Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur"

Transcription

1 Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice I Motrer que les ombres suivats sot irratioels.. **) 2 et plus gééralemet m où est u etier supérieur ou égal à 2 et m est u etier aturel supérieur ou égal à 2, qui est pas ue puissace -ième parfaite. 2. **) log2. 3. ****) π LAMBERT a motré e 76 que π est irratioel, LEGENDRE a démotré e 794 que π 2 est irratioel, LINDEMANN a démotré e 882 que π est trascedat). avec p et q etiers aturels o uls et premiers etre eux. Pour cela, supposer par l absurde que π = p q Cosidérer alors I = a) I est u etier relatif ; b) I > ; c) lim + I = voir devoir). x p qx)! six dx, N et motrer que I vérifie 4. ***) e HERMITE a démotré e 873 que e est trascedat. C est historiquemet le premier «vrai» ombre dot o a réussi à démotrer la trascedace). Pour cela, établir que pour tout etier aturel, e = k= k! + t)! e t dt, puis que pour tout etier aturel o ul, < e k= k! < 3 +)!. Raisoer alors par l absurde. 5. ***) cos 2π 7 ). Pour cela trouver ue équatio du troisième degré à coefficiets etiers dot les solutios sot cos 2π 7 ), cos 4π 7 ) et cos 6π 7 ), puis vérifier que cette équatio a pas de racie ratioelle supposer par l absurde qu il y a ue racie ratioelle p q avec p Z, q N et PGCDp,q) = et motrer que p divise et q divise 8). O rappelle le théorème de GAUSS : soiet a, b et c trois etiers relatifs tous o uls. Si a divise bc et a et b sot premiers etre eux, alors a divise c). 6. ***) Correctio [529] Exercice 2 **IT Soiet A et B deux parties de R, o vides et borées. Motrer que sup A, sup B, supa + B), if A, if B, if A + B) existet et que l o a sup A + B) = sup A + sup B et if A + B) = if A + if B. A + B désige l esemble des sommes d u élémet de A et d u élémet de B). Correctio [52] Exercice 3 ** Soit A = { + ), N }. Détermier sup A et if A. Correctio [52]

2 Exercice 4 **IT Soit A ue partie o vide et borée de R. Motrer que sup{ x y, x,y) A 2 } = sup A if A. Correctio [522] Exercice 5 ***IT Soiet A et B deux parties o vides et majorées de R. Que dire de supa B), supa B), supa + B) et supab)? A + B resp. AB) désige l esemble des sommes resp. des produits) d u élémet de A et d u élémet de B). Correctio [523] Exercice 6 **** Soit u le chiffre des uités de C k, k etier aturel fixé o ul et etier aturel supèrieur ou égal à k. Motrer que le ombre,u k u k+ u k+2... est ratioel. Correctio [524] Exercice 7 ** Idetité de CATALAN Motrer que pour tout etier aturel o ul, 2 Correctio k= ) k k+ = 2 k=+ k. [525] Exercice 8 **I Iégalités de CAUCHY-SCHWARZ et de MINKOWSKI Soiet a,..., a, b,..., b des ombres réels.. E cosidérat la foctio f : x a k + xb k ) 2, motrer que a kb k a2 k b2 k iégalité de CAUCHY-SCHWARZ). 2. E déduire l iégalité de MINKOWSKI : a k + b k ) 2 a2k + b2 k. l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est iférieur ou égal au produit de leurs ormes et l iégalité de MINKOWSKI est l iégalité triagulaire). Correctio [526] Exercice 9 ** Résoudre das R l équatio x + 2 x + x 2 x =. Correctio [527] Exercice **** Sous groupes de R,+). Motrer que les sous groupes du groupe R,+) sot soit de la forme az, a réel doé, soit deses das R. Idicatio : pour G sous-groupe doé de R,+), o réduit à {}, cosidérer a = If G ];+ [) puis evisager les deux cas a = et a >. Defiitio : G est dese das R si et seulemet si : x R, ε >, y G/ y x < ε). 2. Applicatio. Motrer que {a + b 2, a,b) Z 2 } est dese das R. 3. Applicatio 2 groupe des périodes d ue foctio). a) Soit f ue foctio défiie sur R à valeurs das R. Motrer que l esemble des périodes de f est u sous groupe de R,+) ce sous-groupe est réduit à {} si f est pas périodique). b) Motrer qu ue foctio cotiue sur R qui admet et 2 pour périodes, est costate sur R. Correctio [528] Exercice ** 2

