Probabilités : Méthodes ECE 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Probabilités : Méthodes ECE 1"

Transcription

1 Probabilités : Méthodes ECE 1 I. Calcul de probabilités : écriture d'évènements. 1) Intersection. Il faut connaître les points suivants : a) A B, intersection des évènements A et B, est vrai si et seulement si A et B sont vrais : il contient les évènements élémentaires qui sont à la fois dans A et dans B. b) Pour calculer la probabilité d'une intersection dont les évènements ont lieu successivement, on utilise la formule des probabilités composées. c) Si A et B sont indépendants, alors P (A B) = P (A)P (B). d) Si deux évènements n'ont pas lieu l'un après l'autre, pour calculer P (A B) il faut décomposer l'évènement (A B) avec des réunions incompatibles de cas chacun écrit comme intersection d'évènements successifs (en fait, on traite (A B) comme ci c'était un seul évènement). 2) Réunion. Il faut connaître les points suivants : a) A B, réunion des évènements A et B, est vrai si et seulement si A ou B est vrai : il contient les évènements élémentaires qui sont dans l'un des deux (ou a fortiori dans les deux) évènements A et B. b) Si A et B sont incompatibles (A B = ), alors P (A B) = P (A) + P (B). c) Si A et b ne sont pas incompatibles, pour calculer P (A B) il faut décomposer l'évènement (A B) avec des réunions incompatibles de cas chacun écrit comme intersection d'évènements successifs (en fait, on traite (A B) comme ci c'était un seul évènement). d) La formule du crible donne P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) : le cas de plus de deux évènements est hors programme mais peut être utilisé en étant rappelé par l'énoncé (à n'utiliser qu'en tout dernier recours!!). e) Si A et B sont indépendants, on ne sait rien sur P (A B), mais la formule du crible permet éventuellement de se ramener à A B an de la calculer. 3) Complémentaires et systèmes complets d'évènements. Il faut connaître les points suivants : a) A le complémentaire de A est l'évènement contraire de A : il est vrai si et seulement si A est faux, et contient les évènements élémentaires de Ω qui ne sont pas dans A. b) P (A) = 1 P (A). c) Lorsqu'on a du mal à décomposer un évènement A, toujours penser à regarder si A ne serait pas plus simple. d) Un système complet d'évènements est un ensemble d'évènements de probabilités non nulles, deux à deux incompatibles et dont la réunion est Ω. e) Pour tout évènement A non négligeable et non quasi-certain (P (A) 0 et P (A) 1), (A, A) est un système complet d'évènements. f) L'ensemble des situations possibles à l'instant n (et notamment l'ensemble des résultat possibles du premier tirage) lors d'une expérience constitue un sce. g) L'ensemble des évènements (X = k), où k parcoure X(Ω), est un sce. h) Les sce servent à utiliser les probabilités totales et à obtenir qu'une somme de probabilité vaut 1.

2 II. Calcul de probabilités : les grands théorèmes. 1) Probabilités conditionnelles. Il faut connaître la dénition d'une probabilité conditionnelle, et savoir l'utiliser pour calculer des probabilités conditionnelles lorsque les évènements ne sont pas successifs ou n'ont pas lieu dans le bon ordre. 2) Probabilités totales. Il faut connaître cette formule et les 4 cas importants d'utilisation, et savoir dessiner un diagramme pour comprendre sa signication. 3) Probabilités composées. Pour calculer la probabilité d'une intersection de plusieurs évènements arrivés successivement (probabilité d'une issue élémentaire d'une succession de k tirages), on utilise la formule des probabilités composées, qui doit bien entendu être parfaitement maîtrisée. III Calculs eectifs de probabilités : la méthode générale. 1) Lorsqu'on cherche à calculer la probabilité d'un évènement, il faut : a) Toujours commencer par vérier s'il s'agit d'un des cas d'application des probabilités totales. Dans le cas contraire : b) Comprendre l'évènement en français. c) Ecrire cet évènement en fonction des évènements élémentaires correspondant aux épreuves successives, en donnant des noms à ceux-ci si l'énoncé ne l'a pas fait. Il faut prendre bien garde à n'écrire que des unions incompatibles (les diérentes possibilités menant à l'évènement considéré doivent être disjointes). d) Décomposer la probabilité des unions incompatibles en somme des probabilités. e) Calculer les probabilités des intersections avec la formule des probabilités composées, en utilisant l'énoncé pour calculer les probabilités conditionnelles successives. 2) Cas d'application des probabilités totales : a) Lorsqu'on cherche à calculer une probabilité en fonction d'une autre (P (M n+1 ) en fonction de P (M n ) par exemple), on applique les probabilités totales avec le système complet d'évènements correspondant à l'état de l'expérience à l'instant n (c'est le cas correspondant aux chaînes de Markov). b) Lorsqu'on cherche à calculer la probabilité d'un évènement faisant intervenir deux variables aléatoires, on applique les probabilités totales avec le système complet d'évènements associé à l'une des deux variables aléatoires en question. c) Si l'une des deux variables est à densité, elle n'a pas de sce associé, il faut donc utiliser l'autre. Si l'énoncé donne un résultat intermédiaire, s'en servir pour reconnaître le sce à utiliser. Sinon, on essaie de prendre la variable avec l'univers image le plus simple. Si ce sont les mêmes, on prend la variable qu'on veut. d) Lorsqu'on cherche à calculer la loi marginale d'un couple alors que la loi du couple est connue, on applique les probabilités totales avec le sce de l'autre variable aléatoire. e) Lorsque l'énoncé dit de décomposer selon les résultats du premier tirage, on applique les probabilités totales avec le sce (P 1, F 1 ) ou bien (R 1, V 1, N 1 ), etc.. correspondant à toutes les issues possibles de ce premier tirage. Dans ce cas, certaines probabilités conditionnelles peuvent être diciles à comprendre (il faut revenir à la compréhension en français pour justier l'égalité de la probabilité conditionnelle avec celle demandée par la question).

