TUTORIEL : LA COMMANDE LPV

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "TUTORIEL : LA COMMANDE LPV"

Transcription

1 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (1) TUTORIEL : LA COMMANDE LPV Philippe CHEVREL Remerciements à l équipe Nantaise : M. Yagoubi, M. Berriri, A. Bouali, G. Lebret, F. Claveau GT MOSAR Journées de Nantes

2 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (2) Plan TUTORIEL : LA COMMANDE LPV INTRODUCTION GENERALE COMMANDE LPV : QUELQUES CAS D ETUDE «NANTAIS» LA MOTIVATION POUR L ETUDE DU CADRE LPV DE LA COMMANDE ROBUSTE A LA COMMANDE LPV LES SYSTEMES PARAMETRES QUELLE REPRESENTATION (PARAMETRE VARIANT)? TYPES DE DEPENDANCE PARAMETRIQUE? ENSEMBLE DE TRAJECTOIRES PARAMETRIQUES ADMISSIBLES RECAPITULATIF ANALYSE (STABILITE, PERFORMANCE) DES SYSTEMES LPV STABILITE PERFORMANCE HINF OU H SYNTHESE DE REGULATEURS LPV LPV VERSUS LTV ET ADPTATATIF METHODES D AUTOSEQUENCEMENT : LES BASES APPROCHE PAR INTERPOLATION IMPLEMENTATION DES REGULATEURS LPV LE DILEMME DE LA DISCRETISATION (AVANT SYNTHESE) LA SIMULATION DE REGULATEURS LPV-LFT PERSPECTIVES ANNEXE... 58

3 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (3) 1 INTRODUCTION GENERALE «survey» ; cf. Apkarian, Becker, Bruzelius, Dinh, Gahinet, Helmerson, Leithead, Packard, Pellanda, Rugh, Shamma, Stillwell, Wu, o Wilson J. Rugh, Jeff S. Shamma «Research on gain scheduling» Automatica 36 (2000) o Leith D.J., Leithead W.E., «Survey of gain scheduling Analysis & Design» IJC (2000) Résultats les plus pointus = B.A.-BA / SURVOL DES NOTIONS CLES

4 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (4) 1.1 COMMANDE LPV : QUELQUES CAS D ETUDE «NANTAIS» Commande des systèmes electriques Filtrage actif (fréquence du réseau) (C. Darengosse et al. 99) P( s, f ) Wu ( s) z1 Ic W ( s f ) 2, d W2 ( s, f ) z2 z3 v s -v f G( s) Is-Ic Is K( s, f ) o Problème H multi-blocs o Pondération LPV

5 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (5) o Approche quadratique constant polytopique o Constat a priori : faible conservatisme. o Résultats expérimentaux probants (taux de distorsion harmonique).

6 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (6) Observateur de flux d'une machine asynchrone (vitesse rotation) [Darengosse et al. 2000] Modèle de Park dans le referentiel (α,β) Rr Rr pω M sr 0 Lr L r 0 0 Φ& rα rα Φ Rr Rr 0 0 p 0 M sr Φ rβ Φ& Ω r Lr L β Vsα r 1 = * i + 0 RM s i r sr M α sr σ L * & V s p 0 s α γ sβ Ω { 2 LsLr σ L i sl r sβ i σ u & { 1 sβ 0 x Msr RrM sr σ L s -p 0 γ Ω σ L 2 slr σ LsLr Découplage électrique / mécanique : modèle quasi LPV Conception d un observateur de flux affine en Ω, quadratiquement stable par minimisation du gain L du modèle standard suivant : 2

7 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (7) Φ Φ Φ Φ β β α α r r r r ˆ ˆ β α s s V V noise I I s s + β α β α s s b b Φ Φ β α r r ˆ ˆ β α s s V V + Φ Φ Ω = Φ Φ β α β β α β β α α α s s s r r s r r V V B* i i )* A( i i s s & & & & z y u w Ω ξ+ Ω = Ω ξ+ Ω ξ = )*y D ( )* C ( u )*y B ( )* A ( r r r r & τ + τ + = * s 1 * s g 0 0 * s 1 * s g W (s) Comparaison avantageuse de cet observateur LPV avec différents régulateurs de la littérature : o observateur (i) de Verghese, (ii) mode glissant (Sangwongwanish), (iii) grand gain (Bornard), filtre de Kalman (Westerholt) Performance intéressante sur le Benchmark «machine électrique» de l IRCCyN et «réglage» simple.

8 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (8) - Si - ng ul - ar - V - al - ue LMI ω (w b) flux LMI Observed flux t Si ng ul - ar V - al - ue Verghese ω (w b) Verghese t(s

9 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (9) Commande des systèmes electromécaniques Systèmes de transport à grande vitesse de bande flexible (adaptation aux variations de rayon et inertie des bobines) [Berriri et. al 2004] ; Tensions de bande Variateur Vitesses de rotation Consignes de courant Calculateur

10 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (10) Paramètres variants : rayon des bobines (et par suite leurs inerties), et la vitesse de déroulement Le modèle : E m( R, V ) X & = A ( R, V ) X + B ( R, V ) U d 0 d 0 d 0 o Y = C( Rd, V0 ) X o Entrées : o Sorties : ud t e T d u u ; consigne de couple pour les 3 moteurs V T ; Tension dérouleur, vitesse de transport et tension enrouleur e Synthèse de la loi de commande : interpolation de lois de commande H2 ou Hinf o Forme retour d état / observateur o Vérification de la stabilité a posteriori (maillage + fonction de Lyapunov affine par morceau) o Maillage mono et bidimensionnel

11 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (11)

12 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (12) Voiture intelligente : Contrôle lateral (vitesse du véhicule) [Raharijaona et al. 05] Module de Vision ψ L camér yl camér Module d Interface ψ L rout yl rout Correcte ur Images de la route Capteur vidéo Indice de Qualité Module de Sécurité Embrayage T a mesuré Moteur électrique + _ PID T a : couple d assistance U: Tension d entrée Carte de puissance Colonne de direction