3 Motrer que {r 3, r Q} est dese das R. Correctio [529] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3

4 Correctio de l exercice. Soiet m et deux etiers aturels supérieurs à 2. m Q a,b) N ) 2 / m = a b a,b) N ) 2 / a = m b. Tout d abord, si b =, m = a et m est ue puissace -ième parfaite. Esuite, a = est impossible car m b 2. Supposos alors que a et b soiet des etiers supérieurs à 2 et que a = m b ). L exposat de tout facteur premier de a ou de b est u multiple de et par uicité de la décompositio e facteurs premiers, il e est de même de tout facteur premier de m. Ceci motre que, si m est ratioel, m est ue puissace -ième parfaite. Réciproquemet, si m est ue puissace -ième parfaite, m est u etier et e particulier u ratioel. E résumé : m,) N \ {,}) 2, m Q m N m est ue puissace -ième parfaite. 2. Par suite, si m est pas ue puissace -ième parfaite, m est irratioel. log2 Q a,b) N ) 2 / log2 = a b a,b) N ) 2 / a/b = 2 a,b) N ) 2 / a = 2 b a,b) N ) 2 / 5 a = 2 b a. Puisque 5 a >, ceci impose b a N. Mais alors, l égalité ci-dessus est impossible pour a et b par uicité de la décompositio e facteurs premiers d u etier aturel supérieur ou égal à 2. O a motré par l absurde que log2 est irratioel. 3. Supposos par l absurde que π soit ratioel. Il existe alors deux etiers aturels o uls p et q tels que π = p q. Pour etier aturel o ul doé, posos I =! π x p qx) six dx =! Tout d abord, pour x p p q, o a xp qx) = 2q pour x [,π]), p p 2q q ) x p qx) six dx. = p2 4q, et doc puisque six I p 2 dx = π p 2.! 4q! 4q π D après le résultat admis par l éocé, p 2! 4q) ted vers quad ted vers +, et doc d après le théorème de la limite par ecadremet, la suite I ) coverge et lim + I =. Esuite, puisque pour x élémet de [,π], o a x p qx) six, pour etier aturel o ul doé, o a π I = x p qx) six dx!! = π 3p 2 2 >. 2! 6q 3π/4 π/4 x p qx) six dx! 3π 4 π ) p p p )) 4 4q 4q q 2 Doc, N, I >. Vérifios efi que, pour tout etier aturel o ul, I est u etier relatif). Soit P =! x p qx). P est u polyôme de degré 2 et et p q sot racies d ordre de P et doc, pour k, racies d ordre k de P k). E particulier, P k) ) et P k) p q sot, pour k <, des etiers relatifs. De même, puisque deg P = 2, pour k 2 +, P k) et e particulier, P k) ) et P k) p q sot, pour k 2 +, des etiers relatifs. Soit k u etier tel que k 2. 4

5 ! x p qx) =! x O sait alors que i= C i p i ) i q i x i = i= C i! p i ) i q i x +i = 2 k= C k! P k) ) = k! coefficiet de x k k k! ) = )! Ck p 2 k q k. p 2 k ) k q k x k. ce qui motre que P k) ) est etier relatif puisque k 2). Puis, comme P p q x = P x), o a ecore P k) p q x = ) k P k) x) et e particulier P k) p q = ) k P k) ) Z. O a motré que pour tout etier aturel k, P k) ) et P k) p q sot des etiers relatifs. Motros alors que I est u etier relatif. Ue première itégratio par parties fourit : I = [ P x)cosx] p/q + P x)cosx dx. cos pred des valeurs etières e et p q = π de même que P. Par suite, I Z P x)cosx dx Z. Ue deuxième itégratio par parties fourit : P x)cosx dx = [P x)six] p/q si pred des valeurs etières e et p q = π, de même que P et P x)six dx. I Z P x)six dx Z. E reouvelat les itégratios par parties et puisque si et cos preet des valeurs etières e et π de même que les dérivées succesives de P, o e déduit que : Mais, I Z P 2) x)six dx Z. P 2) x)six dx =! q) 2)!six dx = 2 q) 2)2 )... + ) Z. Doc pour tout aturel, I est u etier relatif, strictemet positif d après plus haut. O e déduit que pour tout aturel, I. Cette derière costatatio cotredit le fait que la suite I ) coverge vers. L hypothèse π est ratioel est doc absurde et par suite, π est irratioel. 4. Motros par récurrece que : N, e = k= k! + t)! e t dt. Pour =, t)! e t dt = et dt = e et doc, e = + et dt = k= k! + t)! e t dt. Soit. Supposos que e = k= k! + t)! e t dt. Ue itégratios par parties fourit : et doc, t)! e t t)+ dt = [ + )! et e = k= k! + + )! + ] + t) + + )! et dt = t) )! et dt = k= + )! + k! + t) + + )! et dt. t) + + )! et dt, Le résultat est aisi démotré par récurrece. Soit u etier aturel o ul. D après ce qui précède, < e k= k! = t)! e t t) dt < e dt =! 5 e + )! < 3 + )!.