3 IV. Calculs de probabilités : arbres. Il faut savoir écrire au brouillon un arbre pour modéliser une expérience aléatoire, et s'en servir pour ensuite faire les calculs avec les théorèmes précédents : 1) Arbre et probabilités composées. La formule des probabilités composées se traduit par la propriété suivante : la probabilité d'une branche d'un arbre est le produit de toutes les probabilités rencontrées sur cette branche. 2) Arbres et et probabilités totales. La formule des probabilités totales se traduit sur un arbre : a) Par le fait que les diérents évènements obtenus à la verticale, qui constituent toutes les issues possibles après un certain nombre d'épreuves, forment un système complet d'évènements : cela permet de calculer les probabilités des évènements après l'épreuve suivante avec la formule des probabilités totales. b) Par le fait que la probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des branches qui y mènent. V. Variables aléatoires : loi et moments. 1) Variables nies. Une variable est nie si elle ne peut prendre qu'un nombre ni de valeurs : - Pour déterminer sa loi, on détermine les valeurs prises et la probabilité de chaque valeur. - On est alors certain qu'elle admet des moments de tous ordres, donc une espérance et une variance. - De même un couple de variables nies admet toujours une covariance. - Pour prouver qu'une suite nie de nombre est une loi de probabilité, on prouve qu'ils sont tous positifs et que leur somme (nie) vaut 1. 2) Variables discrètes. Une variable est discrète si ses valeurs prises peuvent être indexées par N ou une partie de N : - Pour déterminer sa loi, on détermine les valeurs prises et la probabilité de chaque valeur. - Pour vérier qu'elle admet une espérance ou de manière générale un moment d'ordre k, il faut vérier la convergence absolue d'une série. Dans la très grande majorité des cas, les séries sont à termes positifs et on peut alors armer qu'elles convergent absolument si et seulement si elles convergent. - Pour prouver qu'une suite innie de nombre est une loi de probabilité, on prouve qu'ils sont tous positifs et que leur somme (innie, donc la somme d'une série) converge et vaut 1. 3) Variables à densité. Une variable est à densité si elle prend toutes les valeurs de R ou d'un intervalle de R : - Il faut savoir prouver qu'une fonction est une densité de probabilité : en prouvant que f est positive, continue sauf éventuellement en un nombre ni de points (et pas continue par morceaux!) et + f(t) dt converge et vaut 1. - Il faut aussi savoir prouver qu'une variable est à densité lorsqu'on connaît sa fonction de répartition : celle-ci doit être continue sur R et de classe C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points. - Pour déterminer sa loi, on détermine sa densité et/ou sa fonction de répartition. - Pour vérier qu'elle admet une espérance ou de manière générale un moment d'ordre k, il faut vérier la convergence absolue d'une intégrale. VI. Variables aléatoires : calculs d'espérance. 1) Linéarité de l'espérance. On doit savoir que E(aX + b) = ae(x) + b et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 2) Espérance de XY. On doit savoir que si X et Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X)E(Y ). 3) Théorème de transfert. On doit savoir calculer E[f(X)] à l'aide du théorème de transfert, avec une somme ou une intégrale selon que la variable X est discrète ou à densité.

4 VII. Variables aléatoires : calculs de variance. 1) Variance de ax+b. On doit savoir que V (ax + b) = a 2 V (X). 2) Dénition et théorème de Huyghens. Dans 9 cas sur 10, la variance se calcule avec le théorème de Huyghens : V (X) = E(X 2 ) E(X) 2, en utilisant le théorème de transfert pour le calcul du moment d'ordre ( deux. [X ] ) 2 Cependant la dénition doit aussi être connue : V (X) = E E(X) ; elle permet notamment de prouver que V (X) 0, et d'en déduire que E(X 2 ) E(X) 2. VIII. Variables aléatoires : fonction de répartition. 1) Dénition Il faut connaître la dénition : F X (x) = P (X x), et les propriétés de limites qui en découlent : une fonction est une fonction de répartition si et seulement si elle est croissante, continue à droite en tout point, de limite nulle en moins l'inni et de limite 1 en plus l'inni. 2) Lien avec la loi Il faut savoir passer, en discret de la loi à la fonction de répartition (en sommant) et réciproquement (en prenant P (X k) P (X k 1)), en densité de la densité à la fonction de répartition (en intégrant) et réciproquement (en dérivant). 3) Lien avec P(X>x) Il faut reconnaître que (X > x) = (X x) et savoir donc que P (X > x) = 1 F X (x). 4) Loi de l'inf et du sup, ou du min et du max. Que la variable soir discrète ou à densité, on calcule la loi du sup (ou max, ou temps de vie d'un système en parallèle) et de l'inf (ou min, ou temps de vie d'un système en série) en passant par la fonction de répartition ou P (X > x) = 1 F (x), en utilisant : (min(x, Y ) > t) = (X > t) (Y > t) et (max(x, Y ) t) = (X t) (Y t). IX. Variables aléatoires : calculs eectifs de lois. 1) Variable nie ou discrète. - On donne toujours pour commencer X(Ω). - Si on a une loi du sup ou de l'inf, il faut absolument passer par la fonction de répartition P (X k) ou par P (X > k), puis se ramener à la loi. Dans tout autre cas : - Si X(Ω) = {0; 1}, X suit une loi de Bernouilli. Si X(Ω) = 0; n on regarde si X suit une loi binomiale (ce n'est pas toujours le cas!), sinon on se ramène aux cas général. Si X(Ω) = N, on regarde si X suit une loi géométrique (ce n'est pas toujours le cas!), sinon on se ramène aux cas général. Ces cas doivent absolument être regardés en premier et à part, car il ne demandent pas du tout les mêmes calculs de probabilités. - Si on a reconnu une loi usuelle, il faut déterminer le paramètre p. Pour cela on prend une seule épreuve, et on écrit S l'évènement qui représente le succès dans cette épreuve, dont on détermine la probabilité : c'est le paramètre p. - Seulement dans le cas d'une loi qui n'est pas usuelle, on écrit l'évènement (X = k), avec k xé, et on cherche sa probabilité (avec les méthodes de la che calculs de probabilités). S'il n'y a que quelques valeurs dans X(Ω), on cherche ces probabilités une par une. S'il y en a un grand nombre, on traite à part les cas particuliers s'il y en a et on fait ensuite un cas général avec k xé quelconque.

