Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

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1 Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités et théorème de Bayes Les trois propriétés fondamentales des probabilités Probabilités conditionnelles Théorème des probabilités totales Théorème de Bayes Exercices d application Variables aléatoires : généralités Distribution (densité, fonction de répartition Densité Fonction de répartition Lois de probabilité connues avec le logiciel Exercices d application Moments (Espérance, Variance Espérance ou moyenne µ Variance σ Quelques lois discrètes à connaître Loi uniforme U(n Loi de Bernouilli de paramètre p Loi binomiale de paramètres n et p, B(n, p Loi hypergéométrique de paramètres N, m et n, H(N, m, n Loi géométrique de paramètre p, G(p Loi de Poisson de paramètre λ, P(λ Quelques lois continues à connaître Loi uniforme sur un intervalle [a, b] Loi exponentielle de paramètre λ, E(λ

2 4.3 La loi Normale de paramètres µ et σ, N (µ, σ et le théorème central limit Le théorème central limit Densité Loi normale centrée réduite N µ=0,σ= Loi χ 2 à n degrés de liberté. χ 2 (n Quelques fonctions utiles Probabilités et théorème de Bayes La notion de probabilités repose sur la possibilité d affecter à un événement incertain une valeur correspondant à la probablité que cet événement se réalise. Essentiellement, les probabilités peuvent être apréhendées selon une vision fréquentiste (la probablité est la fréquence de réalisation de l événement lorsque l on répète l expérience une infinité de fois ou une vision subjective basée sur le degré de croyance que l on a dans la réalisation de l événement. Nous allons tout d abord rappeler les propriétés fondamentales d une probablité, puis nous nous intéresserons aux probabilités conditionnelles et au théorème de Bayes. 1.1 Les trois propriétés fondamentales des probabilités On note Ω l univers des possibles comme l ensemble des événements qui peuvent se produire lors d une expérience et A une tribu de Ω. P est une probabilité sur (Ω, A si et seulement si La probabilité d un événement certain est 1, celle de l événement impossible est 0 P (Ω = 1, P ( = 0 Si deux événements A et B sont exclusifs (c est à dire si la réalisation de l un empèche la réalisation de l autre, alors P (A B = P (A + P (B Si deux événements A et B ne sont pas exclusifs, on a de façon générale P (A B = P (A + P (B P (A B Si deux événements A et B sont indépendants (c est à dire si la réalisation de l un n affecte pas la probablité de ralisationd de l autre, P (A B = P (A P (B Probabilité de l événement complémentaire Ā Exercice : P ( Ā = 1 P (A Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 2/17 Compilé le

3 1. Démontrez l égalité suivante (un diagramme de Venn pourra éventuellement vous être utile P (A B C = P (A+P (B+P (C P (A B P (A C P (B C+P (A B C P (A B C = P ((A B C = P (A B + P (C P ((A B C = P (A B + P (C P ((A C (B C = P (A B + P (C P (A C P (B C + P (A B C 2. En déduire l égalité suivante dans le cas de M événements ( M M k P A i = ( 1 k+1 P k=1 1 i 1<...<i k M Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 3/17 Compilé le

4 On utilise un raisonnement par récurrence. La réponse précédente montre que l égalité est vraie pour M = 3. On propose que l égalité soit vraie pour une valeur donnée de M. P ( M+1 A i = P ( (A M A M+1 M 1 A i On propose le changement de notation suivant : i < M, B i = A i et B M = A M A M+1. P ( M+1 A i = P ( B M ( M = P B i M 1 B i On applique alors la formule vraie pour M éléments, P ( M+1 A i = M ( 1 k+1 k=1 1 i 1<...<i k M k P on sépare les expressions qui contiennent l élément B M P ( M+1 A i = ( 1 k+1 M 1 k=1 + M ( 1 k+1 k=1 1 i 1<...<i k M 1 1 i 1<...<i k =M k P k P Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 4/17 Compilé le

5 On écrit ensuite B M = A M A M+1 dans l expression k P 1 i 1<...<i k =M 1 i 1<...<i k =M k P = 1 i 1<...<i <M En écrivant (A M A M+1 = A M P (A M A M+1 et en se souvenant que i j < M, =, on obtient P (A M A M+1 On obtient alors ( M+1 M 1 P A i = ( 1 k+1 k=1 ( 1 k+1 M 1 + k=1 + P A M+1 = P A M = P A M P A M+1 A M 1 i 1<...<i k M 1 k P A M+1 A M+1 + P A M+1 {{ inters. de k élém. sans A M ni A M+1 1 i 1<...<i <M {{ inters. de k élém. avec P A M {{ inters. de k élém. avec A M sans A M+1 P A M+1 A M {{ inters. de k+1 élém. avec A M+1 sans A M A M et A M+1 Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 5/17 Compilé le

