EXERCICE n o 1 (France septembre 2006). Partie A : étude d une fonction auxiliaire. Soitg la fonction définie sur l intervalle ] 0 ; + [ par

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1 EXERCICE n o (France septembre 6) Partie A : étude d une fonction auiliaire Soitg la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par g() = 4 ln + 4 Déterminer la fonction dérivéeg de la fonctionget prouver que, pour tout nombre réelstrictement positif :g () = 4 4 Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l intervalle ] ; + [ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites) 3 Déterminer le signe de la fonctiongsur l intervalle ] ; + [ Partie B Dans toute la suite du problème, on étudie la fonctionf définie sur l intervalle ] ; + [ par f() = 3+4 ln On notec sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (O; ı ; j ) d unité graphique cm (a) Déterminer la limite def en (b) Interpréter graphiquement le résultat précédent (a) Déterminer la limite def en + (b) Démontrer que la droitedd équationy= 3 est asymptote à la courbec en + (c) Étudier la position de la courbec par rapport à la droited 3 Déterminer la dérivéef de la fonctionf et prouver que, pour tout nombre réelstrictement positif : f () = g() 4 À l aide des résultats de la partie A, indiquer le signe def () sur l intervalle ] ; + [, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf 5 (a) Montrer que l équationf() = admet une solution uniqueαdans l intervalle [ ; ] (b) Donner un encadrement d amplitude 4 deα 6 Pour quelle valeur dela courbec admet-elle, au point d abscisse, une tangente parallèle àd? 7 Construire avec soin la droitedet la courbec (on utilisera une feuille de papier millimétré) Partie C Dans cette partie, on souhaite calculer l airea, en cm, du domainee situé entre les droites d équations = et = 5, la courbec et la droited Hachurer le domainee sur le graphique réalisé à la partie B 5 Montrer quea = 4 ln d 3 (a) On pose, pour tout nombre réelstrictement positif,h() = (ln) Déterminer la dérivée de la fonction H (b) Calculer la valeur eacte dea, puis en donner une valeur approchée au mm près

2 EXERCICE n o (Polynésie juin 7) Le plan est rapporté au repère orthonorinal (O; ı ; j ) (L unité graphique est cm) Le but du problème est l étude de la fonctionf définie sur l intervalle ] ; + [ par puis de calculer une aire I Étude d une fonction auiliaire g f() = + ln() On noteg la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : Calculer la fonction dérivéeg de la fonctiong g() = 4 + ln() Déterminer le sens de variation de la fonctiong (On ne demande pas les limites en et en + ) 3 Résolution de l équation g() = (a) Démontrer que sur l intervalle [ ; ] l équationg() = possède une solution uniqueα (b) Donner un encadrement d amplitude de ce nombreα 4 Déduire de ce qui précède le signe deg() suivant les valeurs de, dans l intervalle ] ; + [ II Étude de la fonctionf SoitC la courbe représentative def dans le repère (O; ı ; j ) Déterminer la limite def en Qu en déduit-on pour la courbec? Etude en + (a) Déterminer la limite def en + (b) Démontrer que la droitedd équationy= est asymptote à la courbec (c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbec et à la droited (d) Étudier la position de la courbec par rapport à la droited 3 Étude des variations def (a) Déterminer la fonction dérivéef de la fonctionf Vérifier que pour tout réelappartenant à l intervalle ] ; + [ : f () = g(), oùgest la fonction étudiée dans la partie I (b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonctionf 4 On notet la tangente à la courbec au point d abscisse e Montrer quet est parallèle à l asymptote D 5 Dans le repère (O; ı ; j ), tracer la droited, la tangentet et la courbec à l aide de l étude précédente (On prendraf(α), 5) III Calcul d une aire On définit sur l intervalle ] ; + [ la fonctionh par H() = + ln (ln) Démontrer queh est une primitive de la fonctionf sur l intervalle ] ; + [ Soit la région du plan limitée par la courbec, l ae des abscisses et les droites d équations = et =e (a) Hachurer la région sur votre figure (b) On notes l aire, eprimée en unité d aire, de la régions Déterminer la valeur eacte des (c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm

