Introduction Système, Equilibre et Particularités

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1 Introduction Système, Equilibre et Particularités Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 1 / 14

2 Leçon 1 1 Systèmes avec entrées et sorties 2 Classe de systèmes 3 Solution de l équation différentielle 4 Principe de superposition et solution 5 Equilibre 6 Particularité I) Réponse indicielle disymétrique 7 Particularité II) Termes d ordre supérieur 8 Particularité III) Points d équilibre isolés multiples 9 Particularité IV) Explosion en temps fini 10 Particularité V) Orbites chaotiques 11 Objectif Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 2 / 14

3 Systèmes avec entrées et sorties Systèmes avec entrées et sorties Prinicipe de superposition Entrée : u 1 et u 2 Sortie : y 1 et y 2 La réponse à la somme des deux entrées individuelles particulières u = u 1 + u 2 est la somme des réponses individuelles, c.-à-d. y = y 1 + y 2. Système non linéaire Le prinicipe de superposition n est pas respecté Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 3 / 14

4 Classe de systèmes Classe de systèmes La classe de système est celle décrivant les modèles de systèmes physiques qui peuvent se représenter par un ensemble d équations différentielles ordinaires. Description (avec entrée) Description (sans entrée) Cas particulier : systèmes linéaires ẋ = f(x,u) ẋ = f(x) ẋ = Ax + Bu x = ( x 1 x 2... x n ) T u = ( u1,u 2,...u m ) T Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 4 / 14

5 Solution de l équation différentielle Solution de l équation différentielle Système ẋ = f(x) Solution X(x 0,t) C est une trajectoire temporelle Condition initiale x 0 Trajectoire unique pour une condition initiale donnée Instant t indique lorsque x prend la valeur X(x 0,t) Satisfait l équation différentielle d dt X(x 0,t) = f(x(x 0,t)) Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 5 / 14

6 Principe de superposition et solution Prinicipe de superposition et solution Système (non linéaire et linéaire) ẋ = f(x) Principe de superposition (système linéaire) Solutions : X(x 0,t) et X( x 0,t) Conditions initiales : x 0 et x 0 Lorsque α R et β R, alors αx(x 0,t) + βx( x 0,t) est également une solution. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 6 / 14

7 Equilibre Equilibre Système sans entrée ẋ = f(x) Equilibre Toute solution x telle que f( x) = 0. Lorsque l état x est à l équilibre x, pas de dynamique. Plusieurs équilibres isolés possibles. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 7 / 14

8 Particularité I) Réponse indicielle disymétrique Particularité I) Réponse indicielle disymétrique A) Système linéaire : Réponse indicielle symétrique ẋ = x + u B) Système non linéaire particulier : Réponse indicielle disymétrique ẋ = x x + u 3 A 2 B Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 8 / 14

9 Particularité II) Termes d ordre supérieur Particularité II) Termes d ordre supérieur Système ẋ = x + x 2 x t FIG.: x(0) : ±0.2, ±0.4, ±0.6, ±0.8, ±1.01, ±1.1. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 9 / 14

10 Particularité II) Termes d ordre supérieur Particularité II) Termes d ordre supérieur Signe devant ẋ Pour 0 x < 1, x domine x x 2 x x Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 10 / 14

11 Particularité III) Points d équilibre isolés multiples Particularité III) Points d équilibre isolés multiples En examinant... ẋ = x + x 2 = x(x 1)... il y a deux points d équilbre : Point d équilibre x = 0 Point d équilibre x = 1 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 11 / 14

12 Particularité IV) Explosion en temps fini Particularité IV) Explosion en temps fini Système linéaire Instabilité bornée par une exponentielle. ẋ = 3x X(x 0,t) = x 0 e 3t Exemple précédent ẋ = x + x 2 X(x 0,t) = x 0 e t 1 x 0 + x 0 e t La solution diverge vers l infini en un temps fini, lorsque : x 0 > 1,t 1 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 12 / 14

13 Particularité V) Orbites chaotiques Orbites chaotiques Oscillateur de Lorenz ẋ = σx + σy ẏ = rx y zx ż = bz + xy, σ = 10, b = 8 3, r = Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 13 / 14

14 Objectif Objectif Transformer le système en jouant avec l entrée Comprendre et définir la stabilité Modifier le type et le nombre de points d équilibre Construire des lois de commande u = k(x) stabilisante Modifier les trajectoires du système initial Obtenir un domaine de stabilité aussi grand que possible Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 14 / 14