Résolution numérique de l équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques Application au refroidissement de la Lune
|
|
- François Larrivée
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Résolution numérique de l équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques Application au refroidissement de la Lune Guillaume Marmin Table des matières 1 Introduction Équation de la chaleur Hypothèses Méthode des différences finies Présentation de la méthode Écriture du schéma Résultats Méthode des volumes finis Présentation de la méthode Écriture du schéma Résultats Discussions sur les méthodes numériques 6 Résumé Nous allons résoudre numériquement le refroidissement de la Lune dans plusieurs cas. Tout d abord, on se contentera de résoudre l équation de la chaleur en coordonnées sphériques dans le cas d un matériau homogène afin de prendre conscience des difficultés rencontrées 1. Ensuite on pourra commencer à compliquer la chose avec l introduction d un terme de création de chaleur qui est la radioactivité. On résoudra numériquement l équation de la chaleur à l aide de différentes méthodes différences finies et volumes finis que l on comparera afin de connaître leurs avantages et inconvénients. Enfin, on discutera des résultats physiques obtenus. 1 Introduction 1.1 Équation de la chaleur L équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles décrivant l évolution de la température dans les matériaux. On l obtient en faisant un bilan d énergie entre la chaleur entrante Q e, la chaleur dégagée par les sources internes Q i et la variation d énergie interne U, δq e = dt ds = dt dv S V δq i = dt P dv 1 du = dt V V ρc dt dt dv, où correspond au flux de chaleur traversant le matériau, P à la puissance volumique de chaleur créée localement, C à la capacité calorifique à pression constante et ρ à la masse volumique du matériau. En utilisant la loi de Fourier, on trouve l équation bien connue, où correspond à la conductivité thermique. T + P = ρc dt dt, 2 1 Les difficultés sont notamment l écriture des conditions aux bords en coordonnées sphériques.
2 1.2 Hypothèses Après avoir introduit l équation de la chaleur dans un contexte général, on va dans cette partie définir le cadre de l étude envisagée. Afin de modéliser le refroidissement de la Lune, on supposera que celle-ci est à symétrie sphérique ce qui permet, en introduisant les coordonnées sphériques r, θ, ϕ d écrire l équation de la chaleur de manière simple. Cette sphère modélisant la Lune sera modéliser avec la présence d une seule phase, qui sera la phase solide. On se placera dans un système où le seul moyen de transport de chaleur est la conduction la convection est nulle.dans ce cas, on supposera que le flux de chaleur, ne dépend que de la coordonnée r et est dirigé selon ˆr. On suppose également que le milieu est homogène et isotrope et que la conductivité thermique, la capacité calorifique C et la masse volumique ρ sont indépendantes de la température. Les valeurs utilisées pour la conductivité thermique et la capacité calorifique table 1 sont celles des silicates qui peuvent tout au moins près de la surface bien modéliser la conductivité thermique de la Lune. Pour ce qui est de la valeur de la masse volumique, on prend simplement la masse volumique moyenne de la Lune ρ = 3M L 4πR 3 L Pour la production de chaleur dans le milieu P, on supposera une répartition uniforme des éléments dans la Lune, ce qui est bien entendu faux mais qui permet d alléger le schéma numérique. On discutera de cette hypothèse plus loin mais il est à noté que si l on souhaite obtenir une simulation relativement physique il faudra prendre en compte une distribution en densité non homogène. Cette méthodologie mettant l accent sur les méthodes de résolution numérique et pas vraiment sur la physique du problème, on fait ce choix pour simplifier l équation car de prendre une distribution constante ou non ne changera pas la résolution numérique du schéma. Ces hypothèses permettent de réécrire l équation de la chaleur sous une forme plus simple, dt r, t T r, t ρc = P. 3 dt Il faut pour pouvoir résoudre cette équation aux dérivées partielles d ordre 2, deux conditions aux limites en r = 0 et en r = R L. Pour cela, les interactions extérieures de la Lune seront modélisées par un rayonnement de corps gris, s = εσt 4 Sˆr, 4 où s correspond au flux sortant en r = R L et T S la température à la surface de la Lune. De plus la Lune reçoit un rayonnement de la part du fond cosmique à la température T ext = 3 K. Avec la relation de Kirchhoff qui permet de dire que l émissivité est égale à l absorptivité, on peut écrire la condition pour le flux à la surface de la Lune, r = R L = εσ T 4 S T 4 extˆr. 