13 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (13) Paramètre variant : vitesse longitudinale du véhicule Le modèle bicyclette (quasi-lpv): o a11 a b 2 1 e11 & β V V β 0 V V r& a r 0 22 = a b2 δ f + e22 f V w + ρ ψ& L ψ L V L y y L 0 & 0 0 V ls V 0 β: angle de dérive r : vitesse de lacet ψ L y L V f : erreur sur l angle de cap : déplacement latéral f w : force de vent latéral : vitesse longitudinale δ : angle de braquage des roues avant ref Synthèse de la loi de commande : o approche polytopique avec contrainte d ordre o interpolation de lois de commande Hinf d ordre réduit (forme équilibrées, forme retour d état / observateur)

14 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (14) Comparaison des stratégies Hinf et LPV Rafales de vent f w = 500N Profil de vitesse y Déplacement latéral L Erreur sur l angle de capψ L yl < 7cm ψ L < 0,003radian

15 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (15) Domaine naval Contrôle en roulis (vitesse navire) [Lebret et. al 2004] ; Stabilisation du roulis d un navire à l aide d ailerons et de gouvernails Paramètres variants : vitesse du navire et facteur d atténuation du roulis Synthèse polytopique Synthèse par interpolation pôles / zéros / gains

16 Actionneurs - ailerons - gouvernails Tutoriel : La commande LPV GR MOSAR, 20 septembre Nantes (16) Navire (vitesse V) Perturbations : Houle caractérisée par un spectre régulateur Régulateur à paramètres variants dépendant - de la vitesse du navire (V) - d un facteur d atténuation désiré du roulis (FAD)

17 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (17) 1.2 LA MOTIVATION POUR L ETUDE DU CADRE LPV Une classe de systèmes élargie une notion clé : les inclusions différentielles linéaires; (LDI polytopique, LDI LFR) Non linéaire Quasi LPV LPV LTV LTI Des régulateurs adaptatifs (robustes-adaptatifs versus adaptatifs-robustes) Des régulateurs non linéaires et/ou non stationnaires robustes?

18 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (18) 1.3 DE LA COMMANDE ROBUSTE A LA COMMANDE LPV La théorie de la robustesse n est pas limitée à l étude des systèmes linéaires stationnaires. Le paradigme de la commande LPV est né dans les années 90, dans la foulée des développements sur la commande robuste (cf. thèse Shamma) ; développements nombreux depuis lors Des difficultés notables Comment bénéficier de la puissance des outils d analyse fréquentielle? Propriétés structurelles des systèmes LPV (stabilité, observabilité, commandabilité)? La commutativité de 2 systèmes non stationnaires n est pas garantie (cf. Rotella) Nyquist, sensibilité paramétrique, H2, Hinf Analyse seulement locale Inclusion diff, LFT, LMI, SDP Exemple d inclusion différentielle linéaire (LDI) : n n & avec : ( ) Ω ( ), ( 0) = 0 x t x t x x Ω R o Peut s interpréter comme une collection de trajectoires LTV o On dit que la LDI est stable si toutes les trajectoires sont stables

19 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (19) o Résultat : considérons 2 systèmes inclus dans la LDI ( ) ( ) o x& ( t) = f x( t) Ωx t o x& () t = A( θ () t ) x( t) Ωx( t) La stabilité de la LDI induit celles des 2 systèmes. o LDI paramétrée (polytopique, rationnelle à paramètre bornée ) : lien direct avec le paradigme LPV.

20 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (20) 2 LES SYSTEMES PARAMETRES 2.1 QUELLE REPRESENTATION (PARAMETRE VARIANT)? De la «fonction de transfert» à la représentation LFT θ ( θ ) y = G s (, θ ) o ( P, ) = F u u o u u G( s, θ ) y u u P y y Rqs : - GP,, sont considérés comme des opérateurs - (, ) ( ) 1 u = + - ( ) n θ θ T D ( ) T F P P P I P P n m : R, u : R Cas particulier : forme d état rationnelle 1 ( ( )) ( () t ) ( ( )) + ( () t ) ( () t ) () t A B1 B2 θ 1Ir1 0 0 A+ B1 θ I D11 θ C1 B2 + B1 θ D 12 P( s) : = C1 D11 D 12, 0 O 0 G( s, θ ): = 1 C 2 21 ( ()) 11 () 2 D21 D θ I C + D θ t I D θ t C rq 1 D11 D21 θ D 12 2

21 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (21) Utilisation d une représentation d état (implicite) paramétrée ( ) A( θ() t ) B( θ() t ) C( θ( t) ) D( θ( t) ) ( ) E 0 x& t x t 0 I = yt () ut () q ( ) R u ( ) θ : T D, : T R () () () () A : D R, B : D R, C : D R, D : D R ( θ) L R t..: q θ D, A L m nxn nxm pxn px m Dans les 2 cas : non unicité ; Formes canoniques? La forme LFT : on peut avoir ( θ ) Ex. : G( s, θ ) u (, ) u(, ( θ )) = avec P P et F P F P θ = est obtenu indifféremment avec les paires : s + θ P( s θ ) 0 0 s 1 s 1 = o s, = 0 θ et P( s) = s, θ o =

22 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (22) La forme d état : différentes réalisations «équivalentes 1» ( ˆm fonction de transition) ( ()) ( ()) ( ()) ( ()) A θ t B θ t C θ t D θ t et ( ()) ( ()) ( θ() ) ( θ() ) T A θ t B θ t 1 0 T 0 0 I C t D t 0 I définissent le même système LTV. La dépendance paramétrique diffère: o Ex : A( θ ) Remarques : 1 θ θ = 1 1 et 2 θ T 1 0 = 1 θ θ 1 1 A( θ) = TA( θ) T = 2 θ + 2θ 1 θ 1 θ θ o Les valeurs propres des systèmes gelés sont inchangées par transformation. o Ce n est plus le cas si l on fait usage de matrices de transformation dépendant du temps : x() t = T() t x() t () () θ() 1 1 ( ) () () () t () () ( θ() ) () x& t = T t A t T t T& t T x& t + T t B t u t x( t0) = T( t0) x0 1 Transformation équivalente si P et P & non singulières et continues t ; transformation «Lyapunov équivalente» (préservation de ρ 0< ρ < det T t, t t ; application aux systèmes périodiques. la stabilité au sens de Lyapunov) si on ajoute : ( ) ( ) 0

23 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (23) 2.2 TYPES DE DEPENDANCE PARAMETRIQUE? Dépendance affine, polynomiale, rationnelle, trigonométrique, non linéaire plus générale ( θ () t ) B θ ( t) θ () t D θ t ( ) ( ) ( ()) A G( s, θ ): = S C ( θ () t ) Cas particulier : ( i, j) ( i, j) ( i, j) ( i, j S θ ) () t = σ θ () t + σ θ () t + + σ θ () t σ θ () t θ () t ( ) L + L + L i, j q q rs r s 1 A+ B1 ( θ() t ) I D11 ( θ() t ) C1 B2 + B1 ( θ t ) D12 ( ) () 1 ( ( θ )) θ () G( s, θ ): = C2 + D21 ( θ() t ) I D11 () t C1 D11 + D21 ( t ) D12 En pratique : approx. de Taylor ou de Padé Une gageure (en vue de la synthèse) : trouver une dépendance de complexité réduite.