6 puis, en regroupant les termes P ( M+1 A i = ( 1 k+1 M+1 k=1 1 i 1<...<i k M+1 k P ce qui correspond à la formule proposée avec M + 1 éléments. La formule est vraie pour M = Si elle est vraie pour M, alors elle est vraie pour M + 1, donc par récurrence cette formule est vraie quel que soit le nombre M d éléments. 1.2 Probabilités conditionnelles La probabilité d un événement A dépend de l événement lui même, mais aussi d informations contextuelles I qui permettent éventuellement de réviser la probabilité de l événement A. On note P (A I la probabilité conditionnelle de l événement A sachant l information I. I P (I 0, P (A I = P (A I P (I Probabilité conditionnelle de l union de deux événements (loi d addition P (A B I = P (A I + P (B I P (A B I. Probablitité conditionnelle de l intersection de deux événements indépendants sachant I (loi de multiplication P (A B I = P (A I P (B I. Lorsque les événements A et B ne sont pas indépendants sachant I, la loi de multiplication peut s écrire P (A B I = P (A B I P (B I Théorème des probabilités totales Il peut être utile pour calculer une probabilité d utiliser un système complets d événements. Dans un système complets d événements A 1... A k, les événements sont disjoints deux à deux : i j, A i A j =, et leur réunion est l univers Ω : k A i = Ω. On peut alors calculer la probabilité d un événement quelconque B comme la somme des probabilités conditionnelles de B sachant A i pondérée par les probabilités des événements A i. Soit A 1... A k un système complet dévénements, alors P (B = k P (B A i P (A i. Un système complet d événements simlpe et souvent utilisé est constitué d un événement A et de son complémentaire Ā : P (B = P (B A P (A + P (B Ā P (Ā., Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 6/17 Compilé le

7 1.2.2 Théorème de Bayes Le théorème de Bayes résulte de l appplication simple de la définition d une probabilité conditionnelle, il permet d inverser le sens du conditionnement P (B A = P (A B P (B. P (A Exercice : Retrouvez la démonstration du théorème de Bayes Exercices d application 1. Dans une population, un individu sur 5000 est atteint d une maladie X sans le savoir. Le test A permettant de dépister cette maladie est positif chez 10% des individus sains (et 100% des individus malades. Quelle est la probabilité qu un individu ayant un test positif soit effectivement atteint de la maladie X? On appelle M l événement l individu testé est effectivement malade et A l événement le test A est positif. L énoncé donne P (M = , soit P ( M = , P (A M = 1 et P (A M = 0.1. On peut appliquer le théorème de Bayes P (M A = P (A M P (M. P (A Le théorème des probabilités totales donne P (A P (A = P (A M P (M + P (A M P ( M. On obtient finalement P (M A = L application numérique donne P(A= P(M A= P (A M P (M P (A M P (M + P (A M P ( M 2. Dans la même population, le test B permettant de dépister cette maladie est positif chez 5% des individus sains (et 100% des individus malades, indépendamment du test A. Quelle est la probabilité que le test B soit positif si le test A est positif? Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 7/17 Compilé le

8 On note B l événement l individu testé a un test B positif. L énoncé donne P (B M = 1 et P (A M = Le théorème des probabilités totales donne P (B A = P (B A {{ M P (A M {{ A M=M = P (A M P (M + P (B A {{ M A et B sont indépendants, donc P (B A M = P (B M P (A M {{ = P (A M P ( M = P (B M P (A M P (M + P (B M P (A M P ( M On obtient alors P (B A par la définition d une probabilité conditionnelle : P (B A = P (A B P (A L application numérique donne P(A inter B= P(B A= Variables aléatoires : généralités Lorsqu une valeur peut X être affectée à un événement aléatoire on dit que X est une variable aléatoire. On distingue classiquement les variables aléatoires discrètes (qui peuvent prendre un nombre fini ou infini de valeurs discrètes des variables aléatoires continues qui peuvent prendre un nombre infini de valeurs continues (bornées ou non. À une variable aléatoire est associée une loi de probabilités qui décrit la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur ou une gamme de valeur. 2.1 Distribution (densité, fonction de répartition Densité La fonction de distribution ou densité f décrit la probabilité de prendre une valeur discrète (VA discrètes ou de tomber dans une gamme de valeur (VA continue. Exemple d une variable aléatoire discrète pouvant prendre des valeurs entières positives quelconques dans N : f : N [0, 1] k f(k = P (X = k Exemple d une variable aléatoire continue pouvant prendre des valeurs quelconques dans R : f : R [0, + [ t f(t = lim ε 0 P (t ε 2 X t + ε 2 ε Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 8/17 Compilé le

