( ) Corrigé variations de la fonction logarithme népérien. Exercice 1. ; f (x) = = = x ; f (x) = 4 ( ln x) 3. ; f (x) = x x 1 = = ; f (x) = x x = 1 ln

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1 Eercice ) f ( ) = ln ; f () = ln + ) ln ln ln f ( ) = ; f () = = ² ² ) f ( ) = ( ln ) 4 ; f () = 4 ( ln ) 4) f ( ) = ; f () = = ln ln ² ln ² ) ( ln + ) ( ln ) ln f ( ) = ; f () = = ln + (ln + )² ( ln + )² 6) ln ln + + f ( ) = ( + ) ( ln )² ; f () = ln ² + ( + ) ln = 7) f ( ) = ln( ) ; f () = ² 8) f ( ) = ln ; f () = = 9 ( 9)² + ( 9)( + ) 9) f ( ) = ln ( ) = ln( ) ; f () = = ( ) ) f ( ) = ln(ln ) ; f () = ln ; formule f(u()) ( ) Eercice ) ln = si = ) ln = si = e car e = ) ln( ) = équivaut à = e car e = et la fonction e est strictement e croissante donc = 4) ln = si = e car e = ) ln( ² 4) < équivaut au lignes suivantes : ln( ² 4) e < e car la fonction e est strictement croissante ² - 4 < car e ln = ( )( + ) < S = ] ; [ + 6) ln < équivaut au lignes suivantes : + ln < + < e car la fonction e est strictement croissante et car ln e =

2 + e < + ( e ) < S = ; e 7) ln équivaut au lignes suivantes : ln e² car la fonction e est strictement croissante et car e ln = S = [ e ²;+ [ 8) ln( ) = ln( ) équivaut au lignes suivantes = car la fonction e est strictement croissante et car = 9) ln( + ) ln( ) équivaut au lignes suivantes + car la fonction e est strictement croissante et car 7 7 S = ; ) ln( ² 6) ln équivaut au lignes suivantes ln e = ln e = ² - 6 car la fonction e ln est strictement croissante et car e = ² - 6 = = 68 S = ] ; 7] [ + 7; + [ ) ( )ln( + ) >. on travaillera sur cet ensemble. ln ( + ) > si + > donc si >. On a alors le tableau de signes suivants : - Etudions d abord le signe de ln ( + ) : cette fonction est définie sur [ ; +. [ ln ( + ) P ; ; + ) ln(ln ) > équivaut au lignes suivantes ln > e ;+ S = ] [ > e S = ] [ + Eercice ) (ln )² ln 4 =. On pose X = ln d où l équation X² - X 4 = ; = donc X = 4 et X = - ; donc = e 4 et = e - ) (ln )² ln = : X² - X = ; =, X = 6 et X = - donc = e 6 et = e -. ) (ln )² + ln = équivaut à (ln )² - ln = : X² - X = ; = 49 X = et X = - donc = e et = e -

3 4) (ln ) 9ln ² 6ln + = : X 9X² - 6X + =, on remarque que X = - est solution donc l équation devient : ( X + ) ( X² - X + ) = ; = 8, X = et X =. D où S = ; e ; e e ) ln ² ln : X² - X ; = 49 X ; et donc ; e e 6) ln ² + ln 6 > : X² + X 6 > ; = 49, X ] ; [ ; + et donc ] ; e [ e ; + 7) ln ² ln équivaut à : ln ( ln ). On travaille sur ] ;+ ]. Voici le tableau de signes : e + ln ln P S = ] ; ] [ e ;+ [ 8) 7ln + 8ln ² + 9ln ; 7 X + 8 X² + 9X équivaut à X ( 7 X² + 8X + 9 ). ;+ ;+ = - 88 donc 7 X² + 8X + 9 > et donc X [ [ et donc [ [ Eercice 4 La fonction f() = ln( e e +). ) La fonction f est définie si e e + > or X² - X + > car = - < donc f est définie sur R. lim e e + = et lim f ( ) = ln = lim e e + = lim e + = + et lim ln u = + donc lim f ( ) = e e u + + La courbe de f admet donc une asymptote horizontale d équation y = e e e ( e ) ) f () = = est du signe de e d après ). e e + e e + Résolvons e équivaut au lignes suivantes : e ln car la fonction ln est strictement croissante et ln e =. Donc, f est croissante sur [ ln ;+ [. ) Calculons f() y = ln( e e + ) = ln e e + e = ln e + ln e + e = ln( e ( ( ) ( ) + e ) Or lim e = lim e = donc lim e + e = et ln = + + +

