TUTORIEL : LA COMMANDE LPV

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1 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (1) TUTORIEL : LA COMMANDE LPV Philippe CHEVREL Remerciements à l équipe Nantaise : M. Yagoubi, M. Berriri, A. Bouali, G. Lebret, F. Claveau GT MOSAR Journées de Nantes

2 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (2) Plan TUTORIEL : LA COMMANDE LPV INTRODUCTION GENERALE COMMANDE LPV : QUELQUES CAS D ETUDE «NANTAIS» LA MOTIVATION POUR L ETUDE DU CADRE LPV DE LA COMMANDE ROBUSTE A LA COMMANDE LPV LES SYSTEMES PARAMETRES QUELLE REPRESENTATION (PARAMETRE VARIANT)? TYPES DE DEPENDANCE PARAMETRIQUE? ENSEMBLE DE TRAJECTOIRES PARAMETRIQUES ADMISSIBLES RECAPITULATIF ANALYSE (STABILITE, PERFORMANCE) DES SYSTEMES LPV STABILITE PERFORMANCE HINF OU H SYNTHESE DE REGULATEURS LPV LPV VERSUS LTV ET ADPTATATIF METHODES D AUTOSEQUENCEMENT : LES BASES APPROCHE PAR INTERPOLATION IMPLEMENTATION DES REGULATEURS LPV LE DILEMME DE LA DISCRETISATION (AVANT SYNTHESE) LA SIMULATION DE REGULATEURS LPV-LFT PERSPECTIVES ANNEXE... 58

3 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (3) 1 INTRODUCTION GENERALE «survey» ; cf. Apkarian, Becker, Bruzelius, Dinh, Gahinet, Helmerson, Leithead, Packard, Pellanda, Rugh, Shamma, Stillwell, Wu, o Wilson J. Rugh, Jeff S. Shamma «Research on gain scheduling» Automatica 36 (2000) o Leith D.J., Leithead W.E., «Survey of gain scheduling Analysis & Design» IJC (2000) Résultats les plus pointus = B.A.-BA / SURVOL DES NOTIONS CLES

4 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (4) 1.1 COMMANDE LPV : QUELQUES CAS D ETUDE «NANTAIS» Commande des systèmes electriques Filtrage actif (fréquence du réseau) (C. Darengosse et al. 99) P( s, f ) Wu ( s) z1 Ic W ( s f ) 2, d W2 ( s, f ) z2 z3 v s -v f G( s) Is-Ic Is K( s, f ) o Problème H multi-blocs o Pondération LPV

5 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (5) o Approche quadratique constant polytopique o Constat a priori : faible conservatisme. o Résultats expérimentaux probants (taux de distorsion harmonique).

6 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (6) Observateur de flux d'une machine asynchrone (vitesse rotation) [Darengosse et al. 2000] Modèle de Park dans le referentiel (α,β) Rr Rr pω M sr 0 Lr L r 0 0 Φ& rα rα Φ Rr Rr 0 0 p 0 M sr Φ rβ Φ& Ω r Lr L β Vsα r 1 = * i + 0 RM s i r sr M α sr σ L * & V s p 0 s α γ sβ Ω { 2 LsLr σ L i sl r sβ i σ u & { 1 sβ 0 x Msr RrM sr σ L s -p 0 γ Ω σ L 2 slr σ LsLr Découplage électrique / mécanique : modèle quasi LPV Conception d un observateur de flux affine en Ω, quadratiquement stable par minimisation du gain L du modèle standard suivant : 2

7 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (7) Φ Φ Φ Φ β β α α r r r r ˆ ˆ β α s s V V noise I I s s + β α β α s s b b Φ Φ β α r r ˆ ˆ β α s s V V + Φ Φ Ω = Φ Φ β α β β α β β α α α s s s r r s r r V V B* i i )* A( i i s s & & & & z y u w Ω ξ+ Ω = Ω ξ+ Ω ξ = )*y D ( )* C ( u )*y B ( )* A ( r r r r & τ + τ + = * s 1 * s g 0 0 * s 1 * s g W (s) Comparaison avantageuse de cet observateur LPV avec différents régulateurs de la littérature : o observateur (i) de Verghese, (ii) mode glissant (Sangwongwanish), (iii) grand gain (Bornard), filtre de Kalman (Westerholt) Performance intéressante sur le Benchmark «machine électrique» de l IRCCyN et «réglage» simple.

