La réduction des mesures de distances

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1 La réduction des mesures de distances 1. Le rayon de la spère locale En géodésie, la terre est considérée comme un ellipsoïde ; surface matématique la plus proce du géoïde pour une zone définie. En France, c'est l'ellipsoïde de IAG-GS 8 qui est transformé par la représentation LAMET pour donner la projection Lambert 93 et les projections Lambert Coniques Conformes. Les caractéristiques de cet ellipsoïde sont : - demi-grand axe : a = , m - demi-petit axe : b = , m - aplatissement = 1/98,57 11 Figure 1 : étermination des normales En un point T de l'ellipsoïde, toute section contenant la normale (perpendiculaire au plan osculateur en ce point) à l'ellipsoïde est appelée : section normale. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 1/

2 Il y a deux normales principales : a.1e - la section méridienne de rayon de courbure : JT 3 - la section perpendiculaire à la section méridienne dont le rayon de courbure est : a KT avec vaut = (1- e. sin ( est la latitude du point) a² b² Et e², e étant l'excentricité. a² Soit pour une latitude de 46 3, = m et = m. En topométrie courante, nous utiliserons la spère de courbure moyenne dont le rayon = m toujours avec = Cette valeur sera toujours arrondie à 638 km.. Assimilation des distances ous allons démontrer dans ce paragrape qu'en topométrie certaines distances proces les unes des autres peuvent être assimilées. C'est le cas pour les problèmes de spéricité ou de réfraction où il s'agira de confondre l'arc à la tangente ou à la corde..1. Assimilation de l'arc et de la tangente Sur la Figure ci-dessous, l'arc A' est la distance et est égal à.ô La tangente A est égale à. tan Ô En développant la tangente, nous obtenons : J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 /

3 Soit un écart entre l'arc et la tangente de A I ' Ô O Figure : assimilation des distances Or ˆ O ; d'ou il vient 3 e J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 3/

4 Soit un écart de : 3 e 3. Calcul fait en prenant comme valeur numérique = 1 km ; e 8 mm onc assimilation parfaitement logique en topométrie où les distances dépassent rarement 5 m... Assimilation de l'arc à la corde En reprenant la Figure la corde est égale à : Toujours en développant le sinus Oˆ A '.sin 3 5 Oˆ Oˆ ˆ ˆ 3 ˆ 5 O '..... ˆ O O A O ! 5! 4 19 e la même manière en calculant l'écart avec l'arc, il vient : ˆ 3 ˆ 5 ˆ 3 ˆ O O.... ˆ O e O O En remplaçant Ô par 3 e 4 Calcul fait en prenant comme valeur numérique = 1 km, on obtient e 1 mm onc également négligeable en topométrie. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 4/

5 3. Que dit la législation? La réduction d'une distance inclinée i à l'orizontale est incontournable. Cette réduction se fait, en général, au niveau de cacune des stations. Elle est imposée par le fait que l'on doit rendre un plan sous forme papier ou dématérialisé représentant une projection ortogonale du terrain. Ce rendu s'appelle souvent improprement "plan dans un système local" ou "plan local". Par contre le rattacement au système géodésique en vigueur n'est obligatoire que pour les levés de plans entrepris par les services publics. Les systèmes légaux à utiliser et les conditions minimales d'exécution sont donnés dans le décret n -176 du 6 décembre. Ce rattacement peut également être imposé par contrat. L'ordre des géomètres demande également à ses membres d'entreprendre ce rattacement lors des bornages. Le rattacement impose de réduire la distance au plan, à l'ellipsoïde puis au plan de projection. 4. éduction à l'ellipsoïde 4.1. Préambule Cette réduction va se faire en deux parties. ous allons tout d'abord partir d'une distance inclinée i et la réduire à l'orizontale par une formule de trigonométrie simple. Ensuite nous allons passer de la distance orizontale à la distance sur l'ellipsoïde par un rapport de rayons. La distance de départ i est supposée corrigée des conditions atmospériques (Ca exprimée en ppm) et d'étalonnage (constante additive CA) (Voir 6 et 7 du cours sur le distancemètre). Pour que le calcul de la réduction de la distance orizontale à la distance sur l'ellipsoïde se fasse correctement, il faut que les extrémités de la distance orizontale soient sur les mêmes normales (même angle au centre terrestre) que les extrémités de la distance ellipsoïdale. ans toutes les démonstrations nous parlerons de auteurs ellipsoïdales et non d'altitudes H sacant que : =H+ étant l'ondulation du géoïde c'est-à-dire la différence entre l'ellipsoïde et le géoïde. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 5/

6 4.. En fonction de l'angle zénital éduction à l'orizontale Comme dit précédemment, nous partons d'une distance inclinée corrigée. ous voyons que pour réduire la distance i à l'orizontale, il suffit de résoudre le triangle rectangle A'. Il vient : ẑ A ' Figure 3 : éduction à l'orizontale en fonction de l'angle zénital.sin ˆ i z formule 3.1 ẑ étant l'angle zénital corrigé de la collimation verticale. Application numérique : i =6,93m et =94,5 gon 6, 93 sin94,5 6,47 m 4... éduction à l'ellipsoïde ous venons de calculer la distance orizontale = A'. Sur la figure 4, cette distance est par construction égale à la distance A'. Cette même distance est égale, à un écart près négligeable en topométrie (voir ), à l'arc A 1 =. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 6/

