Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan."

Transcription

1 Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition. b) Montrer que la fonction est strictement croissante sur ] 0; + [. c) Dresser le tableau de variation de la fonction. y Cf x - a) Montrer que pour tout entier naturel, l équation = admet une unique solution dans] 0; + [. On note cette solution. On a donc, pour tout entier naturel, + =. b) Sur la page annexe, on a tracé la courbe dans le repère ; ;. Placer les nombres,,, sur l axe des abscisses en laissant apparaître les traits de construction. c) Préciser la valeur exacte de d) Montrer que la suite est strictement croissante. 3 a) Déterminer une équation de la tangente T à au point d abscisse 1. b) Etudier les variations de la fonction h définie sur ] 0; + [ par h = +1. Il est inutile de calculer les limites. En déduire la position de la courbe et de la tangente T. c) Tracer T sur le graphique annexe. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a! ". 4 Déterminer la limite de la suite. National Septembre 009 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [par =ln " +4. Partie A 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ 0 ;+ [.. Soit g la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par ' =.

2 a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [ 0 ;. b. Montrer que sur l intervalle [; 3] l équation ' 0 admet une unique solution que l on notera. Donner la valeur arrondie de à 10 1 près. c. Justifier que le nombre réel est l unique solution de l équation. Partie B : Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n par :(! (. La courbe C représentative de la fonction f et la droite d équation y = x sont tracées sur le graphique donné cidessous. 1. À partir de u 0, en utilisant la courbe C et la droite, on a placé u 1 sur l axe des abscisses. De la même manière, placer les termes u et u 3 sur l axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse. 3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1#( #. b. Démontrer que la suite (u n ) converge. c. Déterminer sa limite. La Réunion Juin 010 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle 1 ; par 1ln 1. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; i, j). On note D la droite d équation y = x. Partie A 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f. b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.. On désigne par g la fonction définie sur l intervalle 1 ; par g( x ) = f ( x ) x. a. Déterminer )* + - '. /0!+ b. Déterminer )*. En déduire )* '.!+ c. Étudier le sens de variation de la fonction g puis dresser le tableau de variations de la fonction g. d. Montrer que sur l intervalle 1 ; l équation g( x ) = 0 admet exactement deux solutions α et β, avec α négative et β appartenant à l intervalle [ ; 3]. e. À l aide des questions précédentes, déterminer le signe de g(x). En déduire la position relative de la courbe C f et de la droite D. Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soit (u n) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : u 0 = et u f ( u ) 1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, un β.. La suite (u n) est-elle convergente? Justifier la réponse. n+ 1 = n. Liban Juin 010 (C) Partie A : Soit u la fonction définie sur ] 0 ; + [ par u( x ) = x + ln x. 1. Étudier les variations de u sur ] 0 ; + [ et préciser ses limites en 0 et en +.

3 . a. Montrer que l équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ] 0 ; + [. On note α cette solution. b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 de α. 3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4. Montrer l égalité : ln α = α. Partie B : On considère la fonction f définie et dérivable sur ] 0 ; + [ par f ( x ) x ( ln x ) On note f ' la fonction dérivée de f sur ] 0 ; + [. 1. Exprimer, pour tout x de ] 0 ; + [, f '( x ) en fonction de u(x).. En déduire les variations de f sur ] 0 ; + [. Partie C : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j) on note : Γ la courbe représentative de la fonction (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées (0; ) ; M le point de Γ d abscisse x, x appartenant à ] 0 ; + [. 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f ( x ). = +.. Soit g la fonction définie sur ] 0 ; + [ par g( x ) = f ( x ). a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ] 0 ; + [. b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées. c. Montrer que AP = α 1+ α. 3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P? Polynésie Juin 010 (C) (Partie A) : 1. On considère la fonction g définie sur [1 ; par ' ln 1 a. Cette question demande le développement d une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Démontrer que l équation ' 0 admet sur 1 ; une unique solution notée α. b. Démontrer que ln ( α ) + 1 = α.. Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, par (! 1ln (. On désigne par (C) la courbe d équation y = ln ( x ) + 1 dans un repère orthonormal ( O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. a. En utilisant la courbe (C), construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n c. Démontrer que la suite (u n ) converge vers α. Les corrigés

