Chap. B2 : fonctions usuelles (fin)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chap. B2 : fonctions usuelles (fin)"

Transcription

1 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Chap. B : fonctons usuelles (fn) IV Fonctons trgonométrques : ) Proprétés admses des fonctons sn et cos Vor appendce pour une constructon des fonctons sn et cos, c on se contente de l ntuton de ce qu est un angle et de la défnton de son snus, du coup, on ne démontre ren. a) Prop. algébrques : () cos est pare et sn est mpare. () Proprétés de symétres : () Formule d addton : on peut démontrer (cf. déf. du sn en appendce) que : (a, b) R, cos(a b) = cos(a) cos(b) + sn(a) sn(b). On en dédut les tros autres formules d addtons pour cos(a + b), sn(a + b), sn(a b). b) Prop. analytques : Les fonctons sn et cos sont dérvables et R cos () = sn(), et sn () = cos(). c) C.N.S. d égalté à connaître par coeur : (θ, θ ) R, θ θ [π] ou cos(θ ) = cos(θ ) θ θ [π] θ θ [π] ou sn(θ ) = sn(θ ) θ π θ [π] ) Défnton de l ep complee : a) Termnologe : à tout pont M = (a, b) R, on assoce son affe z = a + b C. b) () Déf. θ R, e θ = cos(θ) + sn(θ) C. () Géométrquement : le pont d affe e θ est le pont M(θ) du cercle unté d angle polare θ. () Valeurs remarquables e π =, e π/ =. (v) On note U = {z C, z = }. C est l ensemble des affes des ponts M dans le cercle unté. Théorème : f [, π[ U, θ e θ est bjectve. (v) C.N.S d égalté : (θ, θ ) R, e θ = e θ θ θ [π]. En partculer, e θ = θ [π]. c) Module et argument d un nombre complee non nul :

2 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 () Au chap. A3, on a défn le module de z = a + b, qu est par déf. z = a + b = OM où M d affe z. Prop. (z, z ) C, zz = z. z. () Argument de z : sot z C, par (), z/ z est de module. Par théorème b) (v) l este un unque θ [, π[ tel que z/ z = e θ. Par déf. on note θ =Arg(z) : argument prncpal. Défnton d un argument quelconque de z, congru à l argument prncpal modulo π. () Pour z C l écrture z = re θ avec r > (attenton!) équvaut à r = z et θ Arg(z) [π]. d) Prop. algeb. fondamentale de l ep. complee : () Conséq. des formules d addtons : Prop. (θ, θ ) R, e (θ+θ ) = e θ.e θ (noublable!). () Rem (en sens nverse) : Avec cette formule facle à retenr, on retrouve les formules sur cos(a + b) etc. e) Prop. analytques : () Déf. pour une foncton à valeur complee, des notons de contnuté, dérv., prmtves. d () Appl. (ep()) = ep(). d () Moralté : dérver = multpler par = tourner de +π/. Prmtver = dvser par = multpler par = tourner de π/. Formules d d (cos()) = cos( + π ), d d (sn()) = sn( + π ). Applcaton : epresson des dérvées n-èmes. f) Généralsaton : déf. de e z pour z = a + b. d () Déf. () Prop. algeb. () Prop. analytque : d (ep(z )) = z ep(z ). (Lemme : dérvée d un produt de deu fonctons à valeurs complees). 3) Formules utles pour l étude des équatons trgonométrques : formulare a) Formules dédutes des formules d addton, cos(a + b) =... () On rappelle encore que cos(a + b) et sn(a + b) se retrouvent va la formule de l ep. Il faut auss savor tan(a + b). () Formules de dupl(trpl)catons : cos(a) =..., sn(a) =..., tan(a) =..., et pourquo pas cos(3a), sn(3a). () La formule sur cos(a) est à pratquer pus connaître dans tous les sens, à savor cos(a) =..., en sens nverse cos (a) =..., sn (a) =..., et les deu ams utles +cos(a) =... et cos(a) =.... (v) Eemple d utlté de la formule cos() = cos (/). Eercce : détermner un équvalent quand de cos(). En dédure lm cos(). b) Généralsaton : Queston : Comment écrre de manère générale cos(n) (resp. sn(n)) en foncton de pussances de cos() (ou de sn())? Deu ngrédents pour répondre à cette queston : () Formule d Abraham De Movre : pour n N, cos(nθ) + sn(nθ) = (cos(θ) + sn(θ)) n. cos(n) = Re ((cos(θ) + sn(θ)) () Reformulaton d Abraham : n ) sn(n) = Im ((cos(θ) + sn(θ)) n ). () On en dédut une méthode savor refare!!

