Somme de puissances de nombres entiers successifs et nombres de Bernoulli

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1 1 Somme de uissaces de ombres etiers successifs et ombres de Beroulli O ose : 1 S ( ) 1... ( 1) k = =. Il s agit de la somme des etiers successifs de à 1, tous à la même uissace. Par exemle : S ( ) = ( 1) = = et l o est cesé coaître : ( 1) 1 1 S1( ) = ( 1) = = ( 1) ( 1) S( ) = ( 1) = = ( 1) S3( ) = ( 1) = = Ue méthode our calculer S ( ), ar exemle S 4 ( ) 1) Calculer l aire délimitée ar la courbe d équatio y = x 4 et l axe des x, etre x = et x = x Il s agit de x dx = = 5 5 ) Calculer l aire des rectagles de base uité, comme idiqué sur le dessi. O costatera que le résultat du 1 doe ue valeur arochée ar défaut de S 4 (+1). Il reste à coaître l «erreur», c est-à-dire le comlémet à ajouter our obteir la valeur exacte de S 4 (+1). O a rectagles umérotés de 1 à. Le rectagle k a our base 1 et our hauteur k 4. La somme des aires des rectagles est S 4 (+1). Pour avoir la valeur exacte de S 4 (+1), il coviet d ajouter à l aire obteue au 1 celle, e rouge, qui est-au dessus de la courbe et e haut des rectagles. 3) Calculer l aire rouge des arties des rectagles situées au-dessus de la courbe.

2 Pour le rectagle k, o red l aire de ce rectagle et o lui elève la artie qui est située au-dessous de la courbe, soit : k k 4 4 x 4 k k 3 ( 1) 1 k x dx = k = k = k k + k k k 1 E sommat our tous les rectagles, cela doe : 3 1 ( + 1) ( + 1)( + 1) ( + 1) k k + k = = ) E déduire S 4 () S4( ) = k = k = = Formule doat S () et ombres de Beroulli Vers 17, J. Beroulli trouva la formule géérale doat S (), e itroduisat les ombres B k qui ortet so om : k S ( ) = Bk + 1 k Avec S (1) = = sauf our = où S () = 1, la formule récédete doe ue relatio de récurrece sur les ombres de Beroulli B k, soit + 1 Bk = k our >, avec e coditios iitiales B = 1. Das ce qui suit ous allos démotrer cette formule attribuée à Beroulli, e utilisat les foctios géératrices exoetielles. Foctio géératrice exoetielle S() associée aux S (), état fixé Par défiitio, il s agit de :

3 S( ) = S( ) + S1( ) + S( ) + S3( ) + S4( ) +...! 1!! 3! 4! = ( ( 1) ) ( ( 1) ) 1! + ( ( 1) )! +... Faisos maiteat ue lecture ar coloes successives : S( ) = ( ) + ( ) !! 3! 1!! 3! (( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) +...) 1!! 3! 1 ( 1) = e + e + e e 1 1 = ( e ) + ( e ) + ( e ) ( e ) 1 e = 1 e e 1 = e 1 Pour arriver à ce résultat, ous avos utilisé le déveloemet e série de l exoetielle, uis la formule sur la somme des termes d ue suite géométrique de raiso e. Nombres de Beroulli Défiitio ar récurrece Les ombres de Beroulli sot défiis ar B = 1, et our 1, ar la relatio de récurrece : + 1 Bk = k O obtiet aisi de roche e roche : our = 1, B + B1 =, d où B 1 = 1 /. 1 our =, B + B1 + B =, d où B = 1 / 6. 1 das le cas gééral B = ( B + B1 + B B 1 ) Cette formule ermet de rogrammer le calcul des ombres de Beroulli.

4 4 Programme doat les ombres de Beroulli successifs #iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <coio.h> #defie N 1 /* calcul des ombres de Beroulli jusqu à B 1 */ it C(it, it ); float B[1],cumul; it mai() { it,j; B[] = 1; for (=1;<=N;++) { cumul=; for(j=;j<;j++) cumul+=b[j]*(float)c(+1,j); B[]=-cumul/(+1); ritf("\%3.d: %3.3f",,B[]); } getch();retur ; } it C(it, it ) /* calcul des combiaisos C */ { it i,j,c[1]; c[]=1; for(j=1;j<=;j++) c[j]=; for(i=1;i<=;i++) for(j=;j>=1;j--) c[j]+=c[j-1]; retur c[]; } Remarquos que les ombres de Beroulli sot tous des ombres ratioels (fractios d etiers) mais le rogramme récédet doe les résultats sous forme de ombres à virgule. Foctio géératrice exoetielle des ombres de Beroulli Raelos qu arès B = 1, o a la relatio de récurrece : B + B1 + B B = ( 1) 1 Cela s écrit aussi, e osat + 1 =, et e ajoutat le terme sulémetaire B : B + B1 + B B 1 + B = B ( 1) 1 1 e remarquat que cette formule est ecore vraie our =, soit B k = B ( 1) et, our = 1 : k 1 1 B k k = B Remarquos que les sommes euvet être étedues à l ifii, uisque les termes sulémetaires sot tous uls. Preos maiteat la foctio géératrice exoetielle B() des ombres de Beroulli :

