Exercices : Nombres entiers et Nombres réels

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1 Exercices : Nombres entiers et Nombres réels 1 Nombres entiers Exercice 1 1. Soient (a, b) R, soit n N. Montrer que n Cna k k b n k = (a + b) n (binôme de Newton). Montrer que: ( n + 1 n N, n! ) n Exercice Robert fait ses affaires pour aller skier. Son armoire est remplie de 10 paires de gants. Il décide de prendre 4 gants. Le problème est que Robert est un garçon dans la lune et qu il choisit les gants au hasard. 1. Combien il y a-t-il de tirages possibles?. Combien de façons a-t-il de tirer: (a) deux paires complètes? (b) au moins une paire? (c) une paire et une seule? Exercice 3 1. Soit E un ensemble, et soit A et B deux parties de E. Peut on écrire: card(a\b) = card(a) card(b). Montrer que card(a\b) = card(a) card(a B) 3. On pose A B = (A B)\(A B). Calculer card(a B) en fonction de card(a), card(b) et card(a B). 1

2 Exercice 4 On considère les lettres du mot : ANNIVERSAIRE 1. Combien de mots peut on former avec ces lettres? (On ne se préoccupera pas du sens des mots formés). Combien de mots commençant et finissant par une voyelle peut on former? 3. Combien de mots peut on former si on veut que toutes les voyelles soient groupées ensemble? Nombres réels Exercice 5 Soient les ensembles suivants: { } n 1 n A = n + 1, n N n et B = { 3 + ( ) 1 n, n N} 1. Calculer un majorant et un minorant (s ils existent) de A et B. Calculer (si elles existent) les bornes sup et inf des ensembles A et B 3. A et B admettent ils des min, des max? Exercice 6 n Calculer E( u) Exercice 7 Résoudre: 1. x + 3x + = x 3. (x 3) a (a R + )

3 Indications pour l exercice 1 Pour les deux questions, Faire un récurrence sur n. Pour le ), on pourra penser à un moment à faire une étude de fonctions. Indications pour l exercice 1. Il choisit 4 gants parmi 0.. (a) Il y a 10 paires, il en choisit donc parmi ces 10 paires. (b) Calculer le cardinal de l ensemble complémentaire: le nombre de façons de tirer 4 gants qui ne forment aucune paire (c) Utiliser les questions précédentes: { tirages avec paires } { tirages avec 1 paire uniquement }= { tirage avec au moins une paire } Indications pour l exercice 3 1. Que se passe t-il par exemple si A et B sont disjoints. Considérer (A\B) B 3. On apllique la formule de la question précédente Indications pour l exercice 4 Indications pour l exercice 5 1. Encadrer le plus simplement possible n 1 n n + 1 n et 3 + ( ) 1 n. Pas de difficultés particulieres, faire varier n Indications pour l exercice 6 Faire une sommation par paquets, c est à dire écrire que Que vaut E( u) si k u (k + 1) 1? n 1 E( u) = (k+1) 1 u=k E( u). Indications pour l exercice 7 Aucune difficulté, revenir aux définitions. 3

4 Correction de l exercice 1 1. Faisons une récurrence sur n. Initialisation: si n = 1. n 1 Cna k k b n k = C1 k a k b 1 k = a 0 b + ab 0 = (a + b) Donc la propriété est vraie au rang n = 0. Soit n 0. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu elle est vraie au rang n + 1. ( n ) (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) = Cna k k b n k (a + b) d apres l hypothese de récurrence = n Cna k k+1 b n k + n Cna k k b n k+1 = a n+1 + Cna k k+1 b n k + b n+1 + = a n+1 + b n+1 + Or C u 1 n + C u n = C u n+1. Donc : n n Cna k k b n k+1 C u 1 n a u b n u+1 + n Cna k k b n k+1 (on a posé u = k + 1 dans la premiere somme) n = a n+1 + b n+1 + (C u 1 + Cn)a u u b n u+1 (a + b) n+1 = a n+1 + b n+1 + = n n Cn+1a u u b n u+1 n+1 Cn+1a u u b n u+1 u=0 Donc la propriété est vraie au rang n + 1. Conclusion: la propriété est vraie pour tout n N. Faisons une récurrence sur n. Notons P (n) : n! ( ) n+1 n ( ) 1 0 P (0) est vraie, car on a bien 1 = 1 (en effet, les termes a n+1 et b n+1 correspondent à u = n + 1 et u = 0.) Soit n 0. Supposons que P (n) soit vraie. Montrons que P (n + 1) est vraie. ( ) n + 1 n (n + 1)! = n!(n + 1) (n + 1) d après l hypothese de récurrence Il suffit donc de prouver que (n + 1)n+1 n (n + 1) n+1 n ( n + (attention, c est une condition suffisante, mais pas nécéssaire. Si on n arrive pas à prouver cette relation, cela ne veut pas dire que la relation que l on cherche à prouver est fausse.) 4 ) n+1

