J ;1;1 2. puis déduire qu une équation cartésienne du plan ( ) a pour coordonnées

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1 LS A- KHOUJA SERIE D EXERCICES ESPACE - PROBABILITE. 4 M. M r KORDOGHLI RIADH EXERCICE N 1 L espace E est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, i, j, k ) On considère les points D( 0;1;0 ), 1)a)Déterminer DI DJ 1 I ;0;0 2, 1 J ;1;1 2 et E( 0;0;1 ) puis déduire qu une équation cartésienne du plan ( ) b)calculer l aire A du triangle DIJ 2)Soit la droite passant par E et perpendiculaire au plan ( DIJ ) a)donner une représentation paramétrique de b)montrer que le point L de rencontre de et du plan ( DIJ) a pour coordonnées c)calculer le volume V du tétraèdre EDIJ 3)On considère l ensemble ( S m ) des points M( x, y,z ) de l espace tels que a)discuter suivant les valeurs du paramètre réel m, la nature de l ensemble ( S m ) DIJ est 2x + y z 1 = ; ; x + y + z 2mx my mz + = 0 3 b)montrer que la sphère ( S 1 ) et le plan ( DIJ ) sont tangents en L 4)Soit f l application dans l espace qui à tout point M( x; y;z ) associe le point M '( x '; y';z' ) tel que a)caractériser f et déterminer f ( L ) 2 x ' = x 3 1 y' = y 3 1 z' = z + 3 b)soit le plan P' dont une équation cartésienne est 2x y z 1 0 ' c)soit ( 1 ) S l image de ( ) ' S 1 par f. Déterminer ( S1 ) P' + + =. Montrer que P' = f (( DIJ) ) EXERCICE N 2 Dans l espace E rapporté à un repère orthonormé direct ( O, i, j, k ), on considère le tétraèdre ABCDE tel que A(1,0,2) ; B(0,0,1) ; C(0,-1,3) et AE = AB AC 1)a)Vérifier que E a pour coordonnées (0,2,3) b)calculer le volume du tétraèdre ABCE 2)a)Soit P le plan d équation : x 2y z + 5 = 0.Montrer que P est parallèle au plan (ABC) b)soit K le point défini par KC + 2KE = 0. Calculer les coordonnées du point K et vérifier que K appartient à P 3)Soit h l homothétie de centre E qui transforme C en K

2 a)déterminer le rapport de h b)le plan P coupe les arêtes [EA] et [EB] respectivement en I et J. Calculer le volume du tétraèdre EIJK EXERCICE N 3 Soit ( O,u, v, w) une repère orthonormé dir rect de l espace. Dans la figure ci-contre OABC est un tétraèdre tel que OA = 5 u, OB = 5 v, OC = 10 w et I est le point de coordonnées (3,3,3) 1)Vérifier que le plan (ABC) a pour équation 2x + 2y + z 10 = 0 2)Soit S la sphère de centre I et de rayon 3. a)quelle est la position relative de S et du plan (ABC) b)montrer que la sphère S est tangente aux plans (OAB), (OAC) et (OBC) 3)Soit k un réel non nul et h l homothétie de centre O et de rapport k. On désigne par S, la sphère image de S par h a)montrer que S est tangente aux plans (OAB), (OAC) et (OBC) b)déterminer les valeurs de k pour lesquelles S est tangente au plan (ABC) 4)Déterminer le centre et le rayon de la sphère tangente intérieurement aux quatre faces du tétraèdre OABC EXERCICE N 4 L espace E est rapporté à un repère ortho 1)a)Déterminer les composantes du vecteur AB AC b)déduire que les points A, B et C déterminent un seul plan P dont on donnera une équation cartésienne c)calculer le volume du tétraèdre OABC 2)Soit I( 1; 1;0 ) a)déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par I et perpendiculaire à P b)déterminer les coordonnées du point H,intersection de D et P 3)Soit ( ) ( ) { 2 2 S = M x, y, z tel que x + y + z a)montrer que ( ) b)montrer que ( ) S est une sphère de centre I dont on déterminera le rayon S et P sont tangents en un point qu on précisera 4)Soit h l application de l espace qui à tou a)caractériser l application h onormé ( O,i, j,k ) 2 2x + 2y 1 = 0.On considère les points A( 1; 1 } ' ut point M( x, y,z) associe le point M ( ) 1;1 ), B( 1; 2; 2) et C( 1;0;2 ) x ' = 2x 3 x ', y',z' tel que y' = 2y + 6 z ' = 2z 6

3 b)soit ( S' ) l image de ( S ) par h.déterminer le rayon et le centre de ( S' ) c)caractériser ( S' ) P 5)Soit Q le plan dont une équation cartésienne est : x + y + z + 3ln a = 0,a > 0 a)montrer que Q et P sont sécants si et seulement si 1 a e e < < b)on choisit au hasard un réel a de l intervalle [ 0,1 ] (Le choix suit une loi uniforme sur [ 0,1 ] ) Déterminer la probabilité de l événement : «Q et ( S) sont sécants» EXERCICE N 5 On teste un médicament parmi un ensemble d individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé Pour cela 60 % des individus prennent le médicament, les autres recevant un placebo ( Substance neutre que l on substitue à un médicament afin d étudier l action psychologique et l action réelle de celui-ci ) et que l on étudie à l aide d un test la baisse du taux de glycémie Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de ce taux avec une probabilité de 0,8 On ne constate aucune baisse de taux pour 90 % des personnes ayant pris le placebo On considère les événements suivants M : «Avoir pris le médicament» et B : «Avoir une baisse du taux de glycémie» On donnera les résultats à 3 10 prés 1)Compléter l arbre de probabilité ci-contre 2)Montrer que p( B) = 0,52 3)On soumet au test un individu pris au hasard.qu elle est la probabilité qu il ait pris le médicament si l on ne constate pas de baisse de son taux de glycémie? 4)On contrôle trois individus au hasard.quelle est la probabilité d avoir au moins un individu dont le taux n a pas baissé? EXERCICE N 6 Un joueur utilise un dé pipé à 6 faces. La probabilité P k de voir apparaître la face partant le numéro k est donnée par le tableau suivant : (a et b sont deux nombres réels.) k p k 0,4 0,15 0,15 0,05 a b

4 On appelle X la variable aléatoire correspondant au numéro de la face obtenue après un lancer. 1)a)Sachant que l'espérance mathématique de X est : E(X) = 2,65, déterminez a et b b)quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair? 2)Le joueur lance le dé 10 fois de suite. Les résultats des lancers sont indépendants les uns des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant un numéro pair sur les 10 lancers. a)déterminer la loi de probabilité de Y? et vérifiez que E(Y) = 2,5 b)quelle est la probabilité d'avoir Y > 8? 3)A chaque lancer, si le résultat est un nombre pair, le joueur gagne 3 points, sinon, le joueur perd 2 points. On appelle G le gain du joueur après 10 lancers. a)quelles sont les valeurs que peut prendre G? b)donnez une relation simple entre la variable Y et la variable G. c)quelle est la probabilité que le joueur ait un gain nul? et quelle est l'espérance de G? EXERCICE N 7 Un site touristique propose deux types de visites : guidée ou non guidée.chaque visiteur peut utiliser son appareil photographique en payant un supplément. Une étude statistique a montré que 70% des visiteurs choisissent la visite guidée 18% des visiteurs choisissent la visite non guidée et payent le supplément 80% des visiteurs ayant choisis la visite guidée, payent le supplément On choisit au hasard un visiteur et on note les évènements suivants : G : «Le visiteur choisi la visite guidée» S : «Le visiteur paye le supplément» 1)a)Montrer que la probabilité de l évènement ( S / G) est ( ) p S / G = 0,6 b)calculer la probabilité qu un visiteur paye le supplément c)calculer la probabilité qu un visiteur ayant payé le supplément, choisissent la visite guidée 2)La visite non guidée coutent 15 dinars, la visite guidée coute 25 dinars et le supplément revient à 10 dinars Soit X l aléa numérique égal à la dépense du visiteur en dinars a)déterminer la loi de probabilité de X b)calculer la moyenne des dépenses du visiteur 3)Un groupe de 20 visiteurs arrivent sur le site. On suppose que les choix des visiteurs pour le type de visite et le payement du supplément sont indépendants

5 Calculer la probabilité pour qu au moins deux des visiteurs dépensent 25 dinars 4)On suppose que la durée de la visite, en minutes, suit une loi uniforme T sur l intervalle [ 45,75 ] a)calculer la probabilité que la visite dure plus qu une heure b)calculer la probabilité que la visite dure 50 minutes c)un visiteur est présent au site depuis une heure, quelle est la probabilité qu in le quitte avant 65 minutes? EXERCICE N 8 Le service après -vente d une entreprise, vendant une certaine marque de calculatrices, s est aperçu que ces dernières pourraient présenter deux types de défaut, l un lié au clavier, l autre à l affichage. Des études statistiques ont permis à l entreprise d utiliser la modélisation suivante : La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à 0,04. En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d affichage est de 0,03. Alors qu en l absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d affichage est de 0,94. On note considère les événements suivants : C : «la calculatrice présente un défaut de clavier» A : «la calculatrice présente un défaut d affichage» Dans cet exercice, les probabilités seront écrites sous forme de nombres décimaux arrondis au millième. 1 ) On choisit une calculatrice de cette marque au hasard. a) Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts. b) Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d affichage mais pas le défaut de clavier. c) Calculer p(a). d)montrer que la probabilité de l évènement : «la calculatrice ne présente aucun défaut» arrondie au millième est égale à 0, ) Chaque calculatrice est vendue à 35 dinars. Le service après-vente doit prendre en charge les réparations au cas où aurait un défaut : Si la calculatrice présente un défaut de clavier, le coût de la réparation est de 3 dinars. Si la calculatrice présente un défaut d affichage, le coût de la réparation est de 5 dinars. Si la calculatrice présente les deux défauts, on rembourse la calculatrice au client. Soit X la variable aléatoire égale au montant du chiffre d affaire réalisé par calculatrice vendue a)déterminer la loi de probabilité de X b)calculer alors le chiffre d affaire que peut espérer faire l entreprise par calculatrice.

6 3 ) Une personne commande 50 calculatrices. Quelle est la probabilité qu il y ait au moins une calculatrice ne présentant aucun défaut? 4 ) On suppose que la durée de vie (exprimé en années) d une calculatrice de cette marque est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,255. a) Quelle est la probabilité qu une calculatrice dure plus de 2 ans? b) Quelle est la probabilité qu une calculatrice ne tombe pas en panne avant 5 ans? c) Quelle est la probabilité qu une calculatrice qui fonctionne depuis 2 ans dure moins que 5 ans?