MOUVEMENT UNIFORME ET UNIFORMEMENT VARIE

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1 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ MOUVEMENT UNIFORME ET mv uniforme e uniformemen I. Domaine d applicaion de ce cours Ce chapire sera relaif d une par à l éude des sysèmes maériels «S» en mouvemen : DE TRANSLATION RECTILIGNE par rappor à un référeniel «R» E d aure par au sysèmes maériels en mouvemen de DE ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE II. Sysème maériel en mouvemen de ranslaion reciligne ) Définiion. Un sysème maériel «S» es en mouvemen de ranslaion reciligne par rappor à un référeniel «R» : Lorsque «S» se déplace parallèlemen à lui-même. Lorsque la rajecoire de chaque poin à «S» es un segmen de droie. Leur direcion es la même que celle du mouvemen de «S/R» Origine du repère Sysème maériel «S» O Insan Insan ) Remarque : Afin de simplifier les calculs, nous adoperons une convenion relaive à la disposiion de la base dans laquelle nous donnerons l epression des différens veceurs Convenion : Le veceur uniaire de la base (, yz, ) sera parallèle au mouvemen de «S/R» e il sera oriené dans le sens du déplacemen de «S/R».

2 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ mv uniforme e uniformemen Dans ous les cas, les sysèmes maériels seron en mouvemen de ranslaion reciligne de direcion ) Posiion, viesse e accéléraion de «S/R» a) La posiion de «S/R» Elle es donnée à chaque insan par les rois bipoins équipollens ci-dessus Eemple : A l insan, la posiion de «S/R» es donné par : ( ) AA = BB = CC R b) La viesse de «S/R» Elle es donnée à chaque insan par les rois veceurs viesses égau cidessus Eemple : A l insan, la viesse de «S/R» es donné par : '( ) VA S / R = VB S / R = VC S / R R c) L accéléraion de «S/R» Elle es donnée à chaque insan par les rois veceurs accéléraion égau ''( ) ΓA S/ R = ΓB S/ R = ΓC S/ R R

3 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ 4) Eude d un «S/R» en mouvemen de ranslaion reciligne mv uniforme e uniformemen Nous ne considérerons plus le mouvemen d un poin du «SM» mais le mouvemen du «SM» lui-même ce qui revien au même Un mouvemen compore un insan de débu e un insan de fin. La différence de ces deu insans définie la durée du mouvemen. Ce mouvemen comporera aussi des insans inermédiaires correspondan à des changemens de naure du mouvemen. Eemple : Insan de passage d un mouvemen ou la viesse de «S» es consane à un mouvemen ou «S» accélère. Remarque : Une éude de cinémaique ne sera pas oujours menée sur la oalié du mouvemen, mais parfois enre deu insans pariculiers ou deu posiions pariculières du «SM». a) Règles à respecer Une éude commencera TOUJOURS à un INSTANT = s Ce insan correspond au déclanchemen du chronomère A ce insan : o La posiion de «S/R» ( ) sera noée n es pas nécessairemen égal à m o La viesse de «S/R» '( ) sera noée ' ' n es pas nécessairemen égal à m/s Les insans pariculiers suivans seron numéroés dans l ordre croissan de leur relevé sur les emps inermédiaires du chronomère. Eemple : Pour un mouvemen don l insan de débu es = s, on relève des insans inermédiaires pariculiers à.5s puis 5.68s e 8.s insan de fin du mouvemen. Ces insans seron noés de la façon suivane = s ; =.5s ; = 5.68s ; = 8.s er emps inermédiaire ème emps inermédiaire ème emps inermédiaire

4 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 4 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ A chacun de ces insans pariculiers correspondra : mv uniforme e uniformemen Une posiion pariculière : o A =.5scorrespondra une posiion de «S/R» ( ) noée o A = 5.68scorrespondra une posiion de «S/R» ( ) noée o A = 8.scorrespondra une posiion de «S/R» ( ) noée Une viesse pariculière o A =.5scorrespondra une viesse de «S/R» '( ) noée ' o A = 5.68scorrespondra une viesse de «S/R» '( ) noée ' o A = 8.scorrespondra une viesse de «S/R» '( ) noée ' On appellera le emps couran sur le cadran du chronomère. C es la variable de oues les équaions de mouvemen () ; '( ) 5) Mouvemen de ranslaion reciligne uniforme e uniformémen varié. Le mouvemen d un «SM» sera composé d une succession de mouvemen élémenaire de naure différene. Dans ous les cas, L ACCELERATION du «SM» sera CONSTANTE. Trois cas son possibles : a) ACCELERATION CONSTANTE ET POSITIVE ''( ) = ce. «S» sera en MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMEMENT ACCELERE (noé M.T.R.U.A) Dans cee PHASE siuée enre deu insans i e i + o La viesse augmene proporionnellemen au emps. b) ACCELERATION CONSTANTE ET NULLE ''( ) = ce=. «S» sera en MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME (noé M.T.R.U) Dans cee PHASE siuée enre deu insans i e i + o La viesse es consane (donc indépendane du emps).