9 2.1.2 Fonction de répartition La fonction de répartition F d une variable aléatoire X est définie paramétriques F : R [0, 1] t F (t = P (X t Lois de probabilité connues avec le logiciel Dans le logiciel de nombreuses lois de probabilité sont implémentées. Pour ces lois, les fonctions de densité et de répartition sont implémentées, de même que la fonction réciproque de la fonction de répartition et une fonction de tirage aléatoire dans cette loi. Les noms de ces fonctions découlent du nom de la loi. Par exemple pour une loi truc les fonctions sont dtruc( densité de la loi truc. ptruc( fonction de répartition de la loi truc. qtruc( réciproque de la fonction de répartition de la loi truc. rtruc( échantillonnage au hasard dans la loi truc Exercices d application Pour les exercices suivants vous pourrez avoir besoin de la fonction runif( de qui renvoie un nombre aléatoire tiré dans une loi continue uniforme sur [0, 1]. 1. Variable aléatoire discrète : Implémenter dans les fonctions dtwodices(, ptwodices(, qtwodices( et rtwodices( où twodices( est la loi de probabilité d une variable aléatoire correspondant à la somme de deux dés à six faces. On donne le code de la fonction dtwodices( ci-dessous dtwodices <- function(x { probtemp <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1/36 dtdt <- function(t { if (t %in% 2:12 { return(probtemp[t - 1] else { return(0 return(mapply(dtdt, x dtwodices(0:13 [1] [8] Représentez graphiquement la distribution et la fonction de répartition de cette loi Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 9/17 Compilé le

10 ptwodices <- function(x { ptdt <- function(t { if ((t >= 2 && (t <= 12 { return(sum(dtwodices(2:floor(t else if (t < 12 { return(0 else if (t > 12 { return(1 return(mapply(ptdt, x qtwodices <- function(x { qtdt <- function(t { if ((t < 0 (t > 1 { warning("erreur: paramètre en dehors de l'intervalle de définition" return(nan return(2 + sum(ptwodices(2:12 < t return(mapply(qtdt, x rtwodices <- function(x { return(qtwodices(runif(x par(mfrow = c(1, 2 plot(1:13, dtwodices(1:13, type = "h", main = "Distribution" curve(ptwodices, from = 1, to = 13, main = "Fonction de répartition" Distribution Fonction de répartition dtwodices(1: ptwodices (x : x 2. Variable aléatoire continue : On propose la loi de probabilité continue prop sur l intervalle [0, 1] définie par la densité suivante : x [0, 1], f(x = 2x. Implémentez les fonctions dprop(, pprop(, qprop( et rprop(, puis représentez graphiquement la densité et la fonction de répartition de cette loi. Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 10/17 Compilé le

11 dprop <- function(x { dprt <- function(t { if ((t < 0 (t > 1 { return(0 else { return(2 * t return(mapply(dprt, x pprop <- function(x { qprt <- function(t { if (t < 0 { return(0 else if (t > 1 { return(1 else { return(t^2 return(mapply(qprt, x qprop <- function(x { qtdt <- function(t { if ((t < 0 (t > 1 { warning("erreur: paramètre en dehors de l'intervalle de définition" return(nan return(sqrt(t return(mapply(qtdt, x rprop <- function(x { qprop(runif(x par(mfrow = c(1, 2 curve(dprop, from = -0.25, to = 1.25, main = "Densité" curve(pprop, from = -0.25, to = 1.25, main = "Fonction de répartition" Densité Fonction de répartition dprop (x pprop (x x x Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 11/17 Compilé le

