Convergences et approximations

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1 Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev Théorème 1 Soit X ue VAR admettat u momet d ordre 2. Alors : Démostratio : ε > 0, P X EX) ε) VX) ε 2 Comme X admet u momet d ordre 2, X admet bie ue espérace et ue variace. Si X est ue variable discrète : O pose XΩ) = {x i,i I} et p i = PX = x i ). Par défiitio o sait que VX) = EX EX)) 2 ). Doc d après le théorème de trasfert : VX) = E X EX)) 2) = x i EX)) 2 p i i I Et de plus : P X EX) ε) = j Jp j où J = {j I/ x j EX) ε} O peut doc écrire : VX) = j J x j EX)) 2 p j + i/ J x i EX)) 2 p i j Jx j EX)) 2 p j ε 2 j Jp j P X EX) ε) VX) ε 2 ε 2 P X EX) ε) Probabilités : Chapitre 5 Page 1 Covergeces et approximatios

2 Si X est ue variable à desité : O a ici : VX) = = Et de plus Doc o a : EX) ε x EX)) 2 fx)dx x EX)) 2 fx)dx+ EX)+ε x EX)) 2 fx)dx+ EX) ε EX)+ε P X EX) ε) = PX EX) ε)+px EX)+ε) = EX) ε fx)dx+ EX)+ε fx)dx x EX)) 2 fx)dx VX) EX) ε P X EX) ε) VX) ε 2 x EX)) 2 fx)dx+ EX) ε ε 2 fx)dx+ EX)+ε EX)+ε fx)dx x EX)) 2 fx)dx ) Remarque : Lorsque X EX) ε, les valeurs de X sot à ue distace plus grade que ε de leur moyee EX). Doc P X EX) ε) mesure la probabilité que X pree des valeurs éloigées de EX). Cette probabilité est d autat plus faible que VX) est petit la variace mesure l étalemet des valeurs prises par X) et que ε est grad plus o est loi de la moyee mois o trouve de valeurs de X). Exemple 1: O utilise u dé cubique parfait. O cherche le ombre de lacers qu il faut effectuer pour pouvoir affirmer, avec u risque d erreur iférieur à 5%, que la fréquece d apparitio du 1 diffère de 1 6 d au 1 plus Lorsqu o a effectué lacers, o ote X le ombre de 1 obteus, et F la fréquece d apparitio du 1 au cours de ces lacers. Exprimer F e foctio de X et de. 2. Traduire à l aide d ue iégalité ce que l o cherche das l éocé. 3. A l aide de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, trouver la valeur de que l o cherche. 1. La fréquece est égale au ombre de 1 obteus divisé par le ombre total de lacers effectués doc o a F = X. 2. O cherche pour que P F 1 6 < 1 ) 0, Nous souhaitos ici appliquer l iégalité de Bieaymé-Tchebychev sur F avec ε = 1. Nous avos 100 besoi de EF ) et de VF ). X suit ue loi biomiale B, 1 ) doc EX ) = 6 6 et VX ) = Probabilités : Chapitre 5 Page 2 Covergeces et approximatios

3 O e déduit doc que EF ) = 1 6 et VF ) = 5 36 L iégalité de Bieaymé-Tchebychev ous dit que : P F ) P F 1 6 < 1 ) Il suffit doc de choisir tel que ,95 c est-à-dire II Covergece d ue suite de VAR 1 Loi faible des grads ombres Théorème 2 SoitX ) N uesuitedevaridépedates, admettatuemêmeespéracemetuemêmevariace σ 2. O pose X = X 1 + +X. Alors o a : ε > 0, lim P X m ε ) = 0 + O dit que X coverge e probabilité vers la variable costate égale à m. Démostratio : O a EX ) = 1 EX i ) = 1 m = m et comme les variables sot idépedates, i=1 VX ) = 1 VX 2 i ) = σ2. i=1 D après l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, 0 P X m ε ) σ2 ε 2 Doc par ecadremet de limites, lim + P X m ε ) = 0 Remarque : O cosidère ue suite d épreuves idépedates, et u évéemet A, de probabilité p, qui peut ou o se réaliser au cours d ue des épreuves. O ote X i la variable qui vaut 1 si A s est réalisé à la i-ème épreuve et 0 sio. Das ce cas X représete la fréquece de réalisatio de l évéemet A au cours des première épreuves. La loi faible des grads ombres ous dit que cette fréquece ted vers p. Cela justifie a posteriori otre faço d itroduire la otio de probabilité, c est-à-dire comme état la limite de la fréquece d apparitio de l évéemet doé. 2 Covergece e loi Défiitio 1 Soit X ) N ue suite de VAR. O ote F X la foctio de répartitio de X. O dit que la suite X ) N coverge e loi vers la VAR X, de foctio de répartitio F X, si pour tout x R où F X est cotiue, la suite F X x)) N coverge vers F X x). Probabilités : Chapitre 5 Page 3 Covergeces et approximatios

