GSE 1 EXGSE010 EXGSE019

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1 Exercices résolus de mathématiques. GSE 1 EXGSE010 EXGSE019 Jacques ollot 1 avril GSE 1-1 -

2 EXGSE010 Liège, septembre Soit D un tétraèdre ; On désigne par I, J, K, L les milieux de,, D et D. Démontrer que a) si est perpendiculaire à et D, il est aussi perpendiculaire à IK. b) Si en outre = D, IK est perpendiculaire à JL. I L D J K a) uisque I, J, K, L sont les milieux de leur segment respectif, le plan IJKL est parallèle à D, qui est perpendiculaire à. (En effet IL est // à D et KJ est // à D). our les mêmes raisons, le plan I JKL est aussi parallèle à qui est aussi perpendiculaire à. est au plan IJKL IK. Note : On peut résoudre la question par analyse vectorielle. En vertu de l'hypothése,. +.D = 0 Or 0. I + IK + K +. I + IK + KD =.I +.I + 2.IK +.K +.KD.I.I et.k.kd.ik 0 IK - GSE 1-2 -

3 b) Les triangles IJ et sont semblables I J IJ 1 Les triangles IL et D sont semblables I L IL 2 D D or les rapports 1 et 2 sont égaux car I est le milieu de donc comme D (par hypothèse), on déduit que IJ IL. utrement dit, I est sur la médiatrice de JL On peut refaire le même raisonnement, pour les deux autres faces d'où on déduira que K est aussi sur la médiatrice de JL. ar conséquent : IK JL odifié le 19 juin 2006 (eriem) - GSE 1-3 -

4 EXGSE011 Liège, juillet Soit D un tétraèdre. On désigne par le point d intersection des médiatrices du triangle, par d la perpendiculaire au plan passant par p, par Q le point d intersection des médiatrices de D et par d la perpendiculaire au plan D passant par Q. Démontrer que d et d sont sécantes et caractériser leur point d intersection. En déduire que les perpendiculaires à chaque face passant par le point d intersections des médiatrices de celle-ci sont concourantes. d' d N Q D a) d au plan d Soit N la médiatrice de. omme N plan dn Soit de même le plan d ' QN, on en déduira aussi que plan d ' QN ar conséquent les plans dn et d ' QN sont identiques. d et d' sont coplanaires, donc sécantes et se coupent en. b) est équidistant de, et puisque d est équidistant de,, et D puisque d ' est donc equidistant de tous les sommets. 'est donc le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. On en déduit immédiatement que les perpendiculaires de chaque face passant par le point d'intersection des médiatrices passent par. - GSE 1-4 -

5 EXGSE012 Liège, juillet Soit D D un parallélépipède. Démontrer que le plan passant par les milieux, N et des arêtes, et passe aussi par les milieux Q, R et S des arêtes D, D et. H N D S ' ' Q=Q' ' R D' Les plans N et SRQ sont parallèles. Il suffit de démontrer qu'ils ont un point commun. onstruisons l'intersection du plan N avec le parallélepipède. Soit H N D NH N H De même, traçons H qui coupe D ' ' en Q '. H ' Q ' ' Q ' H ar conséquent, Q ' est le milieu de D ' ' et donc confondu avec Q. Les deux plans ont donc un point commun et le plan N passe par SRQ - GSE 1-5 -

6 EXGSE013 Liège, septembre Soit un prisme. Démontrer que les triangles et ont même centre de gravité. G N ' ' ' Soit ' '. ( est le milieu de ' et ' ) est médiane des triangles ' et '. Soit une deuxième médiane du triangle ', qui détermine 1 G centre de gravité du triangle G. 3 ette relation est conservée dans le triangle '. ar conséquent, G est le centre de gravité des deux triangles. - GSE 1-6 -

7 EXGSE014 Liège, septembre Soit S un tétraèdre tel que les arêtes S, S et S soient perpendiculaire deux à deux. La perpendiculaire abaissée de sur coupe en. Démontrer que S est perpendiculaire à et que tout plan perpendiculaire à est parallèle à S. S a) S plan S aussi à S plan S Et donc S b) Si est à S, tout plan à est // au plan S et donc // à S. Note. On a aussi par analyse vectorielle : S. S S S S S car 0 S S S S 0 S - GSE 1-7 -

