Chap. B2 : fonctions usuelles (fin)

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1 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Chap. B : fonctons usuelles (fn) IV Fonctons trgonométrques : ) Proprétés admses des fonctons sn et cos Vor appendce pour une constructon des fonctons sn et cos, c on se contente de l ntuton de ce qu est un angle et de la défnton de son snus, du coup, on ne démontre ren. a) Prop. algébrques : () cos est pare et sn est mpare. () Proprétés de symétres : () Formule d addton : on peut démontrer (cf. déf. du sn en appendce) que : (a, b) R, cos(a b) = cos(a) cos(b) + sn(a) sn(b). On en dédut les tros autres formules d addtons pour cos(a + b), sn(a + b), sn(a b). b) Prop. analytques : Les fonctons sn et cos sont dérvables et R cos () = sn(), et sn () = cos(). c) C.N.S. d égalté à connaître par coeur : (θ, θ ) R, θ θ [π] ou cos(θ ) = cos(θ ) θ θ [π] θ θ [π] ou sn(θ ) = sn(θ ) θ π θ [π] ) Défnton de l ep complee : a) Termnologe : à tout pont M = (a, b) R, on assoce son affe z = a + b C. b) () Déf. θ R, e θ = cos(θ) + sn(θ) C. () Géométrquement : le pont d affe e θ est le pont M(θ) du cercle unté d angle polare θ. () Valeurs remarquables e π =, e π/ =. (v) On note U = {z C, z = }. C est l ensemble des affes des ponts M dans le cercle unté. Théorème : f [, π[ U, θ e θ est bjectve. (v) C.N.S d égalté : (θ, θ ) R, e θ = e θ θ θ [π]. En partculer, e θ = θ [π]. c) Module et argument d un nombre complee non nul :

2 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 () Au chap. A3, on a défn le module de z = a + b, qu est par déf. z = a + b = OM où M d affe z. Prop. (z, z ) C, zz = z. z. () Argument de z : sot z C, par (), z/ z est de module. Par théorème b) (v) l este un unque θ [, π[ tel que z/ z = e θ. Par déf. on note θ =Arg(z) : argument prncpal. Défnton d un argument quelconque de z, congru à l argument prncpal modulo π. () Pour z C l écrture z = re θ avec r > (attenton!) équvaut à r = z et θ Arg(z) [π]. d) Prop. algeb. fondamentale de l ep. complee : () Conséq. des formules d addtons : Prop. (θ, θ ) R, e (θ+θ ) = e θ.e θ (noublable!). () Rem (en sens nverse) : Avec cette formule facle à retenr, on retrouve les formules sur cos(a + b) etc. e) Prop. analytques : () Déf. pour une foncton à valeur complee, des notons de contnuté, dérv., prmtves. d () Appl. (ep()) = ep(). d () Moralté : dérver = multpler par = tourner de +π/. Prmtver = dvser par = multpler par = tourner de π/. Formules d d (cos()) = cos( + π ), d d (sn()) = sn( + π ). Applcaton : epresson des dérvées n-èmes. f) Généralsaton : déf. de e z pour z = a + b. d () Déf. () Prop. algeb. () Prop. analytque : d (ep(z )) = z ep(z ). (Lemme : dérvée d un produt de deu fonctons à valeurs complees). 3) Formules utles pour l étude des équatons trgonométrques : formulare a) Formules dédutes des formules d addton, cos(a + b) =... () On rappelle encore que cos(a + b) et sn(a + b) se retrouvent va la formule de l ep. Il faut auss savor tan(a + b). () Formules de dupl(trpl)catons : cos(a) =..., sn(a) =..., tan(a) =..., et pourquo pas cos(3a), sn(3a). () La formule sur cos(a) est à pratquer pus connaître dans tous les sens, à savor cos(a) =..., en sens nverse cos (a) =..., sn (a) =..., et les deu ams utles +cos(a) =... et cos(a) =.... (v) Eemple d utlté de la formule cos() = cos (/). Eercce : détermner un équvalent quand de cos(). En dédure lm cos(). b) Généralsaton : Queston : Comment écrre de manère générale cos(n) (resp. sn(n)) en foncton de pussances de cos() (ou de sn())? Deu ngrédents pour répondre à cette queston : () Formule d Abraham De Movre : pour n N, cos(nθ) + sn(nθ) = (cos(θ) + sn(θ)) n. cos(n) = Re ((cos(θ) + sn(θ)) () Reformulaton d Abraham : n ) sn(n) = Im ((cos(θ) + sn(θ)) n ). () On en dédut une méthode savor refare!!