4 Polynésie Juin Limite en 0 : lim = + +4 lim = 0 5 lim + = 7)8) + + lim = Limite en + : lim = + 9 lim + = + 7)8) lim = + = + lim 1b) Sens de variation de la fonction : Dérivée : La fonction est dérivable sur ] 0 ; + [, comme somme de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ Pour tout de ] 0 ; + [, on a : : = 1+ + Signe de la dérivée : Pour tout de ] 0 ; + [, on a : > 0 + > > 1 > 0 : > 0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur ] 0 ; + [ 1c) Tableau de variations de = a) d après son tableau de variation, la fonction est continue et stricteement croissante sur ] 0 ; + [, donc est une bijection de ] 0 ; + [ sur son image ] ; + [ or pour tout de, on a ] ; + [, donc pour tout de, l équation = admet une unique solution dans ] 0 ; + [, que l on note b ) Construction :

5 c) On peut conjecturer =1, prouvons-le : 1 =1+1=1, d où =1. d ) sens de variation de la suite : Pour tout de, on a : <+1 ( )<(! ) <! car la fonction est strictement croissante sur ] 0 ; + [, et ] 0 ; + [ Ainsi la suite ( ) est strictement croissante. 3a) Tangente à en A d abscisse 1 A = : (1).( 1)+(1) A =( 1)+1 A = 1 Une équation de tangente T à en A d abscisse 1 est : A = 1. 3b) Variations de h Pour tout ] 0 ; + [, h : ()= + 1=-+ + Signe de h : () : h : () + 0 D où les variations de h : h : () + 0 h() 0 Position de et T : Pour tout ] 0 ; + [,() ( 1)=(+) ( 1)= +1=h() Le maximum de la fonction h sur ]0 ; + [ est 0

6 Donc pour tout ] 0 ; + [, h Ainsi la courbe de est en-dessous de la tangente T sur ] 0 ; + [. 3c) Soit un entier naturel non nul, On a vu : pour tout de, ] 0 ; + [ (cf a) et pour tout ] 0 ; + [,C 7 1 (cf 3b) on en déduit, en particulier pour =,C 7 1 Or = Donc, pour tout de * : 1 d où! " 4 ) limite en + +1 )* =+ EF +1!. Fh GE HC*I7J7)8C KLM N!. O N =+ National Septembre 009 (C) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par =ln " +4. Partie A 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ 0 ;+ [. Dérivée : est dérivable sur [0 ; + [ comme composée de fonctions dérivables : ²+4 dérivable sur [0 ; + [ et dérivable sur ] 0 ;+ [ Pour tout de [0 ; + [ Avec ( = Q Q = "+ + R!S Signe de la dérivée T 0 + UT T²+W = : T 0 + Sens de variation : La fonction est strictement croissante sur [ 0 ; + [.. Soit ' la fonction définie sur l intervalle [ 0 ;+ [ par ' =. a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [ X ;+ [. Dérivée : Pour tout de [0; + [, ' : = : 1= 4 " +4 1= " " +4 Signe de Y : T : On pose Z = ²+ 4 Δ= = 1 <0, donc Z n a pas de racines T 0 + T²+UT W T²+W + Y : T Sens de variation : D après le signe de sa dérivée, la fonction ' est strictement décroissante sur [ 0 ; + [ b. Montrer que sur l intervalle [ ; 3] l équation Y T=X admet une unique solution, notée O.