6 Supposos alors par l absurde que e soit ratioel. Alors, il existe a,b) N ) 2 / e = a b. Soit u etier aturel o ul quelcoque. D après ce qui précède, o a < a b k= k! < 3 +)!, ce qui s écrit ecore après multiplicatio des trois membres par b! < a! b k=! k! < 3b +. E particulier, pour = 3b, o a < a 3b)! b 3b a! b 3b k= k= 3b)! k! < 3b 3b+ <. Mais ceci est impossible car 3b)! k! est u etier relatif. Il etait doc absurde de supposer que e est ratioel et fialemet, e est irratioel. 5. Ue équatio du troisième degré dot les solutios sot cos 2π 7, cos 4π 7 et cos 6π 7 est ou ecore X 3 cos 2π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 X cos 2π 7 )X cos 4π 7 )X cos 6π 7 ) =, ) X 2 + cos 2π 7 cos 4π 7 + cos 2π 7 cos 6π 7 + cos 4π 7 cos 6π 7 ) X cos 2π 7 cos 4π 7 cos 6π 7 Calculos alors ces trois coefficiets. Soit ω = e 2iπ/7. Puisque ω 7 = et que ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 + ω 5 + ω 6 =, o a d après les formules d EULER puis, cos 2π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 = 2 ω + ω6 + ω 2 + ω 5 + ω 3 + ω 4 ) = 2, cos 2π 7 cos 4π 7 +cos 2π 7 cos 6π 7 + cos 4π 7 cos 6π 7 = 4 ω + ω6 )ω 2 + ω 5 ) + ω + ω 6 )ω 3 + ω 4 ) + ω 2 + ω 5 )ω 3 + ω et efi, = 4 ω3 + ω 6 + ω + ω 4 ) + ω 4 + ω 5 + ω 2 + ω 3 ) + ω 5 + ω 6 + ω + ω 2 )) = 2 ) 4 = 2, cos 2π 7 cos 4π 7 cos 6π 7 = 8 ω + ω6 )ω 2 + ω 5 )ω 3 + ω 4 ) = 8 ω3 + ω 6 + ω + ω 4 )ω 3 + ω 4 ) = 8 ω6 + + ω 2 + ω 3 + ω 4 + ω ω) = 8 Les trois ombres cos 2π 7, cos 4π 7 et cos 6π 7 sot doc solutio de l équatio X X 2 2 X 8 = ou ecore de l équatio 8X 3 + 4X 2 4X =. Motros que cette équatio admet pas de racie ratioelle. Das le cas cotraire, si, pour p etier relatif o ul et q etier aturel o ul tels que p et q sot premiers etre eux, le ombre r = p q est racie de cette équatio, alors 8p 3 +4p 2 q 4pq 2 q 3 =. Ceci peut ecore s écrire 8p 3 = q 4p 2 +4pq+q 2 ) ce qui motre que q divise 8p 3. Comme q est premier avec p et doc avec p 3, o e déduit d après le théorème de GAUSS que q divise 8. De même, l égalité q 3 = p8p 2 + 4pq 4q 2 ) motre que p divise q 3 et doc que p divise. Aisi, p {,} et q {,2,4,8} ou ecore r {,, 2, 2, 4, 4, 8 8},. O vérifie alors aisémet qu aucu de ces ombres est racie de l équatio cosidérée et doc cette équatio a pas de racie ratioelle. E particulier, 6