5 Pour ce qui est de la condition en r = 0, on prendra également une condition de Neumann en imposant un flux de chaleur nul, r = 0 = 0. Le modèle traité se résume alors à résoudre le système, dt r,t T r, t ρc dt = P r = 0 = 0 r = R L = εσ 6 TS 4 T ext ˆr Méthode des différences finies 2.1 Présentation de la méthode La méthode des différences finies est une méthode très utilisée en analyse numérique car la discrétisation des opérateurs de dérivations sont assez triviaux et que le schéma numérique converge bien 2, en revanche c est un modèle assez lent car le pas de temps doit être petit. Néanmoins, nous commencerons notre étude avec ce modèle. La méthode des différences finies approxime les opérateurs par la formule de Taylor. Lorsque l on différencie les opérateurs, on peut différencier de deux manières les opérateurs spatiaux : i soit au temps t on utilise alors un schéma explicite permettant d exprimer la valeur au temps t + 1 en fonction des valeurs au temps t, ii soit au temps t + 1 on utilise alors un schéma implicite où une équation lie 2 On veillera à respecter la condition de courant de Friedrichs-Lewy dans le cas du modèle explicite ou celui de Crank- Nicolson.
3 Constante R L C ρ D = ρc T 0 T ext Valeur m 860 J.kg 1.K 1 3, kg.m 3 1, 11 W.K 1.m 1 3, m 2.s K 3 K 5, W.m 2.K 4 σ ε 0, 8 P W.m 3 Tab. 1 Table contenant les valeurs des différentes constantes physiques utilisées lors des simulations numériques. les valeurs des points au temps t et t + 1 mais ne s exprime souvent pas de façon simple 3. Le schéma de Crank-Nicolson correspond à un cas particulier car les opérateurs spatiaux sont différenciés en prenant la moyenne arithmétique des opérateurs au temps t et au temps t + 1, on le qualifie de schéma semi-implicite. Dans un premier temps, la méthode des différences finies explicite sera employée car : i elle est très bien documentée et permettra ainsi de vérifier et de comparer les résultats avec ceux obtenus par la méthode des volumes finies que nous étudierons plus loin section 3 ; ii elle est facile à implémenter. En revanche, cette méthode devient assez lourde lorsque la géométrie du problème est complexe et nécessite un pas temporel assez petit. Cet condition sur le pas de temps s appellent condition de courant de Friedrichs-Lewy. Elle s interprète comme le fait que le pas de temps doit être plus petit que le temps de diffusion de notre système. En effet si on prend un pas de temps trop grand, alors les informations au point spatial i et au pas de temps t seront parvenus plus loin que le pas spatial i ± 1 au pas de temps t + 1. Il y aura alors un perte d information qui rendra le schéma instable. Une vitesse caractéristique du système est D/R L d où δt < R 2 L δx/d. 2.2 Écriture du schéma Cette section expliquera comment obtenir un schéma numérique pour l équation de la chaleur avec la méthode des différences finies dans le cas du schéma explicite. L équation de la chaleur s écrit analytiquement pour un milieu homogène sous la forme : t D T = DP où P correspond à la puissance de création de chaleur locale, D le coefficient de diffusivité thermique, et la conductivité thermique. Le laplacien en coordonnées sphériques s écrit : T = 1 r 2 r r 2 r on peut alors réécrire l équation 7 sous la forme : t D 2 T r 2 2D r 7 = 2 T r r r, 8 r = DP. 9 Afin de résoudre les problèmes de conditions aux limites en r = 0, on procède au changement de variables x = r 2, ce qui conduit pour l équation de la chaleur à : On adimensionne 10 en posant 3 Il faut faire une inversion de matrice. 4Dx 2 T + 6D x2 x t = D P. 10 T = T ; t = t T 0 τ ; x = x RL 2 ;
