Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe

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1 Termiale S mai 6 Cocours Fesic Calculatrice iterdite ; traiter eercices sur les 6 e h ; répodre par Vrai ou Fau sas justificatio + si boe répose, si mauvaise répose, si pas de répose, bous d poit pour u eercice etièremet juste Eercice Le pla complee est rapporté à u repère orthoormal ( O ; u, v) Soit la foctio f qui, à tout poit M d affie z, z différet de, associe le poit M d affie z telle que a f possède deu poits ivariats cojugués z + z ' = z b L esemble des poits M d affies z tels que z ' R est l ae des abscisses c L esemble des poits M d affies z tels que z ' = est u cercle d A tout poit M du pla d affie z, o peut associer u poit M d affie z tel que f( M) = M ' sauf au poit M d affie z ' = Eercice Le pla complee est rapporté à u repère orthoormal ( O ; u, v) O cosidère les complees z de π module et d argumet, z = z et z = + i a b 8 9 z z z 4 7 z 6 z z c ( ) 4 = 4 est u ombre réel z z = 8 6 d L esemble des poits M d affie z telles que arg ( z ) arg ( z ) = est la droite d équatio = Eercice Le pla complee est rapporté à u repère orthoormal ( O ; u, v) O cosidère le poit A d affie a = 5 i O appelle : * B le poit d affie b, image de A par la rotatio de cetre O et d agle π, * C le poit d affie c, milieu de [OA], =, * D le poit d affie d doée par d c ( b a ) * E le poit d itersectio des droites (AD) et (BC) a Le poit B a pour affie b = + i b D est le milieu de [OB] c E est le barcetre de {(B, ) ; (C, )} d La droite (OE) est perpediculaire à (AB) Termiale S F Laroche Cocours Fesic mai 6

2 Eercice 4 a La courbe représetat la foctio si ( ) est la courbe C C C - - C C b O cosidère les trois courbes de la page suivate : la courbe représetat la foctio e + est C c O cosidère la foctio f représetée par la courbe (C) ci-dessous et la foctio F défiie sur [ ; 4] par F est croissate sur [ ; 4] F( ) = f( t) dt 4 d O cosidère les mêmes foctios f et F qu au c La foctio F est deu fois dérivable sur F '' = [ ; 4] et vérifie ( ) Termiale S F Laroche Cocours Fesic mai 6

3 6 5 C C C Eercice 5 a Soiet f, g et h trois foctios défiies sur R O suppose que, quel que soit R, o a : f( ) g( ) h( ), que lim f( ) = et que lim h( ) = Alors g() admet ue limite quad ted vers + et cette limite est comprise etre et 5 b Soit f la foctio défiie par e f( ) = pour et ( ) das u repère du pla (C) possède ue asmptote d équatio = et c La foctio F défiie par sur * R + f = O appelle (C) sa courbe représetative lim f( ) = Termiale S F Laroche Cocours Fesic mai 6 > F( ) = l est ue primitive de la foctio f défiie par f( ) = l d Soiet f la foctio défiie par f( ) = l et (C) sa courbe représetative das u repère du pla (C) possède au poit d abscisse ue tagete d équatio = Eercice 6 a Soit u la suite défiie pour tout N * par covergete O cosidère pour cela le raisoemet suivat : «Je choisis m = et M = Soiet * u t e dt, soit u t e la suite apparaît borée par m = et M = Soit de plus N * La foctio N et t [ ; ] t e t, soit efi t u = e dt O veut prouver que la suite u est, o a t t t t, doc e e Il s esuit que u e e Ceci état vrai pour tout N *, ; u représete doc l aire de la portio de pla comprise etre les droites d équatios =, =, = et la courbe représetat cette est cotiue et positive sur [ ]

4 foctio Cette aire augmete quad augmete, ce qui se traduit par le fait que la suite u est croissate Coclusio : u est croissate et majorée par doc la suite u est covergete» Ce raisoemet est eact b Soit f la foctio défiie sur [ ; l ] par : ( ) ( ) f = e O appelle (C) la courbe représetative de f das u repère du pla O cherche à calculer l aire de la portio de pla limitée par les droites d équatio =, = l, = et la courbe (C) O cosidère pour cela le raisoemet suivat (et le reseigemet l,7 ) : «La foctio F défiie par F( ) = ( ) e est ue primitive de f sur [ ] [ ; l ] et F '( ) = e + ( ) e = ( ) e l l O a : f d ( ) e ( ) ( ) ; l F est e effet dérivable sur ( ) = = l = 4l, Comme le résultat est égatif, c est que l aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit, uité d aire» Ce raisoemet est eact c Soit f lafoctio défiie sur R par f( ) = ( + ) O cherche ue approimatio de f (, ) cosidère pour cela le raisoemet suivat : «f est défiie et dérivable sur R Pour réel, ( ) 9 O f '( ) = + et la courbe représetat f possède ue tagete au poit d abscisse d équatio = f '() + f(), soit = + O e déduit que f(, ), +, soit f(, ),» Ce raisoemet est eact d Soit D l esemble des valeurs réelles telles que si Soit f la foctio défiie sur D par : cos f( ) = O veut prouver que f est décroissate sur D O cosidère pour cela le raisoemet si suivat : «f est ue fractio dot le umérateur et le déomiateur sot dérivables sur D et dot le déomiateur e s aule pas sur D O e déduit que f est dérivable sur D si cos Pour D, o a f '( ) = = Pour tout D, o a f '( ) < Comme le sige de la si si dérivée doe le ses de variatio de la foctio, c est que f est strictemet décroissate sur D» Ce raisoemet est eact Eercice 7 Soit (E) l équatio différetielle : ' + = e si = Soit f la foctio défiie par f( ) e ( cos si ) a f est dérivable sur R et, pour R, f '( ) = e cos b Pour N, ( + ) π ( ) π ( ) π f '( ) d = e e + π c f est l uique solutio de l équatio (E) qui s aule e d Si g est ue solutio de (E), la courbe représetat g possède ue tagete au poit d abscisse dot ue = g équatio est doée par ( ) ( ) Termiale S 4 F Laroche Cocours Fesic mai 6