7 La fonction ' est continue ( car dérivable ) et strictement décroissante sur [ ;3], Donc ' est une bijection de [ ; 3] sur son image [' 3;' ], avec ' 3 0,451 ' +0,0794 De plus 0 [' 3;' ] Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans [,3 ] notée α. Donner la valeur arrondie de à 10 1 près. ',15 +0,00438 α 0, S D où, valeur arrondie à 10 - près c. Justifier que le nombre réel est l unique solution de l équation =. Pour tout de [0; + [, = =0 ' =0 La fonction ' est strictement décroissante sur [ 0 ; + [ et ' =0, donc α et l unique solution de l équation ' =0 sur [ 0 ; + [, c est-à-dire : ' =0 = Ainsi = =, c est-à-dire est l unique solution de l équation =0. Partie B : On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n par : (! = (. La courbe C représentative de la fonction f et la droite d équation y = x sont tracées sur le graphique donné ci-dessous. 1. À partir de u 0, en utilisant la courbe C et la droite, on a placé u 1 sur l axe des abscisses. De la même manière, placer les termes u et u 3 sur l axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse O. α est la solution de l équation = donc est l abscisse du point d intersection de C et de la droite d équation A = ainsi I est le point d intersection de C et. 3. a. Montrons par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a : e f N O. 1 ère étape : =0 On a :( =1 or 1 1 ( on rappelle,1 donc 1 ( l inégalité est (déjà) vraie pour =0 ème étape : On suppose que pour un entier, on a : 1 (. On prouve que : 1 (!. 1 ( 1 ( car strictement croissante sur [ 0 ; + [ cf A1 5 (! car 1=5 EF = 1 (! car [5;] [1;] Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1 (.

8 b. Démontrer que la suite (u n ) converge. Etudions les variations de la suite ((( ) Pour tout de : (! ( = (( ) ( = '(( ) 1#( # ' #' ( #' 1 car on a prouvé :' décroissante sur 0 ; 0#' ( car ' 0 (! ( h0 Donc la suite ( est croissante. la suite ( est croissante et majorée par α donc elle converge vers un réel que l on note l c. Déterminer sa limite. )* ( l )* ( ²4l²4 )* ln ( " 4 ln l " 4 )* (! l!.!.!.!. )* ( l )* (! l!.!. D où ll or est l unique solution de l équation, donc l Ainsi la suite f N converge vers α. La Réunion Juin 010 Partie A : 1.a. Dérivée est dérivable comme somme et composées de fonctions dérivables sur 1 ; ( x 1 dérivable sur dérivable sur 0 ; ) Pour tout de 1 ; :!+ Signe de la dérivée : Pour tout de 1 ; : 1;0 +! ;0 : ;0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur 1 ; 1.b. Limite en -1 )* ! EF )* k )* 1 )* 1 1 Ainsi )* Limite en : )* j j EF )* k )* j! )* 1 1

9 Ainsi )* ()=+.a. limite en -1 : )* () = 1 > 1 )* + - =1 5 )* 1 > 1 Ainsi : )* ' = b. limite en + : lj )* = 0 j!. j or qd l +! donc )* = 0 +! = +1 ' = =1+ +1 =1+ +1n o /0 +! Ou ' =+ln =+ +1p 1q +! +1 )* +1 )* +1=+ Ainsi )* ' = +1 =0 )*.c. Variations de Y Dérivée : pour tout T de ] e; + [ ' = 1 1 = Signe de ' : +1 1= 1 5 )* ' + 0 )* +1n o= +1n o+ = Tableau de variations de la fonction g : -1 0 r 3 + ' ' 0 0

