REPETITION 2: Mise en équations et linéarisation

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1 Document mis à jour le 10 septembre 2009 Infos: UNIVERSITÉ DE LIÈGE INSTITUT MONTEFIORE ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES Prof. R. Sepulchre - Prof E. Bullinger REPETITION 2: Mise en équations et linéarisation Année académique Rappels théoriques Le but de ces exercices est de vous familiariser avec la notion de modélisation d un système physique (par exemple, le moteur "Quanser", le Three-Tank ou le Pendubot au laboratoire; mais aussi : un circuit électrique, un réacteur chimique,...), c est-à-dire d exprimer le comportement physique de ce système par une série d équations mathématiques. Ces équations peuvent être à caractère linéaire ou non-linéaire (d où l utilité de maîtriser la technique de linéarisation...). Les lois de modélisation utilisées sont par exemple les lois de Newton, les lois d Euler-Lagrange, la loi des gaz parfaits,... La linéarisation Cette technique a été vue sous le nom d étude des perturbations infinitésimales dans le cours de mécanique rationnelle (2 e bac). Cela revient à étudier le comportement d un système autour d un point de fonctionnement (appelé aussi point d équilibre) déterminé par application du théorème de Taylor (cours d analyse de 1 er bac) : Soit f(x 1,x 2,...,x n ) une fonction réelle à linéariser autour du point ( x 1, x 2,..., x n ). On a : n f f(x 1,x 2,...,x n ) = f( x 1, x 2,..., x n ) + x i ( x1 δx i + H.O.T. (1), x 2,..., x n) où H.O.T. dénotent les termes d ordre supérieur à 1 (higher order terms). Et donc si on définit δf(x 1,x 2,...,x n ) = f(x 1,x 2,...,x n ) f( x 1, x 2,..., x n ) comme la petite perturbation de la i=1 1

2 fonction f autour du point de fonctionnement, on trouve en négligeant les termes d ordre supérieur à 1 : n δf(x 1,x 2,...,x n ) = f ( x1, x 2,..., x n) x i ( x1 δx i (2), x 2,..., x n) Exercice 1 : Mise en équation et linéarisation Le pendule à un bras i=1 Figure 1 Modèle du pendule à un bras. Soit le pendule à un bras, tel qu il est représenté à la Figure 1 : pendule de longueur l et de masse négligeable, point matériel de masse m accroché à l extrémité du pendule. La loi de commande (entrée) est le couple moteur u(t), la variable de sortie est l angle θ(t). 1. D écrire l équation différentielle modélisant le système De rechercher les points de fonctionnement stationnaires (ū, θ) de ce système. 3. De linéariser l équation obtenue au point 1 autour d un point de fonctionnement quelconque (ū, θ). 4. D établir l expression de la fonction de transfert entrée-sortie G(s) = Y (s) U(s) de ce système linéarisé. 5. D établir l expression de la fonction de transfert H d (s) = Y (s) D(s) lorsqu une perturbation δm sur la masse m du pendule est introduite (ce qui peut modéliser l influence du second bras pour le Pendubot du laboratoire) en supposant la commande constante lorsque la perturbation intervient (δu = 0). 6. De créer un fichier Simulink c (pendule1.mdl) dans lequel vous implémentez le modèle non-linéaire (voir point 1) du pendule à un bras avec les caractéristiques 1. Le pendule simple non-contrôlé (u = 0) a été étudié dans le cours de mécanique rationnelle (2 e bac). Il est demandé ici d en écrire un modèle en utilisant la loi de Newton : Couple d inertie = P Couples moteurs P Couples résistants, ce qui doit mener à une équation semblable à l équation donnée dans ce bouquin, mais en y incluant le couple de contrôle u. 2