24 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (24) 2.3 ENSEMBLE DE TRAJECTOIRES PARAMETRIQUES ADMISSIBLES θ ( ) Θ Espace paramétique Domaine d évolution du paramètre: ( t) q D compact θ R Trajectoire paramètrique - Cas le plus courant : hypercube t, θ t D θθ, θ θ t θ (hypercube) ( ) ( ) R, i.e. ( ) i i i - Le domaine d évolution de la matrice système S ( θ ) est alors ( ) Ex. : S ( ) affine système polytopique ( S θ ( t) Co S L S ) S D ; ( ) { } 1,, k On peut ajouter (ou non) des contraintes sur la dynamique d évolution paramétrique

25 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (25) Information a priori sur la vitesse d évolution paramétique trajectoire constante ; & i t t R o θ ( ) = 0,, (application = recherche de régulateurs paramétrés) trajectoire dont la vitesse de variation est bornée. ν & θ t ν o ( ) i i i trajectoire constante par morceau (e.g. systèmes à saut) : o θ i( t ) = [ θ i] Γ( t t i), avec : j ( t j ) [ ] i j j suite aléatoire strictement croissante dans + R (t i > t i-1 >... > 0) N θ suite aléatoire indépendante j N o La trajectoire peut alors être caractérisée en terme probabiliste (e.g. fréquence des sauts) trajectoire périodique θ t + T = θ t o ( ) ( ) i i

26 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (26) Autres types d ensemble (e.g. problème quasi-lpv) θ est fonction de paramètres endogènes : θ = ρ ( x, u) Le système, dit alors quasi-lpv est en fait non linéaire : x& () t A( ρ( x, u) ) B( ρ( x, u) ) x() t = = f ( xu, ) yt () C( ρ( x, u) ) D( ρ( x, u) ) ut () L évolution «paramétrique» est alors complètement dépendante de l évolution de l entrée u. Ex. 1 : 3 x& 1 = x1 x1 x& 1 1 θ 0 x1 2 x x = 2 x2 x1 x θ x & = & 2 2 avec θ = x 1 Ex. 2 : sin( x1) sin( x1) x& 1 sin( x1) + x2 x& 1 1 x1 0 x1 1 x1 0 x & 1 u x 1 u x = 2 xx 1 2 u x = 2 x = + x 2 x 2 1 & + & x2 0 & 0 x Ax x θ = x ou x selon l écriture choisie ( 1, 2)

27 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (27) Ex. 3 : ( ) x& = Ax + B sat u x& = Ax + Bθ u, Avec : θ ( ) 1 si: u sat u = sat ( u) si: u> sat u u ( )

28 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (28) 2.4 RECAPITULATIF Les attributs de la trajectoire paramétrique : o Type de dépendance paramétrique o Espace paramétrique o Informations a priori sur la trajectoire paramétrique conditionnent : o le choix des outils d analyse et de synthèse à mettre en œuvre (à suivre) o La qualité des résultats (cf. choix de la «réalisation»)

29 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (29) 3 ANALYSE (STABILITE, PERFORMANCE) DES SYSTEMES LPV 3.1 STABILITE Définitions On considère le système : x& ( t) = A( θ () t ) x( t), θ ( ) L espace paramétrique : t R, θ ( t) D( θθ, ) Chaque trajectoire (paramétriques) ( ) x& () t = A ( t) x( t) θ Θ, τ ( ) max A θτ ( ) [ t t] θ Θ est définie par un système LTV: Stabilité du système LPV stabilité de chaque système LTV x t t, t x t Φ tt, fonction de transition. () =Φ ( ) ( ), avec ( ) θ 0 0 d Φ θ ( tt, 0) = A( θ () t) Φθ ( tt, 0), Φ θ ( t0, t0) = I dt θ 0 0, < Stabilité (asymptotique) du système LTV (pour le point d équilibre x = 0 ( θ ( t t ) ) t lim Φ, = t Stabilité exponentielle du système LTV : α et 0 λ > tels que : () λ ( t t0 x t < αe ) x t ( ) 0 ), si

30 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (30) Condition nécessaire { θ & θ ν } Soit le système LPV : x& ( t) = A( θ () t ) x( t), ( ): R R/ t R, θ ( t ) µ et ( t) - Les trajectoires constantes : θ ( t) = 0, t, & R sont admissibles - La stabilité de tous les systèmes gelés : x ( t) = A( θ ) x() t - Elle n est en aucun cas suffisante. Θ= & g, g θ µ, est nécessaire. Exemple : acos( t) 1 acos( t) sin( t) x& = x 2. 1 acos( t)sin( t) 1 + sin( t) a ± λ 2 ( a 1) t t e cos( t) e sin( t) Φ t,0 = ( a 1) t t e sin( t) e cos( t) o Valeurs propres des systèmes gelés : o Fonction de transition ( ) 2 2 a 4 = ; stabilité LTI garantie pour 2 a <. ; système LTV instable pour 1 a. Cependant (cf. Desoer ; cas scalaire), si κ > 0/ A( θg1) A( θg2) κ θg1 θg2 et ( g ) A θ stable, alors le système LPV est stable pour des variations paramétrique suffisament lente (ν suffisament petit).