4 Exemple 2: Soit X ue VAR à desité. Pour tout etier aturel o ul, o pose X = e 1/ X. Motros que X ) N coverge e loi vers X. O ote F la foctio de répartitio de X et F la foctio de répartitio de X. Il faut ici motrer que pour tout réel x, lim F x) = Fx). Pour cela o va exprimer F x) e + foctio de Fx). Pour tout réel x, o a F x) = PX x) = Pe 1/ X x) = PX e 1/ x) = Fe 1/ x). Or, pour tout réel x fixé, lim + e 1/ x = x et comme X est ue variable à desité, F est cotiue e x. Doc lim + Fe 1/ x) = Fx). Aisi, pour tout réel x, lim F x) = Fx) doc X ) coverge e loi vers X. + Propriété 1 Soit X ) ue suit de VAR covergeat e loi vers la VAR X. Pour tous poits a et b de cotiuité de F X tels que a < b, o a : lim + Pa < X b) = Pa < X b) Théorème 3 Soiet X ) N ue suite de VAR discrètes et X ue VAR discrète telles que pour tout etier, X Ω) N et XΩ) N. Alors X ) N coverge e loi vers X ssi : k N, lim PX = k) = PX = k) + Nous admettros ici ce théorème. Vous pourrez trouver ue démostratio das la plupart des livres de cours d ECE2. Attetio certaies suites de VAR discrètes coverget e loi vers ue VAR à desité!!! Das ce cas le théorème précédet e s applique plus. Exemple 3: Soit ue suite X ) N de VAR telles que, pour tout etier aturel o ul, X suit la loi de Poisso de paramètre 1. Motrer que la suite X ) N coverge e loi vers la variable certaie égale à 0. Comme o sait à l avace que la limite de la suite X ) N va être ue variable discrète o peut utiliser le théorème précédet. Pour tout etier aturel k, o a PX = k) = e1/ 1/) k Il ous faut séparer le cas k = 0 car alors O a lim PX = 0) = lim + 1 Si k 0, lim + + k! ) k 1 = 1. = 1 k! 1 0! 1 e1/ = lim + e1/ = 1 ) k = 0 doc lim + PX = k) = 0. ) k 1 e 1/ Aisi X ) N coverge e loi vers ue variable X qui vérifie PX = 0) = 1 et pour tout etier k o ul PX = k) = 0. X est la variable certaie égale à 0. Probabilités : Chapitre 5 Page 4 Covergeces et approximatios