3 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 On développe le membre de drote avec Isaac, et on obtent la formule de Tchebychev donnant cos(n) purement en foncton de pussances de cos() et sn(n) avec sn() et des pussances de cos(). (v) A quo ça sert? par eemple pour ramener des équatons trgonométrques à des équatons polynomales... à condtons de savor ensute résoudre l équaton polynomale. Eemple d eercce : () Ecrre cos(5) sous la forme P (cos()) avec P une foncton polynomale. () En dédure un polynôme de degré 5 donc cos(π/) est racne. (3) En dédure une écrture eplcte de cos(π/) à l ade de racnes carrées. c) Formules d Euler et transformaton de sommes en produts : () Rappel : conjugué z d un nombre complee. Relatons : Re(z) = z+ z et Im(z) = z z. () Cas de z = e θ, relaton z = e θ. Attenton : Ne pas confondre e θ = e (θ+π) avec e θ. () Formule d Euler : cos(θ) = eθ + e θ et sn(θ) = eθ e θ Attenton au pour le snus. () Une applcaton : produt. formules SICOCOSICOCOSISI de transformatons de somme en sn(p) + sn(q) = sn( p + q ) cos(p q ), sn(p) sn(q) = cos( p + q ) sn(p q ), cos(p) + cos(q) = cos( p + q ) cos(p q ), cos(p) cos(q) = sn p + q ) sn(p q ). Retenr : on commence par sn(p) + sn(q) attenton au à la dernère lgne. Comment (re)trouver ces formules? Idée : sn(p) + sn(q) = Im(e p + e q ). Idée : dans e p + e q méthode de factorsaton de e (p+q)/, ep. de la moyenne. (v) Applcaton de la transformaton de sommes en produts : factorsaton pour résoudre des équatons trgonométrques. Eercce : résoudre cos() cos() = sn() + sn(). d) Remarque sur la méthode de factorsaton de l eponentelle de la moyenne : () Dans le cas partculer de + e θ et e θ on factorse donc par e θ/ ce qu donne : + e θ = cos(θ/)e θ/ et e θ = sn(θ/)e θ/, () Les formules du () donnent en partculer le module et l argument de + e θ (attenton au sgne de cos(θ). () Ces formules du () redonnent en part. les deu ams + cos(θ) et cos(θ). e) Transformaton d une C.L. a cos() + b sn() en A cos( + ϕ) Interprétaton géométrque de la factorsaton par a + b. Attenton à la détermnaton de ϕ mod. π (deu lgnes trgonométrques!), attenton à l arctan mécanque!! Eple : 3 cos(t) sn(t) = cos(t + ϕ). Applcaton : écrture normalsée en physque, résol. d équatons trgonométrques. 4) Formules en sens nverse : produts en somme, lnéarsaton : formulare a) Lnéarsaton et applcaton au calcul de prmtves : 3

4 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 () Lnéarser, déf. : écrre comme combnason lnéare des fonctons cos(k ), sn(l ). () Eemple cos et sn et applcaton au calcul de prmtve. () Méthode générale pour les cos n () ou sn n () (n pas trop grand) ou même cos p () sn q () : Léonard lnéarse (toujours avec Isaac). Eple calcul de π/ sn 6 (t). Sert auss pour les calculs des dérvées n-èmes. b) Transformaton de cos(a) cos(b), cos(a) sn(b), sn(a) sn(b) (produt en somme) 5) Proprétés analytques des fonctons composées à partr de sn, cos : a) Cas de la foncton sn. Inégalté utle : sn() : comment obtenr cette négalté sur [ π/, π/], pourquo cela sufft-l? Mas auss négalté en sens nverse [, π ], sn() π. b) Cas de tan et cotan. Les dérvées, et le graphe de tan dovent être ben connus! Inégalté [, π/[, tan() Ben connaître la C.N.S d égalté : (θ, θ ) (D tan ), tan(θ ) = tan(θ ) θ θ [π]. c) Plus pette pérode strct. postve de f t cos(ωt) : T = π/ω. L ensemble P f est de la forme T Z où T est la plus pette pérode strct. postve. Pour une somme de fonctons pérodques : recherche de la plus pette pérode commune. Chaptre B3 : fonctons trgonométrques récproques Tout le caher de vacances : D.M. 6 4

5 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Appendce au B IV : sur une défnton rgoureuse des angles et des fonctons sn et cos (hors programme et non egble) ) La noton de longueur d arc de cercle, et le nombre π : a) Défnton de la longueur d un arc de cercle, dans le premer quadrant Consdérons dans le plan R, le quart de cercle unté, graphe de f t [, ]. Sot [, ], découpons le segment [, ] comme sut : pour chaque n N, on consdère la subdvson régulère = t < t < < t n = en segments de longueur /n de sorte que t = /n. Notons M = (t, f(t )) comme ndqué sur la fgure des notes, où on a prs n = 4 et M 4 = (, f()). Applquons le T.A.F. à la foncton f (contnue sur [, ] dérvable au mons sur [, [), pour chaque couple (t, t + ) (pour =,..., n ) : on sat qu l este un c ]t, t + [ tel que : f(t + ) f(t ) = (t + )f (c ) = ( c ) (). n c n = n Notons M = (t, f(t )). La lgne polygonale M M,..., M n a pour longueur L n = ((t + ) + (f(t + ) f(t )) ) /, donc par (), comme + c c = c, on obtent : () c L n = n n = = M M + = Idée Il est naturel de défnr la longueur d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()), comme la lmte, s elle este, des longueurs des lgnes polygonales L n quand n tend vers l nfn. Or : Théorème (sur les sommes de Remann) à comparer à la déf. de l ntégrale du B. : Les sommes n convergent quand n vers : n = c. D où la défnton naturelle : Défnton Pour tout [, [, la longueur l() d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()) est la lmte de la sute (L n ) quand n +, et elle vaut auss : l() =. N.B. A ce stade, on ne connaît pas de formule usuelle pour une prmtve de t b) Proprétés de la foncton longueur d arc : l() () Par déf. [, [, l () = > donc l est strctement crossante sur [, [.. () Par alleurs, pour tout t [, ], t t donc, donc, donc (nombres postfs strctement) : pour tout t [, [ :. Donc pour tout [, [, Mas on sat calculer. =. (C est l avantage par rapport à ). Donc [, [, l(). Par () et ce qu précède, on peut applquer le théorème de la lmte monotone pour conclure que l() a une lmte dans R quand. Défnton On appelle π = lm l(). On notera encore π =. Autrement dt, on défnt π/ comme la longueur d arc du quart du cercle unté. 5