8 EXGSE015 Liège, septembre Un tétraèdre D est coupé par un plan p suivant un rectangle. Démontrer que le tétraèdre a un couple d arêtes opposées parallèles à et orthogonales l une à l autre et que la droite joignant les milieux de ces arêtes passe par le point d intersection des médianes du triangle. S I E G V N H O D R a) Le dièdre D / D est coupé par le plan selon deux droites parallèles D // // ND (voir note). De même, pour l'autre dièdre N // O // Or N D N et comme N // D D - GSE 1-8 -

9 b) Soit le SD dont SR est une médiane. Soit EV une des médianes du rectangle NO. EV plan SD puisque E S et V SD (En effet, par exemple pour E, les triangles N et sont semblables, puisque N // et donc E est homothétique de S). EV et SR se coupe en G, point de percée de SR dans le plan du rectangle. De plus EG GV. (En effet, on a ici aussi deux triangles semblables : SEV et SD) ême chose pour l'autre médiane. Soit le R dont SR est aussi une médiane. Soit IH l'autre médiane du rectangle NO IH plan R puisque H R et I R. IH et SR se coupe aussi en G, et HG GI onclusion : G est le point d'intersection des médianes et SR passe par G. Note Si un dièdre ( ) est coupé par un troisième plan selon deux droites parallèles ( d et d ), alors i est parallèle à d et d, et à En effet, soit un point de d (dans ), et un point de d 2 2 Si i n'est pas parallèle à d, alors ils ont un point commum : H. Or H appartient aux trois plans. 1 H est alors l'intersection de et, et H n'est autre que d (dans ). utrement dit, d et d ont un point commun, ce qui est impossible. ar conséquent, i // d // d et i // GSE 1-9 -

10 EXGSE016 Liège, Soient p un plan et,, trois points non alignés de. On fixe différent de tel que soit perpendiculaire à. De on abaisse la perpendiculaire à la droite qui coupe en. Démontrer que les plans et sont perpendiculaires et que la perpendiculaire au plan passant par rencontre la droite. ' H ' ' or ' plan ' ar conséquent : plan ' plan ' La perpendiculaire H au plan ' est contenue dans le plan ' H rencontre '. - GSE

11 EXGSE017 Liège, Soit un tétraèdre D tel que = D et = D. Démontrer que D est orthogonal à et que les hauteurs du tétraèdre issues de et de D sont coplanaires. K I J H D a) Le plan, déterminé par et, respectivement médianes des triangles isocèles D et D, est perpendiculaire à D D ar analyse vectorielle, on a également D D D D D D 0 D b) Le plan ID est au plan D donc à. DI coupe en K, et DK est une hauteur du triangle D. De même le plan DJ est au plan donc à. Et comme les triangles et D sont égaux J coupe aussi en K I et DJ sont coplanaires. - GSE

12 EXGSE018 Liège, onsidérons deux triangles non coplanaires et ''' tels que les droites déterminées par et 'b' soient sécantes, ainsi que celles déterminées par et '', et et. Démontrer que : a) Les trois points d'intersections sont colinéaires. b) Les droites ', ' et ' sont parallèles ou concourantes. ' X ' N ' ' est le théorème de Desargues dans l' espace. a) Les points N sont colinéaire s. En effet, La droite N est l' intersecti on des plans et ' ' '. b) Les droites sont concourantes ou parallèles car : ' est l' intersecti on des plans ' et ' est l' intersecti on des plans N' et ' ' est l' intersecti on des plans ' et ' es plans sont les trois Si le point X se trouve à l' infini, on a alors un prisme,dont les arètes sont parallèles. N' faces d' un tétraèdre dont les arètes se coupent en X. - GSE

13 EXGSE019 ons, questions-types hoisir les quatre sommets d un cube de telle sorte qu ils soient les sommets d un tétraèdre régulier. Le dessin donne une des possibilités. haque arète est égale à a 2, où a désigne le côté du cube. 'est donc bien un tétraèdre régulier. - GSE