10 .d. Equation '()=0 D après son tableau de variations, La fonction ' est continue et strictement croissante sur ] 1 ;0] Donc ' est une bijection de ] 1;0] sur son image ] ;1], De plus 0 ] ;1], Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans ] 1 ;0] notée. La fonction ' est continue et strictement décroissante sur [0 ; + [ Donc ' est une bijection de [0 ; + [ sur son ] ;1], De plus 0 ] ;1], Donc l équation ' =0 admet une unique solution dans [0 ; + [, notée r. Comme ' 3 0,61<0 ' +0,09>0 r [,3 ] Ainsi l équation ' =0 admet exactement deux solutions dans ] 1 ; + [.e. Signe de Y T Du tableau de variations de ' complété avec et r solutions de l équation ' =0, on déduit : -1 r + ' 0 0 Partie B : Montrons par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a : U f N s. 1 ère étape : =0 On a :( = or r ( on rappelle r [;3] donc ( r l inégalité est (déjà) vraie pour = 0 ème étape : On suppose que pour un entier N, on a : ( r. On prouve que : (! r. U f N s ( r car strictement croissante sur ] 1; + [ cf A1 1+3 (! r car 1 =1+3,09 EF ' r=0 r= (! r car [1+3;r] [;r] Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout nombre entier naturel n, on a : ( r. Etudions le sens de variation de f N : Pour tout de (! ( = ( ( =' ( ( r Or ' 0 8(J [ ;r] ' 0 8(J [ ;r] D où : pour tout de, on a : ' ( 0 (! ( 0 Ainsi la suite ( est croissante. La suite ( est croissante et majorée par r ( cf B.), donc f N converge.

11 Liban Juin 010 Partie A : (()=² + t =]0 ; + [ 1. dérivée : Pour tout de ]0 ; + [, ( =+ + Signe de f T Pour tout de ]0 ; + [ : >0 EF + >0 + + > 0 ( >0 La fonction ( est strictement croissante sur ]0 ; + [ Limite en 0 : )* " = + )* + +4 = 5 )* + +4 " + = 7)8) )* ( = + +4 Limite en + : )* " =+ )* u )* " +=+ 7)8) )* Tableau de variation de la fonction ( 0 α + ( : + ( - 0.a. d après son tableau de variation, la fonction ( est continue et strictement croissnate sur ]0 ; + [ Donc ( est une bijection de ]0 ; + [ sur son image v ; + x De plus 0 ] ; + [ Donc l équation ( =0 admet une unique solution sur ]0 ; + [, on la note α..b. encadrement de α à 10 -" près : 1,31 α 1,3 A D où : 1,31< < 1,3 est un encadrement de α à 0,1 près 3. signe de ( D après le tableau de variation de, complété avec α unique solution de l équation ( =0, on peut déduire : 0 α + ( α est solution de l équation ( =0 donc ( =0 ² + = 0 = ² Ainsi le réel α vérifie l égalité : = ²

12 Partie B : ()=²+(² 1. dérivée Pour tout de 0 ; : yz 1 {y. variations de ( Pour tout de 0 ; : ; 0 à la qa3 sur 0 ; "Q + 0 α On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur0 ; et strictement croissante sur ; Partie C : + z{ " ( Γ la courbe représentative de la fonction (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées (0 ; ) ; M le point de d abscisse x, x appartenant à 0 ; +. Γ ] [ 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f x. est du signe de ( : est du signe de, signe établi ( ) 0 ; ; }}}}}}p q }}}}}} " " " ".a. on pose ' ' : : ;0 : Ainsi les fonctions et ' ont les mêmes varaitions. E8F G( 8)'E GE : ' : E8F G( 8)'E G E :

13 .b. On a prouvé que admet un minimum pour =, on en déduit que ' admet aussi un minimum pour = Ainsi la distance AM est minimale lorsque = avec ; Cette distance minimale est ' = = " + " Or le réel α vérifie l égalité : = ² cf qa4 Donc : ' = " + " " = " + S = " 1+ " = 1+ " Or α >0 d où ' = 1+ " La distance minimale de A à Γ est égale à 1+ " (.. Question d initiative La tangente à Γ au point P d abscisse α a pour coefficient directeur : = ƒ La droite (AP) a pour coefficient directeur - = lƒ-" = "-ƒr -" = + -+ ƒ- ƒ Le produit des coefficients directeurs des deux droites est égale à -1, donc ces deux droites sont perpendiculaires. Polynésie juin ' =ln +1 t =[1 ; + [ 1.a. Dérivée : Pour tout de [1 ; + [ : ' : = 1 = = Signe de la dérivée : ' : 0 La fonction ' est strictement décroissante sur [1 ; + [. Limite en + ln ln ' = n 1o+1 = z 1{+1 k )* j!. k )* =+ =0 )* =0 )* 1 = 1 Ainsi )* ' = Tableau de variation : 1 + ' : 0 ' 5 )* z 1{=

