i la moyenne empirique de X n n v =

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1 Corrigé Statistiques iféretielle par par Pierre Veuillez Itervalle de cofiace. Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E X E X, V X V X doc X N E X, V X Exercices. Variace Soit X ayat ue espérace m et ue variace v, sa variace empirique est W avec X la moyee empirique de X et X i la moyee empirique de X. X i X. Soit Y ayat ue espérace et ue variace. Calculer E Y e foctio E Y et V Y. Calculer E X et V X et e déduire E X 3. Motrer efi que E W V X et e déduire u estimateur sas biais de la variace. Solutio. V Y E Y E X doc E Y V Y + E Y. E X m et V X v doc E X v + m 3. E W E X i v + m v + m v v D où E W v et W variace empirique sas biais est u estimateur sas biais de la variace.. Questio cofidetielle. Certais sujets abordés das les equêtes d opiio sot parfois assez itimes, et o court le risque que les persoes iterrogées se refuset à répodre frachemet à l equêteur, faussat aisi le résultat. O peut alors avoir recours à ue astuce cosistat à iverser aléatoiremet les réposes. Cosidéros ue questio cofidetielle pour laquelle o veut estimer la probabilité p de réposes positives. L equêteur demade à chaque persoe iterrogée de lacer u dé. Si le dé tombe sur, la persoe doit doer sa répose sas metir, sio elle doit doer l opiio cotraire à la siee. Si l equêteur igore le résultat du dé, il e pourra pas savoir si la répose est frache ou o, et o peut espérer que la persoe sodée acceptera de jouer le jeu. Gééralisos légèremet la situatio e tirat pour chaque persoe ue variable de Beroulli de paramètre α. Cours Estimatio-c Page /

2 Si le résultat de cette variable est, la répose est frache, sio, elle est iversée. Soit le ombre de persoes iterrogées. L equêteur e recueille que la fréquece empirique F des oui.. Motrer que la probabilité de oui à l issue de la procédure est q α p + α p. Motrer que F, la fréquece observée par l equêteur, est u estimateur sas biais de q et de risque quadratique tedat vers 0 quad ted vers + 3. Pour α / exprimer p e e foctio de q. 4. E déduire que T F +α est u estimateur sas biais de p dot le risque quadratique ted α vers 0 quad ted vers Pour fixé, quelle valeur attribuer à α pour que le risque quadratique soit miimum? Est-ce acceptable? Pour quelle valeur de α ce risque est-il maximum? Quel sera le risque quadratique avec le dé α /6.3 Loi uiforme Soit X de loi U [0, a] et X,... X ue -échatillo de variables. Etimatio de a : X a ue espérace de a/. Soit X la moyee empirique.. Soit T X. Motrer que T est sas biais et détermier so risque quadratique. Soit T max X,..., X Détermier la foctio de répartitio de X puis celle de T E déduire sa desité puis so biais et so risque quadratique. 3. Soit T + T détermier so biais et so risque quadratique. 4. Quel est le meilleur estimateur de a pour de grades valeurs de? solutio:. X i X i doc E X i E X i a d où E T a a et T est sas biais. V X i V X i car les X i sot idépedates. E X i a 0 a t dt a [t3 /3] a 0 a 3 doc V X i a 3 a 4 a d où V X a. La variace de T X est alors V T 4V X a et doc so risque quadratique est 3 a a 3 0 si x < 0. La foctio de répartitio F de Xest : F x x f t dt x 0 dt x si x [0, a] a a si x > a T t max X,..., X t i X i t et e otat F la foctio de répartitio de X, et G celle de T o a alors Cours Estimatio-c Page /