8 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (8) - Si - ng ul - ar - V - al - ue LMI ω (w b) flux LMI Observed flux t Si ng ul - ar V - al - ue Verghese ω (w b) Verghese t(s

9 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (9) Commande des systèmes electromécaniques Systèmes de transport à grande vitesse de bande flexible (adaptation aux variations de rayon et inertie des bobines) [Berriri et. al 2004] ; Tensions de bande Variateur Vitesses de rotation Consignes de courant Calculateur

10 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (10) Paramètres variants : rayon des bobines (et par suite leurs inerties), et la vitesse de déroulement Le modèle : E m( R, V ) X & = A ( R, V ) X + B ( R, V ) U d 0 d 0 d 0 o Y = C( Rd, V0 ) X o Entrées : o Sorties : ud t e T d u u ; consigne de couple pour les 3 moteurs V T ; Tension dérouleur, vitesse de transport et tension enrouleur e Synthèse de la loi de commande : interpolation de lois de commande H2 ou Hinf o Forme retour d état / observateur o Vérification de la stabilité a posteriori (maillage + fonction de Lyapunov affine par morceau) o Maillage mono et bidimensionnel

11 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (11)

12 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (12) Voiture intelligente : Contrôle lateral (vitesse du véhicule) [Raharijaona et al. 05] Module de Vision ψ L camér yl camér Module d Interface ψ L rout yl rout Correcte ur Images de la route Capteur vidéo Indice de Qualité Module de Sécurité Embrayage T a mesuré Moteur électrique + _ PID T a : couple d assistance U: Tension d entrée Carte de puissance Colonne de direction

13 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (13) Paramètre variant : vitesse longitudinale du véhicule Le modèle bicyclette (quasi-lpv): o a11 a b 2 1 e11 & β V V β 0 V V r& a r 0 22 = a b2 δ f + e22 f V w + ρ ψ& L ψ L V L y y L 0 & 0 0 V ls V 0 β: angle de dérive r : vitesse de lacet ψ L y L V f : erreur sur l angle de cap : déplacement latéral f w : force de vent latéral : vitesse longitudinale δ : angle de braquage des roues avant ref Synthèse de la loi de commande : o approche polytopique avec contrainte d ordre o interpolation de lois de commande Hinf d ordre réduit (forme équilibrées, forme retour d état / observateur)

14 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (14) Comparaison des stratégies Hinf et LPV Rafales de vent f w = 500N Profil de vitesse y Déplacement latéral L Erreur sur l angle de capψ L yl < 7cm ψ L < 0,003radian

15 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (15) Domaine naval Contrôle en roulis (vitesse navire) [Lebret et. al 2004] ; Stabilisation du roulis d un navire à l aide d ailerons et de gouvernails Paramètres variants : vitesse du navire et facteur d atténuation du roulis Synthèse polytopique Synthèse par interpolation pôles / zéros / gains

16 Actionneurs - ailerons - gouvernails Tutoriel : La commande LPV GR MOSAR, 20 septembre Nantes (16) Navire (vitesse V) Perturbations : Houle caractérisée par un spectre régulateur Régulateur à paramètres variants dépendant - de la vitesse du navire (V) - d un facteur d atténuation désiré du roulis (FAD)

17 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (17) 1.2 LA MOTIVATION POUR L ETUDE DU CADRE LPV Une classe de systèmes élargie une notion clé : les inclusions différentielles linéaires; (LDI polytopique, LDI LFR) Non linéaire Quasi LPV LPV LTV LTI Des régulateurs adaptatifs (robustes-adaptatifs versus adaptatifs-robustes) Des régulateurs non linéaires et/ou non stationnaires robustes?

18 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (18) 1.3 DE LA COMMANDE ROBUSTE A LA COMMANDE LPV La théorie de la robustesse n est pas limitée à l étude des systèmes linéaires stationnaires. Le paradigme de la commande LPV est né dans les années 90, dans la foulée des développements sur la commande robuste (cf. thèse Shamma) ; développements nombreux depuis lors Des difficultés notables Comment bénéficier de la puissance des outils d analyse fréquentielle? Propriétés structurelles des systèmes LPV (stabilité, observabilité, commandabilité)? La commutativité de 2 systèmes non stationnaires n est pas garantie (cf. Rotella) Nyquist, sensibilité paramétrique, H2, Hinf Analyse seulement locale Inclusion diff, LFT, LMI, SDP Exemple d inclusion différentielle linéaire (LDI) : n n & avec : ( ) Ω ( ), ( 0) = 0 x t x t x x Ω R o Peut s interpréter comme une collection de trajectoires LTV o On dit que la LDI est stable si toutes les trajectoires sont stables

19 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (19) o Résultat : considérons 2 systèmes inclus dans la LDI ( ) ( ) o x& ( t) = f x( t) Ωx t o x& () t = A( θ () t ) x( t) Ωx( t) La stabilité de la LDI induit celles des 2 systèmes. o LDI paramétrée (polytopique, rationnelle à paramètre bornée ) : lien direct avec le paradigme LPV.

