Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD

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1 Chapitre 1 Arithmétique Partie 5 : PGCD Propriété/Défiitio : (PGCD) O se doe deux etiers relatifs a et b o uls. L esemble des diviseurs positifs commus à a et b admet u plus grad élémet que l o PGCD a ; b. otera ( ) Soit A l esemble des diviseurs positifs de a et B celui des diviseurs positifs de b. O sait que A et B admettet u ombre fii d élémets (c.f. propriété 1 de la partie divisibilité) (P1) L esemble des diviseurs positifs commus à a et b est l esemble C= A B. C est o vide et cotiet l etier 1, il cotiet de plus u ombre fii d élémets par (P1), par suite C cotiet u plus grad élémet ce qui démotre otre propriété. Exemple : E preat a = 27 et b = -3. L esemble des diviseurs positifs de a est { 1; 3; 9 ; 27} celui des diviseurs positifs de b est B= { 1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ;1 ;15 ; 3}. L esemble des diviseurs positifs commus à a et b est C A B { 1; 3} élémet est 3, doc PGCD( 27 ; 3) = 3. A=, = =, so plus grad Propriétés 1 : O se doe deux etiers relatifs a et b o uls. Alors PGCD( a ; b) PGCD( a ; b) =. Comme a et a aisi que b et b ot même esemble de diviseurs positifs, ils ot le même PGCD. Remarque : La propriété précédete ous permet de restreidre l étude du PGCD de deux etiers relatifs à celle de leurs valeurs absolues. E vertu de ceci, toutes les propriétés suivates serot doées pour a et b etiers aturels. Propriétés 2 : O se doe deux etiers aturels a et b o uls. Alors : 1 PGCD a ; b ( ) PGCD( a ; b) = PGCD( b ; a) PGCD( 1; a ) = 1 PGCD( a ; a) = a ( ; ) et ( ; ) PGCD a b a PGCD a b b Si b divise a alors PGCD( a ; b) = b TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 1

2 Le premier poit découle du fait que 1 est u diviseur positif commu à a et b, PGCD a ; b est plus grad que celui-ci. doc par défiitio ( ) Le deuxième poit est évidet. Comme l esemble des diviseurs positifs de 1 est B= {} 1 et puisque 1 est diviseur de a alors le seul diviseur commu à 1 et a est{} 1 ce qui démotre le troisième poit. Puisque tout diviseur positif de a est iférieur à a et puisque clairemet a divise a, alors le plus grad diviseur commu à a et a est a ce qui motre le quatrième poit. L esemble A des diviseurs positifs de a admet a comme plus grad élémet et comme PGCD a ; b a. celui des diviseurs commu à a et b est coteu das A alors ( ) O motre de même que PGCD( a ; b) b. Si b divise a et comme clairemet b divise b, b est diviseur commu à a et b. Aisi b PGCD( a ; b) par défiitio même du PGCD. Maiteat d après la propriété précédete PGCD( a ; b) b. O coclut doc que b= PGCD( a ; b). Exemple : 7 est u diviseur de 21 doc PGCD (7 ; 21) = 7 Avat de cotiuer ous auros besoi du résultat suivat : Théorème de Bachet / Bezout : (Admis) Soiet a et b deux etiers aturels o uls. d = PGCD a ; b alors il existe alors u et v etiers relatifs tels que d = au+ bv Si ( ) ou autremet dit PGCD( a ; b) est combiaiso etière de a et b. Remarquos que PGCD( a ; b) divise a et PGCD( a ; b) divise b doc PGCD( a ; b) divise toute combiaiso etière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2) l esemble des combiaisos etières de a et b dot le résultat est positif. H est o vide, e effet quitte à predre u = 1et v =, o a au + bv = a> car a est etier aturel o ul. Aisi H est ue partie den o vide et cotiet des élémets strictemet positifs, elle admet doc u plus petit élémet strictemet positif oté m qui est doc ue combiaiso etière de a et b, e ce ses posos m= au+ bv> (*) avec u et v etiers relatifs. PGCD a ; b divise m et Posos H = { au + bv ; a Z ; b Z avec au + bv } O e déduit par le premier poit de otre démostratio que ( ) doc PGCD( a ; b) m (P1) (voir propriété 1 de la partie divisibilité). Maiteat effectuos la divisio euclidiee de a par m, o obtiet alors l existece de deux etiers aturels q et r tels que a= mq+ r avec r< m et doc par (*) : a= ( au+ bv) q+ r avec r< m r= ( 1 qu) a+ ( vq) b avec r< m. Z r est doc ue combiaiso etière de a et b dot le résultat est positif et est strictemet Z TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 2

