Exercices de statistique

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1 Exercice 1 Exercices de statistique Partie A - Moyenne et écart-type Une équipe de baseball a participé à un tournoi avec 19 autres équipes. Pour le classement chaque match gagné rapporte 3 points, chaque match nul rapporte 1 point et chaque match perdu rapporte 0 points. A la fin des 19 matchs, l équipe est très fière d avoir gagné 8 matchs. Combien en a-t-elle perdu de matchs sachant que l équipe a une moyenne d environ 1,58 point par match? On note n le nombre de matchs nuls. On utilise la formule des moyennes partielles pour calculer n. x = n 19 = 1,58 d où n = 19 1,58 24 = 6,02. Sur les 19 matchs joués, l équipe en a gagné 8, elle a obtenu 6 matchs nuls. Le nombre de matchs perdus est donc = 5. Exercice 2 Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé de diamètre théorique 25 mm. On contrôle le fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard dans la fabrication. Les mesures des diamètres ont donné les résultats suivants à 0,1 mm près : Diamètres 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9 Effectifs ) Calculer la moyenne x et l écart-type σ de cette série. x = 24,944 et σ 0,39 2) On estime que la machine a un fonctionnement "normal" si : l étendue de la série reste inférieure à 10 % de la valeur moyenne x. σ < 0,4. 95 % des diamètres au moins sont dans l intervalle [x 2σ ; x + 2σ]. Cette machine a-t-elle un fonctionnement "normal"? e = 25,9 24,1 = 1,8 or 10% de la valeur moyenne correspond à 2,4944. Donc e < 0,1x. σ 0,39 < 0,4 [x 2σ ; x + 2σ] = [24,944 0,78; 24, ,78] = [24,164 ; 25,724 ]. Dans l intervalle [24,164 ; 25,724 ], il y a 97% des effectifs. Les trois conditions sont remplies donc on peut considérer que le fonctionnement est normal. Exercice 3 Les salariés de deux entreprises A et B sont répartis suivant leur fonction (employés et cadres) et suivant leur salaire mensuel en milliers d euros. On donne les graphiques suivants résumant les données dans les deux entreprises : N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 1) 1) 2) S 3) S 4) S 1) 2) 80 81% 40% 50% 60% 50% [2000; 20% 19% Comparer les salaires moyens S A et S B des salariés pour chaque entreprise A et B. A = 0, , , = 1840 B = 0, , , = 1900 A < S B Compléter le tableau des répartitions des employés et des cadres suivant les tranches de salaires dans les deux entreprises en pourcentage : Employés [1000; 2000[ 2) 3000[ Entreprise A 3) % 4) Entreprise B 5) 6) Cadres [2000; 3000[ [3000; 4000[ Entreprise A 7) 8) Entreprise B 9) 10) 3) Comparer les salaires moyens des employés dans les deux entreprises puis des cadres. Comparer aux résultats calculés à la question 1. Interpréter les résultats. Salaires moyens des employés : E A = 0, , = 1700 E B = 0, , = 1690 Salaires moyens des cadres : C A = 0, , = 3100 C B = 0, , = 3000 Donc E A > E B et C A > C B Globalement, l entreprise B a un salaire moyen plus élevé que l entreprise A alors que les salaires moyens des employés et des cadres sont plus élevés dans l entreprise A. Ce paradoxe est dû à la structure des entreprises : la plus grande proportion de cadres dans B «tire les salaires moyens de B vers le haut». N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Partie B - Médiane et quartiles Exercice 1 On effectue des essais sur un échantillon de 220 lampes électriques afin de tester leur durée de vie exprimée en heures. Voici les résultats : Durée Effectif Fréquence % FCC [1000; 1200[ 14 6,36 6,36 [1200; 1400[ 31 14,09 20,45 [1400; 1600[ 75 34,09 54,54 [1600; 1800[ 85 38,63 93,17 [1800; 2000[ 10 4,54 97,71 [2000; 2200[ 5 2, ) Déterminer la classe médiane La classe médiane est [1400; 1600[ (50% des effectifs sont atteints). 2) Représenter la courbe des effectifs cumulés croissants. y D1 Q1 Med Q3 D9 x 3) Déduire du graphique précédent une valeur de la médiane, des quartiles Q 1 et Q 3. Q 1 = 1425, Me = 1575 et Q 3 = ampoules de l échantillon ont une durée de vie inférieure ou égale à 1425 heures. Exercice 2 On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique. Les durées (en secondes) des communications du standard sont regroupées en classes de même amplitude. 1) Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants ci-dessous : N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Durée (sec) communication [30; 50[ [50; 70[ [70; 90[ [90; 110[ [110; 130[ [130; 150[ [150; 170] Effectifs Effectifs cumulés croissants ) Déterminer par le calcul la classe médiane. N = 135 = 67,5 donc la classe médiane correspond à la classe de la ème valeur classée par ordre croissant. Me [90; 110[ (la moitié des effectifs est atteinte). 3) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. 4) Déterminer, à l'aide du graphique une valeur de la médiane de cette série, les 1 er et troisième quartiles. Me 101, Q 1 89, Q N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Partie C Diagrammes en boite Exercice 1 Sur chacun des diagrammes ci-dessous, lire l'étendue, la médiane, les quartiles et les écarts interquartiles. Interpréter les résultats en termes de dispersion. Diagramme 1 : e = = 95, Me = 45, Q 1 = 30, Q 3 = 65 et Q 3 Q 1 = 35 Diagramme 2 : e = = 70, Me = 45, Q 1 = 35, Q 3 = 55 et Q 3 Q 1 = 20 Diagramme 3 : e = = 75, Me = 45, Q 1 = 35, Q 3 = 65 et Q 3 Q 1 = 30 Exercice 2 On considère la série statistique donnant les masses en gramme des œufs de poule d un élevage statistique. On donne le tableau des effectifs suivants : Poids Effectifs Effectifs cumulés ) Compléter le tableau des effectifs cumulés. (voir Tableau) 2) Déterminer la médiane Me, le premier quartile Q 1 et troisième quartile Q 3. Me = 60. C est la valeur de la variable correspondant à l effectif Q 1 = 55. C est la valeur de la variable correspondant à l effectif = 500. = 250 Q 3 = 70. C est la valeur de la variable correspondant à l effectif = ) Déterminer l étendue e et l intervalle interquartile i. e = = 50 et i = Q 3 Q 1 = = 15 4) Déterminer le premier décile D 1 et le neuvième décile D 9. D 1 = 50. C est la valeur de la variable correspondant à l effectif = 100. D 9 = 75. C est la valeur de la variable correspondant à l effectif = 900. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