3 g = 9.81m/s 2 m = 1kg l = 11.25cm 7. D afficher avec Matlab c le graphe des réponses indicielles du modèle non-linéaire créé au point 6 et du modèle linéarisé (fonction step) autour du point d équilibre (ū, θ) = (0, 0) pour des échelons de couple δu permettant d atteindre les déviations angulaires (a) 5 (b) 10 (c) 20 Comparez et interprétez vos résultats. Exercice 2 : Linéarisation Pendubot : Le pendule à deux bras Le modèle non-linéaire du double pendule du laboratoire (pendule à deux bras) s obtient à partir des formules d Euler-Lagrange ou de Newton et s exprime sous la forme matricielle suivante : ( ) M(θ) θ + V m (θ, θ) θ u + G(θ) = (3) 0 où l on a posé : θ = M(θ) = V m (θ, θ) = G(θ) = ( θ1 θ 2 ) ( P1 + P 2 + 2P 3 cos θ 2 P 2 + P 3 cos θ 2 P 2 + P 3 cos θ 2 P 2 ( P3 θ2 sin θ 2 P 3 ( θ 1 + θ ) 2 )sin θ 2 P 3 θ1 sin θ 2 0 ( ) R2 g sinθ 1 + R 1 g sin (θ 1 + θ 2 ) R 1 g sin(θ 1 + θ 2 ) Le couple u(t) constitue la loi de commande (entrée) du système, la sortie du système est l angle θ 1 (t) (voir Figure 2). ) (4) (5) (6) (7) Figure 2 Modèle du pendule à deux bras. 3

4 1. De linéariser les équations (3) autour de la position verticale inversée : (ū, θ 1, θ 2 ) = (0,π,0). 2. De dériver les équations d état du système linéarisé : où x est le vecteur d état du système. ẋ = Ax + Bu (8) δθ 1 = Cx (9) 3. D implémenter le modèle d état calculé avec Matlab c (fonction ss) avec les caractéristiques g = 9.81m/s 2 R 1 = Ns 2 R 2 = Ns 2 P 1 = Nms 2 P 2 = Nms 2 P 3 = Nms 2 4. De calculer les fonctions de transfert G 1 (s) = θ 1(s) U(s) et G 2(s) = θ 2(s) U(s) implémentation (fonction tf). à partir de votre 5. De faire afficher ces fonctions de transfert par votre script Matlab c, ainsi que le graphe de leur réponse indicielle. Three-Tank Le Three-Tank est un système de trois réservoirs communiquants. Un tel système se trouve dans le laboratoire. Son modèle non-linéaire s obtient à partir d un ensemble d équations de bilan de masse et s exprime sous la forme suivante : avec : dh 1 dh 3 dh 2 = u Q 13 (10) = Q 13 Q 32 (11) = Q 32 Q p,2 (12) Q 13 = S f,13 a z,13 sign(h 1 h 3 ) 2g h 1 h 3 (13) Q 32 = S f,32 a z,32 sign(h 3 h 2 ) 2g h 3 h 2 (14) Q p,2 = S p,2 a z,20 2gh2 (15) où S f,13 = S f,32 sont les sections des tubes reliant les réservoirs, S f,2 la section du tube déversant l eau depuis le dernier réservoir et a z,13 = a z,32 est un autre paramètre obtenu à partir de l équation de Bernoulli. L entrée du système est le débit de contrôle u et sa sortie est la hauteur d eau h De linéariser les équations (13), (14) et (15) autour de la position de fonctionnement (ū, h 1, h 3, h 2 ) = (24.93ml/s,34.57cm,29.46cm,24.35cm). 2. Pour information, dans le Three-Tank du laboratoire, les réservoirs sont numérotés 1 3 2, de gauche à droite... 4

5 2. De dériver les équations d état du système linéarisé : où x est le vecteur d état du système. ẋ = Ax + Bu (16) δh 2 = Cx (17) 3. D implémenter le modèle d état calculé avec Matlab c (fonction ss) avec les caractéristiques g = 981cm/s 2 = 154cm 2 S f,13 = 0.5cm 2 S f,32 = 0.5cm 2 S p,2 = 0.128cm 2 a z,20 = a z,13 = a z,32 = en tenant compte d une perturbation d(t) : débit de fuite dans le réservoir 1 (la perturbation équivaut donc à un débit d entrée négatif...). 4. De calculer les fonctions de transfert G(s) = Y (s) U(s) et H d(s) = Y (s) D(s) implémentation (fonction tf). à partir de votre 5. De faire afficher ces fonctions de transfert par votre script Matlab c, ainsi que le graphe de leur réponse indicielle. 5