5 2) Variables à densité. - Pour déterminer la loi d'une variable à densité dont on ne connaît ni densité ni fonction de répartition, on calcule toujours sa fonction de répartition (car la densité n'est pas une probabilité). - On peut toujours commencer, si c'est possible, par calculer X(Ω) et en déduire la fonction de répartition pour les valeurs de x inférieures (F X (x) = P (X x) = 0) et supérieures (F X = P (X x) = 1). - Pour les valeurs de x qui sont dans X(Ω), on transforme l'évènement (X x) (ou (X > x) pour une loi du min, de l'inf, ou d'un temps de vie de système en série) pour se ramener aux variables connues. On fait attention, quand on compose par une fonction, que cette fonction soit bien dénie des deux côtés de l'inégalité. S'il y a un problème, il faut faire un sous-cas qui doit se régler immédiatement par impossibilité ou certitude de l'évènement. On se ramène nalement à la (ou aux) fonction(s) de répartition de variables déjà connue, et on en déduit celle de X, en faisant très attention à faire autant de sous-cas que nécessaire dans les calculs. - Enn si c'est demandé, on justie que la variable est à densité en vériant que la fonction de répartition est de classe C 1 sauf peut-être en quelques points, puis continue sur R (en étudiant précisément chacun des points de raccordement de la fonction de répartition). - Si une densité de X est demandée, on précise qu'on dérive la fonction de répartition sauf aux points particuliers où on donne une valeur arbitraire, puis on obtient la densité en dérivant la fonction de répartition. X Lois usuelles nies 1) Loi binomiale. a) l'interprétation : la loi binomiale B(n, p) est la loi du nombre de succès lors d'une répétition de n épreuves de Bernouilli indépendantes et de même paramètre p. b) la loi : X(Ω) = 0; n et P (X = k) = ( n k) p k (1 p) n k. c) l'espérance np et la variance np(1 p). d) le cas particulier de la loi de Bernouilli (n = 1). e) la somme de deux variables binomiales de même paramètre p indépendantes, qui suit B(n + n, p), et la généralisation à la somme de n variables. f) l'approximation par la loi de Poisson. g) l'approximation par la loi normale. h) la loi binomiale approche la loi hypergéométrique dès que N >> n (la taille de la population est très grande devant le nombre de tirages). i) la simulation informatique : on simule n épreuves de Bernouilli (avec une boucle for), et à chaque succès on rajoute 1 (X := X + 1;) à la variable X. 2) Loi d'attente du premier succès. La loi du premier succès dans une succession nie de n épreuves n'est pas un résultat de cours, mais elle est très classique et doit a priori être connue. a) On ne parle surtout pas de loi géométrique (la loi géométrique n'existe que lorsqu'il y a une succession illimitée d'épreuves). b) On doit savoir calculer la probabilité P (X = 0), soit avec les probabilités composées (n échecs consécutifs), soit en se ramenant à la loi binomiale Y du nombre de succès lors de ces n tirages, en disant que P (X = 0) = P (Y = 0) = q n. c) On doit savoir calculer la probabilité P (X = k) pour k 1; n avec les probabilités composées (k 1 échecs puis un succès). d) On peut se rappeler que l'espérance est calculée à l'aide de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique dérivée, déterminée en dérivant n k=0 x k = 1 xn+1 n+1 ou par récurrence si le résultat est donné.

