Remise à Niveau Mathématiques

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1 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Corrigés des eercices Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

2 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet CALCUL NUMERIQUE 3. DEFINITIONS DE BASE 3. PUISSANCES D UN NOMBRE 3.3 GRANDES ET PETITES VALEURS, ORDRE DE GRANDEUR 4.4 CALCUL FRACTIONNAIRE 5.5 PROPORTIONS ET POURCENTAGES 6.6 OPERATEUR SOMME 8.7 DIFFERENTS TYPES DE MOYENNES 9.8 BASES D ECRITURE 9 CALCUL LITTERAL 0. MISE EN FORME ET DEFINITIONS 0. CALCUL LITTERAL DANS DES CAS SIMPLES 0.3 POLYNOMES 3.4 OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 3 3 RAISONNEMENT ET MISE EN EQUATION 8 3. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 8 3. MISE EN EQUATION D UN PROBLEME 0 Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

3 Calcul umérique. Défiitios de base Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Calculer le quotiet et le reste de a divisé par b (divisio euclidiee) puis calculer le résultat (e posat la divisio) approché à la 5 ième décimale : a. 5 = quotiet : 5, reste : 5 ; b. 5 = quotiet : 4, reste :. ; c. O posera ici la divisio : , = (quotiet, reste) et d après la divisio posée (arrêt à la ciquième décimale pour u quotiet décimal) : 435 = 0, puissaces d u ombre. Calculer : a. (, ) =, = 6, = ; 3 b., , 3. 0 =,8 0, = 0, = ; 3 c. (,. ) d. 70 =,7 0-6 = 7,9 0-6 = 0, ; 3 45, , 3. 0 = , = =, = , e., , 3. 0 =, = 4, 80. = 480 ; 6 3 = 5 3 f = 3 = 3 = 8 9 = 7 ; g., 44 0, 6 0, 64 =, 0,4 0,8 = 0 ; h = = 8 ; Page 3 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

4 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Les réels et y sot-ils égau? a. = 3 et y = 3 : ² = 4 3 = et y² = 9 = 8, doc ils e sot pas égau ; b. c. = et y = : ² = / et y² = /4 = /, et et y sot positifs, doc = y ; = 0 5 et y = 50 : d. = 3 + et y = + : 3 = 5 5 = 5 = 50 et y = 50 ; = 3 + et y = + = + + = 3 +, et et y sot positifs, doc = y..3 Logarithmes a. log 0 (000) = log 0 (0 3 ) = 3log 0 (0) = 3 = 3 b. log 0 (0,0) = log 0 (0 - ) = -log 0 (0) = - = - c. log (5) + log (0,6) = log (5 0,6) = log (3) 3 d. log 0 00 = log 0(3) log 0 (00) = log 0 (3) e. log 0 (0,07) = log 0 (7) log 0 (00) = log 0 (7) f. 8 log 0( 5 ) = 4 log 0( 5 ) = 4 log 0 ( 5 ) = 4 log 0 (5) g. 8 l( 5 ) = 4 l 5 = 4 l(5) 5 = 4 l ( ).4 grades et petites valeurs, ordre de gradeur. Calculer la valeur eacte et l eprimer e otatio scietifique : 3 a., , 9. 0 = = 560 = 5,6 0 4 ; 3 b., , 3. 0 = = = 5,4 0 4 ; 3 c. (,. ) d. 70 =,7 0-6 = 7,9 0-6 ; 3 45, , 3. 0 = , = =, , e., , 3. 0 = = 480 = 4, ;. Ordre de gradeur : simplifier mauellemet pour obteir u résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis doé par la calculatrice : , 0. 5, 30. 7, a. = 0 4 0, 3, 07 6, et le calcul e toute précisio doe 3, eviro ; 9 9 Page 4 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

5 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3, 0. 3, 0. 5, b. = 0 0, 3 0 = , 4, 50. 6, et le calcul e toute précisio doe 3, eviro ; c. 4, 7, 34 9, = = 5, 3 6, 8, et le calcul e toute précisio doe,048 eviro ; , 0 4, 0 4, 0 d ,,, et le calcul e toute précisio doe 6, eviro ; e = = = = 0, et le calcul e toute précisio doe 0,074 eviro ; f. = = et le calcul e toute précisio doe 996 eviro ;.5 calcul fractioaire 4 4. Doer la valeur eacte du résultat sous la forme d ue fractio irréductible : 6 a b = = = = = = = = c d e = + + = = = = = = = = = = + = = Page 5 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