5 Eercice 8 Le pla est mui d u repère orthoormal ( O ; u, v) appelle D f l esemble de défiitio de f a * D f + =R + Soit f la foctio défiie par ( ) f = l 5 O b Soit g ue foctio défiie et dérivable sur D g = R, telle que quel que soit Dg, g '( ) = f et g sot égales à ue costate additive près + f( ) c lim = 5 d lim f ( ) = > Eercice 9 * Soiet λ R + et les foctios f et f défiies sur R par C leurs courbes représetatives das u repère du pla a C et C se coupet au poit A( l λ ; λ ) ( ) f = e, f ( ) = λ e + λe O appelle C et b Quel que soit * λ R +, C est au-dessus de C c Il eiste u poit B e lequel C et C possèdet la même tagete d Lorsque λ est supérieur à, l aire de la portio du pla comprise etre les courbes C et C et limitée par les droites d équatio = et Eercice = l λ est, e uités d aire, ( λ ) O cosidère ue suite v strictemet croissate dot tous les termes appartieet à l itervalle [ ; π ] O défiit les suites c et s pour N par c = cos ( v ) et s = si ( v ) a La suite v coverge vers π b La suite c est croissate c La suite s est périodique d Les suites c et s sot adjacetes si et seulemet si la suite v coverge vers 4 π Eercice Le pla complee est rapporté à u repère orthoormal ( O ; u, v) N par z π i = e et o appelle A le poit d affie z a Quel que soit N, A appartiet au cercle de cetre O et de rao b Quel que soit N, z + z = z c La suite ( z ) est périodique de période 5 4 d zk = z + z + + z4 = k= O cosidère la suite ( ) z défiie pour Termiale S 5 F Laroche Cocours Fesic mai 6

6 Eercice O cosidère la suite u défiie pour N * par : u = et u+ = + a Pour N *, o a b La suite u est croissate u =! ( ) c Quelque soit N *, si o a, alors o aura : d La suite u est covergete et de limite ulle Eercice u 4 u O cosidère u espace probabilisé fii ( Ω, p ) das lequel u évéemet A a les trois possibilités A, A, et A deu à deu distictes de se produire et u évéemet B a les deu possibilités B et B distictes de se produire Le tableau suivat doe e pourcetages la probabilité de certais évéemets de se produire par rapport à l uivers Ω A A A Total / A B B Total / B O doe aussi les reseigemets suivats : p ( A ) = 6 % et ( A ) a A et B sot icompatibles b La probabilité d obteir B est 4 % c Si A est réalisé, la probabilité d obteir A et B est 4 % d La probabilité d obteir A et B est 4 % Eercice 4 p B = 6 Ue rampe lumieuse est costituée d ampoules bleues, rouges ou jaues proveat de deu usies U et U U produit 6 % de ces ampoules La durée de vie e aées de chacue de ces ampoules suit ue loi epoetielle dot les paramètres sot les suivats : Ampoules de U λ B =,5 Ampoules bleues Ampoules rouges Ampoules jaues λ =, R λ =,5 Ampoules de U λ B =, λ R =,5 λ J =, J a La probabilité qu ue ampoule rouge dure mois de 5 as sachat qu elle viet de U est,6 ( e ),5 b La probabilité qu ue ampoule rouge dure mois de 5 as est,6e, 4e c La probabilité qu ue ampoule jaue dure etre 5 et as est (,75,5,6 e e ), 4( e,5 e ) d La demi-vie e aées d ue ampoule jaue de U est 4 l + Termiale S 6 F Laroche Cocours Fesic mai 6

7 Eercice 5 Le schéma ci-dessous représete ue situatio de l espace das u repère approprié dot le cetre est u poit O O sait que la droite d est orthogoale au pla P O appelle A le poit de coordoées ( ; ; ) z d P - O - a Le pla P a pour équatio cartésiee z = = t b La droite d a pour équatios paramétriques : = + t, t R z = + 4t = + t c La demi-droite [OA) a pour équatios paramétriques : = t, t R z = t Termiale S 7 F Laroche Cocours Fesic mai 6

8 d La sphère de cetre O et de rao est cachée par P Eercice 6 L espace est mui d u repère orthoormal ( O ; i, j, k ) Pour θ R, o désige par P et Q les plas d équatios respectives O appelle la droite d itersectio de ces deu plas a Pour tout θ R, les plas P et Q sot orthogoau b Pour tout θ R, la droite est coteue das le pla d équatio = si θ P :, z R z = R c Pour tout θ R, la droite est orthogoale au pla d équatio + + z = z = cos θ Q : R d Il eiste u réel θ tel que soit parallèle au pla ( O ; i, j ) Termiale S 8 F Laroche Cocours Fesic mai 6

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