6 XI Lois usuelles discrètes innies 1) Loi géométrique ou du premier succès. a) l'interprétation : la loi géométrique G(p) est la loi du rang du premier succès lors d'une succession illimitée d' épreuves de Bernouilli indépendantes et identiques de même paramètre p. b) la loi : X(Ω) = N et P (X = k) = q k 1 p. c) l'espérance 1 1 p p et la variance p. 2 d) la simulation informatique : on simule des épreuves de Bernouilli jusqu'au premier succès (avec un while ou un repeat until), et à chaque tirage on rajoute 1 (X := X + 1;) à la variable X. 2) Loi de Poisson. On doit connaître : λ λk a) la loi : X(Ω) = N et P (X = k) = e k!. b) l'espérance λ et la variance λ. c) la somme de deux lois de Poisson indépendantes, qui suit P(λ + λ ) et la généralisation à la somme de n variables. d) l'approximation par la loi normale. e) l'utilisation des tables de loi de Poisson. 3) Loi du sup et de l'inf. Ce n'est pas un résultat de cours, mais il faut savoir : a) écrire les égalités [ sup(x, Y ) k ] = [X k] [Y k] et [ inf(x, Y ) > k ] = [X > k] [Y > k]. b) passer de la loi à la fonction de répartition et réciproquement et utiliser l'indépendance pour en déduire les lois du sup et de l'inf. c) que le max, le sup et le temps de vie d'un système à parallèle sont la même chose d'une part, et que l'inf, le min et le temps de vie d'un système en série sont la même chose d'autre part. d) la simulation informatique : on simule X et Y puis une boucle if permet de mettre la plus petite dans l'inf et la plus grande dans le sup. XII Lois usuelles continues à densité 1) Loi uniforme. a) l'interprétation : une variable peut prendre au hasard toutes les valeurs d'une intervalle [a; b]. b) la densité. c) la fonction de répartition. d) l'espérance a+b 2. Attention, la variance n'est pas un résultat du programme, on est censé la recalculer (les sujets HEC demandent malgré tout parfois de la donner directement). e) le cas particulier de la loi uniforme sur [0; 1], qui est celui qui tombe le plus souvent. f) la simulation informatique avec la fonction random qui donne la loi U [0;1] et la variable (b a)x + a qui suit la loi uniforme sur [a; b] si X suit celle sur [0; 1] (on prend une fonction ane qui transforme 0 en a et 1 en b pour transformer l'intervalle [0; 1] en l'intervalle [a; b]). g) La connaissance parfaite de la méthode d'obtention des moments d'ordre n est fondamentale pour les sujets type Essec/HEC. 2) Loi exponentielle. a) l'interprétation : la loi exponentielle est celle de la durée de vie sans vieillissement (on parle aussi de variable dans mémoire). b) la densité. c) la fonction de répartition. d) l'espérance 1 λ et la variance 1 λ 2. e) l'utilisation des valeurs d'intégrales données par la densité, l'espérance et la variance de la loi exponentielle pour obtenir des valeurs d'intégrales généralisées. 3) Loi normale. a) la densité de la loi normale centrée réduite N 0,1 et de la loi normale N m,σ 2. b) Les résultats donnés par les propriétés de symétrie : Φ(0) = 1 2 et Φ( x) = 1 Φ(x). c) la table de la fonction de répartition et son utilisation. d) l'espérance m et la variance σ 2. e) l'utilisation des valeurs d'intégrales données par la densité, l'espérance et la variance de la loi normale pour obtenir des valeurs d'intégrales généralisées.

7 f) l'utilisation de la parité d'une densité pour obtenir l'imparité de xf(x), la parité de x 2 f(x), etc... pour calculer les moments de variables dont la densité est paire. (C'est le cas de la loi normale dont les moments sont connus, mais la méthode doit être reproduite avec une densité non usuelle qui serait également paire.) g) la loi normale centrée réduite approxime les sommes centrées réduites, et permet d'approximer les lois de sommes non centrées réduites de variables à l'aide de la variable centrée réduite associée (théorème central limite ou de la limite centrée, très dicile). h) La connaissance parfaite de la méthode d'obtention des moments d'ordre n est fondamentale pour les sujets type Essec/HEC. 4) Loi du sup et de l'inf. Ce n'est pas un résultat de cours, mais il faut savoir : a) écrire les égalités [ sup(x, Y ) t ] = [X t] [Y t] et [ inf(x, Y ) > t ] = [X > t] [Y > t]. b) passer de la loi à la fonction de répartition et réciproquement et utiliser l'indépendance pour en déduire les lois de sup et de l'inf. c) que le max, le sup et le temps de vie d'un système à parallèle sont la même chose d'une part, et que l'inf, le min et le temps de vie d'un système en série sont la même chose d'autre part. d) la simulation informatique : on simule X et Y puis une boucle if permet de mettre la plus petite dans l'inf et la plus grande dans le sup.

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes Mr Dunstetter - ENC-Bessières 204\205 Chapitre Couples et suites de variables aléatoires discrètes I Couples de variables aléatoires discrètes : dénitions Dans toute cette partie, on considère X et Y deux

Plus en détail

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes I Couples de variables aléatoires réelles discrètes Dans toute cette partie, on considère X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes

Plus en détail

Chapitre 9 Variables aléatoires à densité

Chapitre 9 Variables aléatoires à densité Mr Dunstetter - ENC-Bessières 04\05 Chapitre 9 Variables aléatoires à densité I Dénitions Rappel sur la fonction de répartition a) Dénition Dénition Soit X une variable aléatoire réelle. La fonction de

Plus en détail

7 2 Variables aléatoires discrètes

7 2 Variables aléatoires discrètes BCPST2 9 5 7 2 Variables aléatoires discrètes I Compléments sur les variables aléatoires discrètes A) Dénition Dénition : Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire réelle discrète est une variable

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes Université de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles Année universitaire 013-014 MA 0804 - Master 1 CM Variables aléatoires discrètes 1 Dénition Soit Ω un univers et S une tribu sur

Plus en détail

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI Ω est un ensemble fini non vide. On note P(Ω) l ensemble des parties de Ω. Vocabulaire 1. Ω est l univers ou univers des possibles. 2. Toute partie A de Ω est appelée événement.

Plus en détail

Variables aléatoires : loi et espérance.

Variables aléatoires : loi et espérance. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 4 Variables aléatoires : loi et espérance. 1. Dans une population de n oiseaux, on en capture m que l'on bague puis

Plus en détail

Variables à densité.