3 G t F t. F est cotiue sur R et C sauf e 0 et a doc G égalemet et T est à desité de desité : { g t G t f t F t a x a 0 si x / [0, a] si x [0, a] L espérace qui existe de T est alors a t g t dt a t dt [ 0 0 a t +] a a + a 0 + Doc T a pour biais a a biaisé mais so biais ted vers 0 quad + + L espérace qui existe de T est a 0 t g t dt a t + dt [ t +] a 0 a + a 0 + a Doc la variace de T est V T E T E T + a a + et so risque quadratique est r V T + b a 3. Alors T +T a pour espérace + Sa variace est V T + a ce qui est pour grad deux fois mieux que T. + + a + a + + a + a + + E T a doc T est sas biais. V T + a et a pour risque quadratique r + a 4. Doc pour de grades valeurs de, T est le meilleur estimateur de a..4 Itervalle de cofiace pour le paramètre d ue variable de Berouilli. Lors d u sodage sur 00 persoes iterrogée, 60 peset voter pour A O modélise le choix par u échatillo X,..., X 00 de variable idépedates de même loi de Berouilli de paramètre p. O cherche à détermier u itervalle de cofiace pour p au iveau de cofiace 99% % de risque. Détermier l espérace et la variace de la fréquece empirique F i X i?. O ote F la fréquece empirique cetrée réduite. Par quelle loi peut o approcher celle de F? O suppose désormais que F suit N 0, 3. Détermier t tel que P t F p p t 0, 99 et e déduire que P F t p F + t 0 0, Motrer que pour tout p [0, ], p p et e déduire que [F t/0 ; F + t/0] est u 4 itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 99% p p 0 Cours Estimatio-c Page 3/

4 Solutio. O a E F 00 E i X i i0 E X i 00p p 00 Doc F est u estimateur sas biais de p. Somme de variables idépedates de même loi B, p : V X i p p 0 et E X i p Doc avec F i X i, F peut être approchée par ue loi Normale cetrée réduite. V F i V X i car les X i i sot idépedates. Doc V F p p et 00 F F p p p 00 ue loi N 0, p p F p la fréquece empirique cetrée réduite suit approximativemet 0 3. Comme t t : P t F t Φ t Φ t Φ t Φ t Φ t O résout : Φ t 0, 99 Φ t 0, 995 et o lit sur la table de la lo Normale pour t, 58 N.B. première trasformatio à coaître : t F 0 t t F p t p p p p Doc P F t p F 0 + t p p p p t F p t 0 0 p p p p F t p F + t 0 0 p p 4. O étudie les variatios de f p p p. 0 0, 99 f est dérivable sur R et f p p p p p 0 / f p p + 0 affie f p /4 O a alors p p doc et p p 4 N.B. secode trasformatio à coaître : p p p p F t p F 0 + t F 0 t p F 0 + t 0 et P F t/0 p F + t/0 p p p p P F t p F 0 + t 0, 99 0 Doc [F t/0 ; F + t/0] est u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 99% soit avec l échatillo de doées : ˆp 0, 6 t/0 0, 3, l itervalle de cofiace au iveau 99% est [0, 47 ; 0, 73]... ce qui e reseige pas beaucoup sur les chaces de remporter l électio.. Avec u échatillo de taille 0000, o trouvera l itervalle [F t/00, F + t/00] soit ue largeur d itervalle proche de 5% pour u iveau de cofiace de 99%. Cours Estimatio-c Page 4/