14 Théorème de la bijection : D après son tableau de variation, la fonction ' est continue et strictement décroissante sur [1 ; + [ Donc ' est une bijection de [1 ; + [ sur son image ] ; De plus 0 ; Donc l équation ' 0 admet une unique solution dans 1 ;, on la note α 1.b. α solution de ' 0 '()=0 ln(1 0 ln(1. il y a une erreur d énoncé sur certains sites : (! 1ln (.b. Montrons par récurrence que : pour tout N de, on a : e#f N # f N!e #. 1 ère étape : 0 ( 1 ( ln ( 11^1,7 On a : 1 #( # ( # 3, l inégalité est vraie pour n=0. ème étape : On suppose que pour un entier n, on a : 1#( # (! # 3, et on prouve que 1#(! # (!" #3. 1#( # (! # 3 #( # (! # 6 #ln ( #ln (! #6 1#1ln ( #1ln (! #16 1#(! # (!" #16 1#(! #(!" # 3 H7J 1#1 EF 16#3 Conclusion : d après le principe du raisonnement par récurrence : pour tout entier de, on a : 1#( # (! # 3..c. La suite ( est croissante et majorée donc convergente vers un réel l

15 Recherche de ˆ )* ( = l )* ln ( +1 =1+ln l )* (! =1+ln l,!.!.!. Or )* (! = l!. Donc 1+ln l=l Donc l est solution de l équation 1+ln = De plus on a prouvé à la q1 que α est l unique réel vérifiant ' =0, ainsi l = Et la suite ( converge vers α

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = 1+ 2 2 2 ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6 OBLIGATOIRE L emploi des

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Exercices sur la fonction exponentielle

Exercices sur la fonction exponentielle Exercices sur la fonction exponentielle Exercice : Simplifier les écritures suivantes : A = (e x ) e x ; B = (ex + e x ) (e x e x ) ; C = e x Exercice : Résoudre les équations et inéquations suivantes.

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4 Chapitre 6 Logarithme TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 6 Logarithme Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Easy-Maths. Théorème des accroissements finis et suites numériques

Easy-Maths. Théorème des accroissements finis et suites numériques Easy-Maths Njionou Patrick, S pnjionou@yahoofr Lycée de Japoma BP : 7297, Douala, Cameroun Théorème des accroissements finis et suites numériques EXERCICE 1 Soit h la fonction définie sur R par : h(x)

Plus en détail

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x.

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x. I. Propriétés algébriques La fonction logarithme néperien est dérivable et strictement croissante de R + sur R. Le théorème de la bijection, qu on abordera au chapitre 7, permet de prouver l existence

Plus en détail

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx.

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx. EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Démontrer que lim x + xe x =. e x lim x + x = +. Partie B. Restitution

Plus en détail

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x + 1 3 - x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère

Plus en détail

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où :

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où : DST 3 Corrigé Exercice 1 (4 points) Avant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés

Plus en détail

Bac S Polynésie juin 2010

Bac S Polynésie juin 2010 Bac S Polynésie juin 2010 EXERCICE 1 (5 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O u v. Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0 Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f et x un élément de I. Si f est croissante sur un intervalle, alors f (x )> sur cet intervalle. Si f est décroissante

Plus en détail

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans DST n 4 - Corrigé Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie EXERCICE 1 : 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0; u, v). Partie A : Restitution organisée de connaissances

Plus en détail

Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien

Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien I La fonction logarithme népérien TD1 : Fonction exponentielle et réciproque 1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x. On note C f sa courbe représentative.