6 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Rem. Dans la déf. précédente, l ntégrale s entend comme la lmte des, quand. En effet par rapport à la déf. de l ntégrale donnée au B, la foncton ne se prolonge pas par contnuté en! Rem. La majoraton précédente donne que π/. ) Défnton des fonctons sn, cos dans le premer quadrant : a) Par constructon, la foncton l [, ] [, π/] est contnue, strctement crossante et surjectve (T.V.I et lmtes). Donc l est une bjecton contnue entre deu ntervalles, on sat donc (thme adms du B) que l [, π/] [, ] est auss contnue. La foncton l assoce donc à chaque longueur d arc u [, π/] l abscsse [, ] de l unque pont M tel que l arc M M sot de longueur u, comme ndqué sur le dessn c-dessus. b) Où l on défnt enfn le snus : Défnton : u [, π/], sn(u) def = l (u). Remarque : Ans on défnt le snus comme la foncton récproque de la foncton. En comparant au B3, cela sgnfe qu on défnt d abord l arcsn, pus le snus. Remarque l ne faut pas oubler que nos arcs partent de M = (, ) et pas de (, ) comme d habtude. La rason de ce cho un peu dérangeant état de ne pas commencer par ntrodure une foncton longueur d arc qu aurat été avec le pb. de l ntégrale en. c) Et le cosnus? Idée : pour le pont M tel que M M = u on a posé que sn(u) état l abscsse de M, on veut ben sûr que cos(u) sot l ordonnée de M. Par Pythagore, on obtent donc la défnton suvante : Déf. u [, π/], cos(u) def = l (u) = sn (u) 6

7 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6. 3) Démonstratons des proprétés attendues de sn, cos a) Prolongement : On prolonge la déf de sn et cos par symétres, sur [ π, π]. (Autrement dt, pour u [π/, π], on pose que sn(u) = sn(π u) et cos(u) = cos(π u), et pour u [ π, ] on défnt cos(u) = cos( u) et sn(u) = sn( u).) Ensute on prolonge ces fonctons en des fonctons π-pérodques. b) Dérvablté, dérvées : () Par théorème fondamental, la foncton l [, ] dérvée l >. est dérvable sur [, [ de Donc par théorème sur la dérvée d une foncton récproque sn = l est dérvable sur [, π/[= l ([, [) et u [, π/[, sn (u) = l (sn(u)) = sn (u) = cos(u). Le théorème de la lmte de la dérvée, qu s applque car on sat que sn contnue sur [, π/], dérvable sur [, π/[ et sn (u) = cos(u) cos(π/) = montre que sn est auss dérvable en u π/ π/ et que la formule sn = cos est donc valable sur [, π/]. Avec les prolongements du a), on en dédut l égalté sn = cos sur R (eercce). () Eercce : démontrer alors que cos = sn sur R. c) Proprétés algébrques : Comment montrer les formules d addtons comme : (a, b) R, cos(a + b) = cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) et ses soeurs? Une soluton vent des proprétés de dérvabltés qu on vent de montrer. En effet : cos et sn vérfent la même E.D. y + y =. Mas alors pour b fé, les fonctons y a cos(a + b) et y a cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) vérfent la même E.D. y + y = avec les mêmes condtons ntales y () = y () et y () = y () ce qu par théorème (cf. B4), donne l égalté y = y. 7

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Les nombres complexes. Défnton............................................................... Opératons...............................................................3 Parte réelle

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes A) Forme algébrque des nombres complexes Théorème (adms) Il exste un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté, vérfant les tros proprétés suvantes :. content ;. Il exste dans un élément tel

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel.

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel. NOMRES OMPLEXES RPPELS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Ensemble N : ensemble des enters naturels. L addton et la multplcaton de enters naturels donnent un enter naturel. La soustracton et la dvson de enters

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) 1 14 15 ; 1 ; + 7 + + + 1 α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β)

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous UTILS MATHEMATIQUES L1 SVG 1 Paul Broussous Chaptre II. Nombres complees Défnton. L ensemble C des nombres complees est formé des epressons de la forme +, et nombres réels avec les règles : (Egalté) +

Plus en détail

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes

Plus en détail

AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices -

AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices - AL1 Complexes Séance de TD - Corrgés des exercces - 1 QCM GI FA 01 Test calcul et rotaton GI FA 015 Test 1 Complexes et rotaton GI FC186 015 Test Complexes et cercle 5 GI FC18/6 01 Test - Complexes et

Plus en détail

1 ère S Le plan muni d un repère

1 ère S Le plan muni d un repère 1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I

Plus en détail

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même.

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même. Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Nombre premer Dre qu un enter naturel est premer sgnfe qu l admet deux dvseurs : un et lu-même. Zéro est-l un nombre premer? Un est-l un

Plus en détail

1 2 i. ; z10 = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6.

1 2 i. ; z10 = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6. EXERCICES TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES PREMIERS EXERCICES: 1 Calculs dans : Ecrre les nombres complexes suvant sous la forme a + b où a et b sont des réels : 1 = ; = ; = ( + )( + ) ; = 6 = 1 1+ ;

Plus en détail

Trigonométrie. Or x ] 0; 2[, Le projeté orthogonal de M sur (OI) est le point C et le projeté orthogonal de M sur (OJ) est le point S. =OC car OM =1.

