Résolution numérique de l équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques Application au refroidissement de la Lune

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1 Résolution numérique de l équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques Application au refroidissement de la Lune Guillaume Marmin Table des matières 1 Introduction Équation de la chaleur Hypothèses Méthode des différences finies Présentation de la méthode Écriture du schéma Résultats Méthode des volumes finis Présentation de la méthode Écriture du schéma Résultats Discussions sur les méthodes numériques 6 Résumé Nous allons résoudre numériquement le refroidissement de la Lune dans plusieurs cas. Tout d abord, on se contentera de résoudre l équation de la chaleur en coordonnées sphériques dans le cas d un matériau homogène afin de prendre conscience des difficultés rencontrées 1. Ensuite on pourra commencer à compliquer la chose avec l introduction d un terme de création de chaleur qui est la radioactivité. On résoudra numériquement l équation de la chaleur à l aide de différentes méthodes différences finies et volumes finis que l on comparera afin de connaître leurs avantages et inconvénients. Enfin, on discutera des résultats physiques obtenus. 1 Introduction 1.1 Équation de la chaleur L équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles décrivant l évolution de la température dans les matériaux. On l obtient en faisant un bilan d énergie entre la chaleur entrante Q e, la chaleur dégagée par les sources internes Q i et la variation d énergie interne U, δq e = dt ds = dt dv S V δq i = dt P dv 1 du = dt V V ρc dt dt dv, où correspond au flux de chaleur traversant le matériau, P à la puissance volumique de chaleur créée localement, C à la capacité calorifique à pression constante et ρ à la masse volumique du matériau. En utilisant la loi de Fourier, on trouve l équation bien connue, où correspond à la conductivité thermique. T + P = ρc dt dt, 2 1 Les difficultés sont notamment l écriture des conditions aux bords en coordonnées sphériques.

2 1.2 Hypothèses Après avoir introduit l équation de la chaleur dans un contexte général, on va dans cette partie définir le cadre de l étude envisagée. Afin de modéliser le refroidissement de la Lune, on supposera que celle-ci est à symétrie sphérique ce qui permet, en introduisant les coordonnées sphériques r, θ, ϕ d écrire l équation de la chaleur de manière simple. Cette sphère modélisant la Lune sera modéliser avec la présence d une seule phase, qui sera la phase solide. On se placera dans un système où le seul moyen de transport de chaleur est la conduction la convection est nulle.dans ce cas, on supposera que le flux de chaleur, ne dépend que de la coordonnée r et est dirigé selon ˆr. On suppose également que le milieu est homogène et isotrope et que la conductivité thermique, la capacité calorifique C et la masse volumique ρ sont indépendantes de la température. Les valeurs utilisées pour la conductivité thermique et la capacité calorifique table 1 sont celles des silicates qui peuvent tout au moins près de la surface bien modéliser la conductivité thermique de la Lune. Pour ce qui est de la valeur de la masse volumique, on prend simplement la masse volumique moyenne de la Lune ρ = 3M L 4πR 3 L Pour la production de chaleur dans le milieu P, on supposera une répartition uniforme des éléments dans la Lune, ce qui est bien entendu faux mais qui permet d alléger le schéma numérique. On discutera de cette hypothèse plus loin mais il est à noté que si l on souhaite obtenir une simulation relativement physique il faudra prendre en compte une distribution en densité non homogène. Cette méthodologie mettant l accent sur les méthodes de résolution numérique et pas vraiment sur la physique du problème, on fait ce choix pour simplifier l équation car de prendre une distribution constante ou non ne changera pas la résolution numérique du schéma. Ces hypothèses permettent de réécrire l équation de la chaleur sous une forme plus simple, dt r, t T r, t ρc = P. 3 dt Il faut pour pouvoir résoudre cette équation aux dérivées partielles d ordre 2, deux conditions aux limites en r = 0 et en r = R L. Pour cela, les interactions extérieures de la Lune seront modélisées par un rayonnement de corps gris, s = εσt 4 Sˆr, 4 où s correspond au flux sortant en r = R L et T S la température à la surface de la Lune. De plus la Lune reçoit un rayonnement de la part du fond cosmique à la température T ext = 3 K. Avec la relation de Kirchhoff qui permet de dire que l émissivité est égale à l absorptivité, on peut écrire la condition pour le flux à la surface de la Lune, r = R L = εσ T 4 S T 4 extˆr. 5 Pour ce qui est de la condition en r = 0, on prendra également une condition de Neumann en imposant un flux de chaleur nul, r = 0 = 0. Le modèle traité se résume alors à résoudre le système, dt r,t T r, t ρc dt = P r = 0 = 0 r = R L = εσ 6 TS 4 T ext ˆr Méthode des différences finies 2.1 Présentation de la méthode La méthode des différences finies est une méthode très utilisée en analyse numérique car la discrétisation des opérateurs de dérivations sont assez triviaux et que le schéma numérique converge bien 2, en revanche c est un modèle assez lent car le pas de temps doit être petit. Néanmoins, nous commencerons notre étude avec ce modèle. La méthode des différences finies approxime les opérateurs par la formule de Taylor. Lorsque l on différencie les opérateurs, on peut différencier de deux manières les opérateurs spatiaux : i soit au temps t on utilise alors un schéma explicite permettant d exprimer la valeur au temps t + 1 en fonction des valeurs au temps t, ii soit au temps t + 1 on utilise alors un schéma implicite où une équation lie 2 On veillera à respecter la condition de courant de Friedrichs-Lewy dans le cas du modèle explicite ou celui de Crank- Nicolson.