3 plus petite que m doc r H r= par défiitio même de m. Par suite m divise a. O motre de même que m divise b. PGCD a ; b m ce qui combié avec Fialemet m est u diviseur commu à a et b et doc ( ) (P1) et (*) doe PGCD( a ; b) m au bv avec u et v etiers relatifs = = + ce qu o voulait motrer. Remarque : Le théorème de Bachet / Bezout est u théorème d existece, il e doe aucue méthode pratique permettat de détermier les coefficiets u et v. Celle-ci sera exposée das la partie suivate (ombres premiers etre eux). La réciproque de ce théorème est fausse e gééral : ce est pas par ce qu u etier aturel d peut s écrire sous la forme d = au+ bv avec u et v etiers relatifs que l o peut e déduire que d = PGCD( a ; b). Par exemple : 12 = 5 ( 8) + 7 ( 4) mais 12 PGCD( 5;7). d a b u v Nous aboutissos désormais au très importat : Théorème fodametal : Esemble des diviseurs commus de deux etiers (Admis) Soiet a et b deux etiers aturels o uls. PGCD a ; b L esemble des diviseurs commu à a et b est l esemble des diviseurs de ( ) O cosidère u diviseur d commu à a et b. d divise toute combiaiso etière de a et b (voir la partie divisibilité, propriété 2). PGCD a ; b est combiaiso etière de a et b Par le théorème de Bachet/Bezout, ( ) doc d divise PGCD( a ; b ). Maiteat si d est u diviseur de ( ; ) PGCD a b et comme ( ; ) PGCD a b divise a aisi que b alors d est u diviseur commu à a et b (voir le quatrième poit de la propriété 3/ du cours sur la divisibilité). CQFD. Propriété 3 : Théorème d Euclide (Démostratio exigible) Soiet a et b deux etiers aturels o uls. Soiet q et r le quotiet et le reste de la divisio euclidiee de a par b Si r = alors PGCD (a ; b) = b Si r alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) Si r =, alors b divise a et le résultat découle du derier poit de la propriété 2. Si r, o a par divisio euclidiee a= b q+ r avec q et r etiers aturels. Comme PGCD (a ; b) divise a et b, il divise la combiaiso etière r= a b q. Il s e suit que PGCD (a ; b) divise b et r et est doc u diviseur commu à b et r. Par défiitio du PGCD, o déduit que PGCD (a ; b) PGCD (b ; r) (1). TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 3

4 De maière aalogue, PGCD (b ; r) divise b et r et divise doc la combiaiso etière b q+ r et doc divise a, il s e suit que PGCD (b ; r) divise b et a et aisi PGCD (b ; r) divise PGCD (a ; b). O coclut que PGCD (a ; b) PGCD (b ; r) (2) d où otre résultat e combiat (1) et (2) Exemple : Pour trouver le PGCD de 1533 et 36, o peut écrire la divisio euclidiee de 1533 par 36 : 1533 = O e déduit alors PGCD (1533 ; 36) = PGCD (36 ; 3) Il est immédiat que PGCD (36 ; 3) = 3 car 3 divise 36. Doc PGCD (1533 ; 36) = 3 Propriété 4 : Détermiatio pratique du PGCD, Algorithme d Euclide. (Admis) Soiet a et b deux etiers aturels o uls. O défiit la suite( r) d'etiers aturels de la faço suivate : r = b et r 1 est le reste de la divisio euclidiee de a par b Pour 1 : si r, o défiit r + 1 comme le reste de la divisio euclidiee de r 1 par r Alors il existe u etier tel que r et r + =. 1 O a alors PGCD(a ; b) = r Si 1 r = alors b divise a et PGCD( a b) b r ; = = d après le derier poit de la propriété 2. Existece du rag : si r, comme r + 1 est le reste de la divisio euclidiee de r 1 par r, alors r+ 1< r. O géère doc ue suite r ; r 1 ;...; r ;... strictemet décroissate d etiers aturels et par coséquet il existe u etier tel que r et r + =. 1 Par le théorème d Euclide, tat que r, PGCD a ; b = PGCD a ; r = PGCD r ; r = PGCD r ; r ( ) ( ) ( ) ( ) Car r= b Car a= b q+ r1 Car r= r1 q1+ r2 a= r q+ r1 par costructio par costructio et e utilisat le et e utilisat le théorème d ' Euclide théorème d ' Euclide ( 2 1) ( 1 ) =... = PGCD r ; r = PGCD r ; r. Car r 2= r 1 q + r 1 par costructio et e utilisat le théorème d ' Euclide Maiteat : r + = doc par costructio, r 1 divise 1 PGCD r r r d après le derier poit de la propriété 2. O coclut que PGCD(a ; b) = r. CQFD. r et par suite ( ; 1 ) = Remarque : E effectuat aisi des divisios euclidiees successives : de a par b, puis du diviseur par le reste,... le derier reste o ul est le PGCD de a et de b. C'est l'algorithme d'euclide. Suivat les ombres a et b, le ombre d'itératios à effectuer peut être plus ou mois grad. Sachat que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a) o aura toujours itérêt à predre b a. TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 4

