Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

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1 Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition. b) Montrer que la fonction est strictement croissante sur ] 0; + [. c) Dresser le tableau de variation de la fonction. y Cf x - a) Montrer que pour tout entier naturel, l équation = admet une unique solution dans] 0; + [. On note cette solution. On a donc, pour tout entier naturel, + =. b) Sur la page annexe, on a tracé la courbe dans le repère ; ;. Placer les nombres,,, sur l axe des abscisses en laissant apparaître les traits de construction. c) Préciser la valeur exacte de d) Montrer que la suite est strictement croissante. 3 a) Déterminer une équation de la tangente T à au point d abscisse 1. b) Etudier les variations de la fonction h définie sur ] 0; + [ par h = +1. Il est inutile de calculer les limites. En déduire la position de la courbe et de la tangente T. c) Tracer T sur le graphique annexe. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a! ". 4 Déterminer la limite de la suite. National Septembre 009 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [par =ln " +4. Partie A 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ 0 ;+ [.. Soit g la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par ' =.

2 a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [ 0 ;. b. Montrer que sur l intervalle [; 3] l équation ' 0 admet une unique solution que l on notera. Donner la valeur arrondie de à 10 1 près. c. Justifier que le nombre réel est l unique solution de l équation. Partie B : Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n par :(! (. La courbe C représentative de la fonction f et la droite d équation y = x sont tracées sur le graphique donné cidessous. 1. À partir de u 0, en utilisant la courbe C et la droite, on a placé u 1 sur l axe des abscisses. De la même manière, placer les termes u et u 3 sur l axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse. 3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1#( #. b. Démontrer que la suite (u n ) converge. c. Déterminer sa limite. La Réunion Juin 010 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle 1 ; par 1ln 1. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; i, j). On note D la droite d équation y = x. Partie A 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f. b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.. On désigne par g la fonction définie sur l intervalle 1 ; par g( x ) = f ( x ) x. a. Déterminer )* + - '. /0!+ b. Déterminer )*. En déduire )* '.!+ c. Étudier le sens de variation de la fonction g puis dresser le tableau de variations de la fonction g. d. Montrer que sur l intervalle 1 ; l équation g( x ) = 0 admet exactement deux solutions α et β, avec α négative et β appartenant à l intervalle [ ; 3]. e. À l aide des questions précédentes, déterminer le signe de g(x). En déduire la position relative de la courbe C f et de la droite D. Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soit (u n) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : u 0 = et u f ( u ) 1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, un β.. La suite (u n) est-elle convergente? Justifier la réponse. n+ 1 = n. Liban Juin 010 (C) Partie A : Soit u la fonction définie sur ] 0 ; + [ par u( x ) = x + ln x. 1. Étudier les variations de u sur ] 0 ; + [ et préciser ses limites en 0 et en +.

3 . a. Montrer que l équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ] 0 ; + [. On note α cette solution. b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 de α. 3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4. Montrer l égalité : ln α = α. Partie B : On considère la fonction f définie et dérivable sur ] 0 ; + [ par f ( x ) x ( ln x ) On note f ' la fonction dérivée de f sur ] 0 ; + [. 1. Exprimer, pour tout x de ] 0 ; + [, f '( x ) en fonction de u(x).. En déduire les variations de f sur ] 0 ; + [. Partie C : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j) on note : Γ la courbe représentative de la fonction (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées (0; ) ; M le point de Γ d abscisse x, x appartenant à ] 0 ; + [. 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f ( x ). = +.. Soit g la fonction définie sur ] 0 ; + [ par g( x ) = f ( x ). a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ] 0 ; + [. b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées. c. Montrer que AP = α 1+ α. 3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P? Polynésie Juin 010 (C) (Partie A) : 1. On considère la fonction g définie sur [1 ; par ' ln 1 a. Cette question demande le développement d une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Démontrer que l équation ' 0 admet sur 1 ; une unique solution notée α. b. Démontrer que ln ( α ) + 1 = α.. Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, par (! 1ln (. On désigne par (C) la courbe d équation y = ln ( x ) + 1 dans un repère orthonormal ( O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. a. En utilisant la courbe (C), construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n c. Démontrer que la suite (u n ) converge vers α. Les corrigés