6 5) Tracer le diagramme en boite de cette série. Interpréter. Interprétation : On observe une plus forte concentration des petits œufs. Me min = = 20 Max Me = = 30 On observe aussi une plus grande disparité entre Q 3 et max qu entre Q 3 et Me. Q 3 Me = = 10 Max Q 3 = = 20 Exercice 3 Dans une entreprise, on a dénombré 59 femmes et 130 hommes fumeurs de cigarettes. L entreprise souhaite proposer à ses employés plusieurs méthodes pour diminuer, voire supprimer, l usage du tabac. Une enquête est menée parmi les fumeurs, femmes et hommes, pour déterminer la quantité approximative de cigarettes fumées sur une journée. Pour les femmes fumeuses: Nombre de cigarettes fumées par jour Nombre de femmes Pour les hommes fumeurs: Nombre de cigarettes fumées par jour Nombre d hommes Effectifs cumulés croissants ) Le diagramme en boîte de la série du nombre de cigarettes fumées par jour pour les femmes fumeuses est représenté à la fin. Lire la médiane, le 1 er quartile et le 3 ème quartile de cette série. Q 1 = 10, Me = 15 et Q 3 = 20 2) On s intéresse à présent aux hommes. a) Déterminer la médiane, le 1 er quartile et le 3 ème quartile de la série du nombre de cigarettes fumées par jour par les hommes fumeurs. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 6

