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1 Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (u n ) de nombres réels strictement positifs par : u n = n 3 n ) Pour tout entier naturel n > 0, on pose w n = u n+ u n a) Pour tout n > 0 entier naturel, on a : w n = u n+ u n = (n+) 3 ( n+) (n) 3 n Indice : Simplifier l expression précédente et utiliser alors les opérations sur les limites Donc lim n + w n = 3 b) Indice : minorer à la main le terme général obtenu à la question précédente après simplification Donc, pour tout entier naturel n > 0, w n > 3 c) Indice : revenir à la définition de la limite et choisir ici le bon ǫ Donc, pour tout tout réel λ > 3, il existe un rang N λ tel que, pour tout n > N λ, on ait : w n < λ d) Indice : revenir à l expression simplifiée de w n obtenue à la première question et résoudre avec cette expression w n < Conclusion : Posons N = 5 Si n N, w n < e) Indice : utiliser la question précédente et remplacer w n par son expression en fonction de u n Donc si n N, alors u n+ < u n ) Convergence de la suite (u n ) a) Indice : l hérédité s obtient en partant de l inégalité u n+ < u n puis en y majorant u n à l aide de l hypothèse de récurrence Donc, pour tout entier naturel n 5 : u n ( ) n 5 u 5 b) Indice : utiliser la question précédente et le théorème des gendarmes Donc la suite (u n ) converge et sa limite est 0 3) On pose pour tout entier naturel n, S n = u + u + + u n On se propose de montrer que la suite (S n ) n N est convergente

2 a) On pose pour tout entier naturel n 5, S n = u 5 + u u n Indice : on peut raisonner par récurrence ou bien à l aide du symbole et de la question précédente ou bien en faisant une somme terme à terme de l inégalité obtenue à la question précédente en l écrivant du rang k = 5 au rang k = n Conclusion : pour tout entier naturel n 5 : [ S n + ( ( ) ] n 5 ) u 5 b) Indice : dans l inégalité obtenue à la question précédente, calculer la somme dans le crochet à l aide de la formule de la somme des termes d une suite géométrique On en déduit une majoration de S n Donc, pour tout entier naturel n 5, S n u 5 et la suite (S n ) n N est majorée par u + u + u 3 + u 4 + u 5 c) Pour tout n > 0, on a : S n+ S n = u n+ > 0, car la suite (u n ) est à termes positifs (dit dans l énoncé) Donc la suite (S n ) n N est croissante d) On a vu à la question 3b que (S n ) n N est majorée par u + u + u 3 + u 4 + u 5, de plus, vu la question précédente (S n ) n N est majorée Comme toute suite croissante et majorée converge, on en déduit que (S n ) n N converge Exercice D après sujet du baccalauréat Inde, avril 003 On considère la suite numérique (u n ) définie sur N par : où a est un réel donné u 0 = a et, pour tout entier naturel n,u n+ = u n ( u n ), On suppose dans cette question que a = 8 a On a, par un calcul direct : u = 5 64 et u = b Voir figure c Voir figure Indice : faire une construction en escalier On suppose, dans cette question, que a est un réel quelconque de l intervalle ]0;[ a Indice : on montre soigneusement que f est strictement croissante sur [0; ] et strictement décroissante sur [;] Vu le tableau de variation de f sur [0;], 0 < f(x) < quand 0 < x < b Indice : pour l hérédité, commencer par utiliser l hypothèse de récurrence Vu cette hypothèse, on peut appliquer le résultat de la question précédente à x = u n donc 0 < f(u n ) < d où 0 < u n+ < Conclusion : pour tout entier n, 0 < u n < c Indice : montrer, par tableau des signes, que f(x) x > 0 pour 0 < x < Appliquer alors ce résultat à x = u n Donc la suite (u n ) est croissante

3 d La suite (u n ) est croissante (vu la question précédente) et majorée par (vu la question d avant) donc elle converge (on peut même préciser que sa limite est et > 0, donc si on connait le théorème du point fixe, on en déduit que cette suite converge vers ) 3 [Indice : on a fait le cas où 0 < a < Si > a > alors (vu le tableau de variation de f) 0 < f(u 0 ) < et comme f(u 0 ) = u, on peut appliquer la question d avant à la suite (u n+ ), donc la suite converge dans ce cas aussi Enfin, si a < 0 ou si a > alors toujours vu le tableau de variation de f on a : u = f(a) < 0 < u 0 Vu que f est croissante, on montre alors par récurrence que (u n ) est décroissante strictement Comme elle est à termes négatifs à partir du rang, elle ne peut avoir qu une limite strictement négative, ce qui est incompatible avec l étude de ses points fixe (voir théorème du point fixe à la fin du cours sur les limites)] Conclusion : la suite (u n ) converge vers si 0 < a <, est stationnaire en 0 si a vaut 0 ou, et diverge si a < 0 ou a > 4 On suppose à nouveau dans cette question que a = 8 On considère la suite numérique (w n ) définie sur N par : w n = u n a Pour tout entier n, b Par récurrence, on montre que : w n+ = u n+ = u n ( u n ) = ( u n ) = w n w n = w n 0 = 8n c On a, pour tout n N : 0 w n 8 n, donc, en appliquant le théorème des gendarmes : lim w n = 0 n + et, comme w n = u n, par opération sur les limites : lim u n = n + Exercice 3 (D après BAC Centres Etrangers 00) On définit deux suites u et v par u 0 =, v 0 = et pour tout entier naturel n : u n+ = 3 (u n + v n ) v n+ = 4 (u n + 3v n ) On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par : w n = v n u n 3

