Quadrilatère et bissectrices

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1 Quadrilatère et bissectrices Classe(s) : 5 ème / 4 ème / 3 ème Émettre une conjecture à démontrer à partir d une situation géométrique à construire. (Pré requis : les angles en classe de 5 ème ). 1) Objectifs - Tracer une figure à partir d un programme de construction. - Emettre une conjecture à partir d une situation géométrique. - Démontrer cette conjecture. 2) Énoncé de l exercice Consigne : à l aide d un logiciel de géométrie, des instruments de géométrie, du cahier de brouillon, d un logiciel de traitement de texte, résoudre l exercice suivant : 1. Construire. Construire un quadrilatère ABCD quelconque, puis construire les bissectrices de chacun de ses angles. On appelle d1 la bissectrice de l angle ABC, d2 celle de BCD, d3 celle de CDA, et d4 celle de DAB. Ces quatre bissectrices se coupent en quatre points : E est l intersection de d1 et d2, F celle de d2 et d3, G celle de d4 et d3, et H celle de d4 et d1. Construire le quadrilatère EFGH et le repasser en couleur. {Variante : utiliser le fichier déjà créé avec trois bissectrices (il faut tracer la 4eme puis repasser EFGH) ou bien le fichier avec la figure complète.} 2. Conjecturer : Etudier la nature de EFGH selon la nature de ABCD. Est-il possible de transformer EFGH en rectangle? En carré? En parallélogramme? En losange? En trapèze? Dans quel(s) cas EFGH est-il réduit à un point? Ecrire dans chaque cas trouvé une conjecture sur la nature de ABCD. Etudier au moins trois cas différents. {Variante : consigne moins directive : est-il possible de transformer ABCD pour que EFGH soit un rectangle, un autre parallélogramme, un trapèze, un unique point? Emettre dans chaque cas trouvé une conjecture sur la nature de ABCD. Etudier au moins trois cas différents.}

2 3. Démontrer. Choisis une de tes conjectures et démontre-la. Pour ta recherche, tu peux utiliser un cahier de brouillon, des schémas en couleur, le logiciel, écrire un organigramme Attention, les démonstrations sont relativement difficiles : elles reposent sur des égalités d angles alternes internes et correspondants à l intérieur d une figure complexe. On peut théoriquement les effectuer en 5eme, mais dans la pratique elles ne seront réalisables qu en 4eme voire 3eme. Pour que cette activité soit complète, il vaut donc mieux cibler ces deux niveaux. Lors de la séance de démonstration, il est judicieux de procéder de la manière suivante : Utiliser une salle de classe avec videoprojecteur, et choisir l une des conjectures à démontrer, par exemple «Si ABCD parallélogramme, alors EFGH rectangle». Faire dessiner un parallélogramme précis ayant un angle de 100 degrés à chaque élève, puis à l aide du videoprojecteur, construire la figure et marquer les angles suggérés par les élèves. On réalisera donc avec eux une démonstration à partir d un cas particulier. La généralisation de la démonstration sera demandée aux élèves, après en avoir fait avec eux l organigramme par exemple, et en leur laissant la partie rédaction en devoir maison. 4. Rédiger. Rédige à l aide d un traitement de texte un document avec ton nom, ton prénom et ta classe comprenant : - L énoncé de la conjecture que tu veux démontrer, écrite sous la forme «Si alors» - La figure correspondant à la conjecture que tu démontres. - Les explications sur toutes les étapes de ta recherche, les pistes suivies, même si elles n ont pas abouti. - La démonstration que tu as trouvée. 3) Scénario Classe de 5 ème 24 élèves en groupes Durée : deux heures. Contenu et organisation des séances : Ce qui a été fait avant : Mathématiques : Les angles (alternes-internes, correspondants, somme des angles dans un triangle, conditions sur les angles pour avoir un triangle isocèle). Il n est pas nécessaire d avoir revu les propriétés des parallélogrammes particuliers, les connaissances acquises au primaire suffisent ici. Si on propose cette activité en classe de 4ème ou de 3ème, il est probable qu ils ne retrouvent pas exactement les termes définissant les associations d angles. Ils devraient cependant se souvenir des configurations. On laisse le choix au professeur de rappeler les termes exacts durant la séance, d autoriser le cahier de cours, etc Informatique : Niveau de familiarité des élèves avec le logiciel : Connaître les instructions de construction : points, segments, milieux, cercle de centre donné passant par un point donné.