7 Me = 20, valeur de la variable correspondant à l effectif N 2 = = 65. Q 1 = 10, valeur de la variable correspondant à l effectif 33 (premier entier après = 32,5) Q 3 = 25, valeur de la variable correspondant à l effectif 98 (premier entier après = 97,5). b) Représenter le diagramme en boîte de cette série au dessous de celui des femmes fumeuses. 3) Calculer le nombre moyen de cigarettes fumées par jour par les femmes fumeuses puis par les hommes fumeurs (arrondir à l unité). Femmes : x F 15,2. Hommes : x H 19,1 Les femmes fument en moyenne environ 15 cigarettes par jour contre 19 pour les hommes. 4) Chacune des phrases suivantes est-elle vraie ou fausse? Justifier votre réponse. a) Parmi les fumeurs, au moins la moitié des hommes fument au plus 20 cigarettes par jour. Vrai. La médiane est Me = 20. La moitié au moins des hommes fument au plus 20 cigarettes par jours. b) Parmi les fumeurs, environ la moitié des femmes fument entre 10 et 20 cigarettes par jour. Vrai. Entre Q 1 = 10 et Q 3 = 20, il y a au moins 50 % des effectifs. Donc, au moins la moitié des femmes fument entre 10 et 20 cigarettes par jour. c) Parmi les fumeurs, les femmes fument, en moyenne, plus que les hommes. Faux. Les femmes fument en moyenne 15 cigarettes par jour contre 19 pour les hommes. 5) Utiliser les résultats précédents pour comparer la consommation de cigarettes des femmes et celle des hommes. Justifier vos commentaires en citant les paramètres statistiques utilisés. 75% des femmes fument entre 5 et 20 cigarettes (minimum et Q 3 ) par jours ce qui correspond à la consommation de 50% des hommes. De plus, les femmes fument en moyenne moins que les hommes. Finalement, seules 25% des femmes fument plus d un paquet de cigarettes par jour contre 50% pour les hommes. Partie D - Exercices de synthèse Exercice - L usine à chaussures Un sondage sur un échantillon de mille hommes adultes donne la répartition suivante des pointures : Pointure P N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 7

8 1) Calculer les paramètres suivants : La moyenne P, la médiane Me, le mode M et l étendue e. P = = 42,508 La pointure moyenne est proche de 43 à l unité près. Médiane Me = 43 : pointure de la 50 ième personne classée par ordre croissant des pointures. Mode M = 43. C est la pointure la plus fréquente. e = = 10. 2) La direction d une usine de fabrication de chaussures pour hommes veut définir sa stratégie. a) Pour la découpe du cuir, le réglage de la machine nécessite de couvrir toutes les pointures. Quel est le paramètre le plus adapté? L étendue. Elle prend en compte toutes les pointures de la plus petite à la plus grande. b) Quelle est la pointure nécessitant un temps maximal d occupation de la machine? Pointure 43. C est le mode, c est-à-dire, la pointure qui correspond au plus grand effectif donc au temps maximal d utilisation de la machine. 3) a) Les coûts de production sont tels que la direction n envisage que la fabrication pour les pointures représentant au moins 5% de la population. Quelle est alors la nouvelle étendue? 5% de 1000 représente un effectif de 50, donc toute pointure correspondant à un effectif inférieur à 50 n est plus fabriquée. Les chaussures à fabriquer vont du 39 au 45. L étendue sera alors de 6. b) Quelle est alors la pointure nécessitant un temps maximal d occupation de la machine? C est toujours la pointure 43. c) Quel est le pourcentage de la population qui ne trouvera pas chaussure à son pied? = 45 personnes sur 1000 ne trouveront pas de chaussures à leur pointure soit 4,5%. 4) a) Trouver les pointures P 1, P 2 et P 3 qui permettent de répartir les chaussures fabriquées suivant le schéma : Min 25% P 1 25% P 2 25% P 3 25% Max = 238,75. Donc P 1 correspond à la pointure du 239 ème individu classé par ordre croissant. Donc P 1 = = 477,5. Donc P 2 correspond à la pointure du 478 ème individu classé par ordre croissant. P 2 = = 716,25. Donc P 3 correspond à la pointure du 717 ème individu classé par ordre croissant. Soit P 3 = 44. (Voir les ECC bis dans le tableau). b) Comparer P 2 avec la médiane. Interpréter. P 2 = Me Effectif ECC ECC bis N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 8