31 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (31) et suffisantes (Lyapunov) T Stabilité quadratique (SQ): P 0/ A ( θ) P PA( θ) 0 θ Θ o Il s agit d une LMI «fonctionnelle» : θ est une fonction du temps o On peut en ce cas se ramener à une LMI semi-infinie : T P A θ P PA θ θ D θ 0/ ( ) ( ) 0 g > + <, ( ) > g + g <, g ( θ, ) θ appartient à un ensemble non dénombrable Stabilité quadratique dépendant des paramètres (SQDP): P P > A P + P A + < t T ( θ) 0/ ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) 0, θ ( ) Θ Cas particuliers : o Ensembles des trajectoires admissibles (e.g. θ ( t) et & θ ( t) évoluent dans des hypercubes) o Matrice de Lyapunov affine, affine par morceaux, polynomiale, rationnelle Hypothèses : o Espace paramétrique : hypercube ; V = ensemble des sommets ( ( ) 2 q o Hypercube d évolution de θ ( t) ; W = ensemble des sommets card V = )

32 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (32) Exemples : T o Stabilité quadratique ; P 0/ A ( v) P PA( v) 0 > + <, v V o SQDP-affine et système affine : [Apkarian et Gahinet 94] ; ( ) A( θ) = A + θ A Co A( v) 0 K i= 1 i i Fonction de Lyapunov affine : ( θ ) 0 v w A K P P θ P = + i= 1 T Av ( ) P( v) + P( v) Av ( ) + P( w) < P T V, W : i P( v) + P( v) Ai( v) 0 v V : Pv ( ) > I nombre fini (mais grand!) de LMI ; Principe de multiconvexité i i 0 (nombre fini de LMI) Autre exemple : fonction de Lyapunov affine par morceau (cf. Stillwell)

33 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (33) et suffisantes : stabilité E/S (Faible gain structuré et LFR) : uniquement orienté vers la synthèse? θ ( θ ) u G( s, θ ) y u u P y y { θ θ } σ () Hyp. : () ( 1 q L ) 1 q q q ( ) t, = diag I,, I, et t 1 ( ) Résultat (faible gain structuré): Le système LFT : G( s θ ) Fu P( s) o P( s ) stable T o ( L q ) = > 0, =,, / < 1 Z Z Z diag Z1 Z Z P11Z y =, u=, u o o est stable si : Rq. : Stabilité quadratique de la LDI associée si réalisation minimale pour P «Scaling» statiques versus dynamiques

34 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (34) 3.2 PERFORMANCE HINF OU H2 x& () t A( θ() t ) B( θ() t ) x( t) = yt () C( θ() t ) D( θ() t ) ut () Généralisation de ces notions au cas non-stationnaire / non-linéaire Définition : «Hinf» - gain L 2 Le gain L 2 d un système LPV est borné par γ si : T T 2 T u L2[0 + ), T () () γ 0 0 0, y t y t u () t u() t pour toute trajectoire paramétrique admissible θ Θ N.B. : mesure la plus grande amplification possible de l énergie du signal d entrée sur toutes les trajectoires paramétriques admissibles. T 2 T Définition [Xie] «H2» : lim E{ y () t y() t dt 0 } T γ T, θ Θ, si u est un bruit blanc centré unitaire.

35 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (35) Lemme1 [Wu95] θ( ) G( s, θ ): C θ () t ( ) B ( θ() ) ( ) D ( θ () t ) A t t = est QDP stable y 2 2 γ > 0/sup sup γ < ( 0 θ Θ u 0 u 2 2 u L [ 0, ) 2 x ( t ) = 0) Caractérisation d V x T + y y u u 0, x dt Principe (cas quadratique): ( ) T T 2 V x = x Xx / ( ) γ système LPV sup sup θ Θ u u L 2 2 [ 0, ) y u γ 2 <. Théorème LBR1 (Lemme borné réel 1) Le système est quadratiquement stable et sa norme induite L 2 est bornée par γ > 0 si : et u solution admissible pour le T X = X > 0 / T T XA() θ + A () θ X XB() θ C ( θ) T T B ( θ) X - γ I D ( θ) < 0, θ Θ C( θ) D( θ) - γ I

36 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (36) Théorème LBR2 (Lemme borné réel 2) Le système est asymptotiquement stable et sa norme induite L 2 est bornée par γ > 0 si il existe une fonction matricielle symétrique définie positive X ( θ ) telle que : T T X() θ A( θ) + A ( θ) X() θ + X & ( θ) X() θ B( θ) C ( θ) T T B ( θ) X( θ) - γi D ( θ) < 0 C( θ) D( θ) - γi, θ Θ Remarque : Condition suffisante seulement contrairement au cas LTI (fonction de Lyapunov pas nécessairement quadratique dans le cas LPV). Résolution dans le cas général ; on se ramène à des LMI paramétriques par : o «encapsulation» dans des : LDI polytopique (nombre fini de LMI) LDI avec dépendance paramétrique rationnelle et paramètre borné en norme (scaled LBR) LDI plus générale : LMI semi-infinie résolue de manière approchée par discrétisation de l espace paramétrique o choix d une structure prédéfinie pour la fonction de Lyapunov (e.g. affine, polynomiale, rationnelle, splines ) Conservatisme (encore) accru.

37 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (37) 4.1 LPV VERSUS LTV ET ADPTATATIF x& ( t) A( θ() t ) B( θ() t ) x( t) = yt () C( θ() t ) D( θ() t ) ut () 4 SYNTHESE DE REGULATEURS LPV Solution LQ dans le cas LTV ( θ () t est connu à l avance): ( ) T T T T o Critère : = min ( f ) f ( f ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) o Solution : u t f J x t Q x t x τ Qx τ u τ u τ dτ 0 () () () T T ( θ ) ( θ() ) () () ( θ() ) ( θ() ) () P& T t = P t A t + A t P t P t B t B t P t + Q u() t = B P() t x() t, avec: P( t f ) = Qf o La commande présuppose la connaissance du futur de la trajectoire paramétrique. Dans le cas LPV au contraire, les hypothèses sont : o Connaissance instantannée et sans distorsion du vecteur de paramètre θ ( t).

38 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (38) 4.2 METHODES D AUTOSEQUENCEMENT : LES BASES Approche LFT/faible gain structuré ( γ θ θ 1 T ) z% θ w% θ ( θ ) z θ w θ ( θ ) 0 z θ ( θ ) w θ z y P K u w z z θ 0 ( θ ) P w θ P a w z y P w u ( θ ) y% y K u u% On cherche K ( s ): problème de faible gain structuré ; K ( s ) solution si: L 1 L 1/ 2 1/ 2 2 L 0 L 0 L L = > 0: L1, L3 L et L2 = L2, / F(, ) < 1 T l Pa K L2 L3 0 I 0 I

39 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (39) On déduit le correcteur séquencé : K, ( θ ) l ( ) + ( ( θ )) 1 F = K K I K P ; Calcul au moyen de LMI (LBR) L K itérations ou autre relaxation (cf. Packard et al. 91, Akarian et.al 95). Les contraintes sur la vitesse de variation paramétrique ne sont pas prises en compte.