5 5 3 B( ) = B + B1 + B + B !! 3! Formos alors le roduit e B( ) = ( )( B + B1 + B + B3 +...) 1!! 3! 1!! 3! E déveloat, le terme e 1 a our coefficiet Bk ( k)! k!, et le terme e a our coefficiet :! O viet de trouver que les e B( ). Sachat que : B 1 Bk! Bk Bk. = = ( k)! k! ( k)! k! k k! Bk k k!! ot our foctio géératrice exoetielle k = B our différet de 1 (et B our = 1), o e déduit, e k égalisat les foctios géératrices exoetielles corresodates, que : e B( ) = B( ) +. Fialemet B( ) = e 1 Lie etre les foctios géératrices exoetielles S() et B() Jusqu à réset, aucu lie existe etre les sommes S () et les ombres de Beroulli. Les foctios géératrices exoetielles vot créer ce lie. E effet : e 1 e 1 e 1 S( ) = = = B( ) e 1 e = ( ) B ( ) 1!! 3! 3 3 = ( )( B + B1 + B + B3 +...)! 3! 1!! 3! Fialemet : S( ) + S1( ) + S( ) + S3( ) +... = ( )( B + B1 + B + B3 +...)! 1!! 3!! 3! 1!! 3! 1 Si l o fait cela, c est arce que l o est cesé coaître ue roriété fodametale des foctios géératrices exoetielles, à savoir que le roduit de deux foctios géératrices exoetielles doe ue foctio géératrice exoetielle dot les coefficiets sot obteus ar covolutio biomiale, comme o va le retrouver ar le calcul das le cas réset.

6 6 S ( ) Aisi le coefficiet du terme e à gauche est le coefficiet du! déveloemet à droite our avoir le terme e. Cela doe : terme de degré : S () =! B = 1 1 terme de degré 1 : S1( ) = 1!( B + B1 ) =! terme de degré : S( ) =!( B + B1 + B ) = + 3!!! 3 6 (sachat que B = 1, B 1 = 1/ et B = 1/6). Das le cas gééral : S ( ) =! ( B + B1 + B B ) ( + 1)!!!1! ( 1)!! 1!! j+ 1 k =! Bk ( j + 1 k )! k! + 1 ( + 1)! Puisque = o trouve fialemet la formule doat S () : k k!( + 1 k)! S ( ) = Bk k k Exemle : calcul de S 4 () coaissat B = 1, B 1 = 1 /, B = 1 / 6, B 3 =, B 4 = 1 / S4( ) = ( B + B1 + B + B3 + B4 ) = Remarques comlémetaires Les ombres de Beroulli d idice imair à artir de B 3 sot tous uls ( e + 1) E effet, reos B( ) + = + =. O vérifie aisémet que cette e 1 ( e 1) foctio de est aire. Das le déveloemet de : 3 1 B( ) + = B + ( B1 + ) + B + B3 +..., tous les termes de degré imair sot 1!! 3! uls, d où B 1 = 1/, et B 3 = B 5 = B 7 = =. Les ombres de Beroulli d idice air ot leurs siges qui alteret, à artir de B ositif.

7 7 Rereos la foctio f() = + avec la relatio récédete e 1 B( ) + = f ( ). Puis égalisos la artie aire de chacu des deux membres. La artie aire de B( ) + est B!. Celle de f() est : f ( ) + f ( ) 1 e e = ( ) = e 1 e 1 ( e 1)( e 1) e e sh sh = = = ( e + e ) (1 ch ) ch 1 sh( / ) ch( / ) ch( / ) = = = cotah( / ) sh ( / ) sh( / ) Le déveloemet limité de la cotagete hyerbolique ossède ue alterace de siges à artir du terme e qui est ositif, doc les ombres de Beroulli successifs à idice air aussi. Plus récisémet : 3 4 cotah( / ) = ( ) = O retrouve aisi B = 1, B = 1/6, B 4 = 1/ 3. Référece bibliograhique : Graham, Kuth, Patashik, Cocrete Mathematics, Addiso-Wesley, 199.

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