20 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (20) 2 LES SYSTEMES PARAMETRES 2.1 QUELLE REPRESENTATION (PARAMETRE VARIANT)? De la «fonction de transfert» à la représentation LFT θ ( θ ) y = G s (, θ ) o ( P, ) = F u u o u u G( s, θ ) y u u P y y Rqs : - GP,, sont considérés comme des opérateurs - (, ) ( ) 1 u = + - ( ) n θ θ T D ( ) T F P P P I P P n m : R, u : R Cas particulier : forme d état rationnelle 1 ( ( )) ( () t ) ( ( )) + ( () t ) ( () t ) () t A B1 B2 θ 1Ir1 0 0 A+ B1 θ I D11 θ C1 B2 + B1 θ D 12 P( s) : = C1 D11 D 12, 0 O 0 G( s, θ ): = 1 C 2 21 ( ()) 11 () 2 D21 D θ I C + D θ t I D θ t C rq 1 D11 D21 θ D 12 2

21 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (21) Utilisation d une représentation d état (implicite) paramétrée ( ) A( θ() t ) B( θ() t ) C( θ( t) ) D( θ( t) ) ( ) E 0 x& t x t 0 I = yt () ut () q ( ) R u ( ) θ : T D, : T R () () () () A : D R, B : D R, C : D R, D : D R ( θ) L R t..: q θ D, A L m nxn nxm pxn px m Dans les 2 cas : non unicité ; Formes canoniques? La forme LFT : on peut avoir ( θ ) Ex. : G( s, θ ) u (, ) u(, ( θ )) = avec P P et F P F P θ = est obtenu indifféremment avec les paires : s + θ P( s θ ) 0 0 s 1 s 1 = o s, = 0 θ et P( s) = s, θ o =

22 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (22) La forme d état : différentes réalisations «équivalentes 1» ( ˆm fonction de transition) ( ()) ( ()) ( ()) ( ()) A θ t B θ t C θ t D θ t et ( ()) ( ()) ( θ() ) ( θ() ) T A θ t B θ t 1 0 T 0 0 I C t D t 0 I définissent le même système LTV. La dépendance paramétrique diffère: o Ex : A( θ ) Remarques : 1 θ θ = 1 1 et 2 θ T 1 0 = 1 θ θ 1 1 A( θ) = TA( θ) T = 2 θ + 2θ 1 θ 1 θ θ o Les valeurs propres des systèmes gelés sont inchangées par transformation. o Ce n est plus le cas si l on fait usage de matrices de transformation dépendant du temps : x() t = T() t x() t () () θ() 1 1 ( ) () () () t () () ( θ() ) () x& t = T t A t T t T& t T x& t + T t B t u t x( t0) = T( t0) x0 1 Transformation équivalente si P et P & non singulières et continues t ; transformation «Lyapunov équivalente» (préservation de ρ 0< ρ < det T t, t t ; application aux systèmes périodiques. la stabilité au sens de Lyapunov) si on ajoute : ( ) ( ) 0

23 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (23) 2.2 TYPES DE DEPENDANCE PARAMETRIQUE? Dépendance affine, polynomiale, rationnelle, trigonométrique, non linéaire plus générale ( θ () t ) B θ ( t) θ () t D θ t ( ) ( ) ( ()) A G( s, θ ): = S C ( θ () t ) Cas particulier : ( i, j) ( i, j) ( i, j) ( i, j S θ ) () t = σ θ () t + σ θ () t + + σ θ () t σ θ () t θ () t ( ) L + L + L i, j q q rs r s 1 A+ B1 ( θ() t ) I D11 ( θ() t ) C1 B2 + B1 ( θ t ) D12 ( ) () 1 ( ( θ )) θ () G( s, θ ): = C2 + D21 ( θ() t ) I D11 () t C1 D11 + D21 ( t ) D12 En pratique : approx. de Taylor ou de Padé Une gageure (en vue de la synthèse) : trouver une dépendance de complexité réduite.