4 où T 0 = 300 K est une température typique pour la Lune, τ = R2 L D le temps caractéristique du système et R L correspond au rayon de la Lune. Cette adimensionnement conduit à l équation t 4x 2 T 6 x 2 x = Dτ P. 11 T 0 Dans la suite de l exposé, nous omettrons les exposants étoilés. Maintenant que nous avons établi l équation qui régit le système physique, on va discrétiser cette équation aux dérivées partielles selon la méthode des différences finies. Les opérateurs de dérivations deviennent x = T i+1 T i 1 2 T ; 2δx x 2 = T i+1 2T i + T i 1 δx 2 ; t = T +1 T. δt Le schéma explicite s écrit alors T i+1 4i + 3 T i T +1 i = δt δx 12 δx δt 8i + T i 1 4i 3 + Dτδt P. 13 T 0 Les conditions aux bords sont dans ce cas : { T 1 = T 2 en x = 0 T n = T n 1 δxr LεσT T n 4 T ext 4 à la surface Résultats Dans cette partie, nous allons discuter des résultats obtenus avec la méthode des différences finies. Les résultats ont été obtenu avec et sans création de chaleur. Les comportements des différents scénarios sont qualitativement assez différents. Sur la figure 1, on voit ces différences. L allure de la courbe même si elle est semblable n est pas la même, on note la présence d un point d inflexion sur la courbe sans élément radioactif au temps long alors qu il ne semble pas exister dans le cas de la présence d éléments radioactifs. Ces résultats semblent correspondre assez bien à la physique du problème. On notera cependant que le gradient en température au temps long n est pas très important la température en surface est environ deux fois plus faible que la température centrale, une explication de ce problème est donnée dans la section 4. On peut également faire varier la concentration en éléments radioactifs. On s aperçoit alors que lorsqu on l augmente, le gradient de température peut devenir plus élevé usqu à atteindre une valeur au-delà de laquelle le système devient instable car la température centrale augmente considérablement et le schéma diverge. 3 Méthode des volumes finis 3.1 Présentation de la méthode La méthode des volumes finis est une méthode alternative à la méthode des différences finies. Toutes deux permettent de résoudre des systèmes d équations aux dérivées partielles, mais bien entendu de façon différentes. La méthode des volumes finis est basée sur le théorème de la divergence. Les différences finies utilisent des approximations de dérivées, la méthode des volumes finis fait des approximations d intégrales à l instar de la méthode des éléments finis. Cette méthode ce développe également sur un maillage qui est constitué de volumes finis. Elle utilise les lois de conservation sur un volume. On intègre les divergences des flux sur des surfaces, qui peuvent être transformé en intégrales des flux sur des volumes grâce au théorème de la divergence. Un des grands avantages de cette méthode est qu elle permet d utiliser des maillages non-structurés car seul les volumes sont pris en compte et non le maillage lors de la discrétisation. 3.2 Écriture du schéma Le schéma numérique de cette méthode nécessite de reformuler l équation de la chaleur 3. Il faut faire apparaître une divergence. Pour cela on utilise la propriété vectorielle f f, ce qui donne, t D T = D P. 15
5 Fig. 1 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut. La courbe en rouge correspond à l évolution de la température sans production de chaleur interne et la courbe verte avec production de chaleur interne. La présence d éléments radioactifs change l allure de la courbe, permettant d avoir un gradient en température plus important. On découpe la Lune en volumes infinitésimaux correspondant à des «croûtes» de volume v i = 4πr 2 dr. On intègre l équation 15 sur le volume v i, t dv D T dv = D P dv, v i v i v i la première intégrale s écrit comme la moyenne de la dérivée de la température sur le volume v i, v T i i t D T i t = D v i T n ds = D P v i T n ds + D P. 16 ds, avec ds = Le flux étant seulement selon r, T n ds = r ds = r i+1/2 r i 1/2 4πr 2. Afin de discrétiser le problème, on utilise les relations 12 pour écrire les opérateurs de dérivation, ce qui permet d obtenir, Pour les conditions aux bords, { T 1 = T 3 en x = 0 T +1 i = T i + δt 4δr 2 T i+2 2T i + T i 2 + Dδtτ T 0 P 17 T n = T n 1 2δxR LεσT 3 0 T n 4 T ext 4 à la surface. On notera que ce schéma est un schéma explicite et comme pour le schéma d Euler précédent, il devra vérifier la condition de courant de Friedrichs-Lewy. 18