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004 Terminale ES Contrôle de mathématiques ( heures) Mardi septembre 004 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire Recueil d annales en Mathématiques Terminale S - Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 8 août 5 frederic.demoulin@voila.fr Tableau récapitulatif des exercices indique que cette

Plus en détail

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques Classe de terminale ES Mathématiques Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice (BAC ES national ). Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S - Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : septembre 2005 fredericdemoulin@voilafr Tableau récapitulatif des exercices indique que cette

Plus en détail

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x.

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x. T ES Mathématiques DS 5 le 18/01/01 Exercice 1 (5,5 POINTS ) On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f, tracée

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S. DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h)

BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S. DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h) BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h) COEFFICIENT : 7 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5 L utilisation d

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012 Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 01 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Le tableau ci-dessous représente l évolution de l indice du PIB de la Chine de 1985 à 005, base 100 en 1985 année

Plus en détail

Baccalauréat S Polynésie, correction

Baccalauréat S Polynésie, correction Baccalauréat S Polynésie, correction 0 juin 00 Exercice 5 points Commun à tous les candidats. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v). Partie A - Restitution organisée de

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S. DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h)

BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S. DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h) BACCALAURÉAT BLANC DU LYCÉE PRÉVERT. SESSION DE FÉVRIER 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE : S DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 HEURES (8h 12h) COEFFICIENT : 9 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5 L utilisation d

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES GAN AMI Session Janvier 2014 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire et spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ou 9 Ce sujet comporte 4 pages. L utilisation

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Sommaire

Sommaire Sommaire 01... Nouvelle Calédonie mars 01... Nouvelle Calédonie novembre 01... 4 011... 5 Nouvelle Calédonie mars 011... 5 010... 6 La Réunion juin 010... 6 Métropole juin 010... 7 009... 8 Amérique du

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire Terminale S Problème de synthèse n f est la fonction définie sur par f() = orthonormal (O; i ; j )(unité graphique : 2 cm). A. Etude de la fonction f + - et C sa courbe représentative dans un repère ²

Plus en détail

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Tout autre document est interdit Ce sujet s adresse aux élèves qui n ont pas suivi la spécialité Mathématiques

Plus en détail

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1 Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID I TNGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales Terminale S Problème de synthèse n n est un entier naturel, n. On note f n la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f n (x) = (ln x)n et C x² n.sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ;

Plus en détail

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min.

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min. Durée en minutes x i [0; 20[ [20; 0[ [0; 40[ [40; 60[ [60; 90[ Nombre n i 4 10 14 6 6 TAB. 1 Traitement des dossiers. Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs). 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 Duree

Plus en détail

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé TS. Contrôle 4 -Correction 8 points ) Sur le graphique de l annee, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

Corrigé du bac blanc du 19 mars 2013

Corrigé du bac blanc du 19 mars 2013 Corrigé du bac blanc du 9 mars 203 Eercice (4 points) Pour chaque question, deu propositions sont énoncées. Il s agit de dire, sans le justifier, si chacune d elles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera

Plus en détail

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Eercice 1 : Intégrer les équations différentielles suivantes y 1) y 5y = 0 ; y = ; 3y + 5y = 0 ; 9y =(y

Plus en détail

Exercices supplémentaires : ln

Exercices supplémentaires : ln Exercices supplémentaires : ln Partie A : Propriétés algébriques Exprimer en fonction de ln2 : Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes ln 1 2 ; ln8 ; ln64 ; ln2 ; ln64 ; ln 32 ; ln 2 ; ln 32 ln

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 Modalités : Durée de l épreuve : 3 heures ; Calculatrice autorisée ; Répondre sur votre copies) et non sur le présent sujet, sauf l annexe à remettre ;

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle Exercices 16 octobre 014 La fonction exponentielle Opération sur la fonction exponentielle Exercice 1 Simplifier les écritures suivantes : a) (e x ) 3 e x b) ex 1 e x+ e) e 3x f) ex e y (e x ) e x e x

