Support de Cours : Filières : SMA Semestre : S 5 Module : Mesure et Intégration. Professeur : TAHRI Joutei Idrissi Hassani Hassan

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1 Uvérsté Sd Mohamed Be Abdellah Faculté des Sceces Dhar El Mahrez Déartemet de Mathématques et Iormatque Fès Suort de Cours : & Flères : SMA Semestre : S 5 Module : Mesure et Itégrato Proesseur : TAHRI Joute Idrss Hassa Hassa Aée uverstare 5-6

2 Avat roos Ce olycoé est u cours qu trate la théore de l tégrato au ses de hery Lebesgue (9 desté aux étudats arveus à leur trosème aée d uversté. Il a été esegé deus que ous avos la charge de are cours et Travaux Drgés our les étudats de eme cycle, M 3 : Mesure et Itégrato ( La théore de l Itégrato est u sujet dcle et vaste. De très ombreux lvres lu ot été cosacrés, our se covacre l sut de cosulter l Iteret. Pour ma art orce est de costater que seulemet u ters de os étudats est caable d assmler cette théore et cec quels que soet les eorts édagogque déloyés. As our ader et évter tout égaremet de os étudats, j a essayé de doer u cours très cocs avec des démostratos smles et aturelles a de redre la costructo de l tégrale de Lebesgue asée, clare et agréable. Nous mettos loguemet l accet sur la théore de la mesure car à otre humble avs elle est la base odatrce de l tégrato. Nous adotos l aroche esemblste our ouvor aborder aclemet le calcul des robabltés ue os l outl est be orgé. C est as our la boe comréheso et la maîtrse de cette théore et coscet des dcultés recotrées ar os étudats, l m a aru très édagogque de artager ce cours e quatre artes toutes odametales. Ue arte our la théore de la mesure (mesures ostves, réelles et comlexes, ue our les alcatos et octos mesurables, ue our le calcul tégral de Lebesgue gééralsat celu de Rema. La quatrème arte est réservée our les llustratos et les alcatos de cet strumet qu est l tégral de Lebesgue das le domae d aalyse octoelle (Esace dual de L et trasormato de Fourer et das celu de la théore du calcul des robabltés. Tout mo vœux est que ce olycoé sot u suort édagogque très utle our la vulgarsato de la théore de l tégrato au ses de Lebesgue à tous les veau er cycle et ème cycle et de ourr ue base mathématque séreuse de la théore de la mesure aux étudats qu aurot l eve de are des robabltés et des statstques car ous voyos das la théore des robabltés qu u ur rologemet de la théore de la Mesure Auteur : H. Tahr

3 CHAPITRE N : CLASSES D'ENSEMBLES ET PARTIES MESURABLES.... A - RAPPEL DE NOTATIONS:....B - ANNEAUX ET TRIBUS....b. - Détos :.... b. - Proosto.... C - ENGENDREMENT:.... c. - Déto c. - Proosto :... 3.c.3 - Théorème c.4 - Trbus Borélees... 4.D - STRUCTURE DES SEMI- ANNEAUX d. - Proosto... 6 CHAPITRE N : Mesures ostves et mesures réelles... 7.A MESURES POSITIVES SUR UN SEMI-ANNEAU... 7.a.- Proosto... 7.a.- Proosto a. 3 Théorème de Jorda..... B MESURES POSITIVES DEFINIES SUR UN ANNEAU :.... b.- Déto:.... b. 3 Proosto..... b.4 : Proosto C- MESURES EXTERIEURES ET PROLONGEMENT DE MESURES c.- Déto c. - Partes µ * - mesurables c.3 - Théorème de CARATHEODORY c.4- Partes µ- églgeables c.5- Proosto c.6- Théorème. (D exstece... 9 CHAPITRE 3 : APPLICATIONS ET FONCTIONS MESURABLES A. APPLICATIONS MESURABLES a. - Proosto a. - Proosto a. 3 - Corollare a. 4 - Proosto B - TRIBUS INITIALES - TRIBU PRODUIT - TRIBU TRACE b.-: Proosto b. - Théorème b.3 - Déto : (Trbu rodut b.4- Lemme b.4-théorème de Recollemet b.5- Corollare b.5- Stablté de la mesurablté ar assage à la lmte smle C - FONCTIONS MESURABLES REELLES c.- Foctos mesurables réelles : (No écessaremet es... 7

4 3. c.- Proosto c.3 - Proosto c.4- Foctos mesurables réelles :es c.5- Proosto D-: FONCTIONS ETAGEES d. - Déto d. - Théorème d.3- Théorème d.4-corollare d.5-corollare E - FONCTIONS µ MESURABLES e.-Déto : e.- Proosto CHAPITRE 4 : INTEGRATION AU SENS DE LEBESGUE ET FONCTIONS INTEGRABLES... 8 INTRODUCTION : A - INTEGRATIONS DES FONCTIONS ETAGEES POSITIVES: a.-: Proosto odametale a. - Proosto : a.3-: Proosto a. 4- Théorème de DANIEL a.5- Corollare B - INTEGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES b. - Proosto b. - Exercce : b.3 - Proosto : b.4 -Théorème de BEPPO-LEVY b.5- Corollare C - FONCTIONS POSITIVES INTEGRALES c.- Déto: c. - Proosto c. 3- Corollare : (Borel - Catélly c.4 - Théorème de "Covergece domée" c.5- Déto : c.6- Théorème de Fscher. (Charles Albert c.7- Théorème de RADON-NIKODYM c.8- Corollare : D - CONSTRUCTION DE MESURE PRODUIT ET THEOREME DE TONELLY d. - Lemme * d.- Lemme * d. 3- Théorème d.4-théorème de TONELLY... CHAPITRE N 5 : INTEGRATION DE LEBESGUE DANS M (, T, K A - INTRODUCTION: a.-déto : a.-proosto: a.3 -Proosto:... 6

5 5. a.4 -Théorème de Covergece Domée a.5- Corollare a.6-théorème de BEPPO-LEVY das M( ;T; R B- APPLICATIONS DU THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE b.- Lmtes d'ue sute de séres b.-théorème de la Cotuté sous sge tégrale b.3 -Théorème de la dérvato sous sge tégrale b.4 -Théorème de : C -INTEGRATION PAR RAPPORT A LA MESURE PRODUIT c. -Théorème de FUBINI c.-corollare D - LIEN ENTRE INTEGRALE DE RIEMANN ET INTEGRALE DE LEBESGUE d. Théorème d. Théorème... 6 P CHAPITRE N 6 : LES ESPACES L С (, T, µ & L P C (, T, µ. ( P A- INTRODUCTION a.- Détos a.- Proosto a.3-proosto a.4- Corollare a.5 -Théorème de la covergece domée de Lebesgue a.6- Corollare a.7 - Théorème de Fscher-Resz B- SOUS ESPACES DENSES DANS L P C (, T, µ b.- Desté des octos T- étagées das L P C (, T, µ b.- desté de C K ( das L c (,T,µ b.3- Corollare b.4- Proosto b.5- Corollare C- ESPACE DUAL DE L P K (,T,µ (µ EST σ - FINIE c.- Proosto c.- Lemme réaratore de Resz. (/ +/q = c.3- Théorème de Resz ( µ est σ - e c.4 - Corollare: (Pour < c.5- Esace dual de L (,T µ CHAPITRE N 7 : PRODUIT DE CONVOLUTION A- PRODUIT DE CONVOLUTION DE DEUX MESURES a.-déto a.-remarques et Prorétés mmédates a.3 Exercce a.3- Proosto B - PRODUIT DE CONVOLUTION DANS L (R N b.- Proosto b.-exercce C UNITES APPROCHEES DE L (R N c.- Déto... 94