5 p p Avec u iveau de cofiace de 95%, o a t, 96 et pour 000 o a t 000 0, 030, c est la classique des sodages : pour u échatillo de 000 persoe, le résultat est doé avec u itervalle de cofiace de 3% ce que e diset pas les sodeurs, c est que cela est sûr qu à 95% : il y a 5% de chace que la valeur réelle soit hors de cet itervalle de.5 Itervalle de cofiace par Bieaymé-Tchebichev Soit a [ 0; 3 ], X U [0,a] et X... X u -echatillo de variables de même loi que X et idépedates. O cherche u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% iveau de risque %. O ote X la moyee empirique. Rappeler la moyee m de X et motrer que V X a. E déduire la moyee et l espérace de X.. E déduire que P X a > 0, Détermier efi pour que [ X 0, ; X + 0, ] soit u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% 4. Ecrire u programme PASCAL qui choisit u ombre a au hasard das [ 0; 3 ] effectue 0000 tirages das [0, a] calcule et affiche la moyee des résultats obteus. Le programme a affiché 0,534. Pesez vous que a 0, 534? Pesez vous que a > 0, 7? Pesez vous que a [0, 43 ; 0, 64]? 5. Par quelle loi peut-o approcher celle de X 000? 6. Détermier t pour que P t 00 X a a < t 0, 99 et e déduire u autre itervalle de cofiace de a au iveau α Solutio Soit a [ 0; 3 ], X U [0,a] et X... X u échatillo de variables de même loi que X et idépedates. O cherche u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% iveau de risque %. O ote X la moyee empirique. O a E X a Et comme la desité de X est ulle hors de [0, a] et vaut sur [0, a] o a E a X a t [ ] dt 0 a a t 3 a a et doc X a ue variace qui est V X a 3a 3 3 a 0 Doc E X E i X i i E X i E X a Cours Estimatio-c Page 5/

6 Et V X E i X i i V X i car les X i sot idépedats V X a Rappeler la moyee m de X et motrer que V X a. E déduire la moyee et l espérace de X.. D après l iégalité de Bieaymé-Tchebichev o a alors P X a > 0, V X 00 a et 0, comme 0 a 3 alors a et doc P X a > 0, 00 et P X a 0, Comme l évéemet X a 0, s écrit 0, X a 0, ou ecore : X 0, a X + 0, Doc pour 0000 o a P X 0, a X + 0, 0, 0 et [ X 0, ; X + 0, ] est u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% 4. Ecrire u programme PASCAL qui Program estim; var a,x,s:real;k:iteger; begi ed. radomize;a:radom*3;s:0;{iitialisatio} for k: to 0000 do begi ed; x:radoma; s:s+x; writel la moyee est :,s/0000; Le programme a affiché 0,534. Chaque valeur a ue probabilité ulle d avoir été choisie! doc a 0, 534? La probabilité que a soit das l itervalle [0, 534 0, ; 0, , ] est supérieure à 99%. Doc la probabilité qu il soit > 0, 7 est de mois de %. Je e pese doc pas que a/ > 0, 7 La probabilité de a [0, 43 ; 0, 64] est supérieure à 99%. Je pese doc que oui. et j ai mois de % de chaces de me tromper La loi i X i somme de variables idépedates de même loi qui a pour espérace a, et pour variace a. DOc cetreée réduite, elle peut être approchée par ue loi N 0, et X N 0, 6. Et pour 0000 : P t 00 X a a < t Φ t Φ t Φ t O résout Φ t 0, 99 Φ t 0, 995 ce qui est vérifié pour t, 58, 6 O a t 00 X a a < t a X t 00 a < X a + t 00 avec X a/ a / par a Cours Estimatio-c Page 6/

7 doc [ X 0, 06 ; X + 0, 06 ] est u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% soit ue précisio quatre fois meilleure qu avec la formule de Bieaymé-Tchebichev Cours Estimatio-c Page 7/