5 (n + 1) n+1 n ( n + ) n+1 ((n + 1)) n+1 n (n + ) n+1 n + n n+1 (n + ) (1) Pour prouver (1), on va étudier la fonction f : n n n+1 (n + ) n et montrer qu elle est positive sur R +. f (n) = n n+1 ln() (n + ) + n (n+1) n+1 = n n+1 = n n+1 ( ln()(n+) (n+1) ( ln()(n+) (n+1) 0 car 1 1 n n +1) n+1 ) n Donc f est croissante, comme f(0) = 0, on a bien n N, f(n) 0 et P (n + 1) est vraie. Conclusion: la propriété est vraie pour tout n N Correction de l exercice 1. Il choisit 4 gants parmi 0, il a donc C 4 0 façons de choisir ses gants.. (a) Il a C10 = 45 façons de choisir les deux paires d où proviennent les gants. ( paires parmi les 10 ) (b) On va utiliser la formule du complémentaire: Si on note A = { tirages où tous les gants proviennent de paires différentes } et B = { tirages possibles}, le nombre de tirages dans lesquels il y a au moins une paire est card(b) card(a). Calculons card(a) : il y a C10 4 façons de choisir les 4 paires d où proviennent les gants. Ensuite, pour une paire, il y a choix possibles de gants. Donc card(a) = 4 C10 4 Le nombre de tirages dans lesquels il y a au moins une paire est C 4 0 C = 1485 (c) En notant E 1 = {tirages avec paires}, E ={tirages avec au moins une paire} et E 3 = {tirages avec 1 paire et 1 seule}, on a: E = E 1 E 3. Or E 1 et E 3 sont disjoints, donc card(e ) = card(e 1 ) + card(e 3 ). D où nb de tirages avec 1 paire et 1 seule= card(e ) card(e 1 ) = 1440 Remarque : On peut aussi le calculer directement, en écrivant: nb de tirages avec 1 paire et 1 seule= 10C 9 Correction de l exercice 3 1. En toute généralité, c est faux. Exemple: si A B =, alors A\B = A. On a donc card(a\b) = card(a) card(a) card(b) (si B ) 5

6 . On a (A\B) B = A B, par définition. Comme A\B et B sont disjoints, alors card((a\b) B = card(a\b) + card(b) D autre part, card(a B) = card(a) + card(b) card(a B). Donc card(a\b) + card(b) = card(a) + card(b) card(a B) card(a\b) = card(a) card(a B) 3. On applique la formule trouvée précédemment: card(a B) = card((a B)\(A B)) = card(a B) card((a B) (A B)) = card(a B) card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) Correction de l exercice er méthode: Il y a A, E, R, I et N; et 1 V et 1 N. ( ) ( ) ( ) Plaçons les A: il y a façons de faire; Ensuite, il y a façons de placer les E, puis façons pour les R, et ainsi de suite. Il reste ensuite le V et le N à placer sur les places qui restent: on a choix. On obtient donc ( 1 ) ( 10 ) ( 8 ) ( ) ( ) 6 4 mots possibles. ième méthode: Il y a 1 lettres dans le mot ANNIVERSAIRE. En les permutant, on obtient 1! mots possibles. Cependant, il y a A, E, R, I et N. Il faut donc diviser 1! par!!!!! ( car en permutant les A, les E..., on obtient les mêmes mots). On obtient donc 1!!!!!! = 1! = mots possibles. 5. On va distinguer cas: 1 er cas: Les voyelles du début et de la fin sont identiques. Il y a 3 types de voyelles différentes: A, E, I. On a donc 3 façons la voyelle qui commence et finit le mot. Ensuite, il faut calculer le nombre de mots faisables avec les types de voyelles identiques restantes ( A et E par exemple si on a choisi le I pour commencer et finir le mot) et les N, R, le S et le V. ( ) ( ) ( ) ( ) Avec un raisonnement identique à celui de la question 1), on obtient mots possibles. 6