3 Savoir faire varier une figure en en manipulant l un des points (comprendre que les points qui sont liés par le programme de construction varieront ensemble). Savoir afficher la mesure d un angle et la longueur d un segment. Le jour de la mise en œuvre (témoignage de l enseignant) : Les élèves s installent en salle informatique, par groupes de deux ou trois. Ils reçoivent la fiche de l énoncé. Le professeur donne les explications et consignes concernant la narration de recherche. Les groupes se constituent, s organisent et se mettent au travail. La première partie du travail consiste à obtenir une série de conjectures différentes, en comprenant bien le sens du mot conjecture. La deuxième partie consistera à choisir une des conjectures énoncées et à effectuer une démonstration (ou une recherche de démonstration). Le professeur peut répondre aux questions, faire des suggestions afin d éviter toute situation de blocage. Il pourra par exemple demander de marquer tous les angles de même mesure ; de chercher des triangles isocèles, de prouver pourquoi certains angles semblent de même mesure, etc? On ne préconise pas de logiciel de géométrie ni de traitement de texte en particulier, les fonctions utilisées dans cette activité sont communes à tous. Par contre, il vaut mieux utiliser le logiciel que les élèves connaissent déjà et avec lequel ils ont appris à construire et à manipuler. On peut aussi, pour gagner du temps, fournir une figure avec trois bissectrices déjà tracées ou une figure complète. «L énoncé de l activité est distribué aux élèves puis ils chargent la figure avec les trois bissectrices. Une première difficulté apparaît lorsqu il faut construire la quatrième bissectrice et les points G et H. Les élèves ont en effet du mal à suivre précisément les instructions de construction. Ce problème est résolu assez rapidement en faisant relire la fiche élève et la description. Les élèves remarquent alors que leur figure n est pas correcte et la correction, s il y a lieu, se fait assez rapidement (15minutes). Un exemple concret s avère alors nécessaire pour plusieurs élèves : «Essayez de transformer EFGH en rectangle. Quelle semble être la nature de ABCD? Essayez maintenant de transformer EFGH en un autre rectangle. Nature de ABCD? Refaites encore une fois vous pensez que ça marche toujours? Quand vous le constaterez, vous pourrez écrire votre conjecture.» A partir de ce moment, les élèves comprennent bien l enjeu et écrivent plusieurs conjectures. La première heure se termine, tous les élèves ont écrit au moins deux conjectures différentes, la moitié des élèves en a quatre. Le professeur ramasse les feuilles. La deuxième partie du travail consiste à choisir une conjecture et à essayer de la démontrer. Il est nécessaire d effectuer plusieurs narrations de recherche sur l année pour que cette méthode soit claire pour les élèves : certains sont troublés et se demandent ce que le professeur attend d eux. Le travail de recherche par groupe commence et suit des pistes différentes selon