3 Constante R L C ρ D = ρc T 0 T ext Valeur m 860 J.kg 1.K 1 3, kg.m 3 1, 11 W.K 1.m 1 3, m 2.s K 3 K 5, W.m 2.K 4 σ ε 0, 8 P W.m 3 Tab. 1 Table contenant les valeurs des différentes constantes physiques utilisées lors des simulations numériques. les valeurs des points au temps t et t + 1 mais ne s exprime souvent pas de façon simple 3. Le schéma de Crank-Nicolson correspond à un cas particulier car les opérateurs spatiaux sont différenciés en prenant la moyenne arithmétique des opérateurs au temps t et au temps t + 1, on le qualifie de schéma semi-implicite. Dans un premier temps, la méthode des différences finies explicite sera employée car : i elle est très bien documentée et permettra ainsi de vérifier et de comparer les résultats avec ceux obtenus par la méthode des volumes finies que nous étudierons plus loin section 3 ; ii elle est facile à implémenter. En revanche, cette méthode devient assez lourde lorsque la géométrie du problème est complexe et nécessite un pas temporel assez petit. Cet condition sur le pas de temps s appellent condition de courant de Friedrichs-Lewy. Elle s interprète comme le fait que le pas de temps doit être plus petit que le temps de diffusion de notre système. En effet si on prend un pas de temps trop grand, alors les informations au point spatial i et au pas de temps t seront parvenus plus loin que le pas spatial i ± 1 au pas de temps t + 1. Il y aura alors un perte d information qui rendra le schéma instable. Une vitesse caractéristique du système est D/R L d où δt < R 2 L δx/d. 2.2 Écriture du schéma Cette section expliquera comment obtenir un schéma numérique pour l équation de la chaleur avec la méthode des différences finies dans le cas du schéma explicite. L équation de la chaleur s écrit analytiquement pour un milieu homogène sous la forme : t D T = DP où P correspond à la puissance de création de chaleur locale, D le coefficient de diffusivité thermique, et la conductivité thermique. Le laplacien en coordonnées sphériques s écrit : T = 1 r 2 r r 2 r on peut alors réécrire l équation 7 sous la forme : t D 2 T r 2 2D r 7 = 2 T r r r, 8 r = DP. 9 Afin de résoudre les problèmes de conditions aux limites en r = 0, on procède au changement de variables x = r 2, ce qui conduit pour l équation de la chaleur à : On adimensionne 10 en posant 3 Il faut faire une inversion de matrice. 4Dx 2 T + 6D x2 x t = D P. 10 T = T ; t = t T 0 τ ; x = x RL 2 ;