5 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 5 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ mv uniforme e uniformemen c) ACCELERATION CONSTANTE ET NEGATIVE ''( ) = ce. «S» sera en MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMEMENT DECELERE (noé M.T.R.U.D) Dans cee PHASE siuée enre deu insans i e i + o La viesse diminue proporionnellemen au emps. 6) Equaions générales de mouvemen. Déerminaion des équaions donnans la viesse '( ) e la posiion () d un sysème maériel avec une accéléraion consane ''( ) =consane. Méhode : Inégrons une première fois ''( ) pour obenir '( ) e déerminons la consane d inégraion. Inégrons à nouveau '( ) pour obenir () e déerminons la seconde consane d inégraion. a) Déerminons '( ) '( ) = "( ) d avec ''( ) = consane quel que soi () e noé " '( ) = " + c c : ère consane d inégraion. Déerminaion de c. Ecrivons l équaion '( ) à l insan = '( ) = " + c avec '( ) noé ' D où c = ' L équaion générale donnan la viesse de «S/R» en foncion du emps es : '( ) = " + ' s

6 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 6 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ b) Déerminons () () = '() d avec '( ) = ". + ' mv uniforme e uniformemen ". () = ( ". + ') d () = + '. + c c : ème consane d inégraion. Déerminaion de c. Ecrivons l équaion () à l insan = s ". ( ) = + '.+c mais ( ) es noé = + + c c = L équaion générale donnan la posiion de «S/R» en foncion du emps es : = + + () ". '. c) Résulas Chaque mouvemen élémenaire sera défini en adapan les rois équaions générales au mouvemen pariculier de la phase éudiée. Le bu es d arriver à l écriure des rois équaions pariculières décrivan eacemen le mouvemen élémenaire de la phase éudiée. Sachan qu un mouvemen comporera auan de PHASE que de mouvemen élémenaire différen, il sera nécessaire de déerminer n équaions pariculières pour définir la oalié du mouvemen (si «n» es le nombre de phase). ATTENTION. La variable des équaions ci-dessus correspond au emps mesuré à parir du débu de la phase éudiée. Pour la phase, correspond bien au emps indiqué par le chronomère or pour les phases suivanes, la phase par eemple, correspond au débu de la phase, (différen de l affichage du chronomère). Pour évier ce problème c'es-à-dire pour que la variable corresponde oujours à l indicaion du chronomère ou au long du mouvemen, les équaions générales son modifiées.

7 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 7 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ mv uniforme e uniformemen Les équaions générales définissan un mouvemen uniformémen varié son les suivanes : A CONNAÎTRE PAR CŒUR Equaion de posiion de «S/R» Equaion de viesse de «S/R» () = "( ) + '( ) + '( ) = "( ) + ' Equaion de l accéléraion de «S/R» ''( ) = ce d) Définiions : Posiion de «S/R» à l insan du débu de la phase éudiée. (Posiion iniiale dans la phase éudiée) ' : Viesse de «S/R» à l insan du débu de la phase éudiée. (Viesse iniiale dans la phase éudiée) : Insan du débu de la phase éudiée '' : Accéléraion de «S/R» pendan la durée de la phase éudiée. " : es accompagnée d un indice correspondan au numéro de la phase éudiée. Dans la phase, l accéléraion sera noé " : C es la variable de chacune des rois équaions, il correspond au emps affiché par le chronomère, ce emps es mesuré par rappor au débu du mouvemen c'es-à-dire.