Variables à densité. Variables à densité. Préreuis : Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F (x) = R f (t) dt: x Si R f (t) dt converge alors F est continue sur ] ; ; a] et F est dérivable là où f est continue

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles 23 Variables aléatoires réelles Pour ce paragraphe, (Ω, B, P est un espace probabilisé. 23.1 Définition et propriétés des variables aléatoires réelles Définition 23.1 On dit qu une application X : Ω R

Plus en détail

1 Variables aléatoires continues.

1 Variables aléatoires continues. 1 Variables aléatoires continues. 1.1 Densité et fonction de répartition. Dénition 1.1. On dit que X est une v.a. continue s'il existe une fonction f 0 tel que pour tout ensemble B R P (X B) = f(x)dx (1)

Plus en détail

UV Statistique pour l'ingénieur. Cours n 1. Introduction. Rappels de probabilités. Variables aléatoires

UV Statistique pour l'ingénieur. Cours n 1. Introduction. Rappels de probabilités. Variables aléatoires UV Statistique pour l'ingénieur Cours n 1 Introduction Rappels de probabilités Variables aléatoires Principales lois discrètes et distributions continues 1 Objectif : Statistique pour l'ingénieur Prise

Plus en détail

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes STS Variables aléatoires discrètes 2009/200 Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire I. Notion de variable aléatoire discrète................................

Plus en détail

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées. Fiche de T.D. n o 2

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées. Fiche de T.D. n o 2 Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées CAPES-M1 Année 2010-2011 Fiche de T.D. n o 2 Ex 1. Urne à composition évolutive Dans une urne contenant au départ

Plus en détail

Loi d une variable aléatoire réelle

Loi d une variable aléatoire réelle Licence Math et MASS, MATH504 : probabilités et statistiques Loi d une variable aléatoire réelle On introduit la notion de variable aléatoire dans le cas réel ainsi que la notion fondamentale de loi d

Plus en détail

TD n 6 : Probabilités discrètes

TD n 6 : Probabilités discrètes TD n 6 : Probabilités discrètes Exercice 1 On désigne par un entier naturel non nul. On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité (avec 0 1 et "face" avec la probabilité 1. On

Plus en détail

mp* : révisions pour l écrit - Probabilités

mp* : révisions pour l écrit - Probabilités mp* 14-15 : révisions pour l écrit - Probabilités I Chapitres concernés P0, P1, P2, P3, P4, P5 II Questions de cours les plus classiques On ne les connaît pas encore...mais il est prudent de savoir Démontrer

Plus en détail

Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes.

Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes. Cours N 2 : Probabilités conditionnelles, indépendances, somme et expérience de variables aléatoires discrètes. I. Probabilités conditionnelles A. Définition On appelle probabilité conditionnelle de A

Plus en détail

Indépendance. Université Pierre et Marie Curie Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 7

Indépendance. Université Pierre et Marie Curie Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 7 Université Pierre et Marie Curie 00-0 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 7 Indépendance a) Déterminer à quelle condition un événement est indépendant de lui-même b) Déterminer à quelle condition

Plus en détail

J.F.C. p. 1. Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route. EDHEC 2014 EXERCICE 1. Φ ( x) + Φ ( x) ).

J.F.C. p. 1. Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route. EDHEC 2014 EXERCICE 1. Φ ( x) + Φ ( x) ). 3-- 4 JFC p JF COSSUTTA jean-francoiscossutta@wanadoofr Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route EDHEC 4 EXERCICE a U est une variable aléatoire réelle sur Ω, A,

Plus en détail

VA CONTINUES - Sujets de concours

VA CONTINUES - Sujets de concours Lycée Dominique Villars ECE Exercices VA CONTINUES - Sujets de concours Exercice - Problème EDHEC On considère deux variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et indépendantes.

Plus en détail

Séries numériques. Marcotte Sébastien 1

Séries numériques. Marcotte Sébastien 1 Programme de colle : semaines 1/2 Séries numériques I. Généralités 1) Dénitions Somme partielle d'une série, convergence, divergence. Divergence grossière. Reste d'une série convergente, limite du reste.

Plus en détail

Rappels de théorie des probabilités

Rappels de théorie des probabilités Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste. 1.1. Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω.

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. Variables aléatoires discrètes I. Définitions 1. Définition d une variable aléatoire : Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. On appelle variable aléatoire et on

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES

COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES Université Paris Magistère d Economie - ère année COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES Convention : Si la variable aléatoire (v.a.) X suit la loi L, on

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Devoir surveillé n 6 4 heures - Calculatrice collège autorisée.

Devoir surveillé n 6 4 heures - Calculatrice collège autorisée. Lycée Jean Mermoz Année 2016-2017 TPC 2 V. Darlay Devoir surveillé n 6 4 heures - Calculatrice collège autorisée. Repris des énoncés de concours : La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité

Plus en détail

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1.

1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1. Exercice 1 On considère une urne contenant n boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts. Un premier joueur effectue dans l urne des tirages sans remise jusqu à ce qu il obtienne la boule

Plus en détail

Exercices : Couples et suites de VAR discrètes

Exercices : Couples et suites de VAR discrètes Exercices : Couples et suites de VAR discrètes Exercice : Une urne contient 2 boules blanches et n 2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la

Plus en détail

Probabilité variables aléatoires

Probabilité variables aléatoires Probabilité variables aléatoires Variable aléatoire et loi de probabilté Definiton Lorsqu'a chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l on définit une

Plus en détail

Convergence des variables aléatoires

Convergence des variables aléatoires Convergence des variables aléatoires I) L inégalité de Bienaymé Tchebychev 1.1) L inégalité de Markov dans le cas discret On considère une variable discrète non négative, d espérance strictement positive.

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes : loi et espérance.