4 (a) Pour tout n N, en mettant les quantités au même dénominateur, on a : w n+ = v n+ u n+ = 4 (u n + 3v n ) 3 (u n + v n ) = u n + v n = w n Donc w est une suite géométrique de raison Comme son premier terme w 0 = v 0 u 0 = est strictement positif et sa raison aussi, on sait que cette suite géométrique est à termes strictement positifs (b) La suite w est géométrique et sa raison appartient à ] ;[ Donc w converge vers 0 (a) Pour tout n N, on a : u n+ u n = 3 (u n + v n ) u n = 3 (v n u n ) = 3 w n () Comme w n > 0 vu la question précédente, on en déduit que u n+ u n > 0 Donc u est croissante (b) Pour tout n N, on a : v n+ v n = 4 (u n + 3v n ) v n = 4 (u n v n ) = 4 w n () Comme w n > 0 vu la question précédente, on en déduit que Donc v est croissante v n+ v n < 0 (c) Vu la question de cours, on a immédiatement (si besoin se référer au cours ou faire une récurrence) : pour tout entier naturel n, et u 0 u n v n v 0 Comme de plus, u n v n (car w n = v n u n > 0), on en déduit la conclusion attendue 3 Les suites u et v convergent respectivement vers l et l Donc, par opération sur les limites : lim w n = lim v n u n = l l n + n + Mais par ailleurs, on a vu à la question b que : Donc l l = 0 ie l = l lim w n = 0 n + 4 On appelle t la suite définie pour tout entier naturei n par : t n = 3u n + 8v n 4

5 (a) Pour tout n N, Donc, on a, vu () et (), t n+ tn = 3(u n+ u n ) + 8(v n+ v n ) t n+ tn = w n w n = 0 Donc t est constante de valeur t 0 = 3u 0 + 8v 0 = 99 (b) Comme pour tout n N, t n = 3u n + 8v n Par passage à la limite et opérations sur les limites, on a : lim t n = 3 lim u n + 8 lim v n, n + n + n + ie comme t est constante, de valeur 99, et comme la limite de u est égale à celle de v, on a : 99 = 3l + 8l, avec l la limite commune des suites u et v En résolvant cette dernière équation, on a : l = 9 Exercice 4 (d après Bac amérique du Sud Novembre 00) Soit (u n ) la suite numérique définie sur N par : { u0 = 0 u n+ = 3u n + 4 (a) Indice : montrer par récurrence que 0 u n 4 pour tout n Dans l hérédité, partir de l hypothèse de récurrence et raisonner par inégalités élémentaires successsives Donc (u n ) est majorée par 4 (b) (c) Indice : déterminer le signe de f(x) x sur [0;4] Appliquer le résultat pour x = u n, ceci montre que u n+ u n > 0 Donc (u n ) est strictement croissante (d) Vu les questions précédentes, (u n ) est croissante et majorée par 4 donc elle converge Soit l sa limite Comme la suite (u n ) est à termes positifs, l 0 Par ailleur, on a : u n+ = 3u n + 4 Donc, par passage à la limite, composition des limites et utilisation de la continuité de x 3x + 4 sur R + : lim u n+ = lim 3un + 4 = 3l + 4 n + n + et compte-tenu du fait que (u n+ ) à la même limite que (u n ), on a donc l = 3l + 4, 5

6 ie l 3l 4 = 0 On résout cette équation du second degré, et on ne garde des deux racines que celle qui est positive (car on a vu que l 0) donc : l = 4 (a) Pour tout entier naturel n, on a, en utilisant la quantité conjuguée : D où : Or, comme u n > 0, Donc : 4 u n+ = 4 3u n + 4 = (4 3u n + 4) 4 + 3u n u n u n+ = 3u n 4 + 3u n + 4 = 3 4 u n 4 + 3u n + 4 Donc, pour tout entier naturel n, on a : 4 + 3u n u n u n 4 u n+ (4 u n) (b) Par un raisonnement par récurrence, on montre que : ( ) n 4 u n (4 u 0 ) On en déduit immédiatement que : 0 4 u n 4 ( ) n D où, en appliquant le théorème des gendarmes, la conclusion attendue (c) Pour tout n N, on a, en utilisant la question précédente et le fait que (u n ) est majorée par 4 : 0 v n 4n ( ) n La suite du membre de gauche converge vers 0 (pour le montrer : reprendre le début de l exercice de la fiche où la suite est quasiment la même) D où, en appliquant le théorème des gendarmes : lim n + v n = 0 6

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