12 2.2 Moments (Espérance, Variance Espérance ou moyenne µ L espérance d une variable aléatoire X est la valeur moyenne réalisée si elle existe elle est notée E(X ; souvent il s agit d un paramètre de la loi (souvent noté µ. Variable aléatoire discrète E(X = i ip (X = i Variable aléatoire continue E(X = tf(tdt D f Propriétés : Addition d un scalaire : λ R, E(X + λ = E(X + λ. Multiplication par un scalaire : λ R, E(λ X = λ E(X. Addition de deux variables aléatoires : E(X + Y = E(X + E(Y Variance σ 2 La variance d une variable aléatoire X si elle existe est la valeur moyenne du carré de l écart à la moyenne, ou moment centré d ordre 2. Elle est notée V (X ; souvent il s agit d un paramètre de la loi (souvent noté σ 2. Variable aléatoire discrète E(X = i (i E(X 2 P (X = i Variable aléatoire continue E(X = (t E(X 2 f(tdt D f Calcul : En utilisant l expression V (X = E ( (X E(X 2 on obtient la formule connue V (X = E(X 2 E(X 2 Variable aléatoire discrète V (X = ( i 2 P (X = i ip (X = i i i Variable aléatoire continue V (X = t 2 f(tdt D f ( tf(tdt D f 2 2 Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 12/17 Compilé le

13 Propriétés : Addition d un scalaire : λ R, V (X + λ = V (X. Multiplication par un scalaire : λ R, V (λ X = λ 2 V (X. Addition de deux variables aléatoires : V (X + Y = V (X + V (Y Cov(X, Y, où Cov(X, Y est la covariance de X et Y définie comme Cov(X, Y = E ((X E(X (Y E(Y. 3 Quelques lois discrètes à connaître 3.1 Loi uniforme U(n La loi uniforme est celle où toutes les valeurs pouvant être prises par la variable aléatoire X sont équiprobables. S il y a n valeurs possibles chacune de ces valeurs a la probabilité 1 n. Exemple : Dans le cas de la roulette de casino, le numéro tiré (entre 0 et 36 est une variable aléatoire tirée dans une loi uniforme de paramètre n = 37. Comparez avec l espérance du gain réalisé (36 fois la mise. Lorsqu un joueur mise une somme m sur un numéro, il perd cette somme (gain m si son numéro ne sort pas. Si son numéro sort, on lui restitue 36 fois la mise (ce qui correspond à un gain de m36m = 35m, l espérance du gain X est 35 E(X = m m 37 = m 37. k=0 Le montant du gain est donc calculé pour que l espérance du gain du joueur soit négative (on dit que le jeu est inéquitable si l espérance de gain est non nulle. 3.2 Loi de Bernouilli de paramètre p Dans une loi de Bernouilli, la variable aléatoire peut prendre seulement deux valeurs (typiquement 0 et 1, succès ou échec. La probabilité de succès est p. Exemple : Dans le cas de la roulette de casino, le fait de gagner est une variable aléatoire tirée dans une loi de Bernouilli de paramètre p = Loi binomiale de paramètres n et p, B(n, p Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p lorsqu elle est la somme de n variables aléatoires indépendantes de même paramètre p. k, 0 k n, P (X = k = ( n k p k (1 p n k X B(n, p E(X = np V (X = np(1 p Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 13/17 Compilé le

14 Exemple : Au yahtzee, les joueurs lancent 5 dés à six faces. Le nombre d as obtenus dans un lancer de dé suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 1 6. Quelle est la probabilité d obtenir exactement deux as en un lancer? On utilise la fonction dbinom de dbinom(2, size = 5, prob = 1/6 [1] Loi hypergéométrique de paramètres N, m et n, H(N, m, n La loi hypergéométrique décrit le nombre de succès lors de n tirages sans remise dans une population (urne finie de taille N contenant m individus d un type (succès et N m individus d un autre type (échecs. ( m ( N m k n k k, 0 k m, P (X = k = ( N n X H(N, m, n E(X = nm N ( nm N 1 m N (N n V (X = N 1 Exemple : Au poker, chaque joueur reçoit initialement 5 cartes tirées d un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu un joueur ait en main un poker d as dès la première distribution des cartes? Le nombre d as dans une main de 5 cartes suit une loi hypergéométrique de paramètres n = 5, M = 52 et m = 4. On utilise la fonction dhyper de, en spécifiant qu il y a 4 as et 48 cartes qui ne sont pas des as dans le jeu. dhyper(x = 4, m = 4, n = 48, k = 5 [1] e Loi géométrique de paramètre p, G(p La loi du nombre de tirages successifs dans une loi de Bernouilli de paramètre p avant d obtenir un premier succès est appelée loi géométrique de paramètre p. k 0 P (X = k = p(1 p X G(p E(X = 1 p V (X = 1 p p 2 Exemple : Le nombre de lancers d un dé avant l obtention d un as suit une loi géométrique de paramètre p = 1 6. Donnez une expression de la fonction de répartition de la loi géométrique correspondante (calculez P (X n. Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 14/17 Compilé le