6 3.3 Résultats Dans cette section, on discutera des différents résultats obtenus pour la méthode des volumes finis. On se référera à la figure 2 pour visualiser les résultats. Il est à noté qu il n y a pas de différences physiques notables entre les deux méthodes du point de vue physique. En revanche on voit qu il semble y avoir des problèmes de pas de temps, car les systèmes n évoluent pas au même rythme, mais globalement de la même manière. On reparlera de ce point dans la section suivante. Fig. 2 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut. Ces images sont réalisés aux mêmes instants que pour ceux de la figure 1. On note que l évolution est similaire mais ne semble pas évoluer sur le même pas temporel. 4 Discussions sur les méthodes numériques Les méthodes numériques présentées ici sont des méthodes numériques éprouvées. On voit que les résultats obtenus par les deux méthodes sont en assez bon accord. Le problème maeur est celui du pas de temps qui doit être très petit ce qui nécessite beaucoup de temps de calcul. Pour s en affranchir, lors des simulations ai modifié la condition aux limites en r = r L en remplaçant dans la formule le rayon de la lune par une constante que ai prise égale à 1000, ce qui permettait de résoudre le schéma dans un temps relativement court car ainsi e pouvais prendre une résolution spatiale de 1000 points. Ainsi si on veut mettre la véritable valeur pour la constante qui est de R L, il faudrait prendre une résolution spatiale de 10 7 points! On peut également s apercevoir que lorsque l on lance les deux simulations en même temps, un léger décalage croissant apparaît sur des temps longs. Ce décalage est sans doute une erreur dans le code introduite par le changement de variable pour le schéma Euler explicite de x = r 2 alors que pour le schéma en volume fini on reste avec la coordonnée r. Or la condition de courant impose un pas de temps en fonction du pas spatial. C est ce phénomène qui pourrait expliquer ce décalage, les deux schémas n ont pas la même horloge. Il se peut également, malgré ma relecture intensive des schémas qu une constante se soit modifiée un 3 à la place d un 2. À part ce souci, les schémas se comportent de la même manière. Le schéma de la méthode des volumes finis pourrait sans doute être amélioré car on voit bien que ce schéma voir 17 ne comporte que des indices paires ou impaires. Ceci peut poser des problèmes que l on peut voir lorsque l on baisse la résolution spatiale, il y a alors un effet d escalier. La méthode des volumes finis n est pas nécessaire dans l étude de ce problème car des méthodes telles
7 Fig. 3 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut selon la méthode des différences finies rouge et la méthode des volumes finis vert. Ces images sont réalisés aux mêmes instants que pour ceux de la figure 1. On voit que la température n évolue pas tout à fait de la même manière selon les méthodes et qu au temps longs l écart devient significatif. Il se pourrait que les deux schémas n évolue pas avec la même «horloge». que la résolution de Crank-Nicolson sont plus adaptés à ce problème. Toutefois ai choisi de présenter cette méthode afin de la découvrir sur un exemple simple. La littérature n est pas très fournie sur la méthode des volumes finis dans le cas de modèles simples et donc relativement compréhensible. Ceci peut se comprendre car elle est avant tout très utilisé lors de maillage compliqué.
Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailSSNL126 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite. Deux modélisations permettent de tester le critère de flambement en élastoplasticité :
Titre : SSNL16 - Flambement élastoplastique d'une poutre [...] Date : 15/1/011 Page : 1/6 Responsable : Nicolas GREFFET Clé : V6.0.16 Révision : 8101 SSNL16 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite
Plus en détailLes correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.
Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailI - Quelques propriétés des étoiles à neutrons
Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est
Plus en détailExamen d informatique première session 2004
Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions.
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailT.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY
T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................