6 7. c.- Proosto (Costructo d ue uté arochée c.3-proosto c.4- Lemme c.5- Desté de D (R das L (R c.6- Proosto CHAPITRE 8 : TRANSFORMATION DE FOURIER Prorétés de tye Fub Prorétés de tye cotuté sous sge tégral Théorème : Théorème Corollare (ormule d verso... 7 CHAPITRE N 9 : INITIATION A LA THEORIE DES PROBABILITES A- INTRODUCTION B. CONCEPTS DE BASE ET LANGAGE PROBABILISTE C- CONSTRUCTION DE QUELQUES ESPACES PROBABILISES c.- Esaces robablsés dscrets : c.- Esaces robablsés cotus D- PROBABILITE CONDITIONNELLE ET INDEPENDANCE STOCHASTIQUE E- QUELQUES FORMULES CELEBRES ET UTILES... CHAPITRE : VARIABLES ALEATOIRES ET MODES DE CONVERGENCE....A- VARIABLES ALEATOIRES....a.- Déto :....a.. Lo d ue varable aléatore....b- TYPES DE VARIABLES ALEATOIRES.....b.- Varables aléatores dscrètes :....b.- Varables aléatores cotues :....b..- Focto de Réartto de X.....b..- Desté de Probablté de X....b..3- Esérace mathématque de X b..4- Proosto et déto... 3.b..5- Quelques égaltés célèbres C- INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES... 5.c.- Déto... 5.c.- Proosto... 5.c.3- Corollare... 5.c.4- Corollare... 6.D- LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES(BERNOULLI... 6.E- ETUDES DE QUELQUES TYPES DE CONVERGENCE DANS M R (,T,P... 7.e.- Déto... 7.e.- Proosto... 8.e.3- Théorème d EGOROV... 9.e.4- Proosto de Fcher... 9.e.5- Proosto métrque... 9.e.6- Théorème de Fcher... 3

7 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables Chatre : Classes d'esembles et artes mesurables.. a - Rael de otatos: État toujours u esemble quelcoque o vde ; P ( désge la totalté de toutes les artes de. Pour ue amlle (A I d'élémets de P ( o ote : U { ; tel que } { ;, } A = x I x A A = x I x A I I c { ;/ } ( U ( A B = x x Aet x B A = A A B = A B B A I Remarque: O motre aclemet qu'o a U A B = U A B ; I A B = I A B I I I I ( ( De même ar Morga o a auss : Par déto B U A = I B A B I A = U B A ( ; ( I I I I U esemble est déombrable s'l est équotet à ℵ (esemble des eters aturels. Exemle: Q et Z sot déombrables, ar cotre P (ℵ 'est as déombrable..b - Aeaux et Trbus..b. - Détos : État u esemble quelcoque o vde. a O aelle classe toute sous amlle de P (. b O aelle aeau toute classe R telle que : A R et B R A Β R & Α Β R. c O aelle algèbre tout aeau qu cotet. d O aelle σ - aeau tout aeau stable ar réuo déombrable.

8 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables e O aelle Trbu ou σ - algèbre tout σ - aeau coteat. Les élémets d'ue Trbu T sot aelés artes mesurables et la doée du coule (,T costtue u esace mesurable O aelle classe mootoe toute classe stable ar réuo déombrable ( crossate et ar tersecto déombrable décrossate (. Exemles : * P( c est la trbu dscrète. { ; }. * P (ℵ : La classe de toutes les artes es de ℵ costtue u aeau et o u σ - aeau. * P (R: La classe de toutes les artes au lus déombrables est u σ aeau, d mas as ue Trbu. * La classe d Remarques:. c T (R = { A R A P ( R ou A P ( R } est ue Trbu. (Exercce ; d d U aeau R est toujours stable ar e, et ar dérece symétrque U σ - aeau est stable ar tersecto déombrable.. b. - Proosto R État u aeau o vde sur. a R est ue algèbre s et seulemet s R est stable ar assage au comlémetare. b R est u σ- aeau s et seulemet s R est ue classe mootoe. Preuve : C'est ue trvalté, l sut d'écrre les choses comme l aut.. c - Egedremet: La costructo d'ue Trbu se at e gééral à artr d'ue arte géératrce. E eet : sot (M I ue amlle de classes dées sur. La classe M = I M = { A : A M, I} est ue classe be dée sur, c'est I la lus ette classe commue à toutes les M. Il est asé de remarquer que s :

9 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables 3 I, M est u aeau (resectvemet ue algèbre, σ - aeau, trbu, et classe mootoe alors la classe M est auss et seulemet s u aeau (res. ue algèbre, σ - aeau, trbu, et classe mootoe.. c. - Déto Il sut de là qu'o eut dér our toute classe M. - R (M L'aeau egedré ar M, comme le lus ett aeau coteat M. - R(M L'algèbre egedrée ar M, comme la lus ette algèbre coteat M. - σ (M Le σ - aeau egedré ar M, comme le lus ett σ- aeau coteat M. - T (M La trbu egedrée ar M, comme la lus ette trbu coteat M. - М (M la classe mootoe egedrée ar M, comme la lus ette classe mootoe coteat M. Ces classes sot ordoées ar les clusos suvates: M R (M A (M T(M. M R (M σ (M T (M. M M(M σ (M T(M. Remarque : E gééral ue descrto exlcte de ces classes 'est as toujours acle vor même Imossble ar des oératos d'uos et d'tersectos. Toute os o a des résultats artels das des cas récs, ar exemle la roosto suvate:. c. - Proosto : État u esemble o vde. a S R est u aeau alors A (R ={ A ; A R ou A c R}. b S R est u σ - aeau alors T (R= A (R. c S R est ue classe quelcoque alors T (R =A (σ (R=σ (A (R. Preuve : a Il est clare que toute algèbre coteat R cotet égalemet A (R. Motros que A (R est auss et seulemet s ue algèbre. Pour ce are l sut de remarquer que A (R et que A (R est stable ar dérece. 3

10 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables 4 b Même démarche que celle de a. Pour la stablté ar l'uo déombrable, l aut regrouer les A qu aarteet à R et les A tels que -A R, alors : c c c = U A = U A U A I A U A R. N N * N N * N d R σ (R A (R A(σ (R σ (A (R A (σ (A (R. c e R A (R σ ((R c'est ue trbu car c'est ue classe qu cotet et c'est u σ -aeau ar déto. Sot T' ue trbu qu cotetr, doc c'est ue algèbre d'où : A (R T, T' est auss u σ - aeau doc σ (A(R T'. As T (R = σ (A (R. R T(R σ (R T(R A(σ (R T(R σ (A(R ( R σ (R A (R A (σ (R qu 'est ue trbu doc σ (A (R A (σ (R ( ( et ( achèvet la reuve de l'asserto c..c.3 - Théorème. Preuve : S R est u aeau alors σ (R = M (R R σ (R Qu est ue classe mootoe doc σ (R M (R. Pour motrer l'autre cluso, l sut de motrer que M (R est u aeau. Sot A R xé. Cosdéros la classe : M A = { B A B m( R, A B m( R, et B A m( R } ; U. La classe M A cotet trvalemet l'aeau R. La classe M A est mootoe doc M (R M A. rasoemet rouve que М (R M B. Moralté : Sot B М (R xé. Cosdéros la classe M B. Le même Α M (R, Β M (R Α Β M (R, Α Β M (R et Β Α M (R. Doc M (R est u aeau doc u σ - aeau ce qu achève la reuve du théorème.. c.4 - Trbus Borélees. Déto: Lorsque R est ue toologe alors la trbu egedrée ar R est aelée la trbu borélee. U élémet de la trbu borélee est dt u Boréle. 4