Trigonométrie. Or x ] 0; 2[, Le projeté orthogonal de M sur (OI) est le point C et le projeté orthogonal de M sur (OJ) est le point S. =OC car OM =1. Trgonométre Défnton du snus et cosnus d'un réel quelconque. (révson de seconde) Len avec la défnton du snus et du cosnus d'un angle agu (dans un trangle rectangle) vue au collège. S O J C I Cette généralsaton

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6. Exercice 1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6. Exercice 1 : Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 05 06 07 ) En dédure, et ) Détermner les enters n pour lesquels n est a) un réel, b) est un magnare pur, c) égal à Exercce

Plus en détail

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître.

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître. Termnale S Les ROC : complexe/géométre à connaître Vous trouvere c les démonstratons que vous ave offcellement dues fare en cours (dans le programme) Il est mportant de précser que cela ne sgnfe en aucun

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Chap: OUTILS THETIQUES GLISSEUS & TOSEUS L'obectf de ce chaptre est de donner brèvement les outls mathématques nécessares à la compréhenson de la sute de ce

Plus en détail

Méthode des résidus pondérés

Méthode des résidus pondérés Produt propre d un opérateur Méthode des résdus pondérés Ecrture d un opérateur u avec Ω les coordonnées spatales x, y, z p dans Ω Pour un opérateur lnéare u u u u avec α, β des nombres quelconques Pour

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire IFT575 Modèles de recherche opératonnelle (RO 7. Programmaton non lnéare Fonctons convees et concaves Sot et deu ponts dans R n Le segment de drote jognant ces deu ponts est l ensemble des ponts + λ( -

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes LGL Cours de Mathématques 6 Les nombres complexes Notaton, Défnton A Introducton et notatons Dans l'ensemble des enters naturels, une équaton telle que x + 5 admet une soluton. Pour que l'équaton x + 5

Plus en détail

Corrigé de l épreuve d Optique / BTSOL 2008

Corrigé de l épreuve d Optique / BTSOL 2008 Corrgé de l épreuve d Optque / BTSOL 2008 J.Hormère (4 ma 2008) Important Ce corrgé n a pas de valeur offcelle et n est donné qu à ttre nformatf par Acuté, sous la responsablté de son auteur. Optque géométrque

Plus en détail

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin)

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin) Chap. C1 : structure et arthmétque dans Z (fn) The aftermath of Gauss... or the math after Gauss (P. Rbenbom, My Number My frends). V Nombres premers 1) Proprétés élémentares a) Défnton : () Termnologe

Plus en détail

1 ère S Exercices sur les dérivées des fonctions de référence

1 ère S Exercices sur les dérivées des fonctions de référence ère S Eercces sur les dérvées des onctons de réérence ans chaque cas, donner la dérvée de la oncton. n se contentera d écrre '.... ) est la oncton déne sur par 0. ) est la oncton déne sur par 6.. ) est

Plus en détail

Sujet de révision n 1

Sujet de révision n 1 4 ème année Secton : Scences Sujet de révson n 1 Ma 010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Complexes ; Probabltés ; Géométre dans l espace ; oncton exponentelle et lecture graphque. Exercce n 1 Sot θ un réel

Plus en détail

Utilisation du symbole

Utilisation du symbole HKBL / 7 symbole sgma Utlsaton du symbole Notaton : Pour parler de la somme des termes successfs d une sute, on peut ou ben utlser les pontllés ou ben utlser le symbole «sgma» majuscule noté Par exemple,

Plus en détail

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours Valeur absolue foncton valeur absolue Cours CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) Eemples prélmnares 2) Défnton 3) Proprétés CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) Défnton 2) Proprétés CHAPITRE 3 :

Plus en détail

Cours 2. Méthode des différences finies Approche stationnaire

Cours 2. Méthode des différences finies Approche stationnaire Cours Méthode des dfférences fnes Approche statonnare Technque de dscrétsaton en D Constructon du système Prse en compte des condtons aux lmtes Noton de convergence Extenson au D Verson 09/006 (E.L.) NF04

Plus en détail

Contrôle du mardi 21 janvier 2014 (3 heures 30) 1 ère S1. Partie B

Contrôle du mardi 21 janvier 2014 (3 heures 30) 1 ère S1. Partie B 1 ère S1 ontrôle du mard 1 janver 01 ( heures 0) Le barème est donné sur 0. Parte B Pour la fabrcaton d un lvre, un mprmeur dot respecter sur chaque page des marges de cm à drote et à gauche, cm en haut

Plus en détail

Factorisation. Résolution de

Factorisation. Résolution de Factorsaton LU Pour smpl er la présentaton de l'algorthme, on ne va pas tenr compte d'éventuelles permutatons, n de l'ntalsaton des lu() de Sclab c. help lu. Note la commande permutatons, Factorsaton LU

Plus en détail

A =

A = Exercces avec corrgé succnct du chaptre 2 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES VI INERTIE EOMETRIE DE ME Dans l étude de la dynamque des systèmes matérels et des soldes l est mportant d étuder la répartton géométrque des masses, afn d exprmer smplement les concepts cnétques qu apparassent

Plus en détail

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1. Introducton La factorsaton est l un des ponts où l analoge entre nombres enters et polynômes se rompt. Par exemple, en caractérstque nulle, on peut trouver

Plus en détail

Circuits en courant continu

Circuits en courant continu Crcuts en courant contnu xercce On consdère les tros montages suvants : montage montage montage ) Montrer que le premer montage équvaut à une résstance unque eq telle que : + eq ) Montrer que le deuxème

Plus en détail

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation.