40 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (40) Approche Lyapunov (lemme réel borné sur la boucle fermée) Modèle standard LPV: Hypothèses usuelles : ( ) ( θ) 1( θ) 2( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& = A x+ B w+ B u z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 u { } 2 1 a A θ polytopique A( θ ) Co A( ω i ), i = { B 1 ( θ ), B 2 ( θ), C 1 ( θ), D 11 ( θ), D 12 ( θ), C 2 ( θ), D 21 ( θ ) constantes et ( ) A( θ ), B quadratiquement stabilisable 2 et A( ), C ( ) 2 ( ) 2 D θ = 22 0 θ quadratiquement détectable. Recherche d un régulateur polytopique du même ordre que le modèle standard conférant à la boucle fermée un gain L 2 majoré par γ. ( θ ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& K = AK xk + BK y u = CK xk + DK y, ( ) 2 T T T A( θ ), B quadratiquement stabilisable si θ ( θ) ( θ) 2 ( ) T 2 2 Θ, X : Ker( B ) A X + XA Ker( B ) < 0

41 Boucle fermée : Tutoriel : La commande LPV GR MOSAR, 20 septembre Nantes (41) ( θ ) ( θ ) ( θ) ( θ) x& cl = Acl xcl + Bcl w avec : z = Ccl xcl + Dcl w A( θ ) B2CK B1+ B2DK ( θ ) D21 Acl θ = Bcl ( θ ) = BKC2 AK( θ ) BK ( θ ) D21 C θ C D D θ C D C θ D θ = D + D D θ D o ( ) ( ) o ( ) = + ( ) ( ) et ( ) ( ) cl 1 12 K 2 12 K cl K 21 Solution : application du LBR sur la boucle fermée + changement de variable le problème de synthèse est exprimé comme une contrainte LMI + une contrainte de rang à résoudre sur chaque sommet du domaine polytopique.

42 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (42) Autoséquencement et systèmes non linéaires x = f ( x u) = ( θ ) % + ( θ ) &, x&% A x B u%, avec : o θ i = ( xe i, ue i ) points d'équilibre et f i f i o A( ) ( ) B( ) ( ) θ = α i, i, i 1, i 0 x θ θ = α u θ α = α > i i i ne construisent pas une LDI pour le système non-linéaire (cf. Bruzelius 04).

43 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (43) 4.3 APPROCHE PAR INTERPOLATION maillage (, θ ) θ Gi ( s) = G( s, θgi ) G s, Θ, θ D paramétrique gi R synthèse LTI interpolation (, θ ) K ( s) = K( s, θ ) K s Motivations et difficultés i gi gi, θ D R Commande «adaptée», fonction de l évolution du comportement dynamique du système. Simplicité de mise en œuvre : synthèse LTI traditionnelle, sur la base de modèles «locaux». o e.g. linéarisation d un système linéaire Tout type de dépendance paramétrique. Absence de conservatisme (condition nécessaire). Dans le cas non linéaire : possibilité de travailler à partir des modèles linéarisés tangents q q Choix des réalisations à interpoler? Stabilité et performance de l asservissement LPV? Vérification posteriori le plus souvent.

44 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (44) Interpolation ad hoc Des solutions ad hoc ont été mises en oeuvre avant l introduction du paradigme LPV (réponses au besoin des applications). Interpolation des coefficients de réalisations LTI dans l espace d état xk () t AK ( θ() t ) BK ( θ() t ) xk t & ξi() t = = ut () CK ( θ() t ) DK ( θ() t ) yt () yt () K θgi K θ g i () interpolation & ξ () ( ) ( ) i t AK θg B i K θgi ut () C ( ) D ( ) Difficultés : o La stabilité des régulateurs LTI obtenus sur les points du maillage paramétrique ne garantit pas la stabilité des systèmes interpolés entre ces points. o Cohérence des différentes réalisations (coefficients de la matrice système et variables d état) Exemples : o Forme compagne : interpolation des pôles et des zéros (Nichols et al. 93) o Forme équilibrée : interpolation de formes équilibrées (e.g. Buscheck) o interpolation des solution de Ricatti dans le cas de correcteurs H (e.g. Kellt 91) o Interpolation sous forme retour d état / observateur Interpolation des sorties : (e.g. Kelly et.al 97 ; controller blending)

45 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (45) Interpolation des sorties : (e.g. Kelly et.al 97 ; controller blending) o interpolation des sorties de plusieurs contrôleurs implémentés en parallèle : N = i gi, N N i= 1 i = N αi = αi θgi i= 1 i= 1 αi () t = 1 i= 1 () t () t θ α θ (, ) u u K s y o Remarques : Pas de contraintes d homogénéité (ordre, réalisation) entre les régulateurs LTI Gestion des problèmes d implémentation (potentiellement «gourmande» en ressources de calcul) Approche «multi-contrôleurs» : cf. journées du GR MOSAR, Supelec, mai 2000.

46 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (46) Illustration des problèmes d homogénéité des réalisations (extrait Voinot et. al 02)

47 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (47) Interpolation sous forme retour d état / observateur Idée (cf. Alazard, Apkarian) : Utiliser pour le régulateur une paramétrisation «ayant du sens» pour : o garantir des propriétés d homogénéité entre les différentes réalisations o une meilleure lisibilité du code implémenté in fine. Résultat : Considérant P un système LTI stabilisable par u et détectable par y, tout correcteur K peut s écrire sous la forme «retour d état-observateur + paramètre de Youla stable» (Bender, Alazard, Apkarian). Q( s) - + K f u Bu ˆx Cy y observer K c A K () s

48 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (48) La paramétrisation «retour d état-observateur + paramètre de Youla stable» peut être obtenue à partir d une réalisation quelconque de K ( s ), par résolution d une équation de Riccati non symétrique (identification des réalisations). Remarques : o Le vecteur d état du régulateur correspond aux états estimés du système à contrôler d une part, et des états du paramètre de Youla d autre part. o La paramétrisation n est pas unique. Des difficultés pour l interpolation subsistent : répartition du spectre de la boucle fermée entre : commande par retour d état observateur paramètre de Youla ; ( spec( A ) =spec( A BK ) spec( A K C) spec( Q) ). cl c f o Continuation itérative de chaque sous espaces propre: cf. Apkarian o Proposition (Berriri et. al 2006) : utilisation d un observateur d état augmenté pour l interpolation Répartition spectrale grandement facilitée Estimation non biaisée de l état du système si augmentation pertinente du modèle du système. Résultats probants et stabilité garantie (verification a posteriori ; cf. Stillwell) sur le système de transport de bande (ERT n 8, Strasbourg) Cf. schéma