7 cos 2π 7 est irratioel. 6. O sait que 2, 3 et 5 sot irratioels mais ceci impose rie à la somme Soit α = α = α 2) 2 = 3 + 5) 2 α 2 2 2α + 2 = α 2 2 2α 6) 2 = 6 α 4 + 8α 2 24 = 4 2αα 2 6) Si maiteat, o suppose que α est ratioel, puisque 2 est irratioel, o a écessairemet αα 2 6) = das le cas cotraire, 2 = α4 +8α 2 24 Q). Mais α est i, i 6, i 6 car α 2 > 4αα 2 6) = > 6). Doc est irratioel. Correctio de l exercice 2 A et B sot deux parties o vides et majorées de R et admettet doc des bores supérieures otées respectivemet α et β. Pour tout a,b) A B, o a a + b α + β. Ceci motre que A + B est ue partie o vide et majorée de R, et doc que supa + B) existe das R. De plus, puisque α + β est u majorat de A + B, o a déjà supa + B) α + β). Soit alors ε >. Il existe a A et b B tels que α ε 2 < a α et β ε 2 < b β, et doc tels que α + β ε < a + b α + β. E résumé, O e déduit que ) a,b) A B, a + b α + β et 2) ε >, a,b) A B/ a + b > α + β ε. supa + B) = α + β = sup A + sup B. Pour les bores iférieures, o peut refaire le travail précédet e l adaptat ou appliquer le résultat précédet aux esembles A et B car IfA = sup A). Correctio de l exercice 3 Posos pour etier aturel o ul u = + ) de sorte que A = {u, N } = {, 2 +, 3, 4 +, 5,...}. Pour, u 2 = + 2. Doc N, < u Pour, u 2 = + 2. Doc N, < u 2. Par suite, N, < u 3 2. Doc, sup A et if A existet das R et de plus if A sup A 3 2. Esuite, 3 2 = u 2 A. Doc, sup A = max A = 3 2. Efi, pour chaque etier aturel o ul, oa if A u 2 = + l ifii das cet ecadremet, o obtiet if A = 2. O fait tedre ted vers cette bore iférieure est pas u miimum). Correctio de l exercice 4 7

8 Posos B = { y x, x,y) A 2 }. A est ue partie o vide et borée de R, et doc m = if A et M = sup A existet das R. Pour x,y) A 2, o a m x M et m ym, et doc y x M m et x y M m ou ecore y x M m. Par suite, B est ue partie o vide et majorée de R. B admet doc ue bore supérieure. Soit ε >. Il existe x,y ) A 2 tel que x < if A + ε 2 et y > sup A ε 2. Ces deux élémets x et y vérifiet, y x y x > sup A ε ) if A + ε ) = sup A if A ε. 2 2 E résumé,. x,y) A 2, y x sup A if A et 2. ε >, x,y) A 2 / y x > sup A if A ε. Doc, sup B = sup A if A. sup { y x, x,y) A 2 } = sup A if A. Correctio de l exercice 5. A B peut être vide et o a rie à dire. Supposos doc A B o vide. Pour x A B, o a x sup A et x sup B et doc x mi{sup A,sup B}. Das ce cas, supa B) existe et supa B) mi{sup A, sup B}. O e peut pas améliorer. Par exemple, soit A = [, ] Q et B = [, ] R \ Q)) {}. O a sup A =, sup B =, A B = {} et doc supa B) = < = mi{sup A,sup B}. 2. Pour x A B, o a x max{sup A,sup B}. Doc supa B) existe das R et supa B) max{sup A,sup B}. Iversemet, supposos par exemple sup A sup B de sorte que max{sup A, sup B} = sup A. Soit alors ε >. Il existe a A tel que sup A ε < a sup A. a est das A et doc das A B. E résumé, x A B), x max{sup A,sup B} et ε >, x A B)/ max{sup A,sup B} ε < x et doc supa B) = max{sup A,sup B}. 3. D après l exercice 2, supa + B) = sup A + sup B. 4. Pour supab), tout est possible. Par exemple, si A = B =],] alors sup A = sup B =, mais AB = [,+ [ et supab) existe pas das R. Correctio de l exercice 6 Soiet k u etier aturel o ul et u etier aturel supérieur ou égal à k. + k! + k!) + k! )... + k! k + ) = k k! )... k + ) + k! K = pour u certai etier K) k! )... k + ) = + K = + K. k! k + k! + k! La différece est doc divisible par. Par suite, et ot même k k k k chiffre des uités e base. Aisi, k, u + k! = u et doc la suite u est doc k!-périodique. O sait alors que,u k u k+ u k+2... est ratioel. 8

