Exercices sur les courbes paramétrées dans le plan

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1 Exercices sur les courbes paramérées dans le plan Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j, on considère la courbe C définie par les équaions x paramériques y ) Eudier les variaions de x e y Donner dans un même ableau - le signe de x e y ; - les variaions de x e y ) Eudier les variaions de x e de y ) Eudier le poin saionnaire c es-à-dire déerminer la angene en ce poin On noera que ce poin es un poin de rebroussemen de ère espèce ) Déerminer lim x y ; en déduire que C adme une asympoe oblique e éudier la posiion relaive de C par rappor à ) Tracé de C Mere en place les élémens du racé Tracer C Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j x cos paramériques ( ) y sin ) Pour réel quelconque, - comparer les poins M() e M(+) ; - comparer les poins M() e M(+) ; - comparer les poins M() e M( ) ; - comparer les poins M() e M( ) En déduire que l on peu prendre l inervalle ; pour inervalle d éude ) Éudier les variaions de x e y Donner dans un même ableau - le signe de x e y ; - les variaions de x e y ) Donner les coordonnées des poins de C pour D en lesquels - la angene es horizonale ; - la angene es vericale ) Tracer C Vérifier sur la calcularice graphique Tracer les angenes en O Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j x cos paramériques y cos sin ( ), on considère la courbe C définie par les équaions, on considère la courbe C définie par les équaions Parie A (quesions préliminaires) ) Démonrer que, pour ou réel, on a : h * ) Démonrer que l équaion coh adme une unique soluion dans Parie B (éude d une courbe paramérée) Dans le plan oriené P muni d un repère orhonormé O, i, j, on considère la courbe C définie par les sh x équaions paramériques ch y ) Préciser les syméries de C ; donner un domaine d éude D ) Éudier les variaions de x e y Donner dans un même ableau - le signe de x e y - les variaions de x e y sh Mere les limies On admera que lim ) Donner les coordonnées des poins de C pour D en lesquels la angene es vericale ) Éudier lim x y Donner les asympoes à C 5 ) Tracer C Vérifier sur la calcularice graphique Éudier e racer C 5 Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j, on considère la courbe C définie par les équaions x h paramériques y ch Afficher la courbe C sur l écran d une calcularice graphique (se mere d abord en mode paramérique) Le bu de ce exercice es de jusifier quelques propriéés de la courbe C Jusifier les élémens suivans : ) La courbe C es oujours siuée au-dessus de l axe des abscisses ) La courbe C adme un axe de symérie ) La courbe C coupe l axe des ordonnées en un poin ) La courbe C adme une angene horizonale 5 ) La courbe C adme deux angenes vericales 6 ) La courbe C adme une asympoe 7 ) Il n y a aucun poin saionnaire Eudier e racer C On éudiera en pariculier les poins muliples

2 6 Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j, on considère la courbe C définie par les équaions x paramériques y ) Éudier les variaions de x e y Donner dans un même ableau - le signe de x e y ; - les variaions de x e y Calculer les exremums locaux (valeurs exaces) x e y quand end vers + e ; en déduire que C adme une asympoe ) Éudier les limies de que l on précisera x e ) Éudier les limies de y quand end vers ; en déduire que C adme une asympoe que l on précisera ) Éudier lim x y En déduire que C adme une asympoe que l on précisera Préciser la posiion de C par rappor à cee asympoe 5 ) Vérifier que la courbe C passe le poin O ; préciser un veceur direceur de la angene 6 ) Tracer C Vérifier le racé à l aide de la calcularice graphique 7 ) Le racé de C fai apparaîre un poin muliple Déerminer les coordonnées de ce poin 7 Dans le plan oriené muni d un repère orhonormé O, i, j *, on considère le cercle C de cenre O e de rayon a ( a ) Pour ou poin M de C, on noe H e K ses projeés orhogonaux respecivemen sur l axe des abscisses e sur l axe des ordonnées On noe égalemen N le projeé orhogonal sur la droie (HK) ) a) Déerminer une représenaion paramérique de l ensemble des poins N en uilisan une représenaion paramérique de C (on commencera par déerminer une équaion carésienne de la droie (HK)) b) Éudier e racer Cee courbe es appelée une asroïde ) Soi P le projeé orhogonal de O sur (HK) a) Déerminer une représenaion paramérique de l ensemble des poins P ; en déduire une équaion polaire de b) Éudier e racer 9 Esquisser une courbe paramérée don voici le ableau de variaion (x e y son des foncions de classe C sur [ ; ]) : x' + x y y' + + Tracer les angenes ou demi-angenes pariculières Dans le plan muni d un repère O, i, j On noe x e y les coordonnées du poin, on considère une courbe paramérée (I ; f) avec I ; f Les variaions de x e y son données dans le ableau suivan : x y Vérifier que chaque courbe a un racé compaible avec ce ableau e lui associer le sysème de condiions correspondan Figure Figure Figure Figure 8 Dresser le ableau de variaion de la courbe paramérée suivane : a b c d x' x' x' x' y' y' y' y' x' x' x' x' y' y' y' y'