6 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 5 3 f = = = = g , , = + = + = = = h = = = = ; i = = = j = + = + = + = + = + = = proportios et pourcetages a. Sachat qu il faut 300 grammes de farie et œufs pour faire trete petits gâteau, combie faut-il de farie et d œufs pour faire soiate quize petits gâteau? Et si l o veut e faire cet ciquate? O applique ue simple proportio : diviser par 30, multiplier par 75, que l o peut simplifier (c est ue fractio) e 5/. O a besoi de 750g de farie et 5 œufs pour 75 gâteau. Pour 50, o double les quatités,5kg de farie et 0 œufs. b. 8 petites baaes sot équilibrées par 3 poids de 50 grammes et poids de 5 grammes. Combie dois-je retirer de baaes si j ai retiré u poids de 50 grammes et que j ai rajouté poids de 5 grammes? 8 baaes pèset 60 g, soit 0 g par baae. Pour 0 g, 6 baaes. c. Trois tuyau débitats chacu 5 m 3 par heure permettet e ue jourée de 8 heures d arroser 50 hectares. Ayat augmeté la surface à arroser de 5 %, Pedat combie de temps dois-je arroser maiteat avec les 3 tuyau? Page 6 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

7 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Le temps doit doc s alloger de 5 %, doc être multiplié par,5 (ou être augmeté du quart, selo os préféreces) : 0 heures. d. O place u capital C 0 = 5000 à itérêts composés au tau auel t = 5 %. Chaque aée, les itérêts sot calculés à partir du capital possédé à l aée précédete puis vieet s ajouter à ce capital. Eprimer C + e foctio de C et de t, calculer le capital possédé au bout de 0 as, et dire au bout de combie de temps o obtiedra le double du capital de départ. C + = C ( + t/00). C 0 = C 0 ( + t/00) 0 = 5000,05 0 = 4433,4. Le capital aura doublé lorsque,05 =, soit l(,05) = l() = 4, as e. U capital de 5000 est déposé à itérêts composés pedat 7 as. Détermier le tau d itérêt auel sachat que ce capital a produit 3569 d itérêts. C 7 = 5000 (+t/00) 7 = t/00 = , 08. Tau auel : 8% f. U article vaut 79 TTC. Le tau de TVA s élève à 8,6 %. Quel est le motat HT? HT,86 = TTC, doc HT = 79/,86 = 66,6. g. Das u article de presse, o peut lire que le pri du gasoil à la pompe a augmeté successivemet de 5%, 8% et 0%, puis a baissé de 5%. Etre les istats iitial et fial, quelle a été le tau de variatio du pri du gasoil? pri iitial,05,08,0 0,85 = pri fial, doc p i,0609 = p f. Augmetatio : 6,09 %. h. Vous placez u capital le er javier au tau auel de 6% mais vous désirez retirer votre arget au bout de 6 mois. Combie retirerez-vous? Le coefficiet d augmetatio est,06 sur u a. Sur 6 mois, il vaut c tel que c c =,06 (deu augmetatios successives idetiques doerot l augmetatio auelle). Doc c =,06 =,0956. Au bout de 6 mois, o retirera so capital, plus,956 % d itérêts..7 Iterpolatio liéaire iterpolatio ou etrapolatio Das chaque cas, o doe deu poits E et F. O doe ue coordoée d u poit M aligé avec E et F, il s agit de trouver l autre! ym ye yf ye Das tous les cas, la relatio = M E F E est valable. Il suffit de l appliquer. a. E( ; 8), F(5 ; ), M(4 ;?) ym 8 8 ym = = ym 8 = ym = 8 = Page 7 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