49 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (49) - + u Augmented observer K c + + Baug θ aug ( ) θ ( ) K f ( ) θ + Aaug ( θ ) xˆ ˆ x C LPV controller y

50 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (50) Interpolation avec garantie a priori (stabilité / performance) Théorème (Stillwell &Rugh 2000) : interpolation dans le cas d une commande par retour d état & θ θ ( ) ( ()) ( ()) ( ) x t A t B t x t = yt () I 0 ut () Hypothèses : les gains par retour d état 1, 2,... N recouvrement : i 1 2 N K K K associés à θ, θ..., θ D satisfont à la condition de stabilité par ( ) K stabilise A( (), t ) B( () t ) θ θ sur un ouvert D i tel que D D i. T il existe γ > 1 et W1, W2,... W N > 0 tel que : Wi( A( θ ) + B( θ) Ki) + ( A( θ) + B( θ) Ki) Wi γi Résultat : Si θ D i, i = 1,... N, alors : il existe des intervalles [ bi, ci] Di D i+ 1 [ θi, θi+ 1],(pour tout i) tel que le gain par retour d état [ θi, bi[ [ ] ] c, θ ] K θ K( θ ) = K W b c K θ i i ( θ) 1 ( θ) θ i, i i+ 1 i i+ 1 préserve la stabilité. c θ θ b K KW K W i i i ( θi) = i i + i+ 1 i+ 1 ci bi ci bi où : W θ [ θ, b[ i c θ θ b W( θ) = W + W b, c c b c b W i i [ ] i i i i+ 1 θ i i i i i i i+ 1 θ c i, θ i+ 1 i ] ]

51 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (51) De plus, le système LPV en boucle fermée ( ) ( ( )) ( ( )) stable si θ () t satisfait : & est exponentiellement x t = ( A θ t + B θ t K( θ( t) )) x(), t t 0 & ci bi θ () t < min i= 1,..., q 1 W W, t 0 i+ 1 i Idem dans le cas de l observateur ( L( θ )). Doù le résultat : Théorème Supposons (i) les hypothèses précedentes satisfaites, (ii) les gains K( θ ) et L( θ ) obtenus par application du théorème précedent, alors le système LPV rebouclé par le régulateur LPV (retour d état reconstruit) est exponentiellement stable.

52 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (52) Illustration : K W 2 W 1 D 1 b c θ T il existe γ > 1 et W1, W2 0 tels que : i( ( θ ) ( θ) i) ( ( θ) ( θ) i) i γ W A + B K + A + B K W I, θ D i D 2

53 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (53) (cf. Chevrel 2002, MOSAR) 5 IMPLEMENTATION DES REGULATEURS LPV 5.1 LE DILEMME DE LA DISCRETISATION (AVANT SYNTHESE) Noter la modification des attributs de la trajectoire paramétrique par passage à la discrétisation. 5.2 LA SIMULATION DE REGULATEURS LPV-LFT retour d état ( K, ( θ )) = + ( θ ) ( ) KRE = Fl K K I K P o Matrice à inverser en ligne : conditionnement? coût de calcul! (N.B. : bien posé si ( ) K 11 1 µ < ) o Inversion itérative : itération de Richardson (Magni et. al 2006)

54 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (54) Régulateur LPV dynamique Par substitution : Intégrateur linéaire mutipas strictement causal o Simplicité de la démarche de discrétisation (simple substitution, associativité) o favorable du point de vue de la lisibilité du code o structure du régulateur LPV préservée o attention à la stabilité numérique I (q) I T y k xˆk A G LC K C G B G 0 0 L 0 I 0 I 0 xˆd k u k xk u k A C I T (q) ( θk ) B( θk ) ( θ ) ( ) k D θk SK ( θ ) k x d y k k x Qdk A C (q) I T Q Q B D Q Q x Qk Structure retour d état observateur

55 GR MOSAR, 20 septembre Nantes (55) 6 PERSPECTIVES Le cadre LPV est venu en réponse à des questionnements venant des applications (séquencement de gains) et répond ainsi à un besoin. Il offre des outils d analyse et de synthèse se révélant utile pour: o améliorer la performance des régulations (cf. exemples d application) o appréhender de manière simplifiée la commande non-linéaire La commande LPV n est pas la panacée : elle doit être utilisée avec discernement, pour la commande des systèmes non-linéaires notamment. Des efforts à poursuivre à propos de : o La réduction du compromis pessimisme / simplicité de synthèse o La démarche de choix du maillage paramétrique o L évaluation du degré de pessimisme des résultats o La simplification (dynamique et paramétrique) de modèle LPV, et l encapsulation de modèle linéaire faiblement conservative (LDI) o L identification de modèle LPV

Commande auto-adaptative par auto-séquencement, avec application à un avion instable

Commande auto-adaptative par auto-séquencement, avec application à un avion instable Commande auto-adaptative par auto-séquencement, avec application à un avion instable Patrice ANTOINETTE 1 2 Gilles FERRERES 1 1 ONERA-DCSD, Toulouse 2 ISAE, Toulouse GT MOSAR, 4 juin 2009 Plan Introduction

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

Utilisation d informations visuelles dynamiques en asservissement visuel Armel Crétual IRISA, projet TEMIS puis VISTA L asservissement visuel géométrique Principe : Réalisation d une tâche robotique par

Plus en détail

Commande Optimale. B. Bayle. Télécom Physique Strasbourg - 3A ISAV, UdS - master IRIV. Commande Optimale 1

Commande Optimale. B. Bayle. Télécom Physique Strasbourg - 3A ISAV, UdS - master IRIV. Commande Optimale 1 Commande Optimale B. Bayle Télécom Physique Strasbourg - 3A ISAV, UdS - master IRIV Commande Optimale 1 Plan du cours Objectifs Problématique de commande optimale Méthodes et limitations Intérêt pratique