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation. Fche technque 4 : dagonalsaton trgonalsaton - - Fche technque : dagonalsaton trgonalsaton Dagonalsaton de matrces le prncpe pour dagonalser en pratque une matrce est smple : calculer les espaces propres

Plus en détail

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1 1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom

Plus en détail

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève Mathématques B30 Les nombres complexes Module de l élève 00 Mathématques B30 Les nombres complexes 10 y axe magnare Module de l élève 4+6 x -10 10 axe réel --4 Bureau de la mnorté de langue offcelle 00-10

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Les nombres complexes

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Les nombres complexes Snthèse de cours PanaMaths (Termnale S) L ensemble des nombres complees Défntons n pose tel que = 1 { } L ensemble des nombres complees, noté, est l ensemble : z /(, ) = + Le réel est appelé «parte réelle

Plus en détail

Cours de Calcul numérique MATH 031

Cours de Calcul numérique MATH 031 Cours de Calcul numérque MATH 03 G. Bontemp, A. da Slva Soares, M. De Wulf Département d'informatque Boulevard du Tromphe - CP22 http://www.ulb.ac.be/d Valeurs propres en pratque. Localsaton. Méthode de

Plus en détail

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent CHAPITRE V Formes dfférentelles sur les varétés I. Espace tangent Sot M une varété dfférentable de dmenson n et U = (U, ϕ ) I un atlas de M. On note par ϕ j := ϕ ϕ 1 j le dfféomorphsme entre les ouverts

Plus en détail

II MOMENTS - TORSEURS

II MOMENTS - TORSEURS II OENTS - TORSEURS Le torseur est l'outl prvlégé de la mécanque. Il sert à représenter le mouvement d'un solde, à caractérser une acton mécanque et à formuler le PFD (prncpe fondamental de la dynamque),

Plus en détail

Les transformations élémentaires

Les transformations élémentaires Les transformatons élémentares ransformatons Utlsatons : Déplacement d'un objet dans une scène Déplacement d'un observateur par rapport a une scène éplcaton d'un motf ou d'un objet Déformaton d'un objet

Plus en détail

CUEEP Département Mathématiques T902 : Méthode des moindres carrés p1/16

CUEEP Département Mathématiques T902 : Méthode des moindres carrés p1/16 Méthode des mondres carrés Stuaton Le lancer de pods Dx adolescents droters s exercent à lancer le pods, du bras drot pus du bras gauche. Les résultats (dstances en mètres) obtenus sont les suvants : Adolescent

Plus en détail

Équations et racines

Équations et racines CHAPITRE III Équatons et racnes III.1. Quadratques et cubques Équatons quadratques. On dspose de formules pour la résoluton des équatons quadratques (c est à dre du second degré). En fat, la résoluton

Plus en détail

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu Étude des crcuts lnéares en régme contnu PS 2016 2017 Objet du chaptre : donner des outls pour détermner l état électrque d un crcut : potentels des dfférents nœuds par rapport à un nœud chos comme référence

Plus en détail

ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle

ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle NNEXE : Rappels sur les notons de dérvée et dfférentelle Pente d une drote Eamnons géométrquement les drotes dans le plan cartésen La prncpale caractérstque qu dstngue une drote d une autre est son nclnason,

Plus en détail

Mécanique : dynamique. Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force

Mécanique : dynamique. Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force e B et C 6 Traval et pussance d une orce 56 Mécanque : dynamque Les eets des orces et les modcatons mécanques des systèmes sont souvent décrts à l ade du concept de l énerge mécanque. Or, les transmssons

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes IUT ORSAY Mesures Physques Intégrales trples Calcul de volumes et d hyper-volumes Cours du ème semestre A. omane «cubable» On dt qu un domane est cubable quand son volume peut être approché par une subdvson

Plus en détail

Circuits linéaires du premier ordre

Circuits linéaires du premier ordre Électrcté - haptre 2 rcuts lnéares du premer ordre Introducton... 2 I Étude d un dpôle sére...3 1 omportements lmtes d un condensateur...3 2 harge d un condensateur : réponse d un dpôle à un échelon de

Plus en détail

1 ère S Exercices sur les limites (3)

1 ère S Exercices sur les limites (3) ère S Exercces sur les lmtes () n donne c-dessous la courbe représentatve d une oncton déne sur l ntervalle ]0 ; + [ Dre s : - l axe des ordonnées semble asymptote à la courbe ; - la drote semble asymptote

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 1

Nombres complexes. Chapitre 1 Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVI e siècle. Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui

Plus en détail

et h l homothétie de centre Ω et de rapport.

et h l homothétie de centre Ω et de rapport. Termnale S Nombres Exercces Dvers,QCM, France 00 Qcm, Polynése rempl 005 QCM, N Calédone nov 007 4 QCM d après des sujets de concours GEIPI 5 Basque, ntlles 007 4 6 Basque, ntlles 006 5 7 nd degré et barycentre,

Plus en détail

RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE (RSF)

RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE (RSF) ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) Plan (lquer sur le ttre pour accéder au paragraphe) ********************** I. Exemple prélmnare... II. La notaton complexe....