4 les conjectures choisies. Il n est pas gênant qu un groupe essaie de démontrer une conjecture «fausse», l essentiel étant la narration de recherche et la prise de conscience par le groupe du statut de la conjecture. Le professeur peut suggérer alors la recherche d un contre-exemple. A la fin de la deuxième heure, quelques groupes (3) ont réussi à démontrer, sans rigueur, la conjecture de «EFGH point si ABCD carré» en identifiant les bissectrices et les diagonales du carré. Les autres groupes n ont pas terminé leur recherche. Ils auront l occasion de la compléter ou de la terminer en groupe classe lors du bilan effectué pendant de la troisième heure.» Ce qui a été fait après : Le professeur récupère les travaux des élèves, les corrige en s attachant particulièrement à la qualité de la description de la recherche et à la clarté de la démonstration (lorsqu elle est écrite). Lors d une troisième et dernière séance, il peut faire une mise en commun en présentant les solutions trouvées et les principales méthodes apparues, en invitant la classe à un débat à propos des solutions proposées. Le jour de la mise en œuvre (2 : en classe de troisième) Classe de 3 ème 16 élèves (demi classe, les autres sont en sortie pédagogique) Durée : deux heures. (témoignage de l enseignant) La première séance se déroule sans problème, les élèves étant à l aise avec l outil informatique et le logiciel de construction. Ils construisent l intégralité de la figure et rédigent plusieurs conjectures. A la fin de la séance, tous les élèves ont écrit au moins trois conjectures, certains cherchent une démonstration. Plusieurs ont choisi la conjecture «si ABCD carré, alors EFGH point». Par contre, aucun ne pense aux angles. La seconde séance reprend par l utilisation du videoprojecteur et le retour sur les ébauches de démonstration précédentes. La classe choisit une conjecture, «si ABCD parallélogramme, alors EFGH rectangle». Mais lors de la phase de recherche, aucun élève ne pense aux angles. Le professeur revient alors au videoprojecteur sur la notion de bissectrice, qui amène à penser aux angles et à repérer les angles intéressants de la figure. On affiche alors les mesures des angles au fur et à mesure sur la figure, les élèves peu à peu remarquent les angles égaux, la figure dynamique permet de conjecturer l égalité de ces angles en général, puis de faire un début de démonstration sous forme d organigramme. Le vocabulaire «alternes internes, correspondants» ne revient pas très facilement, mais il est réutilisé une fois revu. Les élèves ont à terminer la démonstration en devoir à la maison. Les outils nécessaires ou utiles :

5 Matériel : Un poste informatique par binôme. Logiciel : Un logiciel de géométrie dynamique. L évaluation Compétences B2I : C.1.1 : Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. C.1.2 : Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. C.1.5 : Je sais paramétrer l impression (prévisualisation, quantité, partie de documents ). C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites. Évaluation : cas de la narration de recherche : Pour la narration de recherche, il faudra prévenir les élèves dès le début de la première séance de noter avec précision tous leurs essais, toutes les pistes suivies, de signaler quand ils changent de piste, Il est important d écrire le plus de détail possible sur leur recherche, même si elle n est pas aboutie. Il faudra le leur rappeler tout au long des séances de travail, car ils risquent de l oublier! On leur demandera de noter tout cela sur un brouillon, ramasser les brouillons à la fin de la première séance, puis leur rendre pour la deuxième séance et enfin leur demander de rédiger au propre. On demandera alors un compte rendu par groupe. On jugera de la qualité de la narration de recherche par une grille d évaluation à compléter par le professeur. Compétences mathématiques (grille d évaluation) : Compétences M1 M2 M3 M4 M5 M6 Réaliser une production de qualité Faire une recherche active Énoncer une conjecture Savoir utiliser les outils du cours Rédiger une démonstration structurée Rédiger une démonstration complète Commentaires : M1 : La production réalisée peut être une construction, un programme de construction, un tableau à compléter, des calculs à effectuer, L élève a réussi à intégrer la problématique et a su utiliser l outil informatique pour apporter des réponses aux objectifs énoncés.

6 M2 : La recherche est organisée. La démarche expérimentale est dynamique et autonome. L élève développe lui-même les outils de son expérience : il demande par exemple d utiliser un outil informatique plutôt qu un autre. La narration de la recherche permet de dégager les différentes pistes ou essais qui n ont pas nécessairement abouti : descriptions, dessins, schémas, Si l activité se fait en groupe, tous les élèves auront participé à la recherche. M3 : La conjecture énoncée peut être fausse mais cohérente avec la problématique énoncée. L'élève doit être convaincu de sa conjecture. L élève sait distinguer le statut d'une conjecture à celui d une propriété démontrée. M4 : L élève sait appliquer ses connaissances mathématiques à bon escient. M5 : L élève rédige un raisonnement cohérent à partir des données de l énoncé mais qui n aboutit pas nécessairement. La rédaction, rigoureuse et organisée, s appuie sur les outils du cours. M6 : La démonstration a abouti même si la rédaction n est pas rigoureuse et structurée. L élève fait référence aux données nécessaires et a choisi les outils appropriés.