24 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (24) 2.3 ENSEMBLE DE TRAJECTOIRES PARAMETRIQUES ADMISSIBLES θ ( ) Θ Espace paramétique Domaine d évolution du paramètre: ( t) q D compact θ R Trajectoire paramètrique - Cas le plus courant : hypercube t, θ t D θθ, θ θ t θ (hypercube) ( ) ( ) R, i.e. ( ) i i i - Le domaine d évolution de la matrice système S ( θ ) est alors ( ) Ex. : S ( ) affine système polytopique ( S θ ( t) Co S L S ) S D ; ( ) { } 1,, k On peut ajouter (ou non) des contraintes sur la dynamique d évolution paramétrique

25 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (25) Information a priori sur la vitesse d évolution paramétique trajectoire constante ; & i t t R o θ ( ) = 0,, (application = recherche de régulateurs paramétrés) trajectoire dont la vitesse de variation est bornée. ν & θ t ν o ( ) i i i trajectoire constante par morceau (e.g. systèmes à saut) : o θ i( t ) = [ θ i] Γ( t t i), avec : j ( t j ) [ ] i j j suite aléatoire strictement croissante dans + R (t i > t i-1 >... > 0) N θ suite aléatoire indépendante j N o La trajectoire peut alors être caractérisée en terme probabiliste (e.g. fréquence des sauts) trajectoire périodique θ t + T = θ t o ( ) ( ) i i

26 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (26) Autres types d ensemble (e.g. problème quasi-lpv) θ est fonction de paramètres endogènes : θ = ρ ( x, u) Le système, dit alors quasi-lpv est en fait non linéaire : x& () t A( ρ( x, u) ) B( ρ( x, u) ) x() t = = f ( xu, ) yt () C( ρ( x, u) ) D( ρ( x, u) ) ut () L évolution «paramétrique» est alors complètement dépendante de l évolution de l entrée u. Ex. 1 : 3 x& 1 = x1 x1 x& 1 1 θ 0 x1 2 x x = 2 x2 x1 x θ x & = & 2 2 avec θ = x 1 Ex. 2 : sin( x1) sin( x1) x& 1 sin( x1) + x2 x& 1 1 x1 0 x1 1 x1 0 x & 1 u x 1 u x = 2 xx 1 2 u x = 2 x = + x 2 x 2 1 & + & x2 0 & 0 x Ax x θ = x ou x selon l écriture choisie ( 1, 2)

27 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (27) Ex. 3 : ( ) x& = Ax + B sat u x& = Ax + Bθ u, Avec : θ ( ) 1 si: u sat u = sat ( u) si: u> sat u u ( )

28 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (28) 2.4 RECAPITULATIF Les attributs de la trajectoire paramétrique : o Type de dépendance paramétrique o Espace paramétrique o Informations a priori sur la trajectoire paramétrique conditionnent : o le choix des outils d analyse et de synthèse à mettre en œuvre (à suivre) o La qualité des résultats (cf. choix de la «réalisation»)

29 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (29) 3 ANALYSE (STABILITE, PERFORMANCE) DES SYSTEMES LPV 3.1 STABILITE Définitions On considère le système : x& ( t) = A( θ () t ) x( t), θ ( ) L espace paramétrique : t R, θ ( t) D( θθ, ) Chaque trajectoire (paramétriques) ( ) x& () t = A ( t) x( t) θ Θ, τ ( ) max A θτ ( ) [ t t] θ Θ est définie par un système LTV: Stabilité du système LPV stabilité de chaque système LTV x t t, t x t Φ tt, fonction de transition. () =Φ ( ) ( ), avec ( ) θ 0 0 d Φ θ ( tt, 0) = A( θ () t) Φθ ( tt, 0), Φ θ ( t0, t0) = I dt θ 0 0, < Stabilité (asymptotique) du système LTV (pour le point d équilibre x = 0 ( θ ( t t ) ) t lim Φ, = t Stabilité exponentielle du système LTV : α et 0 λ > tels que : () λ ( t t0 x t < αe ) x t ( ) 0 ), si

30 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (30) Condition nécessaire { θ & θ ν } Soit le système LPV : x& ( t) = A( θ () t ) x( t), ( ): R R/ t R, θ ( t ) µ et ( t) - Les trajectoires constantes : θ ( t) = 0, t, & R sont admissibles - La stabilité de tous les systèmes gelés : x ( t) = A( θ ) x() t - Elle n est en aucun cas suffisante. Θ= & g, g θ µ, est nécessaire. Exemple : acos( t) 1 acos( t) sin( t) x& = x 2. 1 acos( t)sin( t) 1 + sin( t) a ± λ 2 ( a 1) t t e cos( t) e sin( t) Φ t,0 = ( a 1) t t e sin( t) e cos( t) o Valeurs propres des systèmes gelés : o Fonction de transition ( ) 2 2 a 4 = ; stabilité LTI garantie pour 2 a <. ; système LTV instable pour 1 a. Cependant (cf. Desoer ; cas scalaire), si κ > 0/ A( θg1) A( θg2) κ θg1 θg2 et ( g ) A θ stable, alors le système LPV est stable pour des variations paramétrique suffisament lente (ν suffisament petit).