4 où T 0 = 300 K est une température typique pour la Lune, τ = R2 L D le temps caractéristique du système et R L correspond au rayon de la Lune. Cette adimensionnement conduit à l équation t 4x 2 T 6 x 2 x = Dτ P. 11 T 0 Dans la suite de l exposé, nous omettrons les exposants étoilés. Maintenant que nous avons établi l équation qui régit le système physique, on va discrétiser cette équation aux dérivées partielles selon la méthode des différences finies. Les opérateurs de dérivations deviennent x = T i+1 T i 1 2 T ; 2δx x 2 = T i+1 2T i + T i 1 δx 2 ; t = T +1 T. δt Le schéma explicite s écrit alors T i+1 4i + 3 T i T +1 i = δt δx 12 δx δt 8i + T i 1 4i 3 + Dτδt P. 13 T 0 Les conditions aux bords sont dans ce cas : { T 1 = T 2 en x = 0 T n = T n 1 δxr LεσT T n 4 T ext 4 à la surface Résultats Dans cette partie, nous allons discuter des résultats obtenus avec la méthode des différences finies. Les résultats ont été obtenu avec et sans création de chaleur. Les comportements des différents scénarios sont qualitativement assez différents. Sur la figure 1, on voit ces différences. L allure de la courbe même si elle est semblable n est pas la même, on note la présence d un point d inflexion sur la courbe sans élément radioactif au temps long alors qu il ne semble pas exister dans le cas de la présence d éléments radioactifs. Ces résultats semblent correspondre assez bien à la physique du problème. On notera cependant que le gradient en température au temps long n est pas très important la température en surface est environ deux fois plus faible que la température centrale, une explication de ce problème est donnée dans la section 4. On peut également faire varier la concentration en éléments radioactifs. On s aperçoit alors que lorsqu on l augmente, le gradient de température peut devenir plus élevé usqu à atteindre une valeur au-delà de laquelle le système devient instable car la température centrale augmente considérablement et le schéma diverge. 3 Méthode des volumes finis 3.1 Présentation de la méthode La méthode des volumes finis est une méthode alternative à la méthode des différences finies. Toutes deux permettent de résoudre des systèmes d équations aux dérivées partielles, mais bien entendu de façon différentes. La méthode des volumes finis est basée sur le théorème de la divergence. Les différences finies utilisent des approximations de dérivées, la méthode des volumes finis fait des approximations d intégrales à l instar de la méthode des éléments finis. Cette méthode ce développe également sur un maillage qui est constitué de volumes finis. Elle utilise les lois de conservation sur un volume. On intègre les divergences des flux sur des surfaces, qui peuvent être transformé en intégrales des flux sur des volumes grâce au théorème de la divergence. Un des grands avantages de cette méthode est qu elle permet d utiliser des maillages non-structurés car seul les volumes sont pris en compte et non le maillage lors de la discrétisation. 3.2 Écriture du schéma Le schéma numérique de cette méthode nécessite de reformuler l équation de la chaleur 3. Il faut faire apparaître une divergence. Pour cela on utilise la propriété vectorielle f f, ce qui donne, t D T = D P. 15