3 Associer à chaque ableau de variaion la courbe correspondane x y x y x y x y x y x y 5 6 Figure Figure Figure Figure Figure 5 Figure 6 Soi P le plan rapporé au repère orhonormé direc O, u, v de cenre O e de rayon f z z z Soi f l applicaion de dans lui-même définie par On noe A le poin d affixe e C le cercle On noe F l'applicaion de P dans lui-même qui à ou poin m d'affixe z associe le poin M d'affixe On prendra cm pour unié de longueur Le bu de ce problème es d'éudier l'image du cercle C par F I Soi m un poin du cercle C d'affixe z e M son image par F Démonrer que A e M son symériques orhogonalemen par rappor à la angene T en m au cercle C En déduire une consrucion de M à parir de m x cos cos II ) Démonrer que es la courbe paramérée : y sin sin ( ) Z f z ) Démonrer que adme l un des axes du repère pour axe de symérie Eudier sur l'inervalle [, ] les variaions des foncions x e y ) a) Démonrer que si es différen de, la angene à au poin M de paramère es dirigée par le veceur de coordonnées cos ; sin On admera que ce résula es encore valable quand es nul b) Démonrer que le veceur mm es orhogonal à la angene à en M ) Consruire les poins de où la angene es parallèle aux axes de coordonnées 5 ) Tracer Soi f l applicaion de * dans * définie par f z z z pour ou z élémen de * ) Calculer les paries réelle e imaginaire de f z en foncion des module e argumen de z O, u, v ) On noe P le plan complexe muni d un repère orhonormé direc Soi T l'applicaion du plan P privé de l'origine O dans P qui au poin M d'affixe z associe le poin M d'affixe f z Quelle es la naure de l'image par T d'un cercle de cenre O e de rayon R? On discuera suivan les valeurs de R Soi P le plan complexe rapporé à un repère orhonormé direc O, u, v On considère l'applicaion f de * dans * qui, à z, associe f z ou poin m d'affixe z, associe le poin M d'affixe Z où Z f z On noe P * le plan privé de O e l'applicaion F de P * dans P * qui, à z I ) Déerminer les poins invarians par F Représener ces poins ) Donner une consrucion géomérique de l image par F d un poin m du cercle C de cenre O e de rayon ) Ean donné un poin M du cercle C, quel es l'ensemble des poins m els que F(m) = M? Consruire ces poins ) a) Soi d une demi-droie de P, d'origine O