3 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 On développe le membre de drote avec Isaac, et on obtent la formule de Tchebychev donnant cos(n) purement en foncton de pussances de cos() et sn(n) avec sn() et des pussances de cos(). (v) A quo ça sert? par eemple pour ramener des équatons trgonométrques à des équatons polynomales... à condtons de savor ensute résoudre l équaton polynomale. Eemple d eercce : () Ecrre cos(5) sous la forme P (cos()) avec P une foncton polynomale. () En dédure un polynôme de degré 5 donc cos(π/) est racne. (3) En dédure une écrture eplcte de cos(π/) à l ade de racnes carrées. c) Formules d Euler et transformaton de sommes en produts : () Rappel : conjugué z d un nombre complee. Relatons : Re(z) = z+ z et Im(z) = z z. () Cas de z = e θ, relaton z = e θ. Attenton : Ne pas confondre e θ = e (θ+π) avec e θ. () Formule d Euler : cos(θ) = eθ + e θ et sn(θ) = eθ e θ Attenton au pour le snus. () Une applcaton : produt. formules SICOCOSICOCOSISI de transformatons de somme en sn(p) + sn(q) = sn( p + q ) cos(p q ), sn(p) sn(q) = cos( p + q ) sn(p q ), cos(p) + cos(q) = cos( p + q ) cos(p q ), cos(p) cos(q) = sn p + q ) sn(p q ). Retenr : on commence par sn(p) + sn(q) attenton au à la dernère lgne. Comment (re)trouver ces formules? Idée : sn(p) + sn(q) = Im(e p + e q ). Idée : dans e p + e q méthode de factorsaton de e (p+q)/, ep. de la moyenne. (v) Applcaton de la transformaton de sommes en produts : factorsaton pour résoudre des équatons trgonométrques. Eercce : résoudre cos() cos() = sn() + sn(). d) Remarque sur la méthode de factorsaton de l eponentelle de la moyenne : () Dans le cas partculer de + e θ et e θ on factorse donc par e θ/ ce qu donne : + e θ = cos(θ/)e θ/ et e θ = sn(θ/)e θ/, () Les formules du () donnent en partculer le module et l argument de + e θ (attenton au sgne de cos(θ). () Ces formules du () redonnent en part. les deu ams + cos(θ) et cos(θ). e) Transformaton d une C.L. a cos() + b sn() en A cos( + ϕ) Interprétaton géométrque de la factorsaton par a + b. Attenton à la détermnaton de ϕ mod. π (deu lgnes trgonométrques!), attenton à l arctan mécanque!! Eple : 3 cos(t) sn(t) = cos(t + ϕ). Applcaton : écrture normalsée en physque, résol. d équatons trgonométrques. 4) Formules en sens nverse : produts en somme, lnéarsaton : formulare a) Lnéarsaton et applcaton au calcul de prmtves : 3

4 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 () Lnéarser, déf. : écrre comme combnason lnéare des fonctons cos(k ), sn(l ). () Eemple cos et sn et applcaton au calcul de prmtve. () Méthode générale pour les cos n () ou sn n () (n pas trop grand) ou même cos p () sn q () : Léonard lnéarse (toujours avec Isaac). Eple calcul de π/ sn 6 (t). Sert auss pour les calculs des dérvées n-èmes. b) Transformaton de cos(a) cos(b), cos(a) sn(b), sn(a) sn(b) (produt en somme) 5) Proprétés analytques des fonctons composées à partr de sn, cos : a) Cas de la foncton sn. Inégalté utle : sn() : comment obtenr cette négalté sur [ π/, π/], pourquo cela sufft-l? Mas auss négalté en sens nverse [, π ], sn() π. b) Cas de tan et cotan. Les dérvées, et le graphe de tan dovent être ben connus! Inégalté [, π/[, tan() Ben connaître la C.N.S d égalté : (θ, θ ) (D tan ), tan(θ ) = tan(θ ) θ θ [π]. c) Plus pette pérode strct. postve de f t cos(ωt) : T = π/ω. L ensemble P f est de la forme T Z où T est la plus pette pérode strct. postve. Pour une somme de fonctons pérodques : recherche de la plus pette pérode commune. Chaptre B3 : fonctons trgonométrques récproques Tout le caher de vacances : D.M. 6 4