4 donc lim f ( ) y = et la droite d équation y = est bien asymptote à la courbe. + Pour étudier la position relative de la droite et de la courbe, il faut regarder le signe de ln e + e. ( ) Or ln( e e ) + > équivaut au lignes suivantes e + e > e e > or e - > e ( ) > < car la fonction eponentielle est strictement croissante. Donc sur ] ;] courbe est au dessus de son asymptote et sur [ ;+ [ asymptote. la la courbe est en dessous de son Eercice + ) Soit f() = ln. + + lim = et lim ln u = donc lim f ( ) = + u + + lim = + et lim ln u = + donc lim f ( ) = +. u + La courbe de f admet deu asymptotes verticales d équation = et = ) f () = = > sur le domaine de définition donc la ( )² + ( )( + ) fonction f est croissante sur ] ; [. ) Montrons que la fonction f est impaire : + f ( ) = ln = ln( ) ln( + ) = ln( + ) ln( ) = ln = f ( + et le domaine de définition de f est symétrique par rapport à donc f est impaire et l origine du repère est centre de symétrie de la courbe de f. [ ] ) Eercice 6 + ) Soit f() = ln. + + lim =, lim = lim + = et ln = donc lim f ( ) = La courbe admet une asymptote horizontale d équation y =. + + lim = + et lim ln u = + donc lim ln = +, de plus lim = d où u + + lim f ( ) = + et la courbe de f admet une asymptote verticale d équation =. + ) f () = + = + = = < ² + ( + )² ( + ) ( + )² ( + )² ( + )² ;+ sur ] ;+ [. Donc f est décroissante sur ] [

5 Eercice 7 ln ) Soit f() = +. lim ln = et lim = donc lim f ( ) = et la courbe de f admet une asymptote verticale, la droite d équation =. lim = lim ln = + donc lim f ( ) = ) f () = + = > sur ] ;+ [ donc f est croissante sur ] ;+ [ ) f est une fonction continue comme somme d un polynôme et d une fonction logarithme népérien, f est strictement croissante sur ] ;+ [ et est dans l intervalle image de ] ;+ [ donc par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il ;+ de l équation f() =. a =. eiste une unique solution a dans ] [ Eercice 8 ln( + ) ln( + ) ln( + ) ) lim = lim = () = = f () ( on a utilisé la formule + du nombre dérivé de la fonction ln ( + ) ). Donc f est continue en ) Commençons par étudier le signe de la fonction g() = ln( + ) + ². Pour cela, nous allons étudier les variations de g : + + ² ² g () = + ² = = < si >. Donc g est décroissante et g() = donc g() d où : ln( + ) ² +. ln( + ) Comme ² > alors : +. ² Maintenant, étudions le signe de h() = ln( + ) + ² ; h () = + + ² + = = >, h() = donc h() ln( + ) et ln( + ) ² et puisque ² >, on obtient :. ² f ( ) f () ln( + ) Etudions maintenant la dérivabilité de f en : lim = lim et ² par l encadrement précédent, en utilisant le théorème des gendarmes ln( + ) lim = donc la fonction f est dérivable en et f () =. ² Eercice 9 ) Fau : f() = e est aussi solution. ) Vrai : f () = e = f() e ) Fau : par croissance comparée lim = + 4) Vrai par croissance comparée + 4

6 ) Vrai car lim e = lim e + 6) Vrai car = + e e 7) Fau : lim = lim = (e )() = ( nombre dérivé de e ) e e e 8) Fau : lim = lim = + car lim = + par croissance comparée. 9) Vrai car e u > ) Vrai : e 4 = ( e )( e + ) = et e + > donc e = si = ln ) Vrai car la fonction ep est strictement croissante ) Vrai car e u > + + ) Fau : la dérivée de 4e est 8e 4) Fau : la dérivée de ( e )² est e e = ( e ) ) Vrai : e = = e si = 6) Vrai : pour que la première eiste, il faut que la deuième eiste aussi.