Plus en détailNotice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker
Notice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker DeCarvalho Adelino adelino.decarvalho@iutc.u-cergy.fr septembre 2005 Table des matières 1 Introduction
Plus en détailChapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique
Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 Introduction 7.1.1 Production d un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailObserver TP Ondes CELERITE DES ONDES SONORES
OBJECTIFS CELERITE DES ONDES SONORES Mesurer la célérité des ondes sonores dans l'air, à température ambiante. Utilisation d un oscilloscope en mode numérique Exploitation de l acquisition par régressif.
Plus en détailManuel de validation Fascicule v4.25 : Thermique transitoire des structures volumiques
Titre : TTLV100 - Choc thermique dans un tuyau avec condit[...] Date : 02/03/2010 Page : 1/10 Manuel de Validation Fascicule V4.25 : Thermique transitoire des structures volumiques Document : V4.25.100
Plus en détailPremier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie
Chapitre 5 Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie 5.1 Bilan d énergie 5.1.1 Énergie totale d un système fermé L énergie totale E T d un système thermodynamique fermé de masse
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailRichard Abibon. «Le sujet reçoit de l Autre son propre message sous une forme inversée»
Richard Abibon «Le sujet reçoit de l Autre son propre message sous une forme inversée» Cette formule, on la trouve presque telle quelle dans l «Ouverture de ce recueil» qui introduit les «Ecrits» de Lacan.
Plus en détailGENERALITES SUR LA MESURE DE TEMPERATURE
Distributeur exclusif de GENERALITES SUR LA MESURE DE TEMPERATURE INTRODUCTION...2 GENERALITES SUR LA MESURE DE TEMPERATURE...2 La température...2 Unités de mesure de température...3 Echelle de température...3
Plus en détailET 24 : Modèle de comportement d un système Boucles de programmation avec Labview.
ET 24 : Modèle de comportement d un système Boucles de programmation avec Labview. Sciences et Technologies de l Industrie et du Développement Durable Formation des enseignants parcours : ET24 Modèle de
Plus en détailLes algorithmes de base du graphisme
Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............
Plus en détailSimulation numérique d un stockage de déchets nucléaires en site géologique profond
Simulation numérique d un stockage de déchets nucléaires en site géologique profond Page 1 de 12 G. Allaire, M. Briane, R. Brizzi and Y. Capdeboscq CMAP, UMR-CNRS 7641, Ecole Polytechnique 14 juin 2006
Plus en détailde calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailCalculs de probabilités avec la loi normale
Calculs de probabilités avec la loi normale Olivier Torrès 20 janvier 2012 Rappels pour la licence EMO/IIES Ce document au format PDF est conçu pour être visualisé en mode présentation. Sélectionnez ce
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailG.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction
DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner
Plus en détailPrincipes généraux de la modélisation de la dispersion atmosphérique
Principes généraux de la modélisation de la dispersion atmosphérique Rémy BOUET- DRA/PHDS/EDIS remy.bouet@ineris.fr //--12-05-2009 1 La modélisation : Les principes Modélisation en trois étapes : Caractériser
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailDÉPARTEMENT DE PHYSIQUE DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PARIS VII
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE DE L ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PARIS VII pour obtenir le titre de Docteur de l Université Paris VII Spécialité : Physique des liquides présentée
Plus en détailThermodynamique (Échange thermique)
Thermodynamique (Échange thermique) Introduction : Cette activité est mise en ligne sur le site du CNRMAO avec l autorisation de la société ERM Automatismes Industriels, détentrice des droits de publication
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détail3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels
3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4
Plus en détailIntroduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing
Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailQuantité de mouvement et moment cinétique
6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1 Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f -
Plus en détailInnovations Majeures de la Version 4
Innovations Majeures de la Version 4 Un nouvel environnement SIG avec de puissants outils graphiques. De nouveaux moteurs hydrologiques et hydrauliques plus sûrs et plus performants. De nouveaux modes
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailTransformations nucléaires
Transformations nucléaires Stabilité et instabilité des noyaux : Le noyau d un atome associé à un élément est représenté par le symbole A : nombre de masse = nombre de nucléons (protons + neutrons) Z :
Plus en détailSciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION
Sciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION Classe de terminale de la série Sciences et Technologie du Management et de la Gestion Préambule Présentation Les technologies de l information
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année
Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre
Plus en détailSUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION)
Terminale S CHIMIE TP n 2b (correction) 1 SUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION) Objectifs : Déterminer l évolution de la vitesse de réaction par une méthode physique. Relier l absorbance
Plus en détailLes calculatrices sont autorisées
Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les parties 1 et portent sur la mécanique (de la page à la page 7). Les parties 3 et 4 portent sur la thermodnamique (de
Plus en détailCompression et Transmission des Signaux. Samson LASAULCE Laboratoire des Signaux et Systèmes, Gif/Yvette
Compression et Transmission des Signaux Samson LASAULCE Laboratoire des Signaux et Systèmes, Gif/Yvette 1 De Shannon à Mac Donalds Mac Donalds 1955 Claude Elwood Shannon 1916 2001 Monsieur X 1951 2 Où
Plus en détailMario Geiger octobre 08 ÉVAPORATION SOUS VIDE
ÉVAPORATION SOUS VIDE 1 I SOMMAIRE I Sommaire... 2 II Évaporation sous vide... 3 III Description de l installation... 5 IV Travail pratique... 6 But du travail... 6 Principe... 6 Matériel... 6 Méthodes...