11 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables 5 Remarques : - La trbu Borélee est auss et seulemet s la trbu egedrée ar la classe de tous les ermés. - Pour = Ř la trbu Borélee est exactemet la classe mootoe egedrée ar la toologe usuelle de R. (Exercce Corrgé de l'exercce. Remarquos tout d'abord que das u esace métrque, tout ermé s'écrt comme tersecto déombrable ( d ouverts, doc tout ermé de R aartet à M (R. M(R cotet =R car R est ue toologe. M (R est stable ar assage au comlémetare. E eet : S o cosdère la classe M ={Α M (R ; Α c M (R}, o remarque que M cotet R, et reste à motrer que M (R est stable ar tersecto. Pour se are o rasoe ar egedremet. Pour O R xé, osos : M (O = {Β M (R. Ο Β M (R} M (O cotet R et c'est ue classe mootoe. Doc moralté : Ο R, Β µ(r Ο Β M (R. Cosdéros mateat our tout B M (R la classe : M (B = {Α µ(r / Α Β M (R}. O a R M (B et M (B est ue classe mootoe. As ar egedremet o a : Α M (R Β M (R Α Β M (R. D'où M (R est ue algèbre et us qu'elle est déjà ue classe mootoe ar déto. Doc c'est ue trbu c'est à dre : T (R = M (R..d - Structure des sem- aeaux. Sgalos c ue structure de certaes classes lus maable que les récédetes. Déto: O aelle sem - aeau toute classe S - coteat - stable ar tersecto e 5

12 Cha. : Classes d esembles et artes mesurables 6 - la dérece rore de élémets de S est ue réuo dsjote d'u ombre d élémets de S. Exemles: La classe de tous les sgletos d'u esemble y comrs la arte vde. La classe de tous les tervalles de la orme [a, b[ sur R. 3 La classe des avés de la orme Π [a, b [ de R. 4 Plus gééralemet : Le rodut cartése de sem- aeaux est auss u sem- aeau.. d. - Proosto. Sot S u sem- aeau sur. a L'aeau R (S egedré ar S coïcde avec la classe de toutes les réuos es dsjotes d'élémets de S. b Toute réuo e d'élémets de S est ue réuo dsjote e d élémets de S. Preuve : a Sot la classe = A A = C C S,.. U où.o a: S R (S Il sut mateat de motrer que est u aeau. Or est trvalemet stable ar réuo e dsjote, stable ar tersecto e. Σ est stable ar dérece.e eet soet A et B deux élémets de,doc l exste ( C et( Gj I j J deux amlles es dsjotes de S telles que : A = U C et B= U G...A B = U C U G j j I j J I j J U I ( Or : C G = C G.Vu que C G Σ, j J; la sute du rasoemet est mateat clare j j j j J j J As o obtet l'cluso verse R (S. C.Q.F.D. b la reuve de l asserto de b est ue coséquece mmédate de a car toute réuo e d élémets de S est u élémet de R (S,c est à dre ue réuo e dsjote. 6

13 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 7 Chatre : Mesures ostves et mesures réelles La théore de la mesure cosste à étedre la oto de logueur, d'are d'u rectagle, le volume d'u avé de R 3, etc. E gééral ue mesure est ue alcato d'ue classe de artes de à valeurs das R +, ou das R + {+ },ou das R tout eter, vérat certaes rorétés de σ - addtvté. Le domae de déto aturel d'ue mesure est ue trbu, mas e gééral ue mesure 'est exlctemet dée que sur ue arte géératrce, us rologée à la trbu egedrée..a Mesures ostves sur u sem-aeau Déto: alcato S état u sem - aeau sur. Ue mesure ostve sur S est ue µ:s R + {+ } vérat : a µ ( = b (Α M dsjots à das S avec A S, o a: µ U A = µ ( A c est la σ - addtvté. M M U M Exemles: Sur P ( o dét la mesure de Drac au ot a : Sur P ( o dét la mesure de déombremet µd : δ a( A = s a A s a A µ d ( A ombre d ' élémets de A s A est so = + 3 Sur le sem- aeau S R = {Α R Α= [a, b[ a b } dé sur la drote réelle R. O a la mesure de BOREL: λ( [a, b [ = b a 4 E at o dét la mesure de BOREL- STIELJES de la aço suvate:.a.- Proosto Pour toute octo F: R R crossate et cotue à gauche, l'alcato λ F : S R R + dée ar : λ F ([a, b [ = F(b- F(a est 7

14 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 8 ue mesure ostve sur S R, aelée mesure de BOREL-STIELJES. Lorsque F =Id R, la mesure λ F assocée est la mesure Logueur de BOREL. Lemme: ; S [a, b] ], [ F( b F( a = F( b F( a U = alors : a b Preuve: Par récurrece sur. Démostrato de la roosto: - λ F ( = λ F ([a, a[ = F(a- F(a =. - S (A = [a, b [ I est ue amlle déombrable d'tervalles dsjots à tels que : U [ a b[ = [ a b[ Alors µ F A F b F a = µ F [ a b[ I I,, ( ( ( (, Suosos que I = ℵ. O eut ordoer les remers tervalles comme sut : a a <b a <b a 3 <b 3 a - < b - a < b b. Pusque la octo F est crossate o a : F(b-F(a F(b -F(a +F(a -F(a F(b -F(a +F(b - -F(a - +F(a - -F(a..etc. = = F( b F( a ce c est vra our tout, doc à la lmte o trouve : = F( b F( a F( b F( a (. Pour l'autre cluso o dot exloter la cotuté à gauche et le lemme récèdet. Pour b. O eut trouver b' < b tel que F(b-F(b' ε/, de même our chaque a o eut trouver a' < a tel que F(a -F(a' ε. + [ a b' ] U] a', b [ J I tel que [ a,b' ] U] a', b [,. I Le lemme garatt que : F(b'-F(a F( b F( a ' J J 8

15 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 9 9 [ [ ( [ [ ( = > ,, Cocluso : our tout est vra ce c ( ( ( ( ( ( ( ( F addtve est µ b a b a a F b F a F b F a F b F a F b F F I F I I I σ µ µ ε ε ε ε Nous roosos c de doer les rorétés remarquables des mesures ostves dées sur u sem- aeau S..a.- Proosto µ état ue mesure ostve sur S, alors : a µ est crossate.e: A S, B S A Β µ (Α µ(β. b S A S, B S, et A- B S alors : µ(α Β = µ (Α µ (Β Α S µ (B <+. a S (A N est ue sute dsjote das S, et (B N ue autre sute dsjote das S telles que U U = N N B A alors : ( ( = N N B µ A µ b S (A N est ue sute d'élémets de S telle que U N A S alors : µ( ( N N A µ A U c S (C N dsjote das S et A S avec A C N U, alors: ( ( A µ C µ N Preuve: a A B B = A U U U = J C A A B. ( µ est addtve, doc :. ( ( ( ( ( B µ A µ C µ A µ B µ J + = b S B - A S et s µ (A <+, alors µ(b=µ(a+µ(b -A d'où : ( ( ( (. µb µa B µb A car B A B A B = = I

16 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles c U U U Doù ' µa ( = µa ( B. N N N ( I ( ( I A = B A = A B µ A = µ A B P N N N N Nous ouvos recodure la même démarche e commeçat ar les B usqu ls jouet le même rôle que les A. O trouve : N µ ( B = N d Remarquos que : N µ ( A I B = µ ( A I B = µ ( A. (, N N N = = ' A A' avec A A A N N = A' = C où Les C K U U U R (S, doc: U. De lus : µ ( C µ ( A. La σ - addtvté de µ etraîe que : µ U A = N N K K µ ( C µ ( A N. C.Q.F.D. d U N U C A K P (N C A K & S S, L A = UC U US avec L P ( N, K L e Cocluso µ(a µ ( ce c est vra our toute arte e de N. K C C'est la reuve que : µ ( C µ ( A. N Nous termos mateat avec u Théorème odametal de rologemet.. a. 3 Théorème de Jorda. Toute mesure ostve sur u sem- aeau S se rologe d'ue maère caoque et uque à l'aeau egedré R(S.