5 3 Théorème de la limite cetrée Théorème 4 Soit X ) N ue suite de variable aléatoires réelles défiies sur ue même espace probabilisé et idépedates. O suppose que les X ot toutes la même loi et qu elles admettet ue variace o ulle. O ote : EX 1 ) = m VX 1 ) = σ 2 N, S = k=1 X k et Y = S O a doc S = S m σ Y m) = = Y σ Alors la suite S) et doc la suite Y)) coverge e loi vers ue variable aléatoire de loi N0,1). Remarques : b O a doc pour a > b, lim Pa < 1 + S b) = e t2 /2 dt. a 2π Comme S = σ S + m, ce théorème ous permet de dire que pour assez grad la variable aléatoire S suit approximativemet la loi Nm,σ 2 ). C est u théorème remarquable car le résultat est très fort et cotiet peu d hypothèses. De plus il motre l importace de la loi ormale e probabilités et statistiques. Ce théorème est parfois appelé théorème cetral limite. E pratique pour 30, o pourra approcher la loi de S par la loi ormale cetrée réduite. Ce théorème sera à l origie de plusieurs approximatios de lois. Exemple 4: Ue motre fait ue erreur d au plus ue demi-miute par jour. O cherche à détermier la probabilité que l erreur commise au bout d ue aée o bissextile) soit iférieure ou égale à u quart d heure. Pour cela, o cosidère que l erreur commise u jour doé, e secodes, suit ue loi uiforme sur [ 1 2 ; 1 2 ] et que les erreurs commises chaque jour sot idépedates. O doe ,72. O ote X k l erreur commise le k-ième jour de l aée. D après os hypothèses X k suit la loi uiforme [ sur 1 2 ; 1 ] 365 et les X k sot idépedates. De plus l erreur commise au bout d u a, est S = X k. O 2 cherche doc à calculer P 15 S 15). O a ici EX k ) = 0 et VX k ) = 1 365, doc ES) = 0 et VS) = Doc la variable cetrée réduite associée à S est S = S Comme 365 > 30, le théorème de la limite cetrée ous dit que S suit approximativemet la loi ormale cetrée réduite et doc : ) ) P 15 S 15) = P S = P S Φ 2Φ 15 ) 12 ) Φ ) 1 2Φ2,72) 1 0,9934 k=1 Probabilités : Chapitre 5 Page 5 Covergeces et approximatios

6 III Approximatio de variables aléatoires 1 Approximatio d ue loi hypergéométrique par ue loi biomiale Théorème 5 Soiet u etier fixé et p ]0;1[. O pose I = {N N/Np N}. Soit X N ) N I ue suite de VAR telle que pour tout N, X N suit la loi hypergéométrique HN,,p). Alors X N ) coverge e loi vers ue VAR X qui suit la loi biomiale B,p). Démostratio : Hors programme O a : ) ) Np Nq k k PX N = k) = ) N = = Np)!Nq)!!N )! k!np k)! k)!nq +k)!n!! Np)Np 1) Np k +1) Nq) Nq +k +1) k! k)! NN 1) N +1) Le produit Np)Np 1) Np k+1) Nq) Nq +k+1) possède facteurs chacu équivalet à Np ou Nq lorsque N + doc est équivalet à Np) k Nq) k lorsque N +. De même NN 1) N +1) N doc o e déduit que lim PX N = k) = N +! k! k)! pk q k X N coverge bie e loi vers ue VAR X qui suit la loi B,p). E pratique : Dès que N 10, o pourra dire que l o peut approcher la loi hypergéométrique par la loi biomiale. Exemple 5: Soit X ue variable aléatoire suivat la loi hypergéométrique H100; 4; 0, 05). Nous allos calculer PX 1). Calcul exact : ) ) PX 1) = 1 PX = 0) = 1 ) 0, Calcul approché : o approche la loi H100;4;0,05) par la loi B4;0,5) ) 4 PX 1) = 1 PX = 0) = 1 0,05) 0 0,95) 4 0,185 0 Probabilités : Chapitre 5 Page 6 Covergeces et approximatios

7 2 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso Théorème 6 Soit λ u réel strictemet positif et X ) N ue suite de VAR discrètes telles que X suit la loi biomiale de paramètre, λ ). Alors X ) N coverge e loi vers ue VAR X qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ. Démostratio : O a PX = k) =! k! k)! = λk k! ) k λ 1 λ ) k O a lorsque +, 1) k +1) k 1) k +1) e k)l1 λ/) k De plus comme λ 0, l1 λ/) λ. Doc o e déduit : lim PX = k) = λk + k! e λ Aisi X coverge bie e loi vers ue variable qui suit la loi Pλ). E pratique : O cosidère que lorsque 30 et p 0,1, o peut approcher la loi B,p) par la loi Pp). O dit que la loi de Poisso est la loi des évéemets rares elle approche le tirage de boules avec remise das ue ure coteat des boules blache e proportio égale à p qui est faible). Exemple 6: Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B100;0,05). Nous allos calculer PX = 2). Calcul exact : ) 100 PX = 2) = 0,05) 2 0,95) 98 0, Calcul approché : o approche la loi B100;0,05) par la loi P5) PX = 2) 52 2! e 5 0,0843 Probabilités : Chapitre 5 Page 7 Covergeces et approximatios