4 Polynésie Juin Limite en 0 : lim = + +4 lim = 0 5 lim + = 7)8) + + lim = Limite en + : lim = + 9 lim + = + 7)8) lim = + = + lim 1b) Sens de variation de la fonction : Dérivée : La fonction est dérivable sur ] 0 ; + [, comme somme de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ Pour tout de ] 0 ; + [, on a : : = 1+ + Signe de la dérivée : Pour tout de ] 0 ; + [, on a : > 0 + > > 1 > 0 : > 0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur ] 0 ; + [ 1c) Tableau de variations de = a) d après son tableau de variation, la fonction est continue et stricteement croissante sur ] 0 ; + [, donc est une bijection de ] 0 ; + [ sur son image ] ; + [ or pour tout de, on a ] ; + [, donc pour tout de, l équation = admet une unique solution dans ] 0 ; + [, que l on note b ) Construction :

5 c) On peut conjecturer =1, prouvons-le : 1 =1+1=1, d où =1. d ) sens de variation de la suite : Pour tout de, on a : <+1 ( )<(! ) <! car la fonction est strictement croissante sur ] 0 ; + [, et ] 0 ; + [ Ainsi la suite ( ) est strictement croissante. 3a) Tangente à en A d abscisse 1 A = : (1).( 1)+(1) A =( 1)+1 A = 1 Une équation de tangente T à en A d abscisse 1 est : A = 1. 3b) Variations de h Pour tout ] 0 ; + [, h : ()= + 1=-+ + Signe de h : () : h : () + 0 D où les variations de h : h : () + 0 h() 0 Position de et T : Pour tout ] 0 ; + [,() ( 1)=(+) ( 1)= +1=h() Le maximum de la fonction h sur ]0 ; + [ est 0

6 Donc pour tout ] 0 ; + [, h Ainsi la courbe de est en-dessous de la tangente T sur ] 0 ; + [. 3c) Soit un entier naturel non nul, On a vu : pour tout de, ] 0 ; + [ (cf a) et pour tout ] 0 ; + [,C 7 1 (cf 3b) on en déduit, en particulier pour =,C 7 1 Or = Donc, pour tout de * : 1 d où! " 4 ) limite en + +1 )* =+ EF +1!. Fh GE HC*I7J7)8C KLM N!. O N =+ National Septembre 009 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par =ln " +4. Partie A 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ 0 ;+ [. Dérivée : est dérivable sur [0 ; + [ comme composée de fonctions dérivables : ²+4 dérivable sur [0 ; + [ et dérivable sur ] 0 ;+ [ Pour tout de [0 ; + [ Avec ( = Q Q = "+ + R!S Signe de la dérivée T 0 + UT T²+W = : T 0 + Sens de variation : La fonction est strictement croissante sur [ 0 ; + [.. Soit ' la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par ' =. a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [ X ;+ [. Dérivée : Pour tout de [0; + [, ' : = : 1= 4 " +4 1= " " +4 Signe de Y : T : On pose Z = ²+ 4 Δ= = 1 <0, donc Z n a pas de racines T 0 + T²+UT W T²+W + Y : T Sens de variation : D après le signe de sa dérivée, la fonction ' est strictement décroissante sur [ 0 ; + [ b. Montrer que sur l intervalle [ ; 3] l équation Y T=X admet une unique solution, notée O.

7 La fonction ' est continue ( car dérivable ) et strictement décroissante sur [ ;3], Donc ' est une bijection de [ ; 3] sur son image [' 3;' ], avec ' 3 0,451 ' +0,0794 De plus 0 [' 3;' ] Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans [,3 ] notée α. Donner la valeur arrondie de à 10 1 près. ',15 +0,00438 α 0, S D où, valeur arrondie à 10 - près c. Justifier que le nombre réel est l unique solution de l équation =. Pour tout de [0; + [, = =0 ' =0 La fonction ' est strictement décroissante sur [ 0 ; + [ et ' =0, donc α et l unique solution de l équation ' =0 sur [ 0 ; + [, c est-à-dire : ' =0 = Ainsi = =, c est-à-dire est l unique solution de l équation =0. Partie B : On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n par : (! = (. La courbe C représentative de la fonction f et la droite d équation y = x sont tracées sur le graphique donné ci-dessous. 1. À partir de u 0, en utilisant la courbe C et la droite, on a placé u 1 sur l axe des abscisses. De la même manière, placer les termes u et u 3 sur l axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse O. α est la solution de l équation = donc est l abscisse du point d intersection de C et de la droite d équation A = ainsi I est le point d intersection de C et. 3. a. Montrons par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a : e f N O. 1 ère étape : =0 On a :( =1 or 1 1 ( on rappelle,1 donc 1 ( l inégalité est (déjà) vraie pour =0 ème étape : On suppose que pour un entier, on a : 1 (. On prouve que : 1 (!. 1 ( 1 ( car strictement croissante sur [ 0 ; + [ cf A1 5 (! car 1=5 EF = 1 (! car [5;] [1;] Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1 (.