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCours 1. Bases physiques de l électronique
Cours 1. Bases physiques de l électronique Par Dimitri galayko Unité d enseignement Élec-info pour master ACSI à l UPMC Octobre-décembre 2005 1 Champ électrique et ses propriétés Ce premier cours introduit
Plus en détailSimulation du transport de matière par diffusion surfacique à l aide d une approche Level-Set
Simulation du transport de matière par diffusion surfacique à l aide d une approce Level-Set J. Brucon 1, D. Pino-Munoz 1, S. Drapier 1, F. Valdivieso 2 Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFinance, Navier-Stokes, et la calibration
Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck
Plus en détailPlan du chapitre «Milieux diélectriques»
Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation
Plus en détailInitiation à la simulation numérique. Eléments d analyse numérique.
Initiation à la simulation numérique en mécanique des fluides : Eléments d analyse numérique. Cours ENSTA MF307 6 juin 2003 Frédéric DABBENE et Henri PAILLERE Résumé Nous présentons dans ce rapport des
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailDemande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire
Date d envoi : Demande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire QUESTIONNAIRE AU TITULAIRE Ce document doit être complété par le titulaire de classe et/ou par l orthopédagogue
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailEntraînement, consolidation, structuration... Que mettre derrière ces expressions?
Entraînement, consolidation, structuration... Que mettre derrière ces expressions? Il est clair que la finalité principale d une démarche d investigation est de faire acquérir des connaissances aux élèves.
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détail1. QU'EST CE QUE LE TABLEAU DE BORD D UN PROJET?
1. QU'EST CE QUE LE TABLEAU DE BORD D UN PROJET?... 1 2. LES TABLEAUX DE BORD, OUTILS DE PILOTAGE... 2 3. LES TABLEAUX DE BORD : OUTILS DE DIALOGUE A L'INTERIEUR DE L'ORGANISATION... 3 4. LA PRESENTATION
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailL efficience énergétique...
......Une technique intelligente de régulation au service Edgar Mayer Product Manager CentraLine c/o Honeywell GmbH 02 I 2009 Grâce aux techniques de régulation intelligentes d aujourd hui, il est possible
Plus en détailIntroduction au pricing d option en finance
Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailReconstruction de bâtiments en 3D à partir de nuages de points LIDAR
Reconstruction de bâtiments en 3D à partir de nuages de points LIDAR Mickaël Bergem 25 juin 2014 Maillages et applications 1 Table des matières Introduction 3 1 La modélisation numérique de milieux urbains
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailPremier principe : bilans d énergie
MPSI - Thermodynamique - Premier principe : bilans d énergie page 1/5 Premier principe : bilans d énergie Table des matières 1 De la mécanique à la thermodynamique : formes d énergie et échanges d énergie
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détail8 Ensemble grand-canonique
Physique Statistique I, 007-008 8 Ensemble grand-canonique 8.1 Calcul de la densité de probabilité On adopte la même approche par laquelle on a établi la densité de probabilité de l ensemble canonique,
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détail