7 A 1 A' ẑ 1 ' A " A A Ô O Figure 4 : éduction à l'ellipsoïde d'une distance orizontale En regardant la figure 4, nous pouvons établir la relation de proportionnalité : O. Attention les unités employées pour et pour doivent être les mêmes. ous pouvons également calculer le correctif permettant de passer de à J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 7/

8 c.. b b Soit c. Application numérique : Soit =6,47m; = 5m 638 6, 47 6, m 638,5 Ou en calculant la correction,5 c 6,47,47m soit C 6,47,47 6, m éduction à l'orizontale au niveau de la station Les appareils de topométrie ont un calculateur qui leurs permet de calculer la distance orizontale au niveau de la station et ramenée entre les normales. Sur la figure 5 ci-après, la distance orizontale est : A'=A"= Par ailleurs sur la figure 5, dans le triangle A', nous pouvons écrire : i sin ˆ sin ˆ Pour les angles nous avons : Aˆ zˆ ˆ zˆ - Oˆ ˆ Oˆ J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 8/

9 En remplaçant, il vient : sin ˆ ˆ sin ˆ ˆ i z O i z O ˆ cos ˆ sin O O ẑ ε ' A A " A r Ô Figure 5 : éduction à l'orizontale au niveau de la station Prenons une application numérique défavorable. i = 1,4 km ; ẑ = 8,86 gon ; = 1 km (auteur ellipsoïdale) J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 9/

10 Le module de réfraction atmospérique m.r.a est le rapport entre le rayon de courbure de la section normale en un lieu A, dans la direction de la visée A, et le rayon de courbure r du rayon lumineux A. m.r.a,16, cela donne pour ; r km r e ces valeurs on en déduit =, km et =, km ˆ coso cos, d où une réduction de la fraction sin ˆ ˆ i z O En développant le sinus sin ˆ cos ˆ cos ˆ sin ˆ i z O i z O sin ˆ O Oˆ et cos ˆ, O sin ˆ cos ˆ ˆ i z i z O ans les arcs de centre et Ô, nous avons : i ˆ et O Mais : i sin ˆ cos ˆ i z i z r r O i r r 13,4 1 15, ous voyons que ces valeurs sont écartées de radians et vont être supposées assimilables sacant que cela détériorera la précision de la distance réduite. e même ,51 L'écart est de,5.1-8, nous pouvons considérer ces deux valeurs comme , 1 égales. Il vient : J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 1/

11 Voir autre démonstration en annexe 1 sin ˆ cos ˆ i z i z r m.. r a sin ˆ cos ˆ i z i z m.. r a sin ˆ cos ˆ i z i z 1 m.. r a sin ˆ cos ˆ i z z sin ˆ i z 1 m.. r a sin ˆ i z sin ˆ i z 1 En reprenant l'application numérique des paragrapes 4..1 et 4.. : 6, 93 sin 94,5,16 6, 93 sin 94,5 1 6, 4 m 638 La réduction à l'ellipsoïde se fera de la même façon que dans le paragrape précédent, sauf qu'il faudra prendre la auteur ellipsoïdale de la station A et non du point visé.. A 638 6,4 6, m 638, 448 J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 11/

12 4.3. En fonction des altitudes éduction à l'orizontale ous allons voir dans un premier temps la réduction à l'orizontale en fonction de la dénivelée. Sur la Figure 6, " représente la dénivelée entre A et et " = = - A A et sont les distances verticales séparant les points du terrain de l'ellipsoïde et sont appelées auteurs ellipsoïdales. A 1 1 Ô A " ' Ô M A A Ô etour O Figure 6 : éduction à l'ellipsoïde en fonction des altitudes J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 1/

13 ous pouvons assimiler " et ', d où la distance orizontale A': A' est bien une distance orizontale car ' (assimilable à ") est au même niveau que A. ' " i i Application numérique : i A formule 3. Soit i =6,93m, A =448,6m ; =5m 6, 93 (5, 448, 6) 6, 45 m éduction à l'ellipsoïde Comme dit en introduction la distance A', n'est pas comprise dans l'angle Ô. Pour la mettre dans cet angle il faut la translater parallèlement à la normale OA. Cette translation nous amène à la distance A 1 1 égale à A'. Cette distance est à l'auteur ellipsoïdale moyenne M entre A et. Le triangle ' 1 étant isocèle, le point 1 est à mi auteur de ' donc par assimilation de ". e plus nous pouvons assimiler l'arc A 1 1 = à la corde, voir. où ' ous pouvons rentrer la relation suivante : M. m formule 3.3 Application numérique : Soit =6,45m ; m =474,3m 638 6, 45 6, m 638, 474 J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 13/