8 b. Démontrer que la suite (u n ) converge. Etudions les variations de la suite ((( ) Pour tout de : (! ( = (( ) ( = '(( ) 1#( # ' #' ( #' 1 car on a prouvé :' décroissante sur 0 ; 0#' ( car ' 0 (! ( h0 Donc la suite ( est croissante. la suite ( est croissante et majorée par α donc elle converge vers un réel que l on note l c. Déterminer sa limite. )* ( l )* ( ²4l²4 )* ln ( " 4 ln l " 4 )* (! l!.!.!.!. )* ( l )* (! l!.!. D où ll or est l unique solution de l équation, donc l Ainsi la suite f N converge vers α. La Réunion Juin 010 Partie A : 1.a. Dérivée est dérivable comme somme et composées de fonctions dérivables sur 1 ; ( x 1 dérivable sur dérivable sur 0 ; ) Pour tout de 1 ; :!+ Signe de la dérivée : Pour tout de 1 ; : 1;0 +! ;0 : ;0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur 1 ; 1.b. Limite en -1 )* ! EF )* k )* 1 )* 1 1 Ainsi )* Limite en : )* j j EF )* k )* j! )* 1 1

9 Ainsi )* ()=+.a. limite en -1 : )* () = 1 > 1 )* + - =1 5 )* 1 > 1 Ainsi : )* ' = b. limite en + : lj )* = 0 j!. j or qd l +! donc )* = 0 +! = +1 ' = =1+ +1 =1+ +1n o /0 +! Ou ' =+ln =+ +1p 1q +! +1 )* +1 )* +1=+ Ainsi )* ' = +1 =0 )*.c. Variations de Y Dérivée : pour tout T de ] e; + [ ' = 1 1 = Signe de ' : +1 1= 1 5 )* ' + 0 )* +1n o= +1n o+ = Tableau de variations de la fonction g : -1 0 r 3 + ' ' 0 0

10 .d. Equation '()=0 D après son tableau de variations, La fonction ' est continue et strictement croissante sur ] 1 ;0] Donc ' est une bijection de ] 1;0] sur son image ] ;1], De plus 0 ] ;1], Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans ] 1 ;0] notée. La fonction ' est continue et strictement décroissante sur [0 ; + [ Donc ' est une bijection de [0 ; + [ sur son ] ;1], De plus 0 ] ;1], Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans [0 ; + [, notée r. Comme ' 3 0,61<0 ' +0,09>0 r [,3 ] Ainsi l équation ' =0 admet exactement deux solutions dans ] 1 ; + [.e. Signe de Y T Du tableau de variations de ' complété avec et r solutions de l équation ' =0, on déduit : -1 r + ' 0 0 Partie B : Montrons par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a : U f N s. 1 ère étape : =0 On a :( = or r ( on rappelle r [;3] donc ( r l inégalité est (déjà) vraie pour = 0 ème étape : On suppose que pour un entier N, on a : ( r. On prouve que : (! r. U f N s ( r car strictement croissante sur ] 1; + [ cf A1 1+3 (! r car 1 =1+3,09 EF ' r=0 r= (! r car [1+3;r] [;r] Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout nombre entier naturel n, on a : ( r. Etudions le sens de variation de f N : Pour tout de (! ( = ( ( =' ( ( r Or ' 0 8(J [ ;r] ' 0 8(J [ ;r] D où : pour tout de, on a : ' ( 0 (! ( 0 Ainsi la suite ( est croissante. La suite ( est croissante et majorée par r ( cf B.), donc f N converge.