17 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles Preuve : S µ:s R + U {+ } est ue mesure ostve, alors vue que our tout A R(S. µ ˆ( A = K A =U µ ( C K C où C S et K est et s u rologemet exste µ. µˆ est be dée, car elle e déed as de l'écrture de A c'est le ot c de la roosto récédete. µˆ est trvalemet addtve. Par sommato ar blocs o a auss et seulemet s grâce au ot c de la roosto récédete la σ - addtvté de ˆµ. Moralté : Le Théorème de JORDAN ous assure que toute mesure ostve sur u sem- aeau S eut être vue comme ue mesure sur l'aeau egedré R(S. As doréavat o s'téressera qu'aux mesures ostves dées sur les aeaux. E at les mesures e gééral e sot as drectemet dées sur ue trbu. Elles sot exlctées sur u sem - aeau ou sur ue algèbre us rologées à la Trbu egedrée; c'est le théorème de CARATHEODORY qu'o va établr das la secto suvate grâce à la oto de mesure extéreure.. b Mesures ostves dées sur u Aeau :. b.- Déto: R État u aeau sur et µ ue mesure ostve sur R. a µ est dte e s our tout A R,µ (A R +. b µ est dte borée s'l exste M > tel que µ (A <M, our tout A de R. c µ est dte σ - e s'l exste ue sute (A N das R telle que = U A avec µ ( A < + = S µ( = µ est dte ue robablté Toute mesure borée est e,et toute mesure e sur ue algèbre est borée. 3 Toute mesure e sur ue classe C est auss e sur R(C. Les rorétés les lus mmédates d'ue mesure ostve dée sur u aeau R sot rassemblées das la roosto suvate.

18 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles. b.- Proosto.... µ est crossate S A R et B R avec A B, et µ (A <+ alors µ (B- A =µ(b-µ(a. S A R et B R alors µ (AUB + µ (A B=µ(A+µ(B.( v. µ est σ - sous addtve.e : S (A N R avec A R alors: Preuve : µ U A µ ( A ( N =. Évdet car µ(b = µ(a+µ(b- A.. C'est ue évdece.. S µ (A = + ou µ(b = +.( est vrae. S mateat µ (A< + et µ(b< + U N Alors : µ (AUB = µ (A + µ(b- A = µ(a+µ(b-µ(a B. C.Q.F.D. v A = B où B = A A U U U Va la σ - addtvté ( devet trvale. N N = Sgalos que das le cas ratque, la σ- addtvté 'est as ue chose acle à motrer. La roosto suvate ous roose u crtère de σ- addtvté lus soule.. b. 3 Proosto. R État u aeau sur ; µ: R R + U {+ }. Les assertos suvates sot équvaletes. a µ est ue mesure ostve surr. b µ vére les 3 ots :. µ( =.. µ (AU B =µ (A+ µ(b. (addtvté ( U + N ( (A N crossate das R : µ A = lm µ ( A. (cotuté suéreure.

19 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 3 Preuve: a b est assurée ar la σ addtvté, auss et seulemet s. E eet : U A = UB avec B = A A B = A N N Das le cas où les µ(a sot tous <+ µ ( U A = µ ( UB = lm µ ( A A = lm µ ( A + + N N = Das le cas où l exste avec µ ( A =+ ; est acquse automatquemet b a: A = B B = A U U U R. N N ( B = m µ ( A = µ ( A µ ( U A = µ ( U B = lm µ l C.Q.F.D. + + N N = N Nous termos ar u crtère susat qu assure la σ - addtvté va la cotuté éreure.. b.4 : Proosto. S µ est addtve et vére la codto suvate. R l m µ ( A = (Cotuté éreure, alors µ ( ( das A est σ - addtve. Preuve: R. car : + Sot (A N ue sute dsjote de R telle que U N A = ( U A U B = U A = U + = et doc µ U A = µ A + µ ( B ( U R.Alors B = U Va l'addtvté de µ o a doc : µ A m µ A m µ ( B = l ( + l + A Or les B costtuet ue sute décrossate das R qu coverge vers ; doc l m µ ( B = D ' où : La σ - addtvté de l'alcato µ. + Remarque: La σ - addtvté 'mlque as toujours la cotuté éreure. 3

20 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 4 Exemle : A = [, + [ mas λ(α e ted as vers zéro. Toute os s o tel que µ(a o <+. Alors, A µ (Α. E eet : A I U( A = A A A µ ( = µ ( A lm µ ( A A + Doù ' = lmµa ( Exemles d alcato. + M + ( ;R état l'esemble de toutes les mesures ostves dées sur l'aeau R. µ ν A R µ ( A ν ( A. a S (µ > das M + ( ;R, alors Su(µ M + ( ;R. b S (µ > M + ( ;R, alors µ M + ( ;R. c S (µ > M + ( ; R. = d S lm µ ( A exste Α R, et s > µ λ où λ est ue mesure e alors la + Preuve : (Lassée à ttre d exercce. Lmte smle de (µ M + ( ;R. c- Mesures extéreures et rologemet de mesures.. c.- Déto. µ: P( R + U{+ } est ue mesure extéreure s et seulemet s:. µ ( =.. µ (A µ (B s A B.. µ ( µ (. (σ sous addtvté. Remarques: U = A = A * Le domae de déto d'ue mesure extéreure est toujours P (. * Ue mesure extéreure 'est as ue mesure ostve, sau s elle est addtve. Par cotre ue mesure ostve dée sur P ( est ue mesure extéreure. * Nous allos vor que our chaque mesure extéreure o eut trouver ue sous trbu de P( sur la quelle µ devet ue vrae mesure. D'autre art our chaque 4

21 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 5 mesure ostve o eut lu assocer ue mesure extéreure otée µ *, sa va être l'objet du théorème de CARATHEODORY.. c. - Partes µ * - mesurables µ état ue mesure extéreure sur P (. La classe des artes A vérat: ( I ( I ( µ E A + µ E A = µ E E Costtue ue trbu otée T µ* sur la quelle µ est ue mesure ostve. T µ* est la trbu des artes µ * - mesurables. Preuve: T µ* est vsblemet stable ar assage au comlémetare. T µ* est stable ar tersecto e. E eet: Soet A et B deux élémets de T µ* alors: µ ( E I B I A + µ ( E I B I A µ ( E I B Remarquos que: c I A + µ ( E I B ( = = U( U c c = µ ( E I B c c I A = µ ( E I B c c c c c c c AIB A UB ( A IB A IB ( B IA c c c c c µe ( I( AIB µe ( I A IB + µe ( IA B + µe ( IB I A µe ( IAIB µe ( IAIB araddto membre à membre o a: c ( c µe ( IAIB + µe ( I AIB µe ( IA + µe ( IA µe (. L'autre égalté est acquse ar déto de la mesure extéreure (sous - addtvté.t µ* est doc ue algèbre. Nous motros mateat que T µ* est stable ar réuo déombrable dsjote. Sot (A ue sute dsjote das T µ*. Remarquos tout d'abord que. µ ( E I U A = µ ( E I A (* est vrae ar récurrece sur l' eter. 5

22 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 6 µ EI( U A µ ( EIA(** c c µ EI( UA µ EI( U A Doc : c c µ EI( UA + µ ( EIA µ EI( U A + µ EI( U A µ ( E Par assage à la lmte o a: c c µ EI( UA + µ ( EIA µ EI( U A + µ EI( U A µ ( E Vu(** o a : c c µ EI( UA + µ EI( UA µ EI( U A + µ EI( U A µ ( E T µ* est doc ue trbu c'est la trbu des artes mesurables e eet o va établr récsémet que la mesure extéreure µ restret à T µ* est ue vrae mesure ostve. Il sut de oser das (* E = et µ devet addtve. Or ous avos déjà sgaler que toute mesure extéreure addtve est σ - addtve.e ue mesure ostve. As la restrcto de µ à la trbu T µ* est ue mesure ostve. Iversemet artos d'ue mesure ostve dée sur u aeau R, eut o la rologer à la trbu egedrée T(R? La réose est armatve. E voc les étaes de costructo. µ: R R + [ {+ } état ue mesure,(a > R est ue couverture de A s A A avec > ; A R. Ue couverture est dte dsjote de A s les A U sot dsjots à. O ote C(A,R la amlle de toutes les couvertures de A dasr. C( A,R désgera toutes les couvertures dsjotes de A das R.Pour µ *( A = µ ( A; ( A > C( A, R tout A P (, o ose: > µ *( A =+ s C( A, R =. O a : µa ( ; ( A > CAR (, = µa ( ; ( A > CAR (,. > > Ċ(A,R C(A,R. 6