Plus en détail

Transformations du plan et complexes

Transformations du plan et complexes Transformatons du plan et complexes I Préambule. Une transformaton du plan est une bjecton du plan dans lu-même. Autrement dt, tout pont a une mage et tout pont a un antécédent unque. Ou encore, une transformaton

Plus en détail

Formulaire de Math. θ P. Un moyen mnémotechnique pour retenir les valeurs du sinus de 0, π/6, π/4, π/3 et π / 2 consiste à écrire

Formulaire de Math. θ P. Un moyen mnémotechnique pour retenir les valeurs du sinus de 0, π/6, π/4, π/3 et π / 2 consiste à écrire IUT Msurs Physqus Can Formular d Math M. Morals, Laorator d'etuds t d Rchrch sur ls MATérau, ISMRa, Can D. Chatgnr, Laorator CRIstallograph t Scncs ds MATérau, ISMRa, Can ) Trgonométr usull Q M O θ P OP!

Plus en détail

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal».

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal». «Toute théore n est bonne qu à condton de s en servr pour passer outre». ndré Gde n «Journal». Résumé L usage des los de Krchhoff permet de toujours trouver les tensons et courants dans un réseau électrque

Plus en détail

Texte Urnes et particules

Texte Urnes et particules Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques 2009. Page n 1. Texte Urnes et partcules À la fn du 19 ème sècle et au début du suvant, la tempête fat rage autour de la théore

Plus en détail

Terminale S Divers,QCM, France points QCM, Asie 2009, 4 points

Terminale S Divers,QCM, France points QCM, Asie 2009, 4 points Termnale S Nombres Complexes Exercces Dvers,QCM, France 00-5 ponts QCM, se 009, 4 ponts QCM, ntlles 009, 5 ponts 4 4 QCM, Polynése rempl 005 - ponts 5 QCM, N Calédone nov 007-4 ponts 4 5 6 QCM d après

Plus en détail

Polynômes bis. Marc SAGE. 18 décembre Continuité des racines 3. 4 Une fonction polynomiale en ses variables est polynomiale 4

Polynômes bis. Marc SAGE. 18 décembre Continuité des racines 3. 4 Une fonction polynomiale en ses variables est polynomiale 4 Polynômes bs Marc SAGE 8 décembre 25 Table des matères Sur la nullté des polynômes à n ndétermnées 2 2 Une foncton localement polynomale est un polynôme 2 3 Contnuté des racnes 3 4 Une foncton polynomale

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN REPERGE DNS LE PLN I. Repère du plan 1. Repère et coordonnées Tros ponts dstncts deux à deux, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (, I, J). L orgne et les untés I et J permettent de graduer

Plus en détail

-1-1. Consigne de tension A = 1 A = A = 0,476. Puis, on effectue la somme des tracés des gains en db et la somme des phases.

-1-1. Consigne de tension A = 1 A = A = 0,476. Puis, on effectue la somme des tracés des gains en db et la somme des phases. Exercce 5 ASSERVISSEMENT DE VITESSE CORRECTION AVEC UN P.I.D. -Détermner K 3 K = 3 t mn K = 5 t mn V 6 V - Détermner les transmttances G, T,et A, avec C(p) =, sachant que le gan en boucle ouverte est égal

Plus en détail

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles Bblothèque d exercces Énoncés L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Exercce Décomposer + 4 Décomposer + + + Décomposer + + + 4 Décomposer 4 + + 5 Décomposer 4 6 Décomposer 5 + 4 + 7 Décomposer 5 + 4 + ( )

Plus en détail

Version du 7 décembre 2016 (11h53)

Version du 7 décembre 2016 (11h53) CHAPITRE 4. ÉOMÉTRIE DE MAE....................................... - 4.1-4.1. Descrpton d un système matérel.......................................... - 4.1-4.1.1. Noton de pont matérel..........................................

Plus en détail

TD ARQS. Modèle de pile. Capteur de déformation R R R R R R R R R R 1 J J 2 R R R R

TD ARQS. Modèle de pile. Capteur de déformation R R R R R R R R R R 1 J J 2 R R R R TD RQS Modèle de ple n générateur présente une dfférence de potentel de 22V quand l est traversé par une ntensté du courant de 2. La dfférence de potentel monte à 30V lorsque l ntensté du courant descend

Plus en détail

( ), dans les conditions standards, va

( ), dans les conditions standards, va THERMOCHIMIE R. Duperray Lycée F.BUISSON PTSI U T I L I S A T I O N D E S T A B L E S D E S G R A N D E U R S T H E R M O D Y N A M I Q U E S S T A N D A R D Dans le chaptre précédent, nous avons vu l

Plus en détail

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire UE MAT234 Notes de cours sur l algèbre lnéare Matrces - Systèmes lnéares - Détermnants - Dagonalsaton Dans tout ce document, K désgne ndfféremment le corps des nombres réels IR, ou celu des nombres complexes

Plus en détail

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles Unversté Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématques : Math. II Algèbre (parcours prépa.) Année 2013 2014 Fractons ratonnelles I On fxe un corps K. On connaît l anneau des polynômes K[X], dont l arthmétque

Plus en détail

. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d :

. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d : Nombres complexes Exercces corrgés s vous ave des remarques contacte mo EXERCICE Cet exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons,

Plus en détail

Chap.4 Application du 2 e principe aux réactions chimiques Evolution et équilibre d un système chimique

Chap.4 Application du 2 e principe aux réactions chimiques Evolution et équilibre d un système chimique Chap.4 Applcaton du e prncpe aux réactons chmques Evoluton et équlbre d un système chmque 1. Entrope standard de réacton 1.1. (Rappels) e prncpe de la thermodynamque 1.. Défnton et méthodes de calcul de

Plus en détail

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus. Unversté Perre & Mare Cure (Pars 6) Lcence de Mathématques L3 UE LM364 Intégraton 1 Année 2011 12 TD4. Trbus. Échauffements Exercce 1. Sot X un ensemble. Donner des condtons sur X pour que les classes