31 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (31) et suffisantes (Lyapunov) T Stabilité quadratique (SQ): P 0/ A ( θ) P PA( θ) 0 θ Θ o Il s agit d une LMI «fonctionnelle» : θ est une fonction du temps o On peut en ce cas se ramener à une LMI semi-infinie : T P A θ P PA θ θ D θ 0/ ( ) ( ) 0 g > + <, ( ) > g + g <, g ( θ, ) θ appartient à un ensemble non dénombrable Stabilité quadratique dépendant des paramètres (SQDP): P P > A P + P A + < t T ( θ) 0/ ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) 0, θ ( ) Θ Cas particuliers : o Ensembles des trajectoires admissibles (e.g. θ ( t) et & θ ( t) évoluent dans des hypercubes) o Matrice de Lyapunov affine, affine par morceaux, polynomiale, rationnelle Hypothèses : o Espace paramétrique : hypercube ; V = ensemble des sommets ( ( ) 2 q o Hypercube d évolution de θ ( t) ; W = ensemble des sommets card V = )

32 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (32) Exemples : T o Stabilité quadratique ; P 0/ A ( v) P PA( v) 0 > + <, v V o SQDP-affine et système affine : [Apkarian et Gahinet 94] ; ( ) A( θ) = A + θ A Co A( v) 0 K i= 1 i i Fonction de Lyapunov affine : ( θ ) 0 v w A K P P θ P = + i= 1 T Av ( ) P( v) + P( v) Av ( ) + P( w) < P T V, W : i P( v) + P( v) Ai( v) 0 v V : Pv ( ) > I nombre fini (mais grand!) de LMI ; Principe de multiconvexité i i 0 (nombre fini de LMI) Autre exemple : fonction de Lyapunov affine par morceau (cf. Stillwell)

33 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (33) et suffisantes : stabilité E/S (Faible gain structuré et LFR) : uniquement orienté vers la synthèse? θ ( θ ) u G( s, θ ) y u u P y y { θ θ } σ () Hyp. : () ( 1 q L ) 1 q q q ( ) t, = diag I,, I, et t 1 ( ) Résultat (faible gain structuré): Le système LFT : G( s θ ) Fu P( s) o P( s ) stable T o ( L q ) = > 0, =,, / < 1 Z Z Z diag Z1 Z Z P11Z y =, u=, u o o est stable si : Rq. : Stabilité quadratique de la LDI associée si réalisation minimale pour P «Scaling» statiques versus dynamiques

34 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (34) 3.2 PERFORMANCE HINF OU H2 x& () t A( θ() t ) B( θ() t ) x( t) = yt () C( θ() t ) D( θ() t ) ut () Généralisation de ces notions au cas non-stationnaire / non-linéaire Définition : «Hinf» - gain L 2 Le gain L 2 d un système LPV est borné par γ si : T T 2 T u L2[0 + ), T () () γ 0 0 0, y t y t u () t u() t pour toute trajectoire paramétrique admissible θ Θ N.B. : mesure la plus grande amplification possible de l énergie du signal d entrée sur toutes les trajectoires paramétriques admissibles. T 2 T Définition [Xie] «H2» : lim E{ y () t y() t dt 0 } T γ T, θ Θ, si u est un bruit blanc centré unitaire.

35 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (35) Lemme1 [Wu95] θ( ) G( s, θ ): C θ () t ( ) B ( θ() ) ( ) D ( θ () t ) A t t = est QDP stable y 2 2 γ > 0/sup sup γ < ( 0 θ Θ u 0 u 2 2 u L [ 0, ) 2 x ( t ) = 0) Caractérisation d V x T + y y u u 0, x dt Principe (cas quadratique): ( ) T T 2 V x = x Xx / ( ) γ système LPV sup sup θ Θ u u L 2 2 [ 0, ) y u γ 2 <. Théorème LBR1 (Lemme borné réel 1) Le système est quadratiquement stable et sa norme induite L 2 est bornée par γ > 0 si : et u solution admissible pour le T X = X > 0 / T T XA() θ + A () θ X XB() θ C ( θ) T T B ( θ) X - γ I D ( θ) < 0, θ Θ C( θ) D( θ) - γ I

36 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (36) Théorème LBR2 (Lemme borné réel 2) Le système est asymptotiquement stable et sa norme induite L 2 est bornée par γ > 0 si il existe une fonction matricielle symétrique définie positive X ( θ ) telle que : T T X() θ A( θ) + A ( θ) X() θ + X & ( θ) X() θ B( θ) C ( θ) T T B ( θ) X( θ) - γi D ( θ) < 0 C( θ) D( θ) - γi, θ Θ Remarque : Condition suffisante seulement contrairement au cas LTI (fonction de Lyapunov pas nécessairement quadratique dans le cas LPV). Résolution dans le cas général ; on se ramène à des LMI paramétriques par : o «encapsulation» dans des : LDI polytopique (nombre fini de LMI) LDI avec dépendance paramétrique rationnelle et paramètre borné en norme (scaled LBR) LDI plus générale : LMI semi-infinie résolue de manière approchée par discrétisation de l espace paramétrique o choix d une structure prédéfinie pour la fonction de Lyapunov (e.g. affine, polynomiale, rationnelle, splines ) Conservatisme (encore) accru.