Variables aléatoires discrètes : loi et espérance. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités élémentaires - LM345 Feuille 4 (semaine du 7 au 11 octobre 2012) Variables aléatoires discrètes : loi et espérance. 1. Espérance et probabilité Soit

Plus en détail

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités CHAPITRE 26 Rappels de théorie de l intégration et des probabilités 26.1 Résultats de théorie de l intégration 26.1.1 Théorème de dérivation des intégrales à paramètre On en énonce une version lisible

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité BCPST2 9 5 2 3Variables aléatoires à densité I Variables aléatoires à densité A) Dénition Dénition : Soit f : R R. On dit que f est une densité de probabilité si et seulement si : f est positive ou nulle.

Plus en détail

1 Couple de variables aléatoires discrètes

1 Couple de variables aléatoires discrètes Université de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles Année universitaire 3-4 MA 84 - Master CM4 Couple de variables aléatoires, indépendance Couple de variables aléatoires discrètes.

Plus en détail

LE COURS. Mathématiques Séries S ES/L STMG STI2D STL LOIS A DENSITÉ. Note liminaire. Prérequis

LE COURS. Mathématiques Séries S ES/L STMG STI2D STL LOIS A DENSITÉ. Note liminaire. Prérequis Programme selon les sections : - lois normales : toutes sections - lois uniformes : STI2D STL S ES/L - lois exponentielles : STI2D, STL, S Note liminaire Prérequis Etude de fonctions exponentielle intégration

Plus en détail

Exercices sur les variables aléatoires

Exercices sur les variables aléatoires Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/2). a) Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire la valeur

Plus en détail

PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes.

PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes. PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes. 1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes Dans le cas d'une répétition d'expériences

Plus en détail

Indépendance en probabilité. Loi de Bernoulli. Loi binomiale.

Indépendance en probabilité. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. 1. Indépendance... p2 2. Épreuves et lois de Bernoulli... p4 3. Loi binomiale... p6 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Indépendance 1.1. Proposition

Plus en détail

1 Probabilités-Rappel

1 Probabilités-Rappel Chapitre Probabilités sur un ensemble fini-variable aléatoire 1 Probabilités-Rappel On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la face supérieure du dé.

Plus en détail

Exercice 1. On sait que. Donc. Ce qui donne. On a. ( ) lim. Donc. lim. Posons. La suite ( ) est évidemment croissante puisque

Exercice 1. On sait que. Donc. Ce qui donne. On a. ( ) lim. Donc. lim. Posons. La suite ( ) est évidemment croissante puisque Correction Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/). a. Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire

Plus en détail

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 2009 - Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054) TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 1. Questions basiques sur les filtrations 1. Une union

Plus en détail

CHAPITRE 8 : Probabilités (1)

CHAPITRE 8 : Probabilités (1) CHAPITRE 8 : Probabilités (1) I. Généralités (rappels) 1. Vocabulaire Définitions : On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L'ensemble des résultats (ou issues)

Plus en détail

Probabilités. 1 Analyse combinatoire. 1.1 Principe fondamental de dénombrement

Probabilités. 1 Analyse combinatoire. 1.1 Principe fondamental de dénombrement Institut Galilée Licence SPI 2ème année, semestre 4 Mathématiques 2010-2011 Probabilités 1 Analyse combinatoire 1.1 Principe fondamental de dénombrement Théorème 1.1 Supposons qu'il faille réaliser deux

Plus en détail

Rappels: variables aléatoires discrètes

Rappels: variables aléatoires discrètes Rappels: variables aléatoires discrètes Samy Tindel Université de Lorraine L2 SVE - CMI Samy T. (IECL) V.a discrètes L2 SVE - CMI 1 / 39 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments

Plus en détail

PROBABILITES (généralités)

PROBABILITES (généralités) PROBABILITES (généralités) I) VÉRIFIER LES ACQUIS Exercices d'introduction : Ex 1 : (probabilité) On lance un dé truqué de telle manière que les nombres pairs est une probabilité triple de celle des nombres

Plus en détail

TD de révisions : Calcul matriciel

TD de révisions : Calcul matriciel TD de révisions : Calcul matriciel I. Révisions sur le calcul matriciel a) Remarques générales sur le calcul matriciel Le calcul matriciel n'a pas autant de propriétés que le calcul numérique : - On ne

Plus en détail

n-uplets de variables aléatoires réelles

n-uplets de variables aléatoires réelles n-uplets de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. 2 3 Loi marginale. 2 4 Caractérisation

Plus en détail

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X.

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X. Ch 07 Probabilités I VARIABLE ALEATOIRE ET LOI DE PROBABILITE I.1 - d une variable aléatoire On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans IR. L ensemble des valeurs prises par X,

Plus en détail

LES SUITES. 1 Dénitions générales

LES SUITES. 1 Dénitions générales LES SUITES Objectifs Connaître les dénitions générales. Savoir calculer une limite. Connaître les théorèmes généraux de convergence. Connaître les notions de suites négligeables et de suites équivalentes.

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES Chapitre 3 VARIABLES ALEATOIRES A DEFINITION ET CARACTERISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Première approche Soit une épreuve dont les résultats possibles sont des valeurs numériques ; un exemple immédiat

Plus en détail

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires PROGRAMME DE MATHEMATIQUES CONCOURS B ENV 1. ANALYSE Le programme d analyse

Plus en détail

Chapitre 7 Lois usuelles de probabilités

Chapitre 7 Lois usuelles de probabilités Chapitre 7 Lois usuelles de probabilités discrètes Rappels Soit X une variable aléatoire réelle. La loi de X est la probabilité que X prenne chacune des valeurs de son univers image. Loi uniforme On dit

Plus en détail

3.1 Suites mal dénies 3.2 Exercices se ramenant au cas où f est croissante 1.3 Cas où f est décroissante. 1 Résultats principaux du cours

3.1 Suites mal dénies 3.2 Exercices se ramenant au cas où f est croissante 1.3 Cas où f est décroissante. 1 Résultats principaux du cours Application des critères de convergence des suites monotones à l'étude des suites récurrentes du type u n+1 = f(u n ) Plan de ce chapitre 1 Résultats principaux du cours 11 Conditions susantes assurant

Plus en détail

Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles

Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles L2 Eco-Gestion, option AEM (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles 1 / 25 Joseph Bertrand (1900) Comment oser parler des lois du hasard? Le

Plus en détail

CHAPITRE 8 - PROBABILITÉS

CHAPITRE 8 - PROBABILITÉS CHAITRE - ROBABILITÉS OBJECTIS Définir une variable aléatoire discrète. Établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire. Interpréter l'espérance

Plus en détail

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p.