5 Exemple : Pour détermier le PGCD de et de 126 Pour détermier le PGCD de et de 657 écrivos les divisios euclidiees successives : écrivos les divisios euclidiees successives : = 126 x = 657 x = 2 x = 537 x = 12 x Doc PGCD(41258 ; 126) = 2 12 = 57 x = 6 x = 3 x 2 + Doc PGCD(15648 ; 657) = 3 PGCD ( ; 657) Reste ul : arrêt de l algorithme Programmatio de l algorithme d Euclide avec ue calculatrice Pour obteir "? ou IF The Else IfEd while It Taper puis sélectioer " Taper Exe Taper Shift Taper Shift com Taper OPTN um INT et = Taper Shift REL Lbl goto Casio Taper Shift JUMP puis sélectioer Lbl ou goto : Taper Shift Aller das le meu Sélectioer New "A" :? A "B" :? B 1 R While R > It (A B) Q A - B Q R "Q" : Q "R" : R B A R B WhileEd "PGCD=" : A Programme Texas : Iput "A? ", A : Iput "B? ", B : 1 R : While R > : it (A/B) Q : A-B Q R : Disp "Q", Q : Pause : Disp "R", R : Pause : B A : R B : Ed : Disp "PGCD =", A TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 5

6 Propriété 5 : Soiet a et b deux etiers aturels o uls et k u etier relatif o ul PGCD ka ; kb = k PGCD a ; b O a alors : ( ) ( ) Si k est u etier aturel o ul : Par le théorème de Bachet/Bezout il existe deux etiers relatifs u et v tels que : PGCD a ; b au bv k PGCD a ; b = ka u+ kb v. ( ) = + et e multipliat par k : ( ) ( ) ( ) Comme maiteat PGCD( ka ; kb) divise la combiaiso etière( ka) u+ ( kb) v, alors PGCD( ka ; kb ) divise k PGCD( a ; b) qui est etier aturel. O e déduit que PGCD( ka ; kb) k PGCD( a ; b) (1). Esuite, PGCD( a ; b) divise a et b doc k PGCD( a ; b) est u diviseur commu à ka et kb (voir le ciquième poit de la propriété 3 de la partie divisibilité) Par défiitio du PGCD o obtiet k PGCD( a ; b) PGCD( ka ; kb) ce qui combié avec (1) démotre le résultat aocé. Si k est u etier relatif o ul : PGCD ka ; kb = PGCD ka ; kb = PGCD k a ; k b, o obtiet le résultat e utilisat ce Comme ( ) ( ) ( ) Propriété1 qui viet d être précédemmet démotré puisque k est etier aturel o ul. EXERCICES SUR LE PGCD Exercice 1 Détermier a/ PGCD(23452; 3) b/ PGCD(8415 ; 5) c/ PGCD(3216 ; 6) Exercice 2 Démotrer que le PGCD de deux etiers aturels o uls et cosécutifs est égal à 1. Exercice 3 E utilisat l'algorithme d'euclide détermier : a/ PGCD (567 ; 14) b/ PGCD (2376 ; 13475) Exercice 4 Trouver le PGCD de et E déduire l'écriture de la fractio sous la forme d'ue fractio irréductible Exercice 5 PGCD 3+ 4 ; + 1 Soit u etier aturel. Détermier suivat les valeurs de ( ) Exercice 6 Soit u etier aturel, o ote : a 2 8 et b / Démotrer que pour tout etier aturel,δ divise 6. = + = +. O pose PGCD( a; b) δ =. TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 6

7 2/ Détermier l esemble des etiers aturels pour lesquelsδ = 6. Exercice 7 Soit u etier aturel. Détermier suivat les valeurs de : PGCD( ; 1) Exercice 8 Détermier l'esemble des diviseurs commus à 656 et 312 Exercice 9 Soiet a et b deux etiers aturels o uls tels que b < a Démotrer que PGCD (a ; b) = PGCD (a - b ; b) E utilisat cette propriété, détermier PGCD (3587 ; 2743) Exercice 1 Soit p u etier aturel. O sait que (p) et (p). Détermier p. Exercice 11 O dispose d'ue plaque rectagulaire dot les dimesios sot 735 mm sur 54 mm O veut découper das cette plaque des carrés de coté x mm ( x N ), sas qu'il y ait de perte de matière. Détermier les valeurs de x pour lesquelles o peut réaliser u tel découpage. Quelle est la valeur de x maximale et quel est das ce cas le ombre de carrés découpés. Exercice 12 1/ Détermier le PGCD d des ombres a = 442 et b = / Détermier les restes de la divisio par 5 des etiers : 12 d, 12 a, 12 b. Exercice 13 Détermier tous les couples (a ; b) d'etiers aturels o uls tels que PGCD (a ; b) = 14 et a b = 294 Exercice 14 Détermier tous les couples (a ; b) d'etiers aturels o uls tels que PGCD(a ; b) = 56 et a + b = 224. Exercice x y = 5 Détermier tous les couples d etiers aturels o uls (x ; y) tels que PGCD( x ; y) = 8 TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 7