37 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (37) 4.1 LPV VERSUS LTV ET ADPTATATIF x& ( t) A( θ() t ) B( θ() t ) x( t) = yt () C( θ() t ) D( θ() t ) ut () 4 SYNTHESE DE REGULATEURS LPV Solution LQ dans le cas LTV ( θ () t est connu à l avance): ( ) T T T T o Critère : = min ( f ) f ( f ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) o Solution : u t f J x t Q x t x τ Qx τ u τ u τ dτ 0 () () () T T ( θ ) ( θ() ) () () ( θ() ) ( θ() ) () P& T t = P t A t + A t P t P t B t B t P t + Q u() t = B P() t x() t, avec: P( t f ) = Qf o La commande présuppose la connaissance du futur de la trajectoire paramétrique. Dans le cas LPV au contraire, les hypothèses sont : o Connaissance instantannée et sans distorsion du vecteur de paramètre θ ( t).

38 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (38) 4.2 METHODES D AUTOSEQUENCEMENT : LES BASES Approche LFT/faible gain structuré ( γ θ θ 1 T ) z% θ w% θ ( θ ) z θ w θ ( θ ) 0 z θ ( θ ) w θ z y P K u w z z θ 0 ( θ ) P w θ P a w z y P w u ( θ ) y% y K u u% On cherche K ( s ): problème de faible gain structuré ; K ( s ) solution si: L 1 L 1/ 2 1/ 2 2 L 0 L 0 L L = > 0: L1, L3 L et L2 = L2, / F(, ) < 1 T l Pa K L2 L3 0 I 0 I

39 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (39) On déduit le correcteur séquencé : K, ( θ ) l ( ) + ( ( θ )) 1 F = K K I K P ; Calcul au moyen de LMI (LBR) L K itérations ou autre relaxation (cf. Packard et al. 91, Akarian et.al 95). Les contraintes sur la vitesse de variation paramétrique ne sont pas prises en compte.

40 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (40) Approche Lyapunov (lemme réel borné sur la boucle fermée) Modèle standard LPV: Hypothèses usuelles : ( ) ( θ) 1( θ) 2( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& = A x+ B w+ B u z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 u { } 2 1 a A θ polytopique A( θ ) Co A( ω i ), i = { B 1 ( θ ), B 2 ( θ), C 1 ( θ), D 11 ( θ), D 12 ( θ), C 2 ( θ), D 21 ( θ ) constantes et ( ) A( θ ), B quadratiquement stabilisable 2 et A( ), C ( ) 2 ( ) 2 D θ = 22 0 θ quadratiquement détectable. Recherche d un régulateur polytopique du même ordre que le modèle standard conférant à la boucle fermée un gain L 2 majoré par γ. ( θ ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& K = AK xk + BK y u = CK xk + DK y, ( ) 2 T T T A( θ ), B quadratiquement stabilisable si θ ( θ) ( θ) 2 ( ) T 2 2 Θ, X : Ker( B ) A X + XA Ker( B ) < 0

41 Boucle fermée : Tutoriel : La commande LPV GR MOSAR, 20 septembre Nantes (41) ( θ ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& cl = Acl xcl + Bcl w avec : z = Ccl xcl + Dcl w A( θ ) B2CK B1+ B2DK ( θ ) D21 Acl θ = Bcl ( θ ) = BKC2 AK( θ ) BK ( θ ) D21 C θ C D D θ C D C θ D θ = D + D D θ D o ( ) ( ) o ( ) = + ( ) ( ) et ( ) ( ) cl 1 12 K 2 12 K cl K 21 Solution : application du LBR sur la boucle fermée + changement de variable le problème de synthèse est exprimé comme une contrainte LMI + une contrainte de rang à résoudre sur chaque sommet du domaine polytopique.