23 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 7 Et que s A R alors µ (A = µ * (A. E eet µ * (A µ (A car A est ue couverture de lu même. D'autre art s (A> C(A,R alors : A U > A A = U > ( A I A... A I A R... µ ( A > µ ( A A > µ ( A Cocluso : µ * restret à R est égale à la mesure µ. Motros que R T µ*. Pour µ*(e <+. O a l'exstece de (A > C(E,R. Telle que : > E µ ( A µ * ( E + ε. U > A E I A U > ( A I A & E I A c U > ( A c I A µ*(e Α > µ(α Α & µ*(e Α > µ(α Α c Cocluso : c c µ *( EIA + µ *( EIA µ ( AIA + µ ( A IA > µa ( µ *( E + ε. > R T µ* et µ* restret à T(R est ue mesure ostve qu rologe µ de R à la trbu T(R egedrée ar R. Le rologemet est uque S = U où R et µ ( <+ >. E eet deux mesures es µ & ν > qu coïcdet sur R coïcdet sur T(R. E eet l sut de cosdérer : M = {A T (R ; / µ(α = ν(α} qu cotet R et c'est ue classe mootoe doc elle cotet M(R la classe mootoe egedrée ar R, Or M(R = σ (R = T(R car σ (R. Mateat s µ & ν sot σ- es et coïcdet sur R, alors o eut trouver u recouvremet de : Pour Tout A T(R = U telle que: µ ( = ν ( > > U ( ν ( > > > A= A I µa ( = µa ( I & A = ν( A I Posos : µ ( A = µ ( A I & ν ( A = ν( A I 7

24 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 8 Les mesures ν et µ sot es sur T(R, elles coïcdet sur R, doc elles sot égales sur T(R our tout. D'où µ = ν. E cocluso ous sommes e mesure d'éocer le théorème suvat:. c.3 - Théorème de CARATHEODORY. Toute mesure ostve σ - e sur R se rologe d'ue maère uque à la trbu egedrée T (R. L'exresso de ce rologemet est doée ar la mesure extéreure µ* assocée.. c.4- Partes µ- églgeables. * ( A = > > µ ( A ; ( A C( A, R } µ µ état ue mesure ostve sur ue trbu T. A P ( est dte µ- églgeable s'l exste B T tel que A B et µ(b =. T est dte comlète s elle cotet la amlle de tous les µ- églgeables. Remarques. La classe des artes µ- églgeables costtue u σ - aeau. A est µ- églgeable µ*(a = et A T µ*. S A T est µ- églgeable alors µ (A =. T* = { A ; / A = B U N. où B T et N estµ églgeable} est ue Trbu coteat la trbu T. µa ( = µb ( est ue mesure sur T* qu rologe µ. (, T*, µ est ar déto l'esace comlété de (,T,µ. Questo : Das le cas où µ est σ - e a-t-o T* = T µ*? La réose est armatve et µ* = µ. Preuve : Il est évdet que T* T µ*. Il reste à établr l'autre cluso. Sot A T µ* S µ*(a<+, alors our tout > l exste B T tel que : A B et µ*(b - A </ 8

25 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles 9 Posos B = I > B T A B µ *( A = µ ( B = µ *( B. µ * ( B A = C T, B A C.. etµ ( C = A = ( A C U ( A C = ( A I C U ( B C.. car E eet : ( B-A -C. B = A U (B-A doc B-C = (A-C ( 443 B C = A C As : A = B' U N où N = A C et B' = B - C. µ*(n = et µ (B' = µ*(a. S µ*(a = +. Alors vu que µ est σ - e o a A =. A o a l'écrture A = B U N, Doc A = B U N où B =U > U A µ *( A <+ > > B et N=U N N est doc µ- églgeable et B est u élémet de la trbu T. Motros mateat que T* est comlète. Sot A B avec µ ( B = > B = E U N où N est µ - églgeable et µ(e= de lus Η Τ tel que N H µ(h = ; A B E U H T et µ(e U H = A est µ- églgeable doc T*. As o eut éocer la roosto suvate. et. c.5- Proosto. S µ est σ - e sur ue trbu T alors l'esace comlété de (,T, µ coïcde avec (,T µ*, µ* our ar la costructo de Carathéodory. Parm les alcatos de cette roosto o eut cter la mesure de : LEBESGUE-STIELJESS. - E eet à ce stade et grâce au théorème de Carathéodory alqué aux mesures de Borel-Steljess dées das (.a., la mesure extéreure assocée à λ F restret à la trbu des artes λ F - mesurables T λ*f est ue mesure ostve. - La trbu Borélee de R otée B R est egedrée ar S(R doc elle est coteue das T λ*f - λ F est σ - e doc so rologemet à B R est uque. La restrcto de λ* F à B R est dte la mesure de Lebesgue- Steljess assocée à la octo F.. c.6- Théorème. (D exstece Pour toute alcato F: R R, Crossate et cotue à gauche, l exste ue mesure µ F sur la trbu Borélee de R et ue seule, telle que, our tout a et tout b de R, avec a < b: 9

26 Cha. : Mesures ostves et mesures réelles λ F ([a, b[=f(b - F(a; cette mesure s'aelle mesure de Lebesgue- Steljess assocée à F. Das le cas où F est l'alcato detque de R, la mesure assocée s'aelle mesure de Lebesgue Termos ce aragrahe ar les remarques suvates : Les élémets de T λ* sot aelés les artes Lebesgue - mesurables. O motrera qu l y a ue cluso strcte etre B R ett λ*.b T λ* P(. 3 Pour x, {x} = I[ x, x + / [ >.D où λ F ({x}=f(x + -F(x. 4 Pour F=detté ; λ({x}= x.o dt que λ est duse. Cec etraîe que toute arte déombrable est de mesure ulle. Iversemet l e aut as crore que toute arte de mesure ulle est déombrable( Vor la costructo de l esemble tradque de CANTOR..c.7 Costructo de l esemble de CANTOR et ses coséqueces. Costructo d u boréle de mesure ulle sas qu l sot déombrable. a a + Pour a I={,} o ose E a = { x [,] ; x }.O remarque que E et E 3 3 sot dsjots. Posos P =E U E. Pour (a ; a {,} o ose E(a, a ={x [,] ; a /3+a /3 x a /3+(a +/3 }. Les E(a, a sot dsjots à. E eet (a, a (a,a ar exemle a a doc a = et a = alors y E(a,a : y (a+/3 /3</3 < x x E(a, a. Posos P = U ( a, a I E( a, a oùi Pour (a, a, a 3,, a I( = I o ose : E(a,a,a 3,,a = x [, ]; = a 3 = I I x = a Je ds que our (a, a,a 3,., a (a,a,a 3,, a o a : E a, a, a..., a E( a, a, a,... a =.E eet ( 3 3 sot le remer dce tel que a a ar exemle a < a doc a = et a = our x E(a, a,..,a o a :