Plus en détail

CHAPITRE 2 PREFERENCES ET DEMANDE

CHAPITRE 2 PREFERENCES ET DEMANDE Lcence Scences Economues 3ème année er semestre MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CALCUL INTERTEMPOREL CHAPITRE PREFERENCES ET DEMANDE L aomatue, construte sur la ratonalté du consommateur, fonde le modèle

Plus en détail

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité École Normale Supéreure 1ère année Année 2015-2016 Algèbre 1 TD6 : groupe lnéare, homographes, smplcté Exercces : à préparer à la mason avant le TD, seront corrgés en début de TD. Exercces : seront tratés

Plus en détail

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2 1 UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérque Elémentare FchedeTDno2 1 Que peut-on dre d une méthode tératve dont la matrce a un rayon spectral nul? 2 Etuder les méthodes de Jacob et Gauss-Sedel pour

Plus en détail

Les corrigés des examens DPECF - DECF

Les corrigés des examens DPECF - DECF 1 er centre de formaton comptable va Internet. Les corrgés des examens DPECF - DECF 2004 48h après l examen sur www.comptala.com L école en lgne qu en fat + pour votre réusste Préparaton aux DPECF et DECF

Plus en détail

Remboursement d un emprunt par annuités constantes

Remboursement d un emprunt par annuités constantes Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette)

Plus en détail

MODULE 10 La fonction tangente

MODULE 10 La fonction tangente MODULE La oncton tanente Corré, p Préparaton a) Ou, Caterne a rason Sot ABC, un tranle rectanle dont les anles correspondant au sommets sont appelés a, b et c On suppose que l anle c est l anle drot du

Plus en détail

Exercices d optique géométrique - correction : N.B : Pour les constructions géométriques, se reporter au cours, où tous les cas ont été inventoriés.

Exercices d optique géométrique - correction : N.B : Pour les constructions géométriques, se reporter au cours, où tous les cas ont été inventoriés. Exercces d optque géométrque - correcton : N.B : Pour les constructons géométrques, se reporter au cours, où tous les cas ont été nventorés. Ex : bre optque. ) La bre va transmettre à condton d avor une

Plus en détail

ASI 3. Méthodes numériques pour l ingénieur. Interpolation f(x)

ASI 3. Méthodes numériques pour l ingénieur. Interpolation f(x) ASI 3 Métodes nuérques pour l ngéneur Interpolaton f Approaton de fonctons Sot une foncton f nconnue eplcteent connue seuleent en certans ponts, n ou évaluable par un calcul coûteu. rncpe : représenter

Plus en détail

Déformations - méthode du travail - énergie et méthode du travail virtuel.

Déformations - méthode du travail - énergie et méthode du travail virtuel. TS CM MCANQU Page sur 9 Déformatons - méthode du traval - énerge et méthode du traval vrtuel. Problème posé : Détermner le déplacement d'un pont quelconque d'un système sostatque. ntroducton : es méthodes

Plus en détail

Chap. 7 : Le dipôle RL Exercices

Chap. 7 : Le dipôle RL Exercices Termnale S Physque Chaptre 7 : e dpôle Page 1 sur 8 xercce n 3 p170 1. a. unté d nductance est le henry de symbole H. b. e nom de cette unté provent du physcen amércan Joseph Henry : http://fr.wkpeda.org/wk/joseph_henry

Plus en détail

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d etour au menu éseaux lnéares Défntons Un réseau électrque lnéare est un ensemble de dpôles lnéares, relés par des conducteurs de résstance néglgeable. On suppose que le réseau content au mons un générateur.

Plus en détail

Méthodes en Sciences-Physiques. Programme de Première S.

Méthodes en Sciences-Physiques. Programme de Première S. Méthodes en Scences-Physques. Programme de Premère S. Comment réalser et utlser les tableaux d avancement en Premère S Équaton de la réacton 3Ag + aq + AsO 3 4 aq Ag 3 AsO 4 s quanttés de matère en mol

Plus en détail

Fonctions vectorielles, courbes.

Fonctions vectorielles, courbes. Fonctons vectorelles courbes Ca 5 : cours comlet Dérvablté des onctons de varable réelle à valeurs vectorelles Dénton : dérvablté en un ont d une oncton de varable réelle à valeurs vectorelles Dénton :

Plus en détail

Chapitre 9 : Un système chimique évolue spontanément vers l état d équilibre

Chapitre 9 : Un système chimique évolue spontanément vers l état d équilibre Classe de TS Parte CChap 9 Chme PRTIE C : LE SENS «SPONTNE D EOLUTION D UN SYSTEME ESTIL PREISILE? LE SENS D EOLUTION D UN SYSTEME CIMIQUE PEUTIL ETRE INERSE? Chaptre 9 : Un système chmque évolue spontanément

Plus en détail

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Nombres complexes 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème Admis 1. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes, tel que : C contient

Plus en détail

Mouvement de rotation d un corps solide indéformable autour d un axe. Un mouvement de rotation c est quoi?

Mouvement de rotation d un corps solide indéformable autour d un axe. Un mouvement de rotation c est quoi? Lycée Mohamed belhassan elouazan Saf Délégaton de Saf Mouvement de rotaton d un corps solde ndéformable autour d un axe Un mouvement de rotaton c est quo? I- Défntons Un système matérel est un objet ou

Plus en détail

Université d El Oued Cours Circuits Electriques 3 LMD-EM

Université d El Oued Cours Circuits Electriques 3 LMD-EM ère parte : Electrocnétque Chaptre ntroducton L Electrocnétque est la parte de l Electrcté qu étude les courants électrques. - Courant électrque -- Défntons Défnton : un courant électrque est un mouvement

Plus en détail

Version du 15 août 2016 (11h16)

Version du 15 août 2016 (11h16) CHAPTRE. CARACTÉRSTQUES GÉOMÉTRQUES DES SECTONS PLANES........ -.1 -.1. ntroducton............................................................. -.1 -.. Moment statque et centre de gravté..........................................