42 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (42) Autoséquencement et systèmes non linéaires x = f ( x u) = ( θ ) % + ( θ ) &, x&% A x B u%, avec : o θ i = ( xe i, ue i ) points d'équilibre et f i f i o A( ) ( ) B( ) ( ) θ = α i, i, i 1, i 0 x θ θ = α u θ α = α > i i i ne construisent pas une LDI pour le système non-linéaire (cf. Bruzelius 04).

43 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (43) 4.3 APPROCHE PAR INTERPOLATION maillage (, θ ) θ Gi ( s) = G( s, θgi ) G s, Θ, θ D paramétrique gi R synthèse LTI interpolation (, θ ) K ( s) = K( s, θ ) K s Motivations et difficultés i gi gi, θ D R Commande «adaptée», fonction de l évolution du comportement dynamique du système. Simplicité de mise en œuvre : synthèse LTI traditionnelle, sur la base de modèles «locaux». o e.g. linéarisation d un système linéaire Tout type de dépendance paramétrique. Absence de conservatisme (condition nécessaire). Dans le cas non linéaire : possibilité de travailler à partir des modèles linéarisés tangents q q Choix des réalisations à interpoler? Stabilité et performance de l asservissement LPV? Vérification posteriori le plus souvent.

44 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (44) Interpolation ad hoc Des solutions ad hoc ont été mises en oeuvre avant l introduction du paradigme LPV (réponses au besoin des applications). Interpolation des coefficients de réalisations LTI dans l espace d état xk () t AK ( θ() t ) BK ( θ() t ) xk t & ξi() t = = ut () CK ( θ() t ) DK ( θ() t ) yt () yt () K θgi K θ g i () interpolation & ξ () ( ) ( ) i t AK θg B i K θgi ut () C ( ) D ( ) Difficultés : o La stabilité des régulateurs LTI obtenus sur les points du maillage paramétrique ne garantit pas la stabilité des systèmes interpolés entre ces points. o Cohérence des différentes réalisations (coefficients de la matrice système et variables d état) Exemples : o Forme compagne : interpolation des pôles et des zéros (Nichols et al. 93) o Forme équilibrée : interpolation de formes équilibrées (e.g. Buscheck) o interpolation des solution de Ricatti dans le cas de correcteurs H (e.g. Kellt 91) o Interpolation sous forme retour d état / observateur Interpolation des sorties : (e.g. Kelly et.al 97 ; controller blending)

45 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (45) Interpolation des sorties : (e.g. Kelly et.al 97 ; controller blending) o interpolation des sorties de plusieurs contrôleurs implémentés en parallèle : N = i gi, N N i= 1 i = N αi = αi θgi i= 1 i= 1 αi () t = 1 i= 1 () t () t θ α θ (, ) u u K s y o Remarques : Pas de contraintes d homogénéité (ordre, réalisation) entre les régulateurs LTI Gestion des problèmes d implémentation (potentiellement «gourmande» en ressources de calcul) Approche «multi-contrôleurs» : cf. journées du GR MOSAR, Supelec, mai 2000.

46 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (46) Illustration des problèmes d homogénéité des réalisations (extrait Voinot et. al 02)

47 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (47) Interpolation sous forme retour d état / observateur Idée (cf. Alazard, Apkarian) : Utiliser pour le régulateur une paramétrisation «ayant du sens» pour : o garantir des propriétés d homogénéité entre les différentes réalisations o une meilleure lisibilité du code implémenté in fine. Résultat : Considérant P un système LTI stabilisable par u et détectable par y, tout correcteur K peut s écrire sous la forme «retour d état-observateur + paramètre de Youla stable» (Bender, Alazard, Apkarian). Q( s) - + K f u Bu ˆx Cy y observer K c A K () s

48 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (48) La paramétrisation «retour d état-observateur + paramètre de Youla stable» peut être obtenue à partir d une réalisation quelconque de K ( s ), par résolution d une équation de Riccati non symétrique (identification des réalisations). Remarques : o Le vecteur d état du régulateur correspond aux états estimés du système à contrôler d une part, et des états du paramètre de Youla d autre part. o La paramétrisation n est pas unique. Des difficultés pour l interpolation subsistent : répartition du spectre de la boucle fermée entre : commande par retour d état observateur paramètre de Youla ; ( spec( A ) =spec( A BK ) spec( A K C) spec( Q) ). cl c f o Continuation itérative de chaque sous espaces propre: cf. Apkarian o Proposition (Berriri et. al 2006) : utilisation d un observateur d état augmenté pour l interpolation Répartition spectrale grandement facilitée Estimation non biaisée de l état du système si augmentation pertinente du modèle du système. Résultats probants et stabilité garantie (verification a posteriori ; cf. Stillwell) sur le système de transport de bande (ERT n 8, Strasbourg) Cf. schéma