27 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 6 x a 3 k k ( + a' k + + ( + < + + k k y O ose : P U E( a où a = ( a, a, a3,..., a et I( = I = a I ( y E(a,a,a 3,.,a Preos mateat I P =. P est u ermé de [,], doc u comact. P = P > o Car so l exstera u [a,b] P ce qu doe λ λ ([ a, b] λ( P >... d' où... λ( [ a, b] ( P =.. Absurde. 3 =. P est doc u boréle de mesure ulle.cardal de P est.e eet : Remarquos que chaque x de P est ue lmte d ue sére : ϕ : {,}. = x où =.. ou.. P ( a + N > a 3 Pour chaque y xé. =[,-y[u[-y,[. O eut armer que A y est boréle chaque os que A est boréle. E eet A= A [,-y[ U A [-y,[ =A UA A et A sot deux boréles et A y=a +y et A y=a +(y-.as A y est la réuo de boréles,doc c est u boréle. De lus λ(a y=λ(a y. Sur o dét la relato d équvalece xry s et seulemet s x-y. O redre de chaque classe d équvalece u rerésetat, et o cosdère A l esemble de ces rerésetats choss. Je ds que A est as u boréle, car so 6 a 3 + a est jectve doc cardal de P=. λ P = P( P B Remarquos que ( [, ] trbu comlétée de la trbu de de borel. As o eut armer que cardale de la trbu comlétée de Borel est C. La questo qu l aut oser mateat c est : Est ce que B[, ] = P ([ ]?, La réose est égatve. E voc la reuve. Sur =[,[ ; o dét l oérato suvate : x y = x + y... s( x + y < x y = x + y... s( x + y >..

28 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 6 A q sera auss u boréle q. our q et q dstcts A q A q =. E eet : x A q A q x=y q =y q. l est mossble que y+q sot< et y +q sot < car y et y rerésetet deux classes dstctes. De même our le cas y+q > et y +q >. Reste le cas où y+q< ety +q >. Alors o aura. y+q=y +q - là auss c est mossble, doc A q et A q sot dsjots. D autre art o a : = U q Q A q. E eet x, y A tel que x E y la classe rerésetée ar y ; et doc x-y.e x-y =q. As x=y+q. Alors s y+q< o a : x = y q doc x A q.s y+q alors y+q+> et y (q+=y+q=x Doc x A (q+. As les {A q,q } costtuet ue artto de. Mateat s A est boréle.vu que λ( =λ(a q cec etraîe que λ(a> etλ( =+. Ce qu est absurde. 6

29 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 63 Chatre 3 : Alcatos et Foctos mesurables. 3. a. Alcatos mesurables Déto : Soet (, T & (', T ' deux esaces mesurables, et ue alcato de '. est dte T- T' mesurable s et seulemet s : - (A T our tout A T '. Exemles: (x = A(x avec A T ; ' = {o,} et T ' =P( '. (x = x la octo detté de (,T das lu- même. Remarque: La oto de mesurablté déed des deux trbus stallées à l'esace d'arrvée et à l'esace de déart. Autremet dt s T o est ue sous trbu de T alors toute alcato T o - T ' mesurable est auss et seulemet s T- T ' mesurable. Cette remarque ous codut d'ue aço légtme à oser la questo suvate. S : (, T. P ( est vsblemet ue trbu qu red mesurable. Peut-o chercher ue trbu qu sot la lus ette ossble qu red mesurable? La réose est armatve. Il sut de redre T o = { - (A ; A T }. S mateat : (,T {, '} est ue trbu qu red mesurable. La lus grade trbu stallée sur ' qu red, T-T ' mesurable est : qu est acle à vérer. 3.a. - Proosto T ' = {B ' / - (B T } La comosée de deux alcatos mesurables est auss mesurable. Preuve : évdete. S la trbu de l'esace d'arrvée T ' est egedrée ar ue classe R alors o a u crtère de mesurablté très maable qu est le suvat. 3. a. - Proosto est ue alcato T- T ' mesurable s et seulemet s : - (B T our tout B R. Preuve : Il sut de vor que la classe : 63

30 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 64 {B ' / - (B T} est ue trbu qu cotetr, doc elle cotet T '. 3. a. 3 - Corollare La trbu egedrée ar - (R est exactemet - (T (R. Où T (R désge la trbu egedrée ar la classer. Remarque : Il est à remarquer que la déto de la mesurablté de est smlare à celle de la cotuté de. E at la mesurablté est ue oto lus géérale, das le ses suvat : 3. a. 4 - Proosto S & ' sot deux esaces toologques et T & T' leurs Trbus Borélees resectves. Alors tout alcato cotue de ' est T- T' mesurable. Preuve : Trvale. Ue alcato mesurable etre deux esaces toologques est dte Borélee. 3. b - Trbus tales - trbu rodut - trbu trace. Prélmares: État u esemble quelcoque et (, T I ue amlle d'esaces mesurables. Pour chaque, o suose l'exstece d'ue alcato : (, T. Le roblème cosste à staller sur l'esace tal ue trbu qu red toutes les mesurables. P ( réod à la questo, mas est-elle la lus ette ossble et seulemet? La réose est égatve. 3. b.-: Proosto Sot : = { - (B, Β Τ, Ι }. Alors la trbu egedrée ar otée ar T (, I est la lus ette trbu qu red toutes les mesurables. T (, I est dte la Trbu tale assocée à la amlle ( I. où la Trbu tale egedrée ar la amlle ( I. Preuve : Trvale. 64

31 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 65 L'térêt de cette trbu tale assocée à ue amlle d'alcatos stallée sur est qu'elle ous ermet de ormalser u crtère de mesurablté à artr des ( I. 3.b. - Théorème. Sot g: ( W, (, T(, I. Pour que g sot ue alcato mesurable Il aut et l sut que o g sot mesurable our tout I. Preuve: U er ses est évdet. Le me ses est acle à motrer ; l sut d'alquer la roosto (3. a.3 remer crtère de la mesurablté. 3. b.3 - Déto : (Trbu rodut Sur = o stalle la trbu rodut qu est ar déto la trbu tale assocée à la amlle des rojectos (P. La trbu rodut est désgée ar T. Exercce : Motrer que T est exactemet la trbu egedrée ar le rodut Cartése T T T3 T. Idcato our la soluto. Remarquer que : A B = P - (A P - (B. Α Τ & Β Τ Et que la trbu egedrée ar R R coïcde avec la trbu egedrée ar la classe Exemles d'alcato : S g : (W, T ( M = {A Β, Α R & Β R}., T avec g(x = ( g(x,g(x,,g (x alors : g est T- T mesurable s et seulemet s : x g(x est T- T our tout [,]. mesurable As : S et g sot deux alcatos réelles mesurables alors :.g & αƒ+βg sot auss et seulemet s deux alcatos mesurables. (Sous réserve de ce qu va suvre. S mateat les sot des esaces toologques avec : 65

32 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 66 T = B( les trbus Borélee resectves. L'esace rodut est u esace toologque mu de la Toologe rodut. O eut y staller deux trbus : La trbu Borélee et la trbu Produt : B. Désgée ar B π. O a : B π B ( car les rojectos P sot cotues doc elles sot mesurables relatvemet à la trbu Borélee. S mateat les sot des esaces toologques à bases déombrables alors o a : B π = B ( Va le lemme suvat: 3. b.4- Lemme S T est ue trbu egedrée ar ue classe C telle que C our = & =. Alors: T T est la trbu egedrée ar la classe M = {A Β, Α C, Β C}. Preuve du lemme: Il est clar que M Τ Τ.Doc T (M Τ Τ. Σ = {A P - (A T (M } est ue Trbu qu cotet C. Σ = {B P - (B T(Mg est ue Trbu qu cotet C. As : T Σ & Τ Σ et alors : A Τ(Μ & Β Τ(Μ A Β = (A Β Τ(Μ. Doc T Τ Τ(Μ. Coséqueces : * S les esaces sot toologques à bases déombrables et (Y,ϑ est u esace toologque séaré, alors toute octo cotue de Π (Y, ϑ est Borélee, das le ses où l'esace rodut _Π est mu de sa trbu 66