Plus en détail

étude de fonctions suites

étude de fonctions suites Corrigé DS Terminale S étude de fonctions suites Exercice Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés appelés pixels donc la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les

Plus en détail

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin Athénée Royal d Uccle 1 Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin A.Droesbeke Version : 016 Chapitre 1 Algèbre 1.1 Exercices { (1 + i)x + y = 1 i 1. Résoudre dans C : x iy = i. Démontrer que

Plus en détail

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE 1 sur 8 http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-05-sti-electro-optique-co... BAC TECHNOLOGIQUE 2005 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE ÉLECTRONIQUE - GÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE - GÉNIE OPTIQUE

Plus en détail

sur un intervalle que l on précisera, et préciser

sur un intervalle que l on précisera, et préciser Révision : fonctions logarithmes fonctions exponentiels intégrale Mr : FARHATI HICHEM EX 1 : Partie A : 1) Soit f(x)=1+ (1-x) a) Montrer que f (x)=-x b) Dresser le tableau de variation de f. c) Montrer

Plus en détail

Bac blanc février 2013

Bac blanc février 2013 Lycée Louise MICHEL Terminales S MATHEMATIQUES Année 0/0 Bac blanc février 0 (Durée : 4 heures.) Les calculatrices sont autorisées, mais l échange de tout matériel est interdit. Les brouillons ne sont

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous la forme d une puissance de les expressions suivantes : a) e7 e 2 b) (e-1 ) 4 c) (exp(e e 2 )) -3 d) e 2 exp(-3) e) e -3 exp(2) f) exp(1) exp(-2) Exercice

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE BACCALAUREAT BLANC GENERAL Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SESSION FÉVRIER 2016 SERIE S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SESSION FÉVRIER 2016 SERIE S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité) BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SESSION FÉVRIER 2016 M AT H É M AT I Q U E S SERIE S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité) Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 L utilisation

Plus en détail

Correction-Devoir maison n 8

Correction-Devoir maison n 8 Classe de TS2 pour le 4 novembre 20 Exercice : A - Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur R par : Correction-Devoir maison n 8 f(x) = (x+)e x. On note (C) sa représentation graphique

Plus en détail

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014 TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n Jeudi 8 décembre 4 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Exercice. (5 points) Le barème est noté sur points. Partie : Fonctions

Plus en détail

Devoir de Mathématiques

Devoir de Mathématiques Devoir de Mathématiques Exercice 1 Soit P le polynôme qui à tout complexe z associe P(z) = z 4 + 4z 3 + 9z 2 + 16z + 20. 1. Calculer P(2i) et P(-2i). 2. Développer l'expression (z² + 4)(z² + az + b), puis

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. CORRIGE. x 2. g x

La calculatrice est autorisée. CORRIGE. x 2. g x Mathématiques TS7 04-05 Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre «C est justement pour préserver ce qui est neuf et révolutionnaire dans chaque enfant que l éducation doit être conservatrice, c'est-à-dire

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 2016 : correction

Baccalauréat Blanc 2016 : correction Baccalauréat Blanc 016 : correction EXERCICE 1 Le chikungunya est une maladie virale transmise d un être humain à l autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. Un test a été mis au point pour

Plus en détail

La fonction f n est définie sur [1;3] f n est pas continue sur R. = lim(x a) lim

La fonction f n est définie sur [1;3] f n est pas continue sur R. = lim(x a) lim Lcée Camille SEE I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim a f()= f(a). Dire

Plus en détail

EXERCICE 1 (4 points)

EXERCICE 1 (4 points) EXERCICE 1 4 points) Pour chaque question de cet exercice, plusieurs réponses sont proposées. Parmi elles, une seule est exacte. Le candidat devra choisir l une des réponses et justifier son choix. 1.