8 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet (o peut remarquer que l abscisse de M, 4, se trouve au deu tiers de l itervalle d abscisses du segmet [EF] : [ ; 5]. L ordoée de M est doc forcémet au deu tiers de l itervalle d ordoées de [EF] : [8 ; ], dot l amplitude est 7, c est à dire y M = 8 /3 7, d où y M = 0/3) b. E(-3 ; ), F(3 ; 4), M(?; 6) M = = = = 3 M + 3 = M = 9 M M (o peut remarquer que l echaîemet des ordoées de E, F, M état, 4, 6, soit ue variatio costat de +, o doit forcémet avoir ue variatio costate des abscisses das le même ordre E, F, M. C est le cas, puisqu o a -3, 3, 9, soit ue variatio costate d abscisses de +6) c. E(6 ; ), F(3 ;-8), M(4 ;?) ym 8 ym 9 = = = 3 ym = 6 ym = (o peut remarquer que l abscisse de M, 4, se trouve au deu tiers de l itervalle d abscisses du segmet [EF]:[6; 3]. L ordoée de M est doc forcémet au deu tiers de l itervalle d ordoées de [EF]:[;-8], dot l amplitude est 9, c est à dire y M = /3 9, d où y M = -5).8 opérateur somme. Ecrire avec l'opérateur somme les epressios suivates : a = 5 b. + ² + 3³ + + = i i i i c. q 9 + p q 8 + p q 7 + p 3 q p 8 q + p 9 = i i 9 9 pq 0. Calculer les sommes proposées : a. 4 i 00 b. ( i 00 ) 9 5 = = = = i 00 = = 00 = c. ( 3i + 5 b) d = 8 = 88 6 i e. ( + ) = 3 i + 5 b = b + b + b + b + b = b i i i i = = = = 470 Page 8 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

9 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet.9 différets types de moyees Das chaque eercice, résoudre le cas cocrètemet puis associer au résultat la défiitio d ue des moyees vues e remise à iveau, tout e vérifiat la formule doée pour cette moyee. a. U avio fait u trajet etre la ville A et la ville B distates de 650 km à la vitesse moyee de300 km/h à vide. Lourdemet chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyee de 00 km/h. Quelle est la vitesse moyee sur le trajet aller-retour? distace totale Vitesse moy = = = = = = 40. durée totale La vitesse moyee de l avio est 40 km/h et le calcul correspod à celui de la moyee harmoique des ombres 00 et 300 (l iverse de la moyee arithmétique des iverses). b. Soiet ciq plaques carrées de côtés respectifs, 5, 7, 3 et 6 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dot l'aire est la moyee arithmétique des aires des ciq plaques? aires des 5 plaques : ², 5², 7², 3², 6², soit, 5, 49, 69, 56. Moyee arithmétique des aires : ( )/5 = 500/5 = 00. Côté d u carré d aire 00 : 00 = 0 cm. La racie carrée de la moyee arithmétique des carrés de, 5, 7, 3, 6 est leur moyee quadratique, 0. c. Le pri d'u article augmete de 0 % la première aée, puis de 0 % la deuième aée, et baisse de 0 % la troisième aée. Quel a été le pourcetage moye d'augmetatio par a? Coefficiet multiplicateur global :,, 0,9 =,88 (8,8% d augmetatio sur 3 as). Si o veut appliquer 3 fois la même augmetatio (coef c) et arriver au même résultat, il faut que c c c =,88 et doc que c = 3, 88, 059. L augmetatio auelle moyee a été de 5,9 %. La racie cubique du produit de trois ombres est leur moyee géométrique. Ici,,059 est la moyee géométrique de,,, et 0,9..0 bases d écriture Page 9 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