8 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 8 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ 7) Déroulemen d une éude de cinémaique. mv uniforme e uniformemen a) Problème : Vérin de serrage On cherche à éudier la cinémaique de la sorie de ige d un vérin de serrage (ranslaion). Sur le graphe ci-après, la courbe de viesse simplifiée nous indique commen se compore la ige de vérin. v V ma Phase Phase Phase Courbe de viesse réelle Courbe de viesse simplifiée Données : -La viesse maimale de la ige es de 5 mm/s. -La phase du mouvemen dure,5 s. -Pendan la phase la ige parcoure 5 mm -La phase du mouvemen dure,6 s. Le mouvemen de la ige es décomposé en mouvemens élémenaires différens qui consiuen phases différenes Phase pour compris enre e Phase pour compris enre e Phase pour compris enre e b) Eude de la phase < < Naure du mouvemen de «S/R» dans cee phase. «S» es en M.T.R.U.A. (Mouvemen de ranslaion reciligne uniformémen accéléré)

9 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET 9 / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ Condiions iniiales. mv uniforme e uniformemen = s = mm ' = mm/s =.5 s =? ' = 5 mm/s Equaions générales. '' = ce =? () = "( ) + '( ) + '( ) = "( ) + ' ''( ) = ce Equaions pariculières. Adapons les équaions générales à la phase de nore problème. L accéléraion s appelle '' ou au long de la phase. L insan du débu de la phase éudiée es = s La posiion iniiale de la phase es = m La viesse iniiale de la phase es ' =mm/s Eliminons oues les valeurs nulles des équaions générales pour en faire des équaions pariculières () = " '( ) = " ''( ) = " = ce Résoluion des équaions à l insan de fin de phase c'es-à-dire à l insan Remplaçons par 5 '( ) = ' = " 5 = ".5 " = = mm / s.5 ( ) = = " ( ) = =.5 =.5mm Résulas : L accéléraion de la ige dans la phase es " = mm / s A l insan la ige à parcourue une disance =.5mm

10 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ c) Eude de la phase < < Naure du mouvemen de «S/R» dans cee phase. mv uniforme e uniformemen «S» es en M.T.R.U. (Mouvemen de ranslaion reciligne uniforme) Condiions iniiales. =.5 s =.5 mm ' =5 mm/s =? = = 6.5 mm ' = ' = 5mm/s '' = ce = mm/ s Equaions générales. () = "( ) + '( ) + '( ) = "( ) + ' ''( ) = ce Equaions pariculières. Adapons les équaions générales à la phase de nore problème. L accéléraion s appelle '' e '' = mm/ s ou au long de la phase. L insan du débu de la phase éudiée es =.5 s La posiion iniiale de la phase es =.5 mm La viesse iniiale de la phase es ' =5 mm/s Remplaçons oues valeurs ayans l indice «zéro» des équaions générales par l indice «un» e éliminons oues les valeurs nulles des équaions générales pour en faire des équaions pariculières () = '( ) + '( ) = ' ''( ) = " = ce= mm/ s Résoluion des équaions à l insan de fin de phase c'es-à-dire à l insan Remplaçons par ( ) = = ' ( ) = 5(.5) = +.5 = 4.8s 5 Résulas : L insan de fin de la phase es = 4.8s

11 TERMINALE S.T.I. MOUVEMENT UNIFORME ET / hp://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/ d) Eude de la phase < < Naure du mouvemen de «S/R» dans cee phase. mv uniforme e uniformemen «S» es en M.T.R.U.D (Mouvemen de ranslaion reciligne uniformémen décéléré) Condiions iniiales. = 4.8 s = 6.5 mm ' = 5mm/s = = 5.4 s =? ' = mm/s (fin de mouvemen) '' = ce =? Equaions générales. () = "( ) + '( ) + '( ) = "( ) + ' ''( ) = ce Equaions pariculières. Adapons les équaions générales à la phase de nore problème. L accéléraion s appelle '' ou au long de la phase. L insan du débu de la phase éudiée es = 4.8 s La posiion iniiale de la phase es = 6.5 mm La viesse iniiale de la phase es ' =5 mm/s Remplaçons oues valeurs ayans l indice «zéro» des équaions générales par l indice «deu». () = "( ) + '( ) + '( ) = " ( ) + ' ''( ) = " Résoluion des équaions à l insan de fin de phase c'es-à-dire à l insan Remplaçons par '( ) = ' = " ( ) + ' = " ( ) " = = 5mm / s.6 ( ) = = " ( ) + ' ( ) + = 5(.6) + 5(.6) Résulas : La posiion de la ige à la fin du mouvemen es = 657.5mm La décéléraion es " = 5 mm / s

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