9 Correctio de l exercice 7 ) k Pour =, 2 k= k+ = 2 = 2 et 2 Soit. Supposos que 2 ) k k= k+ = 2 k=+ k. O a alors k=+ k = 2. L idetité proposée est doc vraie pour =. 2+) ) k k= 2 k + = k= O a motré par récurrece que, 2 k= ) k k = = k=+2 k ) = 2 k=+ k=+2 k ) k + 2+) = k=+2 ) k k+ = 2 k=+ k idetité de CATALAN). k Correctio de l exercice 8. Si les b k sot tous uls, l iégalité est claire. Sio, pour x réel, posos 2. f x) = a k + xb k ) 2 = b2 k) x a kb k )x + a2 k. f est u triôme du secod degré de sige costat sur R. So discrimiat réduit est doc égatif ou ul ce qui fourit : = ) 2 a k b k a 2 k ) b 2 k ou ecore a kb k a2 k b2 k, qui est l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ. a k + b k ) 2 = = a 2 k + 2 a 2 k + 2 a k b k + a 2 k a 2 k + b 2 k b 2 k a 2 k + 2 ), a k b k + b 2 k b 2 k + b 2 k CAUCHY-SCHWARZ) et doc, a k + b k ) 2 a2k + b2 k, qui est l iégalité de MINKOWSKI. ) 2 Correctio de l exercice 9 Pour x, x+2 x = x +2 x + = x +) 2. De même, x 2 x = x ) 2. Doc, si o pose f x) = x + 2 x + x 2 x, f x) existe si et seulemet x et pour x, f x) = x + + x. Par suite, f x) = x + x = x = et x = x = et x =, ce qui est impossible. L équatio proposée a pas de solutio. Correctio de l exercice 9

10 . Soit G u sous groupe o ul de R,+) {} =.Z est du type voulu). Il existe das G u réel o ul x. Puisque G est u sous groupe de R,+), le réel x est aussi das G et l u des deux réels x ou x est strictemet positif. Soit alors A = G ],+ [. D après ce qui précède, A est ue partie o vide et miorée par ) de R. A admet doc ue bore iférieure que l o ote a. er cas. Si a =, motros das ce cas que G est dese das R c est par exemple le cas de Q,+)). Soiet x u réel et ε u réel strictemet positif. Puisque if A = ifg ],+ [) =, il existe das G u élémet g tel que < g < ε. Puis il existe u etier relatif tel que g x ε < + )g à savoir ). Soit y = + )g. D ue part, y est das G si + =, + )g = G, si + >, = E x ε g + )g = g + g g G et si + <, + )g = + )g) G) et d autre part x ε < + )g = g + g < x ε + ε = x. O a motré que x R, ε >, y G/ x ε < y < x et doc si G {} et si ifg ],+ [) =, G est dese das R. 2ème cas. Si a >, motros das ce cas que G = az. Pour cela, motros tout d abord que a est das G. Mais si a est pas élémet de G, par défiitio de a, il existe u réel x das G ]a,2a[ puis il existe u réel y das G ]a,x[. Le réel x y est alors das G ],a[ ce qui est impossible. Doc a est élémet de G. Motros alors que G = az. Puisque a est das G, G cotiet ecore a + a = 2a, puis a + a + a = 3a et plus gééralemet tous les a, N. Puisque G cotiet aussi les opposés de ces ombres et égalemet = a, G cotiet fialemet tous les a, Z. O a aisi motré que az G. Réciproquemet, soit x u élémet de G et = E x a Z). Alors, x a < + puis x a < a. Or, x est das G et a est das G. Doc, x a est das G [,a[= {}, puis x = a az. O a aisi motré l iclusio cotraire et doc G = az. si ifg ],+ [) = a >, G = az. 2. Soit G = {a + b 2, a,b) Z 2 }. O vérifie aisémet que G est u sous-groupe de R,+). Maiteat, la formule du biôme de NEWTON motre que, pour chaque etier aturel, 2 ) G ],+ [. Or, < 2 < et doc lim + 2 ) =. Ceci motre que ifg ];+ [) = et doc que G est dese das R. 3. a) Soit f ue applicatio de R das R et G f = {T R/ x R, f x + T ) = f x)}. est élémet de G f et c est même le seul élémet de G f si f est pas périodique) et doc G. De plus, si T et T sot deux élémets de G alors, pour x réel doé : f x + T T )) = f x T ) + T ) = f x T ) = f x T + T ) = f x), et T T est ecore u élémet de G. O a motré que G f est u sous groupe de R,+). b) Soit f ue applicatio de R das R admettat et 2 pour périodes. G f cotiet ecore tous les ombres de la forme a + b 2, a,b) Z 2 et est doc dese das R. Motros que si de plus f est cotiue sur R, f est costate. Soit x u réel quelcoque. O va motrer que f x) = f ). Remarque prélimiaire : soit T ue période strictemet positive de f. Il existe u etier relatif p tel que pt x < p + )T à savoir p = E x T. O a alors f x) = f x pt ) avec x pt < T. Soit alors N. Puisque G f est dese das R, il existe das G f u réel T ) tel que < T < ce qui implique que lim + T = ). Mais alors, puisque < x E x T T < T, o a aussi ) lim + x E x T T =. Maiteat, la suite f x E x )T T est costate égale à f x)) et doc covergete vers f x). O e déduit que N