4 Consruire l'image par F de d *, où d * désigne d privée du poin O Quelle es l'image par F d'une droie passan par O, mais privée de O? b) Ean donné, dans P, une droie passan par O, quel es l ensemble des poins m els que F(m) apparienne à *, où * désigne privée de O? II On considère l'ensemble des poins de P* don l'affixe es z cos i sin cos où décri l'inervalle ; ) Démonrer que es inclus dans un cercle passan par O Tracer ) Donner, en foncion de, le module e un argumen de l'affixe z d'un poin m de Exprimer, en foncion de an, les coordonnées X e Y de F(m) En déduire l'équaion de l'image de par l'applicaion F Quelle es la naure de? Vérifier que les poins I e J de définis respecivemen par e appariennen à En expliquer la raison 5 Le plan P es rapporé à un repère orhonormé direc O, u, v Parie A x cos cos On se propose de racer le suppor C de la courbe paramérée définie par y sin sin ) Démonrer que l on passe du poin de paramère au poin de paramère par la roaion de cenre O e don une mesure de l angle es ) Démonrer que l on peu réduire l'inervalle d'éude à l'inervalle [ ; [ ) On appelle I e A les poins correspondan respecivemen à = e = Consruire la droie D angene en I à C On admera que la angene en A à C exise e passe par O Tracer la courbe C 6 Dans le plan P muni d un repère orhonormé O, i, j, on considère la courbe C définie par les équaions x sin paramériques y cos Éudier les posiions respecives des poins M(), M( ), M(+) e M( ) En déduire les élémens de symérie de C 7 QCM Une seule réponse proposée es exace a b c La courbe C es définie paramériquemen par x y Au poin M(), C a une angene don un veceur direceur u a pour coordonnées La courbe C es définie paramériquemen par x sin y cos Au poin M, C a une angene don le coefficien direceur es La courbe C es définie paramériquemen par x f ; y g ( ; ) ( ; ) ( ; ) Parie B On appelle T l'applicaion de P dans P, qui, au poin m d'affixe z, associe le poin M d'affixe Z z z ) Démonrer que C es l'image de par l'applicaion T Déerminer les poins de invarians par T e démonrer qu'en ces poins, les courbes C e on même angene ) On suppose m apparenan à Si m es invarian par T, on appelle D la angene à en m Si m n'es pas invarian par T, on appelle D la droie (mm) Démonrer que, pour ou m de, la droie D es angene à C en M ) Soi m un poin de, non invarian par T, don l'affixe a pour argumen, e m' le poin de don l affixe a pour argumen Démonrer que OM=Om Om' Démonrer que la droie (mm') es angene à C en M En déduire une consrucion simple de M e de la angene à C en M, connaissan le poin m sur Alors la courbe C es : La courbe C es définie paramériquemen par x f ; y g Le ableau des variaions de f e g es : x' x

5 y y' + Alors C es la courbe : La courbe C es définie paramériquemen x f par ; 8 y g Un ableau possible des variaions de f e g es : 9 Le plan P es muni d un repère O, i, j On considère une courbe paramérée : I P x ; y élémen M où I es un inervalle non vide non rédui à un On suppose que x e y son dérivables sur I e que le veceur angen en ou poin n es ni colinéaire à i ni colinéaire à j La angene en un poin M de paramère coupe l axe des abscisses en un poin H e l axe des ordonnées en un poin K Déerminer elle que pour ou réel I, le poin M soi le milieu du segmen [HK] Le plan P es muni d un repère orhonormé O, i, j Déerminer la podaire * de l hyperbole d équaion xy = par rappor à O * La podaire d une courbe par rappor à un poin es l ensemble des projeés orhogonaux de ce poin sur les angenes 8 QCM Dans chacune des quesions suivanes, une au moins des réponses es exace ) Soi C la courbe d'équaions paramériques : x() = sin e y = cos où a) Les poins M () e M ( ) son symériques par rappor à l'axe des abscisses b) Les poins M () e M ( +) son symériques par rappor à l'axe des ordonnées c) La courbe C es la parabole d'équaion y x d) Le poin A ( ; ) apparien à C ) Soi C la courbe d'équaions paramériques : x = sin e y = sin où a) Le poin O es cenre de symérie de C b) Le veceur i j es un veceur direceur de la angene en M () c) La angene en M es vericale d) La angene en M es horizonale ) Chacune des courbes don les équaions paramériques son données ci-dessous es incluse dans une parabole : a) x e y avec b) x e y avec c) x e y avec ; d) x sin e y sin ; avec

6 ) x ' e y ' ) Poin saionnaire : pour = On calcule : MM i j M M i j i j C es un poin de rebroussemen Méhode : y ' On calcule lim x ' y ' y ' donc lim x' x ' ) lim y = x + Réponses 5 Tangene vericale aux poins de paramères ln e ln ) ) (Oy) ) ) 5 ) argch e argch 6 ) axe (Ox) ( + ou ) 6 x' e y ' Les racines du polynôme au numéraeur de y ' son e x ; y ; x ; Asympoe oblique x y ; : x y Faire un ableau de signes La courbe coupe l asympoe oblique au poin de paramère La courbe C passe le poin O origine du repère La angene en ce poin adme le veceur u ; Poin muliple : ' y ) Quesion iniiale : Préciser les syméries de C ; donner un domaine d éude D S Ox, S Oy, O S Éude sur ; x e y son périodiques de période, x e y son paires x x y y La courbe es symérique par rappor au poin O L inervalle d éude es ; Courbe de Lissajous 7 7 Poins muliples : e * ; S Ox ; x es sricemen croissane e y es sricemen décroissane 7 Rappel : A a ; e B ; b avec a e b x y La droie (AB) a pour équaion carésienne a b Fig b ; Fig c ; Fig a ; Fig d Tableau Fig 5 ; ableau fig ; ableau fig ; ableau fig 6 ; ableau 5 fig ; ableau 6 fig Parie B On paramère le cercle de cenre O e de rayon par x cos e y sin 5 ) Si R =, segmen d exrémiés A( ) e B() R Si R, ellipse de demi-axes e R R Il fau vérifier que les deux valeurs ne son pas égales R 7 QCM Quesion : réponse b ; quesion : réponse b ; quesion : réponse a ; quesion : réponse c (ce qui différencie les deux courbes c es la angene au poin d abscisse ; au dépar je pensais qu il y avai un problème dans l énoncé) ; quesion 5 : réponse c 8 V ou F