Plus en détail

PHQ606 Physique Nucléaire 2

PHQ606 Physique Nucléaire 2 PHQ606 Physque Nucléare 3 décembre 008 Autwa TABLE DES MATIÈRES Table des matères 1 Proprétés générales des collsons 3 1.1 Los de conservaton....................................... 3 1.1.1 Conservaton

Plus en détail

Chapitre I Les pourcentages. Exemples : Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers? =6 Il y a 6 poiriers.

Chapitre I Les pourcentages. Exemples : Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers? =6 Il y a 6 poiriers. Chaptre I Les pourcentages Extrat du programme : - Expresson en pourcentage d une augmentaton ou d une basse. / coeff multplcateur - Augmentatons et basses successves - aratons d un pourcentage. - Pourcentages

Plus en détail

1 Réponse d un circuit RC série à un échelon de tension

1 Réponse d un circuit RC série à un échelon de tension Lycée Naval, Sup. Sgnaux Physques.. Crcut lnéare du premer ordre Crcut lnéare du premer ordre 1 éponse d un crcut C sére à un échelon de tenson On s ntéresse à la réponse d une assocaton sére {conducteur

Plus en détail

Chapitre 1 : Images données par une lentille mince convergente

Chapitre 1 : Images données par une lentille mince convergente Chaptre 1 : Images données par une lentlle mnce convergente Termnale S Spécalté Chaptre 1 : Images données par une lentlle mnce convergente bectfs : - Constructon graphque de l mage d un obet plan perpendculare

Plus en détail

Le sujet s articulait autour de trois performances attendues du robot, toutes liées à sa vitesse de marche.

Le sujet s articulait autour de trois performances attendues du robot, toutes liées à sa vitesse de marche. - EPREUVE DE SCIENCES INDUSTRIELLES 5.1 - Épreuves écrtes - flères MP I. Analyse du sujet Le sujet s appuyat sur le robot humanoïde Lola développé par l unversté de Munch. Ce projet de recherche s attache

Plus en détail

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples)

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples) Lycée Blase-Cendrars/Physque/Labos/DC///04 Labos de physque : Mesures - Propagaton d erreurs - Mesures répéttves - Statstques. Prncpe de la mesure en physque Une mesure est toujours mprécse. La précson

Plus en détail

Leçon 1. Statistiques

Leçon 1. Statistiques Leçon 1 Statstques Lors d une séance de saut en hauteur, le professeur d EPS a relevé, en centmètres, les performances c-dessous : 110-115-10-110-100-110-15-15-100-95-135-105-1-110-95-100-110-85-85-105-140-15-100-135-105-1-135-115-10-135

Plus en détail

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège Estmateurs MCD de localsaton et de dsperson: défnton et calcul Fauconner Cécle Unversté de Lège Plan de l eposé 2 Introducton: Pourquo les estmateurs robustes? Estmateur MCD : défnton Algorthmes appromatfs

Plus en détail

Chapitre 1: Les choix du consommateur Chapitre 4 du livre de Perloff

Chapitre 1: Les choix du consommateur Chapitre 4 du livre de Perloff Chaptre : Les chox du consommateur Chaptre 4 du lvre de Perloff. La contrante budgétare (CB. Introducton. L ensemble budgétare.3 Le taux margnal de transformaton (TMT du consommateur.4 Effets de changements

Plus en détail

Equilibres chimiques et loi d action des masses

Equilibres chimiques et loi d action des masses Cnétque et thermodynamque chmques CHI305 Chaptre 8 Equlbres chmques et lo d acton des masses CHI305 Chaptre 9 : Equlbres chmques et lo d acton des masses I. Equlbres chmques II. Affnté chmque, monôme des

Plus en détail

( c d) 6i i i(2 4i 2 2 i) 4i 2 2 4i

( c d) 6i i i(2 4i 2 2 i) 4i 2 2 4i Nombres complexes Exercces corrgés Qcm et exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons, s elle est vrae (V) où fausse (F) Une

Plus en détail

Géométrie des masses

Géométrie des masses Cours - éométre des masses CE M éométre des masses ommare éométre des masses... Masse et nerte d un sstème... 3. Notons d nert... 3. Masse... 3.3 Centre d'nerte centre de gravté... 4.4 Algorthme de calcul

Plus en détail

AGRAFEUSE ELECTRIQUE

AGRAFEUSE ELECTRIQUE Nom de l élève :... Classe :... Date :... Matérel ressource : La platne agrafeuse Un ordnateur équpé d un modeleur volumque 3D Documents ressources : Documentaton technque de l agrafeuse Le dosser ressource

Plus en détail

STI2D - 1N5 - FONCTION DERIVEE ET APPLICATIONS COURS (1/5)

STI2D - 1N5 - FONCTION DERIVEE ET APPLICATIONS COURS (1/5) www.mthsenlgne.com STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (1/5) PRGRAMMES CAPACITES ATTENDUES CMMENTAIRES Dérvton Nomre dérvé d une foncton en un pont. Le nomre dérvé est défn comme lmte du f(

Plus en détail