10 calcul littéral. mise e forme et défiitios. calcul littéral das des cas simples Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Développez les produits remarquables suivats : a. ( + 3)² = ² ; b. (5- )² = ² ; c. (3-5)² = 9² ; d. (6-5)(6 + 5) = 36² -5 ; e. (3 + )(3 - ) = 9 4² ; f. (-- )² = ( + )² = 4² ; g. (-7-(-3))² = (7 + (-3))² = ² ; h. (y-(-3))² = (y + 3)² = 4y² + y + 9² ; i. (y- + )² = (y-)² + (y-) + 4² = y² - y + + 4y 4 + 4² ; j. (- 5 + y)(y ) = (y + (-5))(y-(-5)) = y² -(-5)² = y² - 4² Etablir le triagle de VOUS (à l image du triagle de Pascal) qui permet d établir les coefficiets des polyômes obteus e calculat ( a +b ). Testos les développemets des premières puissaces : (a+b) 0 = (a+b) = a + b (coefs: ; ) (a+b) = a² + 4ab + 4b² (coefs: ; 4 ; 4) (a+b) 3 = a³ + 6a²b + ab² + 8b³ (coefs: ; 6 ; ; 8) Ebauche du triagle : Il semblerait qu u ombre soit la somme de celui qui se trouve au-dessus et du double de celui qui se trouve au-dessus, à gauche. Cette cojecture peut sas grade difficulté se prouver par récurrece : ous laisseros le soi au téméraires d y réfléchir. Pour aller plus loi, o peut remarquer que les coefficiets du développemet de (a+b) sot ceu de la lige du triagle de Pascal et sot doc les ombres de combiaisos C pour k allat de 0 à (k représetat la puissace de b das le terme correspodat). k Les coefficiets du développemet de (a+b) k k sot doc égau à C. 3. Développer 7, e déduire la valeur de 9 7. Avec les coefficiets de la lige 7 du triagle de Pascal : (-) 7 = Doc (0-) 7 = = = = Page 0 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

11 4. Développer ( + ) 7, e déduire la valeur de 7. Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet (+) 7 = Doc (0+) 7 = = = = Soit le ombre M = O souhaite coaître sa valeur eacte. a. Calculer P = ( )( 7 6 ) sas calculatrice. P = ( )( 7 6 ) = = 5 = 5 b. Eprimer M² e foctio de P, puis coclure sur la valeur de M. M² = 7+ 6 P = 4 P = 4. Doc M = (M est maifestemet positif au vu de sa défiitio). 6. Résoudre das R après avoir élimié les valeurs iterdites : 5 a. + = valeurs iterdites pour : 0, ½ et. Mettos à gauche au même déomiateur, par eemple : = =. L égalité des produits e croi doe : ( ), doc ( ) = 5. O développe et o regroupe à gauche :-0² = 0. = 96 = 4² 6. Les solutios, réelles, sot ± 6, qui e sot pas iterdites. 5 b. + 3 = + aucu problème de égativité das la racie carrée, doc pas de valeur iterdite ici. L égalité motre ici deu ombres forcémet positifs (puisque l u est ue racie carrée). Il est doc équivalet de dire que leurs carrés sot égau : ² + 3 = ² , et doc = -/4(o pourra vérifier l égalité de départ). c > 0 valeur iterdite : (o a vérifié que était pas racie du umérateur). O a affaire ici à ue étude de sige sur ue forme costituée de facteurs, évetuellemet factorisable davatage. Etudios ² : = 49 = 7². Ses racies, réelles, sot 5 et. O dresse u tableau de siges de l esemble : ² fractio Solutios de l iéquatio de départ : ]-5 ; [ ] ; + [. Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

12 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet d. 4 + valeur iterdite : 0 (qui est pas o plus racie du umérateur). Le plus prudet est de tout regrouper et tout mettre sur le même déomiateur. E effet, multiplier par à gauche et à droite est dagereu : ue iéquatio e chage pas de ses à coditio qu o la multiplie par u ombre positif, cela ous obligerait ici à distiguer deu cas. ( 4 + ) Le umérateur est positif (strictemet, d ailleurs) pour tout réel et doc le sige de la * fractio est directemet celui de, so déomiateur. Solutios : R Trouver le moye d obteir ue écriture simplifiée de A + B C, A, B et C positifs, sous la forme a + b c, lorsque c est possible (dire sous quelles coditios ça l est). Applicatio : doez ue écriture simplifiée de O a doc forcémet A + B C = a + b c = a + ab c + b c. Par aalogie, o peut tout à fait poser c = C, positif, a² + b²c = A, doc positif, et ab = B. Aisi, b = B/a et o peut écrire : a² + B²C/4a² - A = 0, soit e multipliat par a² : 4 a Aa + B C / 4 = 0, équatio «du secod degré e a²», de discrimiat A² - B²C. A doit être supérieur à B C pour que le discrimiat soit positif. A ce momet-là, il y a deu solutios pour a² : a Résumos : A partir de A + B C, o vérifie que A B C puis o calcule : A ± A B C B c = C ; a = ; b = a A ± A B C =, toutes deu positives. Applicatio : écriture simplifiée de ± 7. 6 O a : c = 6 ; a = = 6 ou ; b = =. a a O coviedra que le choi de a = et b = est le plus simple mais que le choi de a = 6 et b = / 6 doera fialemet la même chose. O vérifie que = + 6, par ue mise au carré. Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