5 Fig. 1 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut. La courbe en rouge correspond à l évolution de la température sans production de chaleur interne et la courbe verte avec production de chaleur interne. La présence d éléments radioactifs change l allure de la courbe, permettant d avoir un gradient en température plus important. On découpe la Lune en volumes infinitésimaux correspondant à des «croûtes» de volume v i = 4πr 2 dr. On intègre l équation 15 sur le volume v i, t dv D T dv = D P dv, v i v i v i la première intégrale s écrit comme la moyenne de la dérivée de la température sur le volume v i, v T i i t D T i t = D v i T n ds = D P v i T n ds + D P. 16 ds, avec ds = Le flux étant seulement selon r, T n ds = r ds = r i+1/2 r i 1/2 4πr 2. Afin de discrétiser le problème, on utilise les relations 12 pour écrire les opérateurs de dérivation, ce qui permet d obtenir, Pour les conditions aux bords, { T 1 = T 3 en x = 0 T +1 i = T i + δt 4δr 2 T i+2 2T i + T i 2 + Dδtτ T 0 P 17 T n = T n 1 2δxR LεσT 3 0 T n 4 T ext 4 à la surface. On notera que ce schéma est un schéma explicite et comme pour le schéma d Euler précédent, il devra vérifier la condition de courant de Friedrichs-Lewy. 18

6 3.3 Résultats Dans cette section, on discutera des différents résultats obtenus pour la méthode des volumes finis. On se référera à la figure 2 pour visualiser les résultats. Il est à noté qu il n y a pas de différences physiques notables entre les deux méthodes du point de vue physique. En revanche on voit qu il semble y avoir des problèmes de pas de temps, car les systèmes n évoluent pas au même rythme, mais globalement de la même manière. On reparlera de ce point dans la section suivante. Fig. 2 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut. Ces images sont réalisés aux mêmes instants que pour ceux de la figure 1. On note que l évolution est similaire mais ne semble pas évoluer sur le même pas temporel. 4 Discussions sur les méthodes numériques Les méthodes numériques présentées ici sont des méthodes numériques éprouvées. On voit que les résultats obtenus par les deux méthodes sont en assez bon accord. Le problème maeur est celui du pas de temps qui doit être très petit ce qui nécessite beaucoup de temps de calcul. Pour s en affranchir, lors des simulations ai modifié la condition aux limites en r = r L en remplaçant dans la formule le rayon de la lune par une constante que ai prise égale à 1000, ce qui permettait de résoudre le schéma dans un temps relativement court car ainsi e pouvais prendre une résolution spatiale de 1000 points. Ainsi si on veut mettre la véritable valeur pour la constante qui est de R L, il faudrait prendre une résolution spatiale de 10 7 points! On peut également s apercevoir que lorsque l on lance les deux simulations en même temps, un léger décalage croissant apparaît sur des temps longs. Ce décalage est sans doute une erreur dans le code introduite par le changement de variable pour le schéma Euler explicite de x = r 2 alors que pour le schéma en volume fini on reste avec la coordonnée r. Or la condition de courant impose un pas de temps en fonction du pas spatial. C est ce phénomène qui pourrait expliquer ce décalage, les deux schémas n ont pas la même horloge. Il se peut également, malgré ma relecture intensive des schémas qu une constante se soit modifiée un 3 à la place d un 2. À part ce souci, les schémas se comportent de la même manière. Le schéma de la méthode des volumes finis pourrait sans doute être amélioré car on voit bien que ce schéma voir 17 ne comporte que des indices paires ou impaires. Ceci peut poser des problèmes que l on peut voir lorsque l on baisse la résolution spatiale, il y a alors un effet d escalier. La méthode des volumes finis n est pas nécessaire dans l étude de ce problème car des méthodes telles

7 Fig. 3 Évolution de la température en fonction du rayon de gauche à droite et de bas en haut selon la méthode des différences finies rouge et la méthode des volumes finis vert. Ces images sont réalisés aux mêmes instants que pour ceux de la figure 1. On voit que la température n évolue pas tout à fait de la même manière selon les méthodes et qu au temps longs l écart devient significatif. Il se pourrait que les deux schémas n évolue pas avec la même «horloge». que la résolution de Crank-Nicolson sont plus adaptés à ce problème. Toutefois ai choisi de présenter cette méthode afin de la découvrir sur un exemple simple. La littérature n est pas très fournie sur la méthode des volumes finis dans le cas de modèles simples et donc relativement compréhensible. Ceci peut se comprendre car elle est avant tout très utilisé lors de maillage compliqué.

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