7 ) F V F F ) V V V V ) V V F (hyperbole : y x ) F 9 On rouve x ' y yx ' soi xy' d où xy k Le suppor de l arc paraméré es inclus dans une hyperbole équilaère ' ' X x x Y y y X x y ' x ' y y x ' y Abscisse du poin d inersecion de C avec l axe des abscisses : X x y ' xy ' Ordonnée du poin d inersecion de C avec l axe des ordonnées : Y y x' Podaire d une hyperbole équilaère par rappor à son cenre On rouve une lemniscae de Bernoulli définie par les équaions paramériques : x e y Quesions de cours Direcions asympoiques (courbes en paramériques, courbes en polaires) avec la disance d un poin à une droie Poin saionnaire ; poin régulier ; poin birégulier Définiions Veceur angen Tangene e normale à une courbe paramérée en un poin Posiion de la courbe par rappor à la normale Formule de Taylor 5 Syméries d une courbe paramérée Dans le plan muni d un repère orhogonal O, i, j, on considère une courbe paramérée (D ; f) où D es une parie de cenrée en On noe x e y les coordonnées du poin On noe C son suppor Compléer le ableau ci-dessous sans jusifier f On peu écrire : H = O + OM f ' f ' f ' Parié de x e y x e y impaires x paire e y impaire x paire e y impaire Symérie de C Que peu-on dire de la courbe lorsque x e y paires? Elle es parcourue deux fois 6 Dans le plan muni d un repère O, i, j On noe x e, on considère une courbe paramérée (I ; f) où I es un inervalle y les coordonnées du poin M() associé au paramère ) On suppose que x e y son de classe C sur I Compléer les définiions suivanes : M() es un poin régulier signifie que : M() es un poin singulier signifie que : ) Dans les quesions ) e ), on suppose que x e y son de classe C sur I a) Compléer les définiions suivanes : M() es un poin birégulier signifie que : Traduire cee condiion analyiquemen à l aide de x, y, x, y b) Dans ce cas, préciser la posiion de C par rappor à la angene e faire une figure pour illusrer

8 ) Soi M( ) un poin birégulier On appelle concavié de la courbe en M le demi-plan fermé admean pour fronière la angene e d M «conenan» le veceur On peu aussi écrire : M f ' f '' d a) Démonrer que localemen la courbe C es conenue dans la concavié f ' n es pas colinéaire à j b) On suppose que le veceur On di que la concavié es ournée vers les y posiifs lorsque la concavié conien le veceur j On di que la concavié es ournée vers les y négaifs lorsque la concavié conien le veceur j Donner une condiion analyique à l aide de x, y, x, y pour que la concavié soi ournée vers les y posiifs 7 Donner la définiion d un poin muliple 8 Donner un sysème d équaions paramériques d un cercle de cenre (a ; b) e de rayon R dans le plan muni d un repère orhonormé 9 Soi f une courbe paramérée de classe C définie sur un inervalle I M f soi birégulier MV f ' V M f ' Soi I el que le poin On considère le poin V el que (ou e le poin K el que MK f '' K M f '' ) ) Démonrer que localemen (c es-à-dire au voisinage du poin M ) la courbe es dans le demi-plan de fronière T e conenan le poin K ) Rappeler la définiion de la normale en M à la courbe Jusifier que la courbe «raverse» la normale (ou N M V T K Il exise un réel > el que [ ; ] el que f () apparienne au quar de plan Il exise un réel > el que [ ; + ] el que f () apparienne au quar de plan

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