3 EXERCICE n o 3 (France deptembre 7) Partie A Étude d une fonction auiliaire On considère la fonctiongdéfinie sur l intervalle ] ; + [ par : g() = + + ln Étudier les variations deg sur l intervalle ] ; + [ Démontrer qu il eiste une solution uniqueαde l équationg() = dans l intervalle [, ;, 5 ] 3 Déterminer un encadrement deαd amplitude 4 Étudier le signe deg () sur l intervalle ] ; + [ Partie B Étude de la fonctionf Soitf la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f() = ln + + On appellec la courbe représentative def dans un repère orthonormal (O; ı ; j ) d unité graphique cm On rappelle que lim ln = Déterminer la limite def en Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif:f() = ln + + En déduire la limite def en + 3 Soitf la dérivée def Montrer que, pour tour nombre réel strictement positif,f () = g() ( + ) 4 Étudier, en utilisant les résultats de la partie A, le signe def () selon les valeurs de 5 Dresser le tableau de variations def sur l intervalle ] ; + [ (On indiquera une valeur approchée def(α) en prenantα, 8) 6 Déterminer une équation de la tangente T àc au point d abscisse 7 On a tracé ci-dessous la courbe représentativec de la fonctionhdéfinie dans la partie C Sur le graphique, tracer la tangente T ainsi que la courbec Partie C Aire comprise entre deu courbes On considère dans cette partie la fonctionhdéfinie sur l intervalle ] ; + [ par : h() = ln + On pose, pour tout nombre réel strictement positif:u() =f() h() Montrer queu() = ln + Montrer que la fonctionu définie sur l intervalle ] ; + [ par :U() = ln + est une primitive de la fonctionu 3 (a) Étudier le signe deu() sur l intervalle ] ; + [ (b) En déduire les positions relatives des courbesc etc sur l intervalle ] ; + [ 4 Hachurer le domainedcompris entre les courbesc,c et les droites d équation = et = 5 Déterminer alors l aire eacte du domained en unités d aire, puis en cm Donner une valeur approchée de cette aire au mm près

4 EXERCICE n o 4 (Polynésie juin 8) Soitf la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : f() = ln On notec sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; ı ; j ) ; la courbec est donnée en annee Partie A - Étude de la fonctionf Déterminer la limite de la fonctionf en + On rappelle le résultat suivant : lim ln = ln (a) En remarquant quef() =, déterminer la limite def() lorsquetend vers (b) En déduire l eistence d une asymptote à la courbec et en donner une équation 3 (a) Calculerf () et montrer que pour tout nombre réelappartenant à l intervalle ] ; + [ on a :f () = (b) Déterminer le tableau des variations def sur l intervalle ] ; + [ Indiquer la valeur de l etremum 4 (a) Démontrer que, sur l intervalle [, ; ], la fonctionf s annule pour deu valeurs eactement On note et ces deu valeurs, avec < (b) Placer et sur l ae (O ;ı) représenté sur la feuille annee, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deu nombres Partie B - Étude d une tangente On désigne part la tangente à la courbec au point A d abscisse Démontrer qu une équation de la droitet est :y= 3 + ln On considère la fonctionhdéfinie sur ] ; + [ parh() =f() ( 4 + ln ) (a) Calculerh () et vérifier que pour toutde ] ; + [, on a :h () = ( ) 4 (b) En déduire le sens de variation de la fonctionhsur l intervalle ] ; + [ (c) Calculerh() et en déduire le signe de la fonctionhsur l intervalle ] ; + [ 3 À l aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbec et de la tangentet 4 Tracer la droitet sur la feuille annee en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente Partie C Calcul d une aire On notegla fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : CalculerG () G() = ln En déduire une primitivef de la fonctionf sur l intervalle ] ; + [ 3 On considère la partie du plan comprise entre les droites d équation = et = 6 d une part, entre l ae horizontal et la courbec d autre part On noteal aire de cette partie de plan, eprimée en unités d aire (a) Hachurer cette partie de plan sur la feuille annee (b) Donner la valeur eacte de l airea, puis sa valeur arrondie au centième

5 Graphique de l eercice n : O Graphique de l eercice n 3 : j ı