7 ( ) ( ) ( ) ( ) Dans ce cas, on trouve donc 3. = 3.10!!!!! = 3.10! 4 mots ième cas: Les voyelles du début et de la fin ne sont pas identiques. Choisissons les types de voyelles parmi les 3 qui seront au début et à la fin du mot. Il y a Ensuite on peut les permuter de façons. ( ) 3 façons. Ensuite il reste comme lettres: N, R, 1 V, 1 R, ( type de voyelle non choisie pour commencer le mot), 1 voyelle identique à celle du début, 1 voyelle identique à celle de la fin. ( ) ( ) ( ) Avec ces lettres, on peut former 4! mots. ( ) ( ) ( ) ( ) On obtient donc 4! = 3.10! mots. Conclusion: Il y a donc 3.10! ! = Le bloc des voyelles a 7 places possibles. A l interieur de ce bloc, il y a ( cf question 1)) 6! façons de ranger 3 les voyelles. Ensuite, il y a ( cf question 1)) 6! façons de ranger les autres lettres. 3 On a donc 7!6! = façons de ranger les lettres. 5 Correction de l exercice 5 1. On a: n N, 0 n 1 n n + 1 n 1. Ainsi 1 est un majorant de A et 0 un minorant de B. De même, n N, ( 1 ) n 3 + ( 1 ) 0 =. Ainsi B est minoré par 0 et majorée par.. Etude de A: A est borné, il admet donc une borne sup et une borne inf. Calculons les. Si n = 1, n 1 n n + 1 n borne inf de A). = 0. Or 0 est un minorant: 0 est donc le plus petit élément de A (et donc aussi la Etudions la fonction f(n) = n 1 n n + 1 n f (n) = = n 1 n + 1 4n 3 (n, donc f est croissante et tend vers 1 en +. Ainsi la borne supérieure de A est ) 7

8 Etude de B: Si n = 0, 3 + ( 1 n ) =. Or est un majorant de B : est donc le plus grand élément de B (et donc aussi la borne sup de B). Quand n +, 3 + ( 1 ) n 3 en décroissant. Donc la borne inférieure de B est 3 Correction de l exercice 6 Soit n N, u N, k N. On peut écrire: k u < (k + 1) k u < k + 1 car tout est positif E( u) = k Ainsi, si u vérifie k u (k + 1) 1, on a E( u) = k. On a de plus D où n 1 E( u) = (k+1) 1 u=k E( u) (à vous de voir pourquoi) E( u) = n = = n 1 E( u) + E( n ) = k((k + 1) k ) + n k(k + 1) + n = = ( n(n 1)(n 1) ) + 6 (n 1)n (k+1) 1 u=k k + n k + + n k + n Correction de l exercice 7 1. Si deux nombres ont la même valeur absolue, ils sont soit soit égaux, soit opposés. Donc x + 3x + = x 3 x + x + 5 = 0 ( < 0) x + 3x + = x 3 ou ou x + 3x + = x + 3 x + 4x 1 = 0 ( = 0) Les solutions sont donc: + 5; 5. x x est une fonction croissante, donc (x 3) a (x 3) a. 8

9 La seule difficulté de l exercice est alors de ne pas écrire (x 3) = (x 3). (classique). C est une grosse erreur (x 3) a x 3 a a (x 3) a Les solutions sont donc : x [3 a; a + 3] 9