11 x f x) = lim f x E )T = f + T = f ) lim + ) x x E )T T par cotiuité de f e ) ce qu il fallait démotrer. Correctio de l exercice Soiet x u réel et ε u réel strictemet positif. O a 3 x < 3 x + ε. Puisque Q est dese das R, il existe u ratioel r tel que 3 x < r < 3 x + ε et doc tel que x < r 3 < x + ε, par stricte croissace de la foctio t t 3 sur R. O a motré que {r 3, r Q} est dese das R.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Polynômes de Bernstein

Polynômes de Bernstein Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e 1968. 1) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions)

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions) Eo7 Foctios réelles d ue variable réelle dérivables (eclu études de foctios) Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fice sur wwwmats-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Ensembles et nombres réels

Ensembles et nombres réels Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Concours PT2004 Maths I-B. partie A

Concours PT2004 Maths I-B. partie A ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Polynômes de Tchebychev

Polynômes de Tchebychev Polyômes de Tchebychev Pafoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicie russe, est é à Borovsk e 8 et mort à Sait-Pétersbourg e 894. ) Défiitio et existece a) Polyômes de Tchebychev de ère espèce : T. Soit u

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn Exo7 Séries Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Nature

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours tifawtcom Exo7 Suites Exercices de Jea-Louis Rouget * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice ***IT

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

Partie I - Préliminaires

Partie I - Préliminaires SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral +... + + 2. coverge, il e est de même de la série de terme

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. degré inférieur ou égal à q et IC q, p [ X ] celui constitué des éléments de IC q [ X ] divisibles par X p.

MATHÉMATIQUES I. degré inférieur ou égal à q et IC q, p [ X ] celui constitué des éléments de IC q [ X ] divisibles par X p. MATHÉMATIQUES I Objectifs O se roose, das ce qui suit, de détermier l esemble des solutios d ue équatio différetielle liéaire à coefficiets costats lorsqu elle est homogèe, uis lorsque celle-ci admet u

Plus en détail

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1.

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1. icolas.laillet@imj-prg.fr DS 2 Aalyse Exercice 1 (questio de cours 2 poits Éocer le théorème de Rolle. Soiet a, b deux réels avec a < b, soit f ue foctio à valeurs réelles, cotiue sur [a, b] et dérivable

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Espaces euclidies Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Séries entières. Plan de cours

Séries entières. Plan de cours 5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Développements limités

Développements limités [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4)

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Cours Termiale S La foctio logarithme épérie O a vu das u chapitre précédet que la foctio epoetielle est cotiue et strictemet croissate sur R et que l image de R par cette

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il

Plus en détail

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP - 207 Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ

Plus en détail

Feuille d exercices 11

Feuille d exercices 11 Mathématiques Aalyse I M. Samy Modeliar Feuille d eercices Itégratio Correctio Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral si ( π + ) d + Correctio. Pour tout etier, la foctio

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Chapitre A1 - Nombres - récurrences - Sommes. Table des matières

Chapitre A1 - Nombres - récurrences - Sommes. Table des matières Chapitre A1 - Nombres - récurreces - Sommes Table des matières 1 Esembles de ombres 2 1.1 Déitios................................................... 2 1.2 Itervalles d'etiers..............................................