14 ous pouvons envisager le problème en calculant directement la distance ellipsoïdale à partir de la distance inclinée (voir en annexe ). 5. éduction au plan de projection Voir 5..5 du cours de géodésie. ans une projection conforme, ce qui est le cas en France, le module de réduction à la projection est le quotient entre une distance en projection r et la même distance sur l ellipsoïde. distance module d'altération= m r = = distance projection ellipsoïde r Le coefficient d altération linaire est le quotient de la différence entre une longueur sur le plan de projection r et une longueur sur l ellipsoïde par la longueur sur l ellipsoïde. coefficient d'altération = K r= mr-1= 1 r distance - distance - K r = = distance projection ellipsoïde r ellipsoïde Soit en isolant r Comme k r est donné en mm/km r = +.k r r 1 k 1 r 6 Avec r et en m, k r en mm par km. C est ce coefficient qui est le plus couramment rencontré, notamment dans le programme de l I.G.. "Circé ", sous la forme de millimètres par kilomètre. Il permet de calculer une distance en projection à partir d'une distance ellipsoïdale. Pour plus d'information consulter le site de l'ig ou le lexique topograpique. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 14/

15 Application numérique: Soit une distance sur l'ellipsoïde de 6, m et un coefficient d'altération linéaire de mm par km. Par le calcul du correctif : pour le calcul de la réduction, il faut exprimer kr en mètre par km soit,345 m/km et bien sur la distance d'application en km soit,6 km, le résultat sera alors en mètre et pour être apporté en correction à la distance. ous avons alors : En appliquant la formule directe : r = 6, + (-,345),6 r = 6,,7 = 599,793 m r = 6, (1 + ( )) r = 599,793 m 6. Calcul d'une distance d'implantation Il s'agit de déterminer une distance orizontale d'implantation. Pour cela, après avoir calculé une distance sur le plan de projection r il faut calculer d'abord une distance sur l'ellipsoïde et ensuite la distance orizontale. Cela revient à faire le calcul inverse. k k r 6 1kr r r r r 6 ous pouvons également utiliser la formule d'origine r 1 kr 1 coefficient d'altération linéaire avec le signe opposé. mais en prenant le Ensuite, nous ramenons la distance ellipsoïdale à l'orizontale de la station avec la formule S S La auteur ellipsoïdale S est la auteur de la station d'implantation au niveau des tourillons. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 15/

16 Application numérique: Soit une distance sur le plan de projection de 13,456 m et un coefficient d'altération linéaire de mm par km. Les tourillons de la station sont à une altitude de 515 m. Calcul de la distance ellipsoïdale en appliquant la formule directe : = 13,456 (1 - ( )) r = 13,5 m Calcul de la distance orizontale : 638, , 5 13, 51 m 638 J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 16/

17 Annexe 1 " α ẑ ε Ô A α ' H' H H H cos cos ˆ i z i cos ˆ ˆ i H H tan O cos ˆ tan - sin ˆ tan ˆ i z O i z O H cos ˆ -.. sin ˆ i z i m r a z i H -.. sin Le second membre de l'équation est négligeable d où : 3 ˆ ˆ i sin z cos z m r a i z ˆ r H sin ˆ cos ˆ i z z e même m.. r a i HH sin cos ˆ cos ˆ i z i z J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 17/

18 i HH m. r. a cos zˆ En reprenant i =14 m ; et ẑ=8,86 gon et m.r.a =,16 cela donne HH'= 3, m En multipliant par sinẑ : i HH m. r. a cos zˆ sin zˆ Ici après calcul : HH'="3, m ous avons un écart de 14 centièmes de millimètres pour un exemple défavorable. Cela va réduire la précision de la réduction de la longueur, mais par contre cela va permettre une mise en facteur. sin ˆ cos ˆ i z z i H =H HH= m. r. a cos zˆ sin zˆ Après mise en facteur, nous obtenons l'élément correctif sin ˆ cos ˆ i z z m.. r a H = 1 où sin ˆ cos ˆ i z z m.. r a =A =AH- H = sin ˆ i z 1 m.. r a sin ˆ i z sin ˆ i z 1 etour J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 18/

19 Annexe En reprenant la figure 6 de la page 1, dans le triangle OA : ˆ. coso. O ans le triangle OA : cosoˆ.. A i A En égalisant il vient :. A A i... A.. A i. A i A. A formule Ax.1 i A A 1. 1 ous remarquons dans la formule Ax.1 que le numérateur est : C'est-à-dire la distance orizontale inclinée à l'orizontale. i A de la formule 3. : formule réduisant une distance En reprenant la formule Ax.1, et en posant On trouve.. A A. En prenant m comme auteur moyenne et en assimilant m à A., il vient :... m m J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 19/

20 . m etour. m formule Ax. ous retrouvons la formule 3.3 de réduction à l'ellipsoïde. J. AQUIE Ing. E.S.G.T. La réduction des longueurs 1/11 /