33 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 67 Borélee et l'esace Y est auss et seulemet s mu de sa trbu Borélee. * S G : (E, T (Π, Τ est mesurable et g : (Π, Τ (Y,ϑ cotue alors g o G est mesurable. Alcato: a (E,T est u esace mesurable. : (E,T (R, B mesurable & g: (E,T (R m, B m mesurable, alors : L alcato h : (E,T (R m+, B m+ avec h(x = ((x,g(x est mesurable. De lus s : H : R m+ R est cotue. Alors H o h est mesurable. b H(x,y = x+y est cotue, doc +g est mesurable s &g sot réelles mesurables. H(x, y = x. y est cotue, doc.g est mesurable s &g sot réelles mesurables. De même our : S u ((x, g(x et our ((x, g(x. + ; - et sot auss et seulemet s des alcatos mesurables our toute alcato mesurable réelle. c Trbu trace: Sot o u sous esemble de, T état ue trbu sur. d o désge l'jecto Caoque de o (, T. La trbu trace de T sur o est la trbu tale assocée à l'jecto caoque d o. C'est la lus ette trbu sur o qu red d o mesurable. O la ote T o. Il est acle de vor que : To = { A o, Α Τ }. Remarquos auss et seulemet s que s o T alors To = {A o Α Τ}. Remarquos que s : (,T (',T' alors la restrcto de à o est T o - T' mesurable. E eet : S o ote o la restrcto de à o. o - (B=. - (B o To. Le théorème suvat ous doe ue récroque très utle. 67

34 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K b.4-théorème de Recollemet. Sot ( > ue artto déombrable de avec T our tout >. F : (, T ( ', T' est ue alcato T-T' mesurable s et seulemet s la restrcto de F à chaque est T - T' mesurable. Preuve : Le er ses est logque. Le ème ses relève du at que F ( B = U F ( B I = U F ( B B T'. > > 3. b.5- Corollare S o T et o et o : (o, To ( ', T' est ue alcato mesurable, alors o eut rologer o à tout eter d'ue aço mesurable. Autremet dt l exste : : (, T ( ', T' T -T' mesurable telle que sa restrcto à o es t exactemet o. Le rologemet 'est as uque. Preuve : Il sut de oser (x = a s x o & (x = o (x s x o. Remarque : Ce corollare ous codut à are ue dstcto etre Alcato mesurable et octo mesurable. E at le om Focto est réservé à ue corresodace dée sur ue arte o récsée d'u esemble doé, Autremet dt à ue alcato dot l'esemble de déto 'est as écessaremet égal à l'esemble de déart tout eter. As d'arès le corollare c-dessus o eut dre que toute octo mesurable eut être rologée à ue alcato mesurable. Das la sute, et e ratque, o va emloyer lutôt le mot octo mesurable das le cas où l'esemble d'arrvée est le cors des ombres réels R ou le cors des ombres comlexes mus de leurs trbus Borélees resectves. E artculer, les alcatos mesurables à valeurs das R sot aelées les octos umérques mesurables, et celles qu sot das C sot aelées les octos comlexes. Pour lus de récso o dstguera deux cas : Focto mesurable artout dée; C'est à dre dot le domae de déto est égal à et Focto mesurable µ-resque artout dée. C'est-à-dre : Dom ( = o T et µ ( \ o =. 68

35 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 69 Exemle : (x = /x est mesurable λ.. dée car λ( \ o = c. = R et o = R *. 3. b.5- Stablté de la mesurablté ar assage à la lmte smle Théorème: ( E, d état u esace métrque mu de sa trbu Borélee Β E. ( > état ue sute d'alcatos mesurables dées de (, T (E, d. O suose que our tout x la sute ( (x > coverge das E. Alors : L'alcato lmte est auss et seulemet s T- B E mesurable. Preuve : Posos : (x = lm + (x. Remarquos tout d'abord que s O est u ouvert de E. Alors :. - (Ο lm + - (Ο. - (O. (# Pour tout ermé F de l'esace métrque (E, d s'écrt : I I > > F = O = O Avec : O = { x E, / d(x, F</ }. As va (# o eut vor que : - (F = Il m + ( O > Cocluso : - (F T our tout ermé de (E, d. As la lmte smle de toute sute d'alcatos mesurables à valeurs das u esace métrque est auss mesurable. Ce Théorème est odametal our la sute et c'est lu qu motre l'avatage des alcatos mesurables sur les alcatos cotues. Remarque : O eut gééralser ce théorème, e ce laços das u esace toologque où sa trbu Borélee est la trbu tale assocée à la amlle de toutes les octos cotues de E à valeurs das [, ]. L'esace métrque (E, d e est u! 69

36 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 7 3. c - Foctos mesurables réelles. Dstguos très sogeusemet deux sortes de octos toutes utles our la théore d tégrato. 3. c.- Foctos mesurables réelles : (No écessaremet es. Nous etedos ar octo mesurable o écessaremet e, toute octo : : (,T Ř = [-, + ]. L'esace Ř état mu de sa trbu Borélee B Ρ, vérat - (O T our tout ouvert de Ř.Nous oteros M (, T, Ř l'esemble de toutes les octos mesurables réelles o écessaremet es, c'est à dre à valeurs das Ř. O raelle c que la toologe usuelle de Ř c'est celle de R lus les vosages de {- } et de {+ }. Cette toologe est métrsable. O eut redre comme métrque : d(x, y = Arctg(x- Arctg (y avec Arctg(- = - π et Arctg(+ = + π. Remarquos auss et seulemet s que tout ouvert de Ř est réuo déombrable d'tervalles ouverts] a, b [de R et ue arte de la are {-, + }. 3. c.- Proosto. a La trbu Borélee B Ř est egedrée ar la classe : M = { [-, q ], q Q }. b : (, T Ř est mesurable s et seulemet s. - ([-, q ] T q Q Preuve : a Il est clar que tout élémet de la classe M est auss et seulemet s élémet de B. Doc T (M la trbu egedrée ar M est coteue das B Ř. Iversemet our a Ř l exste (q > qu crot vert a doc [-, a[ T(M. O eut alors armer que [b, + ] T(M our tout b R et de même cou [b, a [ T(M our tout (b <a. Pour l'tervalle ]b, a [ o eut l'écrre sous la 7

37 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 7 orme U[, a[ > b avec (b décroît vers b. Par assage au comlémetare o a : {- } T (M et {+ } T (M. Cec est largemet susat our assurer l'autre cluso..e B Ř T (M. b Il sut d'alquer le er crtère de mesurablté "Proosto.a.3". Cette roosto est d'u térêt cosdérable das la mesure qu'elle ermet de motrer luseurs résultats que ous rassemblos das cette roosto suvate. 3. c.3 - Proosto Sot ( > ue sute de M(,T, Ř. Alors o a : a : Su > I > ( ( M (, Τ, R & lm( M (, Τ, R & lm( M (, Τ, R M (, Τ, R. b : S la sute coverge smlemet e tout ot vers ue octo, alors : M (, T,Ř. Preuve : Il sut de motrer que S u ( M(,T,. S o ose g =S u (. Alors : I,. T. > g. - ([-, q] = ([ q] I ( = - Su (- M(, T, Ř. Même chose our les autres. c S la lmte de la sute ( exste alors cette lmte 'est que la lmte suéreure de ( >. Remarque : S M( T, Ř alors. + et. - sot deux élémets de M(,T,Ř qu sot ostves et o a : = et / / = M(,T, Ř +. Ce-c ous codut à arler de l'esemble de toutes les octos mesurables ostves o écessaremet es.e à valeurs das R + U {+ }. Sgalos que R + U{+ } lu auss et seulemet s eut être mu de sa trbu Borélee B + egedrée tout smlemet ar la classe : M+ = { [, q ], q Q+ }. 7