15 P (X n = n 1 k=1 1 6 = 1 n 1 ( k=1 ( 5 6 = 1 1 ( ( 5 = 1 6 n 1 n Loi de Poisson de paramètre λ, P(λ La loi de Poisson décrit le nombre d événements survenus dans un intervalle I lorsque les événements surviennent indépendamment entre eux à un taux fixe λ par intervalle de la taille de I. I peut être un intervalle de temps, de surface, de volume... X P(λ k 0 P (X = k = λk e λ k! E(X = λ V (X = λ Exemple : La maternité d un hôpital voit en moyenne 3650 naissances par an. Chaque femme reste trois jours à la maternité après l accouchement. Combien de lits faut-il prévoir pour que probabilité que la maternité puisse accueillir toutes les parturiantes avec une probabilité de 95%? 4 Quelques lois continues à connaître 4.1 Loi uniforme sur un intervalle [a, b]. La densité de la loi uniforme sur l intervalle [a, b] (a < b est définie par { f(x = 1 x R b a, si x [a, b] f(x = 0, si x / [a, b] La fonction de répartition est définie par F (x = 0, si x a x R F (x = x a b a, si a x b F (x = 1, si b x Exercice : X suit une loi uniforme sur l intervalle [a, b]. Calculez l espérance et la variance de X. Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 15/17 Compilé le

16 4.2 Loi exponentielle de paramètre λ, E(λ. La loi exponentielle décrit la durée d attente en temps continu entre les occurences d un événement Poissonnien (se produisant avec un taux fixe λ. t R +, f(t = λe λt t R +, F (t = 1 e λt X E(λ E(X = 1 λ V (X = 1 λ 2 Exemple et propriété : Exercice : On suppose que le nombre de hérissons écrasés sur une route de forêt suit une loi de Poisson dont l espérance est de 4 par kilomètre. Donnez une valeur de la distance à parcourir pour avoir vu au moins un hérisson écrasé avec une probabilité de 95%. Propriété : Les processus exponentiels sont dits sans mémoire. Pour comprendre ce que cela signifie, calculez P (X > t 0 + t X > t La loi Normale de paramètres µ et σ, N (µ, σ et le théorème central limit Le théorème central limit Si X 1... X n sont des variables aléatoires indépendantes ayant toutes la même distribution d espérance µ et d écart-type σ. La valeur moyenne des X i est X = 1 n n X i, et pour de grandes valeurs de n, la loi de distribution de X converge vers la loi normale d espérance µ et d écart-type Densité σ n La densité f N (µ,σ de la loi normale d espérance µ et de variance σ est donnée par : t R, f N (µ,σ (t = 1 σ (t µ 2 2π e 2σ Loi normale centrée réduite N µ=0,σ=1. Souvent, lorsque n était pas si utilisé, les étudiants devaient se reporter à la loi normale centrée (µ = 0 réduite (σ = 1 Exercices : X N (µ, σ X µ σ N (0, 1 Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 16/17 Compilé le

17 1. À l aide de vos réponses aux questions précédentes sur la loi uniforme. Dites quelle est la distribution attendue pour la moyenne de 40 variables aléatoires indépendantes tirées dans une loi uniforme sur [0, 1]. 2. Vérifiez votre réponse à l aide de simulations dans. 3. Retrouvez comment constituer la table de l écart réduit qui figure dans tous les manuels de statistiques Loi χ 2 à n degrés de liberté. χ 2 (n La loi χ 2 à n degré de liberté est la loi suivie par la somme des carrés de n varibales aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée réduite. Exercice : Vérifiez la propriété ci-dessus à l aide de simulations dans. 5 Quelques fonctions utiles... Les fonctions suivantes vous seront utiles lors de l utilisation de pour étudier des distributions. La brève description ci-dessous ne remplacera malheureusement pas l utilisation de l aide en ligne. 1. density( renvoie la fonction de densité calculée automatiquement à partir d un échantillon. 2. ecdf( renvoie la fonction de répartition (experimental cumulative distribution calculée automatiquement à partir d un échantillon. 3. hist( Calcule et trace l histogramme d un échantillon (voir aussi plot(x, type="h". 4. quantile( calcule les quantiles d un échantillon. Logiciel R version ( a2-1-c.rnw Page 17/17 Compilé le

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