5 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Appendce au B IV : sur une défnton rgoureuse des angles et des fonctons sn et cos (hors programme et non egble) ) La noton de longueur d arc de cercle, et le nombre π : a) Défnton de la longueur d un arc de cercle, dans le premer quadrant Consdérons dans le plan R, le quart de cercle unté, graphe de f t [, ]. Sot [, ], découpons le segment [, ] comme sut : pour chaque n N, on consdère la subdvson régulère = t < t < < t n = en segments de longueur /n de sorte que t = /n. Notons M = (t, f(t )) comme ndqué sur la fgure des notes, où on a prs n = 4 et M 4 = (, f()). Applquons le T.A.F. à la foncton f (contnue sur [, ] dérvable au mons sur [, [), pour chaque couple (t, t + ) (pour =,..., n ) : on sat qu l este un c ]t, t + [ tel que : f(t + ) f(t ) = (t + )f (c ) = ( c ) (). n c n = n Notons M = (t, f(t )). La lgne polygonale M M,..., M n a pour longueur L n = ((t + ) + (f(t + ) f(t )) ) /, donc par (), comme + c c = c, on obtent : () c L n = n n = = M M + = Idée Il est naturel de défnr la longueur d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()), comme la lmte, s elle este, des longueurs des lgnes polygonales L n quand n tend vers l nfn. Or : Théorème (sur les sommes de Remann) à comparer à la déf. de l ntégrale du B. : Les sommes n convergent quand n vers : n = c. D où la défnton naturelle : Défnton Pour tout [, [, la longueur l() d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()) est la lmte de la sute (L n ) quand n +, et elle vaut auss : l() =. N.B. A ce stade, on ne connaît pas de formule usuelle pour une prmtve de t b) Proprétés de la foncton longueur d arc : l() () Par déf. [, [, l () = > donc l est strctement crossante sur [, [.. () Par alleurs, pour tout t [, ], t t donc, donc, donc (nombres postfs strctement) : pour tout t [, [ :. Donc pour tout [, [, Mas on sat calculer. =. (C est l avantage par rapport à ). Donc [, [, l(). Par () et ce qu précède, on peut applquer le théorème de la lmte monotone pour conclure que l() a une lmte dans R quand. Défnton On appelle π = lm l(). On notera encore π =. Autrement dt, on défnt π/ comme la longueur d arc du quart du cercle unté. 5

6 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6 Rem. Dans la déf. précédente, l ntégrale s entend comme la lmte des, quand. En effet par rapport à la déf. de l ntégrale donnée au B, la foncton ne se prolonge pas par contnuté en! Rem. La majoraton précédente donne que π/. ) Défnton des fonctons sn, cos dans le premer quadrant : a) Par constructon, la foncton l [, ] [, π/] est contnue, strctement crossante et surjectve (T.V.I et lmtes). Donc l est une bjecton contnue entre deu ntervalles, on sat donc (thme adms du B) que l [, π/] [, ] est auss contnue. La foncton l assoce donc à chaque longueur d arc u [, π/] l abscsse [, ] de l unque pont M tel que l arc M M sot de longueur u, comme ndqué sur le dessn c-dessus. b) Où l on défnt enfn le snus : Défnton : u [, π/], sn(u) def = l (u). Remarque : Ans on défnt le snus comme la foncton récproque de la foncton. En comparant au B3, cela sgnfe qu on défnt d abord l arcsn, pus le snus. Remarque l ne faut pas oubler que nos arcs partent de M = (, ) et pas de (, ) comme d habtude. La rason de ce cho un peu dérangeant état de ne pas commencer par ntrodure une foncton longueur d arc qu aurat été avec le pb. de l ntégrale en. c) Et le cosnus? Idée : pour le pont M tel que M M = u on a posé que sn(u) état l abscsse de M, on veut ben sûr que cos(u) sot l ordonnée de M. Par Pythagore, on obtent donc la défnton suvante : Déf. u [, π/], cos(u) def = l (u) = sn (u) 6

7 MPSI Semane 7, du 4 au 8 Novembre 6. 3) Démonstratons des proprétés attendues de sn, cos a) Prolongement : On prolonge la déf de sn et cos par symétres, sur [ π, π]. (Autrement dt, pour u [π/, π], on pose que sn(u) = sn(π u) et cos(u) = cos(π u), et pour u [ π, ] on défnt cos(u) = cos( u) et sn(u) = sn( u).) Ensute on prolonge ces fonctons en des fonctons π-pérodques. b) Dérvablté, dérvées : () Par théorème fondamental, la foncton l [, ] dérvée l >. est dérvable sur [, [ de Donc par théorème sur la dérvée d une foncton récproque sn = l est dérvable sur [, π/[= l ([, [) et u [, π/[, sn (u) = l (sn(u)) = sn (u) = cos(u). Le théorème de la lmte de la dérvée, qu s applque car on sat que sn contnue sur [, π/], dérvable sur [, π/[ et sn (u) = cos(u) cos(π/) = montre que sn est auss dérvable en u π/ π/ et que la formule sn = cos est donc valable sur [, π/]. Avec les prolongements du a), on en dédut l égalté sn = cos sur R (eercce). () Eercce : démontrer alors que cos = sn sur R. c) Proprétés algébrques : Comment montrer les formules d addtons comme : (a, b) R, cos(a + b) = cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) et ses soeurs? Une soluton vent des proprétés de dérvabltés qu on vent de montrer. En effet : cos et sn vérfent la même E.D. y + y =. Mas alors pour b fé, les fonctons y a cos(a + b) et y a cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) vérfent la même E.D. y + y = avec les mêmes condtons ntales y () = y () et y () = y () ce qu par théorème (cf. B4), donne l égalté y = y. 7