Plus en détail

Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide

Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide Damien Poinsot 1/6 Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide Damien POINSOT Directeur(s) de thèse : Caroline Bérard et Alain

Plus en détail

Contrôle de la trajectoire d un véhicule automobile

Contrôle de la trajectoire d un véhicule automobile Contrôle de la trajectoire d un véhicule automobile Guillermo Pita Gil, doctorant CIFRE en collaboration avec Renault Encadrants : Emmanuel Godoy, Didier Dumur GT MOSAR 3 Janvier 009 Objectif : contrôler

Plus en détail

Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste

Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste P. Apkarian, D. Arzelier, D. Henrion, D. Peaucelle UPS - CERT - LAAS-CNRS Contexte de la commande robuste 2 Théorie de la complexité

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Commande H prédictive pour l asservissement par vision d un stabilisateur cardiaque actif

Commande H prédictive pour l asservissement par vision d un stabilisateur cardiaque actif Commande H prédictive pour l asservissement par vision d un stabilisateur cardiaque actif W. Bachta, E. Laroche, P. Renaud, J. Gangloff LSIIT, CNRS, Université de Strasbourg, INSA de Strasbourg, France

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe

Plus en détail

IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008. AUTOMATIQUE et SYSTEMES

IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008. AUTOMATIQUE et SYSTEMES IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Blagnac Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008 AUTOMATIQUE et SYSTEMES Les cours, TD et TP seront entièrement programmés en 2 ème année.

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Automatisation d une scie à ruban

Automatisation d une scie à ruban Automatisation d une scie à ruban La machine étudiée est une scie à ruban destinée à couper des matériaux isolants pour leur conditionnement (voir annexe 1) La scie à lame verticale (axe z ), et à tête

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Table des matières. Avant propos. Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES

Table des matières. Avant propos. Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES Table des matières Avant propos Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES 1. Systèmes linéaires 1 2. Systèmes stationnaires 1 3. Systèmes continus 2 4. Systèmes linéaires invariants dans le temps (LIT) 2 4.1

Plus en détail

Commande robuste et extensions Pierre Apkarian. Travail Sous-Marin 15-16 Janv. 2014

Commande robuste et extensions Pierre Apkarian. Travail Sous-Marin 15-16 Janv. 2014 Commande robuste et extensions Pierre Apkarian Travail Sous-Marin 15-16 Janv. 2014 Sommaire Introduction Techniques fondamentales de commande robuste Extensions Travail Sous-Marin 15-16 Janv. 2014 - -

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION

INTRODUCTION A L OPTIMISATION INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent

Plus en détail

Annexe 4 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Annexe 4 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Annexe 4 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) - Physique et sciences de l ingénieur (PSI) Discipline

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide

Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide Optimisation des transitions de phases de vol pour un drone capable de vol stationnaire et de vol en translation rapide Damien Poinsot 1,2, Alain Piquereau 2, Caroline Bérard 1,2 1 SUPAERO, 2 ONERA-DCSD

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC)

Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC) Concours EPITA 011 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC) Tous documents interdits Calculatrice autorisée Durée : h L augmentation de

Plus en détail

Calcul garanti des contraintes pour la planification sécurisée de trajectoire

Calcul garanti des contraintes pour la planification sécurisée de trajectoire Calcul garanti des contraintes pour la planification sécurisée de trajectoire Application à la génération de trajectoire articulaire pour un patient paraplégique sous Stimulation Électrique Fonctionnelle

Plus en détail

Introduction aux Support Vector Machines (SVM)

Introduction aux Support Vector Machines (SVM) Introduction aux Support Vector Machines (SVM) Olivier Bousquet Centre de Mathématiques Appliquées Ecole Polytechnique, Palaiseau Orsay, 15 Novembre 2001 But de l exposé 2 Présenter les SVM Encourager

Plus en détail

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37 Plan de l exposé 1.

Plus en détail

Problèmes de fiabilité dépendant du temps

Problèmes de fiabilité dépendant du temps Problèmes de fiabilité dépendant du temps Bruno Sudret Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants Pourquoi la dimension temporelle? Rappel Résistance g( RS, ) = R S Sollicitation g( Rt (), St (),) t =

Plus en détail

Robotique Manipulation et commande. Université de Strasbourg Telecom Physique Strasbourg, option ISAV Master IRIV, parcours AR Chapitre 5 Commande

Robotique Manipulation et commande. Université de Strasbourg Telecom Physique Strasbourg, option ISAV Master IRIV, parcours AR Chapitre 5 Commande Robotique Manipulation et commande Université de Strasbourg Telecom Physique Strasbourg, option ISAV Master IRIV, parcours AR Chapitre 5 Commande Plan du chapitre 1. Introduction 2. Commande articulaire

Plus en détail

COMMANDE PAR RETOUR ACCELEROMETRIQUE APPLICATION A UN ROBOTS CARTESIENS 3 AXES. Frédéric Colas

COMMANDE PAR RETOUR ACCELEROMETRIQUE APPLICATION A UN ROBOTS CARTESIENS 3 AXES. Frédéric Colas SEPRO R O B O T I Q U E COMMANDE PAR RETOUR ACCELEROMETRIQUE APPLICATION A UN ROBOTS CARTESIENS 3 AXES Frédéric Colas ERT CEMODYNE (int. 1022) - ENSAM 8, Bd Louis XIV 59046 Lille Cedex barre@lille.ensam.fr

Plus en détail

Traitement numérique du signal

Traitement numérique du signal Nº 754 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 707 Traitement numérique du signal par J. ESQUIEU Lycée de Brive 1. TRAITEMENT Le traitement numérique du signal consiste à agir sur le signal à partir d échantillons

Plus en détail

Développement d un système de commande et de régulation de la température de l air d une soufflerie de séchage convectif

Développement d un système de commande et de régulation de la température de l air d une soufflerie de séchage convectif Revue des Energies Renouvelables SMSTS 08 Alger (2008) 67 77 Développement d un système de commande et de régulation de la température de l air d une soufflerie de séchage convectif Y. Bouteraa 1*, M.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

Analyse des Systèmes Asservis

Analyse des Systèmes Asservis Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/83 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Habilitation à diriger des recherches : Sur la commande de systèmes (max,+) linéaires