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p. 2011 Pondichéry ex 3 (5 pts) Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. On suppose que les lancers sont indépendants

Plus en détail

Chapitre III : Probabilités discrètes

Chapitre III : Probabilités discrètes Chapitre III : Probabilités discrètes Extrait du programme : I. Rappels a. Définitions Prop 1 : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Prop 2 Si A est l événement certain, p(a) = 1. Si A est

Plus en détail

Variables continues usuelles

Variables continues usuelles Variables continues usuelles I) Variables uniformes 1.1 Densités Nous avons déjà rencontré ce type de variables. Définition 1 On dit que la variable suit une loi uniforme continue sur 0,1 si sa fonction

Plus en détail

Programme de mathématiques du concours Edhec AST1. (Actualisation du 14 octobre 2011)

Programme de mathématiques du concours Edhec AST1. (Actualisation du 14 octobre 2011) Programme de mathématiques du concours Edhec AST1 (Actualisation du 14 octobre 2011) L'épreuve dure 2 heures et est composée de plusieurs exercices indépendants. Cette épreuve a pour objectif de vérifier

Plus en détail

LFA /Terminale S Mme MAINGUY 1. Probabilités conditionnelles

LFA /Terminale S Mme MAINGUY 1. Probabilités conditionnelles LF /Terminale S Mme MINGUY Terminale S Ch.6 Probabilités conditionnelles ans tout ce chapitre, on appelle Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire (autrement appelé univers). Exemple d'introduction

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance A- Variables aléatoires et lois de probabilités I Loi d une variable aléatoire 1) Définition d une variable aléatoire Exemple : Un jeu de hasard

Plus en détail

EXERCICES de mathématiques

EXERCICES de mathématiques EXERCICES de mathématiques Bonnes vacances et tous mes voeux de réussite... Liste des connaissances minimales à avoir en rentrant en deuxième année Reprendre la feuille qui a guidé les révisions du second

Plus en détail

Fiche 10 : Probabilités

Fiche 10 : Probabilités Nº : 3 MTHEMTIQUES Fiche : Probabilités Calculer une probabilité simple Exercice 5 Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir deux objets parmi 5, c est-à-dire 75. Le nombre de cas favorables

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes Probabilités M54 Année 2015 2016 Fiche no 2 Variables aléatoires discrètes Ex 1. Contrôleur contre fraudeur Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un trajet coûte

Plus en détail

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique Support du cours de Probabilités et Statistiques IUT d Orléans, Département informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans, Département Informatique Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences)

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

démonstrations exigibles au baccalauréat

démonstrations exigibles au baccalauréat démonstrations exigibles au baccalauréat fonction exponentielle (1/2) propriété : Il existe une unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = 1 1 L'existence de la fonction est admise conformément

Plus en détail

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal

Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance. E. Dostal Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance E. Dostal aout 2013 Table des matières 6 Probabilités : conditionnement et indépendance 2 6.1 Généralités............................................

Plus en détail

Variables aléatoires Lois de probabilités discrètes et continues

Variables aléatoires Lois de probabilités discrètes et continues Variables aléatoires Lois de probabilités discrètes et continues On distingue 2 types de variables aléatoires : Les variables aléatoires discrètes Elles suivent des lois de probabilité DISCRETES : - Loi

Plus en détail

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES de la voie B du concours commun d'accès aux écoles agronomiques

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES de la voie B du concours commun d'accès aux écoles agronomiques PROGRAMME DE MATHEMATIQUES de la voie B du concours commun d'accès aux écoles agronomiques l. ANALYSE Le programme d'analyse doit permettre l'acquisition de la maîtrise du calcul pour son utilité dans

Plus en détail

Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria http://al9ahira.com/ Itinéraire d'accès à (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de

Plus en détail

Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation à l agrégation interne

Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation à l agrégation interne Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation à l agrégation interne 1 Couples et vecteurs aléatoires discrets 1.1 Loi conjointe On se donne X et Y deux variables aléatoires discrètes avec X(Ω)

Plus en détail

Feuille d exercices de probabilités. si x > 0 si x 0.

Feuille d exercices de probabilités. si x > 0 si x 0. variables aléatoires à densité Feuille d exercices de probabilités Exercice 1 Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F X est définie sur R par: F X (x = { 1 5 x 5 x si x >

Plus en détail

EXERCICE 1. I. Recherche des valeurs propres de f a. Corrigé ECRICOME Eco 2010 par Pierre veuillez

EXERCICE 1. I. Recherche des valeurs propres de f a. Corrigé ECRICOME Eco 2010 par Pierre veuillez Corrigé ECRICOME Eco 00 par Pierre veuillez EXERCICE. Soit E un espace vectoriel et B e, e, e 3 ) une base de E. Pour tout réel a, on considère l endomorphisme f a de l espace vectoriel E dont la matrice

Plus en détail

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 9:0 Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale Table des matières Loi de probabilité. Conditions préalables............................ Définitions..................................