Plus en détail

BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012

BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012 Lycée Albert CAMUS 28 mars 2012 BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012 Durée de l épreuve : 4H - Coefficient : 9 (Spécialité) Les calculatrices sont AUTORISÉES Le candidat doit traiter les

Plus en détail

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015 Exercice 1 6 points ) On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par fx) = x+1+ x e x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; i ; ) j 1 Soit

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à

Plus en détail

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation :

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20 Evaluation des compétences : Lecture graphique Limites Lecture graphique Dérivée Tracer une courbe, ses tangentes

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Asie Enseignement spécifique

Asie Enseignement spécifique Asie 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 2 (6 points) (commun à tous les candidats) On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f(x) =e x et g(x) =1 e x. Les courbes représentatives

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à

Plus en détail

Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole

Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2016 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016 Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de

Plus en détail

Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie septembre 2011

Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie septembre 2011 Baccalauréat ES spécialité Polynésie septembre EXERCICE Le plan est muni d un repère orthonormal O, ı, j d unité graphique cm. 6 points On s intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l ensemble

Plus en détail

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n,

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n, Correction DC1 Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : 00. Pour tout entier naturel n, 10 100 15 100 90 100 15 100 00 3 4 330 3 4 330 3. L algorithme ci-dessous permet

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique x = 4t 2

des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique x = 4t 2 Sujet Amérique du Nord 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Géométrie On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ; 1 ; 2) et D(7 ; 1 ; 4). 1. Démontrer

Plus en détail

Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme

Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme Exercice 1 Propriétés des fonctions logarithmes 1. Donner la définition, l ensemble de définition et la dérivée de ln ( x) 2. a. Quelle est la qualification de

Plus en détail

Première STMG. Dérivation. sguhel

Première STMG. Dérivation. sguhel Première STMG Dérivation sguhel ... 0 Chapitre 7 : Dérivation... 2 1 Introduction... 2 1.1 Equation de droite, coefficient directeur... 2 1.2 Vers la notion de tangente... 3 1.3 Approche du nombre dérivé

Plus en détail

NOM : DERIVATION 1ère S

NOM : DERIVATION 1ère S Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x g(x) = 3x x 3 + 5x h(x) = ( x ) x k(x) = x + 5 x + D. LE FUR /?? Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x 3x + g(x) = (x + 3)(3x 7) h(x) =

Plus en détail

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par :

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : Exercice 1: Partie A Exercices type bac On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : f(x) = ( 4x +5 ) e x +3 On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On

Plus en détail

EXERCICES CONTINUITÉ

EXERCICES CONTINUITÉ EXERCICES CONTINUITÉ On sait déjà calculer l aire de polygone, mais qu en est-il de figure dont les côtés ne sont pas des segments? Exercice 1. On cherche l aire A de la figure délimitée, sur l intervalle

Plus en détail

Fonctions : Dérivation-Composition

Fonctions : Dérivation-Composition Fonctions : Dérivation-Composition Terminale S 2011/2012 15 septembre 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre 2011 1 / 21 Nombre dérivé Plan 1 Compléments sur la dérivation

Plus en détail

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................

Plus en détail

( ) Corrigé variations de la fonction logarithme népérien. Exercice 1. ; f (x) = = = x ; f (x) = 4 ( ln x) 3. ; f (x) = x x 1 = = ; f (x) = x x = 1 ln

( ) Corrigé variations de la fonction logarithme népérien. Exercice 1. ; f (x) = = = x ; f (x) = 4 ( ln x) 3. ; f (x) = x x 1 = = ; f (x) = x x = 1 ln Eercice ) f ( ) = ln ; f () = ln + ) ln ln ln f ( ) = ; f () = = ² ² ) f ( ) = ( ln ) 4 ; f () = 4 ( ln ) 4) f ( ) = ; f () = = ln ln ² ln ² ) ( ln + ) ( ln ) ln f ( ) = ; f () = = ln + (ln + )² ( ln +

Plus en détail

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures Baccalauréat blanc 2014-2015 Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Le numéro de la classe devra figurer dans la partie anonymée.

Plus en détail