49 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (49) - + u Augmented observer K c + + Baug θ aug ( ) θ ( ) K f ( ) θ + Aaug ( θ ) xˆ ˆ x C LPV controller y

50 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (50) Interpolation avec garantie a priori (stabilité / performance) Théorème (Stillwell &Rugh 2000) : interpolation dans le cas d une commande par retour d état & θ θ ( ) ( ()) ( ()) ( ) x t A t B t x t = yt () I 0 ut () Hypothèses : les gains par retour d état 1, 2,... N recouvrement : i 1 2 N K K K associés à θ, θ..., θ D satisfont à la condition de stabilité par ( ) K stabilise A( (), t ) B( () t ) θ θ sur un ouvert D i tel que D D i. T il existe γ > 1 et W1, W2,... W N > 0 tel que : Wi( A( θ ) + B( θ) Ki) + ( A( θ) + B( θ) Ki) Wi γi Résultat : Si θ D i, i = 1,... N, alors : il existe des intervalles [ bi, ci] Di D i+ 1 [ θi, θi+ 1],(pour tout i) tel que le gain par retour d état [ θi, bi[ [ ] ] c, θ ] K θ K( θ ) = K W b c K θ i i ( θ) 1 ( θ) θ i, i i+ 1 i i+ 1 préserve la stabilité. c θ θ b K KW K W i i i ( θi) = i i + i+ 1 i+ 1 ci bi ci bi où : W θ [ θ, b[ i c θ θ b W( θ) = W + W b, c c b c b W i i [ ] i i i i+ 1 θ i i i i i i i+ 1 θ c i, θ i+ 1 i ] ]

51 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (51) De plus, le système LPV en boucle fermée ( ) ( ( )) ( ( )) stable si θ () t satisfait : & est exponentiellement x t = ( A θ t + B θ t K( θ( t) )) x(), t t 0 & ci bi θ () t < min i= 1,..., q 1 W W, t 0 i+ 1 i Idem dans le cas de l observateur ( L( θ )). Doù le résultat : Théorème Supposons (i) les hypothèses précedentes satisfaites, (ii) les gains K( θ ) et L( θ ) obtenus par application du théorème précedent, alors le système LPV rebouclé par le régulateur LPV (retour d état reconstruit) est exponentiellement stable.

52 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (52) Illustration : K W 2 W 1 D 1 b c θ T il existe γ > 1 et W1, W2 0 tels que : i( ( θ ) ( θ) i) ( ( θ) ( θ) i) i γ W A + B K + A + B K W I, θ D i D 2

53 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (53) (cf. Chevrel 2002, MOSAR) 5 IMPLEMENTATION DES REGULATEURS LPV 5.1 LE DILEMME DE LA DISCRETISATION (AVANT SYNTHESE) Noter la modification des attributs de la trajectoire paramétrique par passage à la discrétisation. 5.2 LA SIMULATION DE REGULATEURS LPV-LFT retour d état ( K, ( θ )) = + ( θ ) ( ) KRE = Fl K K I K P o Matrice à inverser en ligne : conditionnement? coût de calcul! (N.B. : bien posé si ( ) K 11 1 µ < ) o Inversion itérative : itération de Richardson (Magni et. al 2006)

54 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (54) Régulateur LPV dynamique Par substitution : Intégrateur linéaire mutipas strictement causal o Simplicité de la démarche de discrétisation (simple substitution, associativité) o favorable du point de vue de la lisibilité du code o structure du régulateur LPV préservée o attention à la stabilité numérique I (q) I T y k xˆk A G LC K C G B G 0 0 L 0 I 0 I 0 xˆd k u k xk u k A C I T (q) ( θk ) B( θk ) ( θ ) ( ) k D θk SK ( θ ) k x d y k k x Qdk A C (q) I T Q Q B D Q Q x Qk Structure retour d état observateur

55 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (55) 6 PERSPECTIVES Le cadre LPV est venu en réponse à des questionnements venant des applications (séquencement de gains) et répond ainsi à un besoin. Il offre des outils d analyse et de synthèse se révélant utile pour: o améliorer la performance des régulations (cf. exemples d application) o appréhender de manière simplifiée la commande non-linéaire La commande LPV n est pas la panacée : elle doit être utilisée avec discernement, pour la commande des systèmes non-linéaires notamment. Des efforts à poursuivre à propos de : o La réduction du compromis pessimisme / simplicité de synthèse o La démarche de choix du maillage paramétrique o L évaluation du degré de pessimisme des résultats o La simplification (dynamique et paramétrique) de modèle LPV, et l encapsulation de modèle linéaire faiblement conservative (LDI) o L identification de modèle LPV