Plus en détail

Leçons d analyse et probabilités

Leçons d analyse et probabilités Leçons d analyse et probabilités 201 : Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications. 202 : Séries à termes réels positifs. Applications. 203 : Séries à termes réels

Plus en détail

F.A.Q. Probabilités et Statistiques

F.A.Q. Probabilités et Statistiques F.A.Q. Probabilités et Statistiques Le présent document est un support pédagogique visant à développer l intuition du probabiliste et statisticien en herbe. Il est en aucun cas un cours à proprement parler.

Plus en détail

Variables aléatoires.

Variables aléatoires. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 3 Variables aléatoires. 1. On lance un dé tétraédral dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et un dé octaédral dont

Plus en détail

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES CONCOURS D'ADMISSION DE 2010 Concepteur : ESSEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHEMATIQUES Mardi 10 mai, de 14h à 18h La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction,

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de Statistique de Terminale

De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de Statistique de Terminale De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de Statistique de Terminale IREM Marseille / Groupe "Statistique et Probabilités" Février 2013 Loi de Bernoulli C'est la variable de comptage

Plus en détail

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement Exercices de probabilités 1 Combinatoire et dénombrement Exercice 1 On considère un polygone convexe à n sommets. 1. Combien de diagonales ce polygone admet-t-il? 2. En combien de points intérieurs au

Plus en détail

Révision MAT1978. P (X = 0) = 1 p = q P (X = 1) = p, E(X) = p V ar(x) = p(1 p). ϕ(t) = q + pe t.

Révision MAT1978. P (X = 0) = 1 p = q P (X = 1) = p, E(X) = p V ar(x) = p(1 p). ϕ(t) = q + pe t. Révision MAT978 Chapitre 5. lois Bernoulli et binomiale Une épreuve de Bernoulli(p consiste à observer un succès ou un échec selon les probabilités où 0 p. La moyenne et la variance sont P (X = 0 = p =

Plus en détail

Un corrigé du problème d'analyse (Vers la formule de Stirling)

Un corrigé du problème d'analyse (Vers la formule de Stirling) EB : Contrôle continu de l'ue EFM3 épreuve de h3 Un corrigé du problème d'analyse Vers la formule de Stirling). Intégrales de Wallis. On a trivialement W dθ et W cosθ)dθ [sin θ. W, W. Soit n N. On a W

Plus en détail

Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite?

Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite? Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite? 2) On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus. (Y {0 ; 1 ;... ; 6}) Activité d'introduction des notions. Tireur

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis.

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis. Chapitre 5 Probabilités 5.1 Rappels 5.1.1 Vocabulaire Expérience aléatoire Définition 5.1 Une expérience dont on connaît les issues (les résultats) est appelée expérience aléatoire si on ne peut pas prévoir

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION 2013

EXERCICES SANS PRÉPARATION 2013 7-12- 2014 JFC p 1 EERCICES SANS PRÉPARATION 2013 Question 1 HEC 2013-1-S46 Soit une variable aléatoire à valeurs strictement positives, admettant une densité f et vérifiant la propriété suivante : la

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

Devoir Vacances Commentaires et corrections

Devoir Vacances Commentaires et corrections Devoir Vacances Commentaires et corrections Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques erreurs d énoncé : I) Exercice 1 Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Plus en détail

Exercice 7 [ ] [Correction] Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer

Exercice 7 [ ] [Correction] Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 20 Enoncés Lois usuelles Exercice [ 04020 ] [Correction] Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que X et Y suivent

Plus en détail

TABLEAU RÉCAPITULATIF DE TOUTES LES VIDÉOS CRÉÉES POUR LA PARTIE TERMINALE (date de mise à jour : le 6 Avril 2015)

TABLEAU RÉCAPITULATIF DE TOUTES LES VIDÉOS CRÉÉES POUR LA PARTIE TERMINALE (date de mise à jour : le 6 Avril 2015) TABLEAU RÉCAPITULATIF DE TOUTES LES VIDÉOS CRÉÉES POUR LA PARTIE TERMINALE (date de mise à jour : le 6 Avril 2015) Pour trouver ces vidéos sur le site mathenvideo.fr, il vous suffit d écrire le numéro

Plus en détail

Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques

Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques 1 er février 2010 Plan 1 Introduction : pourquoi des probabilités? 2 Notions de probabilités 3 Statistiques et estimation Introduction

Plus en détail

Fonction puissance entière. Fonction puissance négative. Fonction racines. Fonction logarithme ln. Quelques rappels. ECS Fonctions usuelles 1/5

Fonction puissance entière. Fonction puissance négative. Fonction racines. Fonction logarithme ln. Quelques rappels. ECS Fonctions usuelles 1/5 ECS-0 Fonctions usuelles /5 Fonction puissance entière (x x n ), pour n N : bijection de R + dans R + si n pair, bijection de R dans R si n impair, croît vers l'inni d'autant plus vite que n est grand

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

TD-COURS

TD-COURS 19-1- 2012 J.F.C. Td-Var p. 1 TD-COURS 8 2011-2012 RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS SUR LES PROBABILITÉS ET LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Ensemble dénombrable. Tribu, tribu engendrée, espace probabilisable

Plus en détail

Variables Aléatoires Continues

Variables Aléatoires Continues Novembre 2010 Plan du Chapitre 1. Généralités 2. Variables Continues Usuelles 3. Espérance et Variance 4. Couple de Variables Aléatoires 5. Covariance et Corrélation 6. Autres Variables Continues Usuelles

Plus en détail