13 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet.3 polyômes.4 opératios sur les polyômes. Additios, multiplicatios ; simplifier : a. ( 5 3 ) ( 4 3 ) = = = b. ( ) ( ) = ( )( + ) = ( )( + ) = ( ) + ( ) = c. ( + )( 3)( ) ( 3 3)( ). ( 3)( ). = + = = 3 3 = = Doer les racies des polyômes ci-dessous : P = a + b c + d a. P() = 0 [a + b = 0 ou c + d = 0], soit [ =-b/a ou = -d/c] P = : polyôme du secod degré à coefficiets tous o uls b. = 49 4 = 5, strictemet positif. Deu racies réelles : c. = 3 7 P = ( ) 7 5 = 6 3 et = 6 P : polyôme du secod degré factorisable immédiatemet d. P 3 7, qui s aule pour les racies 0 et 7/3. = 3 + : polyôme du secod degré trivial. Somme de et d u ombre positif, P() e peut s auler (pas de racie). P = 3, P() = 0 reviet à ² = /3, d où deu racies Remarque : das le cas où réelles : + ou (/3). Remarque : les eercices c. et d. peuvet être traités par la méthode géérale ( ), mais celle-ci est ue perte de temps et représete u risque d erreur das ces cas où l o recherche les racies d u biôme et o d u triôme.. Page 3 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

14 e. Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3 P = : polyôme du troisième degré dot o s attachera à trouver ue racie «évidete» pour amorcer ue factorisatio (la méthode géérale eiste, mais ous e l utiliseros pas, voir sur Iteret). P = = 0 : est ue racie de P(), qui se factorise doc par (-). = ( )( + + ) P b c. O peut trouver les coefficiets b et c du polyôme du secod degré par divisio (voir eercices suivats) ou par idetificatio (e développat) : + b + c = 3 + b + c b c, ce qui ous doe : [b- = -4; c-b = -3;-c = 70], soit [c = -35; b = -; b = -]. P = 35. Doc Reste à détermier les racies réelles, si elles eistet, de 35 (ici: 7 et 5). P = P() admet trois racies réelles :, 7 et 5 ; 3. Divisios : a. Diviser selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré 5 : = Page 4 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

15 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet b. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : = c. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : = d. selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré e. Diviser selo les puissaces CROISSANTES : = = Page 5 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

16 + 5 + f. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet = Décompositio sur les racies du diviseur : Soit à diviser les deu polyômes suivats puis à obteir la décompositio sur les racies du diviseur du reste (divisios par les puissaces décroissates) : 5 3 P = DIVIDENDE : DIVISEUR : D = + 3 a. Eprimer le quotiet Q( ) et le Reste R ( ) de P D Q = + ; R = Page 6 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

17 b. Calculer les deu racies du diviseur Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet D = + 3 Il est du secod degré. Ses coefficiets a, b, c sot,, -3. = b² - 4ac = + 4 = 5. Le discrimiat est positif, doc D() possède deu racies réelles distictes : b 5 3 = = = a 4 et b = = = a 4 3 D = + O remarque dès maiteat que c. Décomposer R D à l aide des racies du diviseur R ( + + ) = 6 6 = 6 6 a b peut s écrire + où a et b sot deu D 3 ( )( ) + 3 coefficiets à détermier. O procède par idetificatio e remettat cette derière epressio au même déomiateur et e l idetifiat à la première epressio : a b a( + 3) + b( ) ( a + b) + 3a b + = = a + b = Le umérateur doit doc être égal à +, d où le système : a b = 6 E additioat les deu équatios, o obtiet : 5 a = 680,soit a = 336 = ; et efi avec la première équatio par eemple : b = a = = Pour fiir, o écrira le résultat de la divisio : 48 P R = Q + = D D d) Calculer P D Q,,, R D ( ) somme de deu fractios. Que peut o alors écrire? P = = 46 ;, ce derier état eprimé sous la forme d ue D = = R Q = = ; = = = = D O peut alors écrire : = Page 7 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