9 Enlever les pointures extrêmes n a pas changé sensiblement la répartition de la série. Cela correspond au fait que les effectifs de ces pointures sont très petits. c) Calculer le pourcentage d hommes dont la pointure est comprise entre P 1 et P 3. Entre P 1 et P 3 l effectif est = 671 Il y a donc 67,1% d hommes dont la pointure est comprise entre 41 et 44. Exercice 2 Le directeur d un magasin d informatique a enregistré le prix des articles vendus et les a consignés dans le tableau suivant. Classe de prix en euros Effectifs Effectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées [50; 150[ [150; 250[ [250; 350[ [350; 450[ [450; 550[ [550; 650[ [650; 750[ [750; 850[ [850; 950[ Partie A 1) Quelle est la population étudiée? Quelle est la variable statistique considérée? Quelle est la nature de cette variable? Population étudiée : les articles vendus dans un magasin d informatique Variable statistique : le prix C est une variable quantitative continue 1) Déterminer la classe modale. La classe modale est [450; 550[ 2) Quelle est l étendue de cette série statistique? Interpréter. L étendue de la série statistique est e = = 900 (valeurs extrêmes). On en déduit que les écarts de prix sont importants. 3) Compléter les colonnes des effectifs cumulés, celle des fréquences et celle des fréquences cumulées. Voir tableau. 4) A quelle classe appartient la médiane? Le premier quartile? Le troisième quartile? Justifier. La classe médiane est [450; 550[ (dépasse 50% des effectifs). Le quartile Q 1 appartient à la classe [350; 450[ (dépasse 25% des effectifs). Le quartile Q 3 appartient à la classe [550; 650[ (dépasse 75% des effectifs). 5) Construire le polygone (ou la courbe) des fréquences cumulées croissantes en prenant comme unités graphiques 1cm pour 100 euros en abscisses et 1cm pour 0,1 en ordonnées. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 9

10 100 y D1 Q1 Med Q3 D9 x 6) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane Me, des quartiles Q 1 et Q 3. Graphiquement on lit Me = 500, Q 1 = 412 et Q 3 = ) Construire le diagramme en boite de cette série. Partie B Le magasin fait partie d une chaîne qui compte trois succursales dans le département. Le directeur du magasin a obtenu les informations suivantes de la part de ses deux homologues : Succursale partenaire 1 Succursale partenaire 2 Prix minimum Prix maximum Médiane er quartile ème quartile N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 10

11 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausse? Justifier. 1) Les ventes de la succursale 1 sont plus dispersées que celles de la succursale 2. Faux. En ce qui concerne la succursale 1 Q 3 Q 1 = 250 et pour la succursale 2 Q 3 Q 1 = 290. Or Q 3 Q 1 contient au moins 50% de la population. Les ventes de la succursale 1 sont donc moins dispersées que celles de la succursale 2. 2) Au moins 25 % des ventes de la succursale 1 ont un montant inférieur à 430 euros. Vrai car pour la succursale 1 Q 1 = 430 3) 75% des ventes de la succursale 2 ont un montant supérieur à 670 euros. Faux. 75% des ventes de la succursale 2 ont un montant inférieur à 670 euros ou 25% ont un montant supérieur à 670 euros. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 11

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