11 Liban Juin 010 Partie A : (()=² + t =]0 ; + [ 1. dérivée : Pour tout de ]0 ; + [, ( =+ + Signe de f T Pour tout de ]0 ; + [ : >0 EF + >0 + + > 0 ( >0 La fonction ( est strictement croissante sur ]0 ; + [ Limite en 0 : )* " = + )* + +4 = 5 )* + +4 " + = 7)8) )* ( = + +4 Limite en + : )* " =+ )* u )* " +=+ 7)8) )* Tableau de variation de la fonction ( 0 α + ( : + ( - 0.a. d après son tableau de variation, la fonction ( est continue et strictement croissnate sur ]0 ; + [ Donc ( est une bijection de ]0 ; + [ sur son image v ; + x De plus 0 ] ; + [ Donc l équation ( =0 admet une unique solution sur ]0 ; + [, on la note α..b. encadrement de α à 10 -" près : 1,31 α 1,3 A D où : 1,31< < 1,3 est un encadrement de α à 0,1 près 3. signe de ( D après le tableau de variation de, complété avec α unique solution de l équation ( =0, on peut déduire : 0 α + ( α est solution de l équation ( =0 donc ( =0 ² + = 0 = ² Ainsi le réel α vérifie l égalité : = ²

12 Partie B : ()=²+(² 1. dérivée Pour tout de 0 ; : yz 1 {y. variations de ( Pour tout de 0 ; : ; 0 à la qa3 sur 0 ; "Q + 0 α On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur0 ; et strictement croissante sur ; Partie C : + z{ " ( Γ la courbe représentative de la fonction (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées (0 ; ) ; M le point de d abscisse x, x appartenant à 0 ; +. Γ ] [ 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f x. est du signe de ( : est du signe de, signe établi ( ) 0 ; ; }}}}}}p q }}}}}} " " " ".a. on pose ' ' : : ;0 : Ainsi les fonctions et ' ont les mêmes varaitions. E8F G( 8)'E GE : ' : E8F G( 8)'E G E :

13 .b. On a prouvé que admet un minimum pour =, on en déduit que ' admet aussi un minimum pour = Ainsi la distance AM est minimale lorsque = avec ; Cette distance minimale est ' = = " + " Or le réel α vérifie l égalité : = ² cf qa4 Donc : ' = " + " " = " + S = " 1+ " = 1+ " Or α >0 d où ' = 1+ " La distance minimale de A à Γ est égale à 1+ " (.. Question d initiative La tangente à Γ au point P d abscisse α a pour coefficient directeur : = ƒ La droite (AP) a pour coefficient directeur - = lƒ-" = "-ƒr -" = + -+ ƒ- ƒ Le produit des coefficients directeurs des deux droites est égale à -1, donc ces deux droites sont perpendiculaires. Polynésie juin ' =ln +1 t =[1 ; + [ 1.a. Dérivée : Pour tout de [1 ; + [ : ' : = 1 = = Signe de la dérivée : ' : 0 La fonction ' est strictement décroissante sur [1 ; + [. Limite en + ln ln ' = n 1o+1 = z 1{+1 k )* j!. k )* =+ =0 )* =0 )* 1 = 1 Ainsi )* ' = Tableau de variation : 1 + ' : 0 ' 5 )* z 1{=

14 Théorème de la bijection : D après son tableau de variation, la fonction ' est continue et strictement décroissante sur [1 ; + [ Donc ' est une bijection de [1 ; + [ sur son image ] ; De plus 0 ; Donc l équation ' 0 admet une unique solution dans 1 ;, on la note α 1.b. α solution de ' 0 '()=0 ln(1 0 ln(1. il y a une erreur d énoncé sur certains sites : (! 1ln (.b. Montrons par récurrence que : pour tout N de, on a : e#f N # f N!e #. 1 ère étape : 0 ( 1 ( ln ( 11^1,7 On a : 1 #( # ( # 3, l inégalité est vraie pour n=0. ème étape : On suppose que pour un entier n, on a : 1#( # (! # 3, et on prouve que 1#(! # (!" #3. 1#( # (! # 3 #( # (! # 6 #ln ( #ln (! #6 1#1ln ( #1ln (! #16 1#(! # (!" #16 1#(! #(!" # 3 H7J 1#1 EF 16#3 Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence : pour tout entier de, on a : 1#( # (! # 3..c. La suite ( est croissante et majorée donc convergente vers un réel l

15 Recherche de ˆ )* ( = l )* ln ( +1 =1+ln l )* (! =1+ln l,!.!.!. Or )* (! = l!. Donc 1+ln l=l Donc l est solution de l équation 1+ln = De plus on a prouvé à la q1 que α est l unique réel vérifiant ' =0, ainsi l = Et la suite ( converge vers α