18 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3 raisoemet et mise e équatio 3. Raisoemet par récurrece. Motrer par récurrece que, pour tout etier supérieur ou égal à, que i = ( + )( + ) 6 3 et efi que i = i. ( + ) i =, puis ( + ) i = ( P )? Iitialisatio : la propriété est-elle vraie pour =? ( + ) i = et = Récurrece : La validité au rag etraîe-t-elle celle du rag suivat? ( P ) ( P + )? + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) i = i + + = + + = = ( P ) ( P + ) E effet, l hypothèse au rag motre la validité de la formule au rag +. La formule est doc démotrée, par récurrece, pour tout etier supérieur ou égal à. i = ( + )( + ) 6 ( P ) Iitialisatio : la propriété est-elle vraie pour =?? i ( + )( + ) OK = et = 6 Récurrece : La validité au rag etraîe-t-elle celle du rag suivat? ( P ) ( P + )? + ( + )( + ) ( + )( + ) + 6( + )( + ) i = i + + = + ( + ) = 6 P ( ) = = = E effet, l hypothèse au rag motre la validité de la formule au rag +. La formule est doc démotrée, par récurrece, pour tout etier supérieur ou égal à. 6 P + OK Page 8 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

19 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 3 i = i P? Iitialisatio : la propriété est-elle vraie pour =? ³ = ()²? oui Récurrece : La validité au rag etraîe-t-elle celle du rag suivat? + i = i + + = i + ( + ) i + ( + ) ( + ) 3 3 = i + ( + ) + ( + ) = i + ( + ) ( + ) = i + ( + ) = ( P ) E effet, l hypothèse au rag motre la validité de la formule au rag +. i ( P ) La formule est doc démotrée, par récurrece, pour tout etier supérieur ou égal à.. Motrer par récurrece que la dérivée ième de la foctio + e est e +. Iitialisatio : la propriété est-elle vraie pour =? (.e ) =.e +.e = ( + )e. OK Récurrece : La validité au rag etraîe-t-elle celle du rag suivat? P P + (.e ) (+) = [(.e ) () ] = [( + )e ] =.e + ( + )e = ( + +)e doc La formule est doc démotrée, par récurrece, pour tout etier supérieur ou égal à. 3. La spirale de Pythagore : Cette «spirale» est ue successio de côtés de triagles rectagles bâtis les us à partir des autres. Le premier est isocèle est les côtés perpediculaires sot de logueur. So hypotéuse sert de base au triagle rectagle, dot le côté perpediculaire est à ouveau de logueur. L hypotéuse du triagle sert de base au triagle 3, et aisi de suite. Motrer par récurrece que la logueur de l hypotéuse du triagle est +. Iitialisatio : la propriété est-elle vraie pour =? Le premier triagle a pour mesures perpediculaires et. Le théorème de Pythagore motre que so hypotéuse vaut, soit +. OK Page 9 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

20 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Récurrece : La validité au rag etraîe-t-elle celle du rag suivat? Le triagle + a pour mesures perpediculaires + ( P ) et. So hypotéuse h est doc telle que h² = ( + )² + ² = + +, et doc h = + +, ce qui correspod bie à la propositio éocée, au rag +. La formule est doc démotrée, par récurrece, pour tout etier supérieur ou égal à. 3. Mise e équatio d u problème. Vol au vet : U avio de tourisme, dot la vitesse das l air calme est de 50 km/h, va d ue ville A à ue ville B et reviet aussitôt à la ville A. la distace AB vaut 308 km. Pedat la durée du vol, le vet a soufflé de maière uiforme das la directio (AB), das le ses A vers B. Calculez la vitesse du vet, sachat que l avio a mis, pour reveir ue demi-heure de plus qu à l aller. O part de l hypothèse que le vet «pousse» l avio à l aller, et qu il le freie au retour. O otera v la vitesse du vet, e km/h. Rie de variable ici, tout est fié (mais pas forcémet cou). Nous sommes das le cotete de la formule D = V t. Complétos : aller retour Distace Durée v 50 v Vitesse 50 + v 50 - v L hypothèse «l avio a mis, pour reveir ue demi-heure de plus qu à l aller» ous coduit directemet à écrire : 308 = Multiplios par pour simplifier : 66 = v 50 + v 50 v 50 + v Mettos tous les termes das le même membre (du même côté) et au même ( + v) ( v) ( v ) déomiateur : = 0, qui équivaut à u 50 v umérateur ul, soit après développemet et simplificatio : v + 3v 500 = 0 = 3² = 60784, = 68. b 3 68 b v = = = 50, irréaliste ici et v = = = 8. a a Le vet a doc soufflé à 8 km/h. (o otera qu ue vitesse du vet atteigat ou dépassat 50 km/h red les epressios mathématiques et la situatio physique irréalistes). Vol au vets : Page 0 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