Plus en détail

Fiche 2 : Les fonctions

Fiche 2 : Les fonctions Nº : 300 Fiche : Les foctios Calculer des limites O commece par aalyser f (). Peut o directemet appliquer l u des théorèmes du cours (limites et opératios, théorèmes de comparaiso)? Das la égative, il

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Trigoométrie Exercices de Je-Louis Rouget Retrouver ussi cette fiche sur wwwmths-frcefr * très fcile ** fcile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourble T : pour trviller

Plus en détail

Séries d exercices Aritmetiques

Séries d exercices Aritmetiques Séries d exercices Aritmetiques ème Maths Maths au lycee Ali AKIR Site Web : http://maths-akirmidiblogscom/ EXERCICE N )Quel est le reste de la divisio par 7 du ombre ) Quel est le reste de la divisio

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Introduction au calcul matriciel

Synthèse de cours PanaMaths Introduction au calcul matriciel Sythèse de cours PaaMaths Itroductio au calcul matriciel Défiitios Notio de matrice O appelle «matrice de dimesio p» ou «de type (, p )» u tableau de ombres réels comportat liges et p coloes ( et p sot

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives SESSION Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES FILIERE MP IA - I - Caractérisatio des matrices symétriques défiies positives IA Soiet N et A S (R O sait que toutes les valeurs propres de A sot réelles Supposos

Plus en détail

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter

Plus en détail

2. Correction : Limites, continuité, dérivabilité

2. Correction : Limites, continuité, dérivabilité Correctio : Limites, cotiuité, dérivabilité Exercices de base U algorithme a est la valeur de la variable x pour laquelle o cherche ( x ), p est la précisio utilisée das le calcul : plus o avace das la

Plus en détail

b-on a: Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1)

b-on a: Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1) Exercices d arithmétiques corrigés Exercice N 1 : 1-Etablir que pour tout (a,b,q) 3,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq) 2-Motrer que pour tout, pgcd(5 3 -,+2) = pgcd(+2,38) 3-Détermier l esemble des etiers relatifs

Plus en détail

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre 1. Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces............. 8 B. Étude locale des applicatios Cotiuité..... 19 C. Cotiuité des applicatios liéaires....... 25 D. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie...

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Exo7. Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume. 1 Théorème de Carathéodory. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure

Exo7. Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume. 1 Théorème de Carathéodory. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure Exercices : Barbara Tumpach Relecture : Fraçois Lescure Exo7 Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume 1 Théorème de Carathéodory Exercice 1 Le but de cet exercice est de prouver le Théorème

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Comportement d une suite

Comportement d une suite CHAPITRE 6 Comportemet d ue suite ACTIVITÉS Activité L aire ajoutée (celle d u carré compese exactemet l aire elevée a p 6 ; p 5 ; p 6 6 b La suite (p est géométrique de raiso car la logueur de la lige

Plus en détail

1 Présentation du jeu.

1 Présentation du jeu. Présetatio du jeu.. Les règles du jeu. Le touroi est u jeu comportat ue suite de maches (appelées duels ) opposat deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vot etrer e jeu successivemet, tat qu aucu d etre

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série.

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série. Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante :

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante : Eocés et correctios : Sadra Delauay Exo7 Sujets de l aée 24-25 1 Devoir à la maiso Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivate : 1 Détermier les valeurs propres de M 2 Motrer que M est diagoalisable

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Suites et séries réelles

Suites et séries réelles Suites et séries réelles Ue suite umérique est ue famille de ombres réels ou complexes idicées par les etiers aturels. O ote ue suite u idifféremmet (u ) N, ou (u ) 0, ou simplemet (u ). L esemble des

Plus en détail