38 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 7 Et ar le crtère de mesurablté o eut motrer que : M (,T, R + U{+ } s et seulemet s {x, (x q } T. S ( M(,T, R + U{+ } Su( M(,T, R + U{+ }. 5 S ( M(,T, R + U{+ } I ( M(,T, R + U{+ }. E utlsos cette os c le at que la classe {[q, + ], q Q + } egedre elle auss et seulemet s B +. 6 S ( M(,T, R + U{+ }. Et s la lmte exste our tout x, alors la octo lmte est auss et seulemet s u élémet de M (, T, R + U{+ }. 7 O eut motrer asémet qu'o a auss: M (, T, R + U {+ }. Exercce * Avec la coveto que.± =. Motrer que s M(,T, RU{+,- }, alors a. M(,T, R U{+, - }, our tout a Ř. Exercce * Soet, et g deux octos mesurables de M(,T, Ρ. O ose : ( x + g( x... quad. c' est. be. dée S(x = { 5... s. o Motrer que S M (, T, Ρ. Exercce *3 Soet, et g deux élémets de M(,T, Ρ. Motrer que.g est artout dée et que c'est u élémet de M(,T, Ρ.. c.4- Foctos mesurables réelles :es. Remarquos que toute octo M(, T, Ρ est lmte smle d'u sute + = de octos ( M(, T, R. E eet osos : A + = {x, / (x = + } & A _ = {x, (x = - } et A = {x, - (x } ℵ *. Pour xé la octo : F (x = -.A- + (x.a +.A+. M (,T,R. La sute F coverge smlemet vers. E eet, l sut de vor que : 7

39 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 73 A + U A U A_ est ue artto mesurable de. Doc : S x A + o a : F (x = + = (x S x A - o a : F(x = - - = (x S x A o a : F (x = (x. Das tous les cas ous avos F qu coverge smlemet vers. O eut doc cosdérer ce at comme ue troducto très subtle à l'esace M(,T, R.. c.5- Proosto. M(, T, R est o seulemet u esace vectorel mas ue algèbre rétculée.. c.6 -Proosto : S M(,T,Ř alors M(,T, Ř et a M(, T, Ř our a R +. S M(, T, Ř alors.+ et.- sot das M(, T, Ř +. 3 S ( M(, T, R et (x = lm. (x exste our tout x, alors : + et.- M (, T, Ř +. Preuve : Tout est dt, l sut d'écrre et de relre ce qu a été déjà at au veau M (, T, Ř. 3. d-: Foctos étagées L'aalyse attache ue grade mortace à la covergece des sutes de octos et les séres de octos. Le lus souvet le but rcal de l'aalyse est d'arocher les octos comlquées ar des octos auss smles que ossble. Il se trouve que our la théore d'tégrato au ses de Lebesgue les octos étagées costtuet la clé de voûte our la costructo de l'tégrale de Lebesgue. O motre que toute octo mesurable réelle est lmte smle d'ue sute de octos étagées. 3. d. - Déto. M(, T, Ř est dte étagée s et seulemet s : ( est u esemble. 73

40 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 74 Exemles : F(x = our tout x. F(x = A(x où A T. F(x = α. ( x où (A costtue ue artto mesurable de. 6 A 3. d. - Théorème Ue octo mesurable est étagée s et seulemet s elle est combaso léare d'ue amlle e de octos dcatrces ( Preuve : A où A T. Il sut de remarquer que s ( A est ue amlle e d'élémets de T, alors our Tout J P ( I avec I = {,, 3,, }. O ose : ( I II c A J = A ( A J La amlle ( A J J P(I est ue artto mesurable de et que s = alors : J P( I I A J J I. A α, = ( α. et doc ( est u esemble dot so cardal e déasse as. Remarques : a O décdera d'aeler écrture caoque de toute écrture de sous orme = I β. A où les A sot dsjots deux à deux et les β sot dstcts deux à deux et o ulles. b L'avatage d'écrre les octos étagées sous leurs ormes caoques, c'est qu'o eut écrre asémet : ( + g,. g, S u (, g, I (, g, a., &. Par exemle : S = α. & g = β.. Alors A j Bj I j J 74

41 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 75 + g = ( α + β. & Su(, g = Su( α, β. j A Bj j A Bj (, j (, j. g = ( α. β. & I(, g = I( α, β. j A Bj j A Bj (, j (, j = α. & a. = a. α.. I A A I Nous otos Et (, T, R le sous esace de M(, T, R de toutes les octos étagées réelles es. Eoços mateat le eme Théorème clé de cette théore. 3. d.3- Théorème S M(, T, R + U{+ } alors l exste ue sute crossate das E t (, T, R + qu coverge smlemet vers. La covergece est uorme s est borée. Preuve : La octo M (, T, R + U {+ } état xée. Pour la costructo de la sute ( Et(, T,R, commeços ar la costructo our chaque > ue artto mesurable de qu déed de seulemet. Vu que [, + ] = [, [ [, + ] O eut dvser l'tervalle [, [ d' ue aço dchotomque e tervalles de même logueur /. k k,. Posos : A (k, =. - ([k-/, k/ [..&..A =. - ([, + [ [ [ U, = k. La amlle ( A, A (k, k. costtue ue artto mesurable de. As o ose : k =.. A +. A( k, k. La octo est étagée ar costructo. La sute ( coverge smlemet vers E eet : d S ( x =+ alors ( x = our tout., doc ( x ( x.. q + S ( x +. Alors tel que ( x. As l exste k tel que x A(k, ce c mlque que : 75

42 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 76 { k ( x = ( x ( x +.. e ( x ( x. D' où ( x ( x C.Q.F.D est. crossate E eet : > La sute (. ( x + alors + ( x = + & ( x = k k ( x < + alors[, + [ = U, As s k ( +. ko + + ( x = & + ( x = avec. + k (. ( o + x ( x + + k' k' ( k' k' k' k' ( x ( x,,, = k' k' k' ( x = et ( x ou doc ( x ( x. + = + + La covergece est uorme s état borée. E eet : s ( [, m[ k k k, U, (... k m k m x o a ( x ( x < ( ( x ( x C.Q.F.D. Su [ m[ = > x = A( k, 3. d.4-corollare. x S M (, T, K,où K = R ou K = Ř ou K = C. Alors l exste ue sute ( > das Et(, T, R qu coverge smlemet vers et >. S la octo est borée, alors la covergece de la sute ( > est uorme. Preuve : Il sut d'écrre = et d'alquer le théorème our + et.-. As + =lm + g. et.- = lm + h où (g > et (h Et(, T, R+ O ose = g h Et(, T, R et smlemet. Toutes les octos sot domées ar. E eet g + et h.-. D où : 76

43 Cha.5 : Itégrato de Lebesgue das M(,T,K 77 g + h =. S est borée : Alors : o tel que ( [- o, o [. Or our tout > o a : [- o, o [ = U. k k k, o o. k osos =. A( k,. k. k k Où A (k, =.- [, [ la sute as dée coverge uormémet vers. S mateat est comlexe : Alors = g +. h où g = Re( & g = Im(. M(, T,C Re( M(, T, R et Im( M(,T,R. As : g = lm + g où (g E t(, T, R et >. o o g g our tout h = lm + h où (h > Et(, T,R et h h our tout Doc : >. = lm + ( g +.h o ose = g +.h. Et(, T,C. = g + h g + h = our tout >. 3. d.5-corollare. a S M(, T,C alors a M(, T, R+ our tout a R+. c S & g M (, T, C alors a +b g M (, T, C S g alors g M (, T, C &.g M(, T,C. Preuve : Il sut de motrer que toutes ces octos sot lmtes des sutes de octos mesurables das Et(, T, C,.e des octos étagées réelles ou comlexes. 3. e - Foctos µ mesurables Sgalos c que la oto de octo mesurable réelle e déed que de la trbu stallée sur l'esaces de déart. S mateat (, T, µ est u esace 77