21 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Das la même situatio que précédemmet, mais das u cas gééral, o ote V la vitesse de l avio (fiée), v celle du vet (fiée) et D la distace AB (fiée). Motrer que quelle que soit la vitesse o ulle du vet, l avio mettra toujours plus de temps pour faire l aller-retour que s il y avait pas de vet. Sas vet, le temps total mis par l avio est D D DV D est + = =. V v V + v V v V v V D. Avec u vet de vitesse v, ce temps total V Comme V v < V, o voit tout de suite que D D >. V V v V V Le temps mis pour l aller-retour sera plus grad avec du vet que sas vet. 3. Tai : U tai pred u cliet à l aéroport, le ramèe chez lui puis reviet à l aéroport. L allerretour lui a pris 50 miutes (dot 5 miutes d arrêt devat le domicile du cliet). La vitesse moyee à l aller a été 36 km/h et au retour 45 km/h. Quelle est la distace etre le domicile du cliet et l aéroport? Soit D la distace cherchée et otos ta et tr les temps mis à l aller et au retour. 36t = D km ; 45t = D km ; t + t = 0, 75 h. Nous avos : a b a b Aisi : tb = ta ; ta + ta = ta =. = et D = 36ta = 5 km O fait le mur : U maço a mis jours pour moter so mur. So collègue, mois epérimeté et plus frêle, a mis 4 jours pour le même travail. Ils s associet pour moter u troisième mur, idetique au deu premiers. Combie de temps mettrot-ils e travaillat esemble (o suppose qu ils e perdet pas de temps à discuter et qu ils travaillet sas s arrêter jusqu à ce que le mur soit fii)? O est sur le même type de problème que précédemmet, mais avec d autres uités : quatité à faire, vitesse d eécutio, temps passé : Le premier maço travaille à la vitesse de 0,5 mur/jour et le secod à la vitesse de 0,5 mur/jour. A eu deu, ils évoluerot à la vitesse de 0,75, soit ¾ mur/jour. Ceci équivaut, e iversat, à 4/3 jour/mur. Ils mettrot doc u jour et u tiers. 5. Balace commerciale : Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

22 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Ue etreprise fabrique des pèse-persoes ultra-précis, qu elle commercialise das le mode etier Or le poids d ue persoe (P = mg) déped de sa masse m et aussi de g! U homme achète ue balace e Frace et s y pèse ; elle affiche : 80kg. Il emmèe sa balace e voyage e Equateur et se pèse là-bas. Quel «poids» (e fait : masse e kg) affichera sa balace? (o cosidère que la masse de cet homme est ivariable ; o predra pour valeurs de g : 9,8 e Frace et 9,78 e Equateur) L affichage de la balace est ue traductio e kg du poids (e ewtos) qu elle subit. Si elle est vedue e Frace, elle est réglée pour diviser ce poids par 9,8. La masse réelle, ivariable, de cette persoe est 80 kg (et le poids subi par la balace e Frace vaut 80 9,8 = 784,8 N). E Equateur, la balace subira u poids de 80 9,78 = 78,4 N ; mais elle est programmée pour diviser ce poids par 9,8. Elle affichera doc : 79,75 kg. 6. Problèmes géométriques : a. Parmi tous les triagles rectagles dot l hypotéuse mesure 0 cm, trouver celui qui a la plus grade aire. Notos a la logueur de l u des deu côtés perpediculaires d u tel triagle. Alors l autre côté mesure 00 a. Aisi, l aire d u tel triagle ( ) est : A = a 00 a. Versio : Pour simplifier l étude, o peut remarquer que A est positive et évolue doc das le a 00 a e foctio de a. même ses que so carré Puis, a état positif, il évolue aussi das le même ses que so carré ; otos b = a². Aisi, ous coaîtros les variatios de A e foctio de a si ous coaissos celles de b 00 b e foctio de b. Cette forme du secod degré admet u maimum lorsque b = 50. (o pouvait aussi éviter de citer b et dériver directemet a ( a ) 00 ) E coclusio, A est maimale lorsque a = 50 ; o remarquera que das ce cas de figure, le triagle rectagle est isocèle, ses deu côtés perpediculaires mesurat 50. Versio (fait appel à la partie de la RAN) : Etudios les variatios de la foctio A : a a 00 a. ( 00 a ) 3 a 4 00a 4a A( a) = 00a a ; A ( a) = = 00a a 00a a 4 4, dérivée positive ssi a² < 50. Aisi, A pred sa valeur maimale lorsque a² = 50 et o peut coclure comme das la versio. Page sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