8 3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Théorème 7 Soit p ]0;1[, q = 1 p et S ) N ue suite de variable aléatoires telle que S suit la loi biomiale B,p). Alors la suite de variable aléatoire S = S p pq coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite. Démostratio : Hors programme Toute variable biomiale de paramètre, p) peut être cosidérée comme la somme de variables aléatoires de Beroulli de paramètre p mutuellemet idépedates. O a doc S = X k où X k est ue variable de Beroulli de paramètre p. Comme les variables de k=1 Beroulli admettet ue espérace p et ue variace pq, le théorème de la limite cetrée s applique bie et il ous doe le résultat demadé. E pratique : O cosidère que pour 30, p 5 et q 5, o peut approcher la loi B,p) par la loi Np,pq). E exercice, o se ramèera plutôt au fait que la loi de X peut être approchée par la loi N0,1). Correctio de cotiuité : Si S suit ue loi B,p) avec et p tels que o peut approcher S par N qui suit la loi Np,pq), o devrait écrire : k [0;], PS = k) PN = k) mais comme N est ue variable à desité, o a PN = k) = 0, doc otre approximatio ci-dessus est pas boe. O écrira plutôt : PS = k) Pk 0,5 < N < k +0,5) et o appelle cela utiliser la correctio de cotiuité. Exemple 7: Soit X ue variable qui suit la loi B900;0,5). O cherche à calculer P405 X 495). Pour le calcul exact, il ous faudrait calculer des combiaisos avec de très grad ombres, ce qui écessite u ordiateur et e doe parfois qu ue valeur approchée. O remarque ici que l o est das les coditio où l o peut approcher otre loi biomiale par ue loi ormale N450,225) car 900 > 30 et 900 0,5 = 450 > 5. Cepedat pour la loi ormale N450,225) il est toujours pas facile de calculer P405 X 495) car o e coait pas la foctio de répartitio d ue loi ormale quelcoque. Nous somme doc obligé de ous rameer à la loi ormale cetrée réduite e ous itéressat à la variable cetrée réduite associée à X. O a X = X et o a doc que la variable X suit approximativemet la loi ormale cetrée réduite. De plus P405 X 495) = P 3 X 450 ) 3 = P 3 X 3). Doc o a : 15 P405 X 495) Φ3) Φ 3) Φ3) 1 Φ3)) 2Φ3) 1 0,9974 O verra e exercice que das le cas du calcul de Pa X b) il est pas forcémet écessaire d appliquer la correctio de cotiuité, mais o peut parfois vous le demader. Probabilités : Chapitre 5 Page 8 Covergeces et approximatios

9 4 Approximatio d ue loi de Poisso par ue loi ormale Théorème 8 Soit α u réel strictemet positif et S ) N ue suite de variable aléatoires telle que S suit la loi de Poisso Pα). Alors la suite de variable aléatoire S = S α α coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite. Démostratio : Hors programme Toute variable de Poisso de paramètre α peut être cosidérée comme la somme de variables aléatoires de Poisso de paramètre α mutuellemet idépedates. O a doc S = X k où X k est ue variable de Poisso de paramètre α. Comme les variables de k=1 Poisso admettet ue espérace α et ue variace α, le théorème de la limite cetrée s applique bie et il ous doe le résultat demadé. E pratique : O cosidère que pour λ 18 o peut approcher la loi Pλ) par la loi Nλ,λ). Correctio de cotiuité : Tout comme précédemmet il e faut pas oublier d appliquer, si écessaire, la correctio de cotiuité. Exemple 8: Ici ecore pour de grades valeurs de λ, la calcul de PX a) pourra écessiter l utilisatio d u ordiateur. Si o cosidère X qui suit ue loi de Poisso de paramètre 64 que l o cherche à calculer PX 74), o a itérêt à approcher la loi de X par la loi N64,64) et doc X 64 suit la loi ormale cetrée réduite. O a doc X 64 PX 74) = P 8 8 ) 1,25 Φ1,25) 0,8944 Probabilités : Chapitre 5 Page 9 Covergeces et approximatios