il y a eu une intervention durant le n e mois qui suit l installation d un photocopieur, la probabilité d intervention le mois suivant est égale 0,04 ; sachant qu il n y a pas eu d intervention durant le n e mois qui suit l installation d un photocopieur, la probabilité d intervention le mois suivant est égale à 0,64 On rappelle que A est l événement contraire de l événement A et que p B (A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé Partie Préciser p In (I n+ ) et p In (I n+ ) puis calculer p(i n+ I n ) et p ( ) I n+ I n en fonction de pn (n N ) 2 En déduire p n+ = 0,6p n + 0,64 3 On considère la suite (q n ) définie sur N par : q n = p n 0,4 (a) Démontrer que (q n ) est une suite géométrique (b) En déduire q n puis p n en fonction de n Frédéric Demoulin Page 3

15 (c) Donner une valeur approchée de p 6 à 0 3 près par excès Partie 2 Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 0 entreprises Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau On estime que la probabilité d intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373 Donner, à 0 3 près par excès, la probabilité qu il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des événements indépendants) Exercice 20 Antilles-Guyane, Septembre 2002 Soit la suite (u n ) définie par u = 2 et par la relation de récurrence : u n+ = 6 u n + 3 (a) Soit la suite (v n ) définie pour n par v n = u n 2 5 ; montrer que (v n) est une suite géométrique dont on précisera la raison (b) En déduire l expression de v n en fonction de n, puis celle de u n 2 On considère deux dés, notés A et B Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé Puis on relance le dé et ainsi de suite On désigne par : A n l événement «on utilise le dé A au n e lancer»; A n l événement contraire de A n ; R n l événement «on obtient rouge au n e lancer»; R n l événement contraire de R n ; a n et r n les probabilités respectives de A n et R n (a) Déterminer a (b) Déterminer r Pour cela, on pourra s aider d un arbre (c) En remarquant que, pour tout n, R n = (R n A n ) ( R n A n ), montrer que : r n = 6 a n (d) Montrer que, pour tout n, A n+ = (A n R n ) ( ) A n R n (e) En déduire que, pour tout n, a n+ = 6 a n+ 3, puis déterminer l expression de a n en fonction de n (f) En déduire l expression de r n en fonction de n puis la limite de r n quand n tend vers + Frédéric Demoulin Page 4

16 Exercice 2 Asie, Juin 2002 Amélie est en vacances dans une très grande métropole Elle doit traverser cette ville en suivant l avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores Pour tout entier naturel n, on note E n l événement «Amélie est arrêtée par le n e feu rouge ou orange» et E n l événement contraire Le feu orange est considéré comme un feu rouge Soit p n la probabilité de E n et q n celle de E n La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 8 On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : la probabilité que le (n + ) e feu tricolore soit rouge ou orange, si le n e feu est rouge ou orange, vaut 20 la probabilité que le (n + ) e feu tricolore soit rouge ou orange, si le n e feu est vert, est égale à 9 20 On s intéresse, tout d abord, aux deux premiers feux tricolores (a) Recopier et compléter l arbre pondéré ci-dessous vert 9 20 rouge ou orange 8 rouge ou orange 20 er feu 2 e feu (b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux premiers feux tricolores Déterminer la loi de probabilité de X (c) Calculer l espérance mathématique de X 2 On se place maintenant dans le cas général (a) Donner les probabilités conditionnelles p En (E n+ ) et p En (E n+ ) (b) En remarquant que E n+ = (E n+ E n ) (E n+ E n ), montrer que, pour tout n : p n+ = 20 p n q n (c) En déduire l expression de p n+ en fonction de p n 3 Soit la suite (u n ) de nombres réels définie pour tout entier naturel n par u n = 28p n 9 (a) Montrer que (u n ) est une suite géométrique et déterminer sa raison k (b) Exprimer u n, puis p n en fonction de n Frédéric Demoulin Page 5

17 (c) Déterminer la limite, si elle existe, de p n, quand n tend vers + Donner une interprétation de ce résultat Exercice 22 Centres étrangers, Juin 2002 On définit deux suites u et v par u 0 =, v 0 = 2 et pour tout entier naturel n : u n+ = 3 (u n + 2v n ) v n+ = 4 (u n + 3v n ) On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par w n = v n u n (a) Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison (b) Déterminer la limite de la suite w 2 (a) Montrer que la suite u est croissante (b) Montrer que la suite v est décroissante (c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u 0 u n v n v 0 3 Montrer que les suites u et v convergent et ont la même limite que l on appellera l 4 On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par t n = 3u n + 8v n (a) Montrer que t est une suite constante Déterminer cette constante (b) Déterminer alors la valeur de l Exercice 23 Amérique du Sud, Novembre 200 Soit (u n ) la suite numérique définie sur N par : { u 0 = 0 u n+ = 3u n + 4 (a) Montrer que (u n ) est majorée par 4 (b) Montrer que (u n ) est strictement croissante (c) En déduire que (u n ) converge et déterminer sa limite 2 (a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : (b) Retrouver le résultat du (c) 4 u n+ 2 (4 u n) (c) Étudier la convergence de la suite (v n) définie sur N par : v n = n 2 (4 u n ) Frédéric Demoulin Page 6

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