23 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet b. U côe est posé sur sa base circulaire, horizotale. A quelle hauteur faut-il faire ue coupe horizotale de ce côe pour que les deu parties détachées aiet le même volume? Appelos α la proportio das la hauteur de découpe, comprise etre 0 et. Le théorème de Thalès, liat parallélisme et proportios, dit que rayo et hauteur des côes costructibles sur cette figure (ayat le même sommet) sot proportioels Aisi, le volume du côe d origie est V = πr H, 3 alors que celui du côe supérieur est 3 V = π ( αr) αh = π R H α. 3 3 Si o veut que le secod volume soit la moitié du premier, il faut doc que α =, soit α = 0, Pour couper, parallèlemet à sa base, u côe e deu volumes égau, il faut, e partat de sa base, faire ue sectio à 0,63 % de sa hauteur eviro. 7. Problèmes umériques : a. Vous avez 5 as, soit le double de l âge que j avais lorsque vous aviez l âge que j ai. Quel est mo âge? Appelos mo âge actuel et d la durée qui sépare aujourd hui du temps passé dot je parle. La phrase de l éocé, relue et traduite das l ordre, doe : 5 = (-d) et 5-d =. O e coclut rapidemet que = 39. Remarque : d = 3. Il y a 3 as, j avais 6 as et vous aviez 39 as, tout cocorde. b. Trouver deu etiers cosécutifs dot la différece des carrés vaut 5. S ils sot cosécutifs, l u se otera et le suivat +. (+)² - ² = 5 sigifie + = 5, soit + = 5 ou + = -5. Les deu solutios pour sot doc : = 7 ou = -8, et les deu etiers cosécutifs cherchés sot [7 et 8] ou [ 8 et 7]. Page 3 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04

24 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet c. Soit a et b deu etiers positifs. Motrer que si a² - b² est u ombre premier, alors a et b sot forcémet deu etiers cosécutifs (o pourra raisoer par cotraposée, c'est-à-dire essayer de motrer que le cotraire de la coclusio implique le cotraire de l hypothèse). O sait que a² - b² = (a + b)(a b). Or s il s agit d u ombre premier, ce ombre est pas le produit de ombres premiers ; tout au plus peut-il s écrire comme lui-même. Deu possibilités : * a b = et a + b est premier La première égalité motre que ce sot deu etiers cosécutifs (e : a = 3 et b =, a² - b² = 5 est premier) (e : a = et b =, a² - b² = 3 est premier) (attetio, l implicatio e marche que das u ses : ce est pas parce que a et b sot cosécutifs que a² - b² est forcémet premier : avec a = 5 et b = 4, a² - b² = 9 ) * a + b = et a b est premier a et b sot deu etiers positifs. Pour que leur somme soit égale à, il faut que l u vaille 0 et l autre, ce qui e permet pas à a - b d être premier. Cette secode astérisque e représete pas ue situatio possible : das cette cofiguratio, a² - b² est pas u ombre premier. Page 4 sur 4 RAN Calcul et raisoemet ECorr - Rev 04