Habilitation à diriger des recherches : Sur la commande de systèmes (max,+) linéaires Habilitation à diriger des recherches : Sur la commande de systèmes (max,+) linéaires Laurent Hardouin Laboratoire d Ingénierie des Systèmes Automatisés - CNRS FRE 2656 ISTIA - Université d Angers 16 Juin

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB RÉGULATION DU NIVEAU ET DE LA TEMPÉRATURE DANS UN BAC En vue de disposer d un volume constant de fluide à une température désirée, un processus

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Marc BACHELIER - PPS5 October 30, 2013 Abstract Ce cours a pour objectif de faire découvrir des méthodes de conception de commande

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE Titulaire : A.M. Tilkin 8h/semaine 1) MATIERE DE 4 e ANNEE a) ALGEBRE - Rappels algébriques concernant la résolution d équations et d inéquations (fractionnaires

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE Revue Construction étallique Référence DÉVERSEENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYÉTRIQUE SOUISE À DES OENTS D EXTRÉITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE par Y. GALÉA 1 1. INTRODUCTION Que ce

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Reconstitution de forces dynamiques stationnaires excitant un carter cylindre de moteur

Reconstitution de forces dynamiques stationnaires excitant un carter cylindre de moteur 16 Reconstitution de forces dynamiques stationnaires excitant un carter cylindre de moteur Q. Leclere, C. Pezerat, B. Laulagnet, Laboratoire Vibrations Acoustique, INSA Lyon, 20, avenue A. Einstein, 69100

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

en sciences de l ingénieur

en sciences de l ingénieur Systèmes Automatisés Optimisation en sciences de l ingénieur présente les principales méthodes exactes d optimisation statique et dynamique. Parmi les méthodes décrites figurent : - la programmation linéaire

Plus en détail

Rupture et plasticité

Rupture et plasticité Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements

Plus en détail

CI-4 PRÉVOIR ET SUPPRIMER LES

CI-4 PRÉVOIR ET SUPPRIMER LES CI-4 LES CONTRAINTES DE MONTAGE D UN SYSTÈME. Objectifs ANALYSER - OPTIMISER A la fin de la séquence de révision, l élève doit être capable de B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement Déterminer

Plus en détail

Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale

Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale David BONACCI Institut National Polytechnique de Toulouse (INP) École Nationale Supérieure d Électrotechnique, d Électronique, d Informatique,

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

ES 206 : Systèmes mécatroniques asservis

ES 206 : Systèmes mécatroniques asservis Systèmes mécatroniques asservis 2. Actionneurs : Modélisation ENSTA Plan du cours 1 Machines tournantes classiques 2 Moteur à réluctance variable Moteur piézoélectrique Moteur pas à pas 3 Principe de fonctionnement

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

«Pièges», «erreurs» et pathologie des calculs numériques

«Pièges», «erreurs» et pathologie des calculs numériques Session de formation continue ENPC «Pièges», «erreurs» et pathologie des calculs numériques 6-8 octobre 2010 Philippe Mestat (LCPC) «Pièges» pour débutant?. Conditions limites en déplacements : il faut

Plus en détail

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 MTH1504 2011-2012 CALCUL SCIENTIFIQUE Table des matières 1 Erreur absolue et erreur relative 2 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 3 Arithmétique flottante 4 3.1 Absorption........................................

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/77 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Master Informatique Fondamentale - M1 Compilation

Master Informatique Fondamentale - M1 Compilation Master Informatique Fondamentale - M1 Compilation Analyse Statique Paul Feautrier ENS de Lyon Paul.Feautrier@ens-lyon.fr perso.ens-lyon.fr/paul.feautrier 12 mai 2007 1 / 38 Indécidabilité de la Terminaison

Plus en détail

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation. Gaël RICHARD Février 2008

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation. Gaël RICHARD Février 2008 Master IAD Module PS Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation Gaël RICHARD Février 2008 1 Reconnaissance de la parole Introduction Approches pour la reconnaissance vocale Paramétrisation Distances

Plus en détail

MASTER RECHERCHE SMIS-EEAS

MASTER RECHERCHE SMIS-EEAS MASTER RECHERCHE SMIS-EEAS Spécialité : Systèmes Automatiques, Informatiques et Décisionnels, Année Universitaire 2005-2006 ESTIMATION D ETAT ET DE PARAMETRES EN UTILISANT L ANALYSE PAR INTERVALLES RIBOT

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

Echantillonnage Non uniforme

Echantillonnage Non uniforme Echantillonnage Non uniforme Marie CHABERT IRIT/INP-ENSEEIHT/ ENSEEIHT/TéSASA Patrice MICHEL et Bernard LACAZE TéSA 1 Plan Introduction Echantillonnage uniforme Echantillonnage irrégulier Comparaison Cas

Plus en détail

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Cours non exhaustif destiné aux étudiants de BTS maintenance industrielle (les textes en italiques ne sont pas à être

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL MINISTÈRE DE L ÉDUCATION DE L ALPHABÉTISATION ET DES LANGUES NATIONALES RÉPUBLIQUE DU MALI Un Peuple Un But Une Foi PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Régulation par PID Mickaël CAMUS Etienne DEGUINE Daniel ROSS

Régulation par PID Mickaël CAMUS Etienne DEGUINE Daniel ROSS Régulation par PID Mickaël CAMUS Etienne DEGUINE Daniel ROSS 26/02/10 Plan Définition 1. Proportionnel 2. Intégral 3. Dérivé Réglages des coefficients 1. Différentes approches 2. Ziegler-Nichols 3. Process

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Machines synchrones. Gérard-André CAPOLINO. Machines synchrones

Machines synchrones. Gérard-André CAPOLINO. Machines synchrones Gérard-ndré CPOLINO 1 Machine à pôles lisses Concept (machine à 2 pôles) Le stator est un circuit magnétique circulaire encoché Un bobinage triphasé est placé dans les encoches Le rotor est également un

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Filtrage et EDP. Philippe Montesinos. EMA/LGI2P - Site EERIE. Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema.

Filtrage et EDP. Philippe Montesinos. EMA/LGI2P - Site EERIE. Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema. Filtrage et EDP Philippe Montesinos EMA/LGI2P - Site EERIE Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema.fr 1 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Méthodes

Plus en détail

INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV

INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV Séminaire MTDE 22 mai 23 INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV Vincent Mazet CRAN CNRS UMR 739, Université Henri Poincaré, 5456 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex 1 juillet 23 Sommaire

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail