Susceptibilité à Q: électrons libres

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1 Susceptibilité à Q: électrons libres Effet de la dimensionalité: bande parabolique!! 0 (Q)!! 0 (Q = 0)!( q,0)!(0,0) 1 D 1D 3D 0 0 k unctions for different dimensions. The lower the dimensio F Q q

2 modèle Hubbard! B = m Q = 1 N Susceptibilité à Q: interactions 1 N B Q eiq!. u z H = H 0 +U# n! n H Z =! gµ B m!.b! Zeeman H Z =!! m e iq!. H CM terme de Hubbard en champ moyen H CM U =! U N m!!k m! 1 k e i(k! 1+k! ).! + E 0,k 1,k gµ B B Q N m e iq!. =!U m U i m + E 0 i =!U m!k m k + E 0 Réponse linéaire: réponse à la composante de Fourier k=q H CM Q = H 0! Um!Q m Q! gµ B B Q m!q + E 0 = H 0! m!q # U m Q + gµ B B Q + E 0 champ effectif k avec: =!gµ B B Q m!q m Q = m!q!! M Q = gµ B m Q

3 Susceptibilité à Q: instabilité Le problème en intéraction se réduit à un problème d électrons libres soumis à un champ effectif U M Q H Q = H 0! M Q # gµ B ( ) + B Q ' &' + E 0 B eff équation d auto-cohérence M Q =! 0 (Q)B eff (M Q ) M Q 1! U! 0(Q) ' # ( gµ B ) &' =! 0(Q)B Q électrons libres susceptiblité en intéraction:! Q =! 0 (Q) 1! U! 0 (Q) gµ B ( )!!! = (gµ B ) susceptibilité réduite!! Q =!! 0 (Q) 1! U!! 0 (Q) instabilité si U!! 0 (Q) =1

4 instabilité magnétique: emboîtement!! 0 (Q) =! k f ( k+q )! f (# k ) k+q!# k Liaison fortes 1D cas emboîtement parfait ex 1D et saut premier voisin: si Q =! a! k+q =!! k! k =!t cos(ka)! k+q =!t cos(ka + ) = t cos(ka) ε! 0 (Q) =! d k #( k ) f (! k )! f ( k )! k d au demi-remplissage: E F =0 et T=0K! 0 (Q) = k #( k )! 0 (Q)! k instabilité magnétique à Q pour U arbitraire si emboîtement parfait et densité d état non-nulle au niveau de Fermi! k >0 k

5 Emboitement des surfaces de Fermi clef: emboîtement autour de E F! k+q =!! k vecteurs d onde d instabilité contrôlé la topologie de la surface de Fermi (a) ky (b) ky Cas D: kx kx (c) kx souvent plusieurs bandes au niveau de Fermi: emboîtement entre bandes différentes

6 Phase onde de densité de spin description de la phase onde densité de spin à Q n! = n +(! )m 0 cos(q!. ) terme de Hubbard champ moyen H CM! n =U n +(!! )m 0 cos(q!. ( )'!U # &,! champ moyen: potentiel périodique du à l autre population de spins!u U =U n! n!! ( # n n,!!u n! 4! m 0 cos (Q!. )' &' n!! 4! m (1+ cos(q!. )) 0 =!UN n 4! m 0 ' # &' = E 0 les électrons «up» sont sous l effet d un potentiel périodique dus aux électrons «down» H CM! n U =U n!(! )m cos(q! 0. ( )' + E 0 # &,! V Q ( )!(!) = +1!(!) = 1! =!/ onde de densité de spin sinusoidale

7 Phase onde de densité de spin H CM =!! k c + k +! n V Q ( ) + E 0 k, nouvelle périodicité: nouvelle zone de Brillouin repliement de bandes sur la nouvelle ZB Cas 1D AF: périodicité a # nouvelle zone de Brillouin: k!! a,! & a' ( dispersion de départ! k =!t cos(ka) repliement k ±Q! k nouvelle ZB interaction entre les bandes: croisement évité gain en énergie si demi-remplissage (E F =0)

8 n = c + c = 1 N H U CM =U Phase onde de densité de spin calculs des nouvelles bandes dans l espace k électrons dans un potentiel périodique H CM! n U =U n!(! )m 0 cos(q!. ( )' + E 0 # & H U CM = U n,! k 1 k n c + k1 e i!.(k! 1!k! ) 1 N =U n k 1 k! k,! 1 + e i!.(k! 1!k! ) +! c + k Um 0 k,!! Um 0 N =! Um 0 N =! Um 0,!!( )cos(q!. )c + c e i.(k 1!k ) k1 + E k 0 k 1 k,,!!( )c + c (e i!.(k! 1!k!!Q! ) k1 + e i!.(k! 1!k! +Q!) ) k k 1 k,! & k,!( ) # c + k!q + c + k +Q!(! )# + +Q + c + k +Q & + E 0 k,! couplage entre états k et k+q

9 H U CM = U n Phase onde de densité de spin! c + k Um 0 k,!!(! )# + +Q + c + k +Q & + E 0 k,! opérateur «bande-repliée» d k = +Q nouvelle zone de Brillouin (NZB): fois plus petite dans le cas AF (commensurable) H U CM = U n NZB! c + k + d + k d k Um! 0 (! )# d + k + c + k d k & + E 0 k,! Hamiltonien total E k =! k + U n E k+q =! k+q + U n H = NZB NZB k,!!! k c + k +! k+q d + k d k + H CM U + E 0 k, NZB! k,! = H k! + E 0 H k! = E k c + k + E k+q d + k d k!um 0 (! ) # d + k + c + k d k bandes d électrons libres et un terme de couplage

10 Phase onde de densité de spin H k! = E k c + k + E k+q d + k d k!um 0 (! ) # d + k + c + k d k on peut diagonaliser dans l espace des, d k! k = (, d k ) H k! =! + Ĥ! avec Ĥ = # E k!um 0!( )!Um 0!( ) E k+q ' ' & énergies propres: λ (E k!!)(e k+q!!)! ( Um 0 ) = 0!!!(E k + E k+q )+ E k E k+q! ( Um 0 ) = 0! ± = 1 E + E ± E + E k k+q k k+q # ( ) + 4 Um 0 ( )! 4E k E k+q ( E k! E ) k+q + 4( Um 0 ) &'

11 Gap d onde de densité de spin! ± = 1 E k + E k+q ± E k! E # k+q ( ) ( ) + 4 Um 0 &' E k =! k + U n E k+q =! k+q + U n nouvelles bandes Emboîtement parfait:! k =!! k+q! ± = U n ± k + ( Um 0 ) Gap de l onde de densité de spin! k =! +! = + ( Um ) k 0 au niveau de Fermi(en ε κ =0 pour le demi-remplissage)! 0 = Um 0 paramètre d ordre

12 onde de densité de spin Cas 1D AF: périodicité a! k =!t cos(ka) Phase ordonnée! ± = U n ± k + ( Um 0 ) Si emboîtement parfait et demi-remplissage: isolant Généralement imparfait : métal! 0 = Um 0 Δ 0

13 exemple d ondes de densité de spin Chrome: bande d demi-remplie T N =311K Bon emboîtement

14 exemple d ondes de densité de spin système multibandes D: supraconducteur au Fer (BaFe As ) coupe à E F (photoémission) susceptibilité χ(q) (calcul)

15 exemple d ondes de densité de spin résistivité métallique! aimantation aimantation faible chaleur spécifique

16 exemple d ondes de densité de spin destruction partielle de la surface de Fermi Coexistence supraconductivité et onde de densité de spin