8 .6 Comptage par capture et recapture O cherche à évaluer le ombre N de poissos das u étag. Pour cela, o prélève das l étag m poissos que l o bague avat les remettre das l étag. O propose deux méthodes différetes d estimatio de N. Méthode Soit N, m. O prélève des poissos das l étag, au hasard et avec remise. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de poissos qu il a été écessaire de pêcher pour obteir poissos marqués. Pour tout i [, ], o pose D i X i X i. O pose D X et o suppose que les D i sot des variables idépedates.. a Pour tout i [, ], quelle est la sigificatio de D i? b Détermier, pour i [, ], la loi de D i, so espérace et sa variace. E déduire l espérace et la variace de X. c O pose A m X. Motrer que A est u estimateur sas biais de N et détermier so risque quadratique.. a Pour assez grad, par quelle loi peut-o approcher la loi de la variable aléatoire X X o utilisera le théorème de la limite cetrée? b O a marqué 00 poissos puis effectué 450 prélèvemets pour obteir 50 poissos marqués. O pose σ σa. O a pu prouver par ailleurs que σ 00. Détermier e foctio de σ, u itervalle de cofiace pour N au seuil 0.9 O doe Φ, 64 0, 95. Méthode O prélève successivemet et avec remise poissos. Soit Y le ombre de poissos marqués parmi eux.. Motrer que m Y est u estimateur sas biais de N.. Pour quelle raiso évidete e peut-o pas predre m Y comme estimateur de N? O pose alors B m+ Y + Solutio a Calculer l espérace de B. b Est-il u estimateur sas biais de N? Méthode. a D i est la différece du ombre de pèche écessaire pour obteir i et i poissos marqués. C est le ombre de pèche pour obteir u poisso marqué de plus. Cours Estimatio-c Page 8/

9 b Doc D i est le ombre de pèches pour obteir u poisso marqué de plus das ue suite de pèche o peut supposer que la pèche se cotiue idéfiimet idépedates avec remise, e supposat que les poissos sot bêtes et e se souvieet pas qu il e faut pas mordre à l hameço ayat toutes ue probabilité m N Doc D i G m N et E Di N et V D m i m N m N de doer u poisso marqué. N N m m Comme D + D + + D X o a alors E X N et comme les D m i i sot idépedats, V X NN m m c O pose A mx. O a alors E A me X N doc A est u estimateur sas biais de N. Sa variace est V A V m X m V X NN m Doc so risque quadratique est : biais + V A NN m. a Pour assez grad, X état ue somme de variables idépedates et de même loi, X peut être approchée par ue loi ormale cetrée réduite. b A suit alors égalemet ue loi ormale de paramètres E A N et et V A σ et A N suit ue loi ormale cetrée réduite. σ Doc P t A N t Φ t Φ t Φ t [ Φ t] Φ t σ Et P t A N t 0, 9 Φ t 0, 9 σ Φ t 0, 95 Φ, 64 t, 64 car Φ est croissate sur R Comme σ 00 alors t A N t A tσ N A + tσ A t00 N A + t00 σ Et avec t, 64 : P A t00 N A + t00 P t A N t 0, 9 σ Doc [A 64, A + 64] est u itervalle de cofiace de N au iveau de cofiace 0, 9 Avec ici : m 00; 50 et X Doc A 50 00X Estimatio poctuelle de N et o est sûr à 90% que le ombre de poissos das l étag est compris das l itervalle [636, 964] Méthode O prélève successivemet et avec remise poissos. Soit Y le ombre de poissos marqués parmi eux.. Le ombre Y de poissos marqués suit ue loi biomial de paramètres, m N. Doc so espérace est E Y m et E Y N m N Doc Y m est u estimateur sas biais de. N O a V Y m N m N mn m doc V Y N m m V Y N m m N Doc le risque quadratique de m Y comme estimateur de N est N m m N Cours Estimatio-c Page 9/

10 . Comme Y peut être ul avec ue probabilité o ulle, m Y aurait ue probabilité o ulle de e pas être défii. O pose alors B m+ Y + a O utilise le théorème de trasfert : les valeurs de Y sot [[0, ]] E B k0 k0 m + k + P Y k m + k + k p k q k il faut développer le coefficiet du biôme pour simplifier l expressio. e otat p m N et q m N E B k0 m + k +! k! k! pk q k +! m k +! k! pk q k k0 O y recoaît + k+ et o réidexe h k + pour faire réapparaitre la formule du biôme... pour la puissace + + E B m p k q k k + k0 + + m p h q + h h k m + + p h q + h q + p h k0 m p + q + q + p m q + p N q + b Doc B est biaisé, mais quad ted vers + quad o augmete le ombre de repêche le biais ted vers 0 : il est asymptotiquemet sas biais. Cours Estimatio-c Page 0/

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