BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES n 1

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1 BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES n 1 JANVIER 2016 Durée : 2h L usage de la calculatrice est autorisé. 4 points sont attribués à la qualité de la présentation et à la rédaction. Attention! Ce sujet comporte 6 pages et 7 exercices. Toutes les réponses doivent être justifiées. EXERCICE 1 : (6 points) Six affirmations sont données ci-dessous : Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. AFFIRMATION 1 : le nombre ( ) 1 2 est égal à ( ) 1 21 =( ) 1 2 = =13 56 L'affirmation 1 est FAUSSE. AFFIRMATION 2 : L expression développée de (3 x+5)² est égale à 3 x ²+30 x+25. (3x + 5)² = (3x)² + 2 3x 5 + 5² = 9x² + 30x L'affirmation 2 est FAUSSE. AFFIRMATION 3 : Les droites (AB) et (FG) de la figure ci-contre sont parallèles. On calcule séparément : AE EG = 68 42,5 =1,6 EB EF =61,6 38,5 =1,6 On constate que AE EG = EB EF. De plus les points A, E, G sont alignés dans le même ordre que les points B, E, F donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles. L'affirmation 3 est VRAIE

2 AFFIRMATION 4 : L expression factorisée de 121 ( x 7) ² est égale à (4+ x)(18 x). 121 (x 7)² = 11² (x 7)² = [11 (x 7)][11 + (x 7)] = (11 x + 7)(11 + x 7) = (18 x)(4 + x). L'affirmation 4 est VRAIE. AFFIRMATION 5 : L équation 2 x 10 3 x 9 =0 admet pour solutions 0 et 3. Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Soit 2x + 10 = 0 ou 3x 9 = 0 2x = -5 3x = 9 x = -2,5 x = 3 Les solutions de l'équation sont -2,5 et 3. L'affirmation 5 est fausse. AFFIRMATION 6 : L écriture scientifique de , est , = 1, =0, = = L'affirmation 6 est fausse. EXERCICE 2 : (5 points) Le tableau ci-dessous présente la série de notes obtenues par les élèves de 3 ième 2 lors du dernier devoir en classe. Note sur Effectif ) Quel est l'effectif de la classe de 3 ième 2? = 23 L'effectif total de la classe est de 23 élèves.

3 2) Calculer la note moyenne de ce devoir ( donner une valeur arrondie au dixième de point). M = = ,9 La note moyenne à ce devoir est d'environ 10,9 / 20. 3) Quel est le pourcentage arrondi à l'unité, de l'effectif total représentant les élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8? 9 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 8. Soit 9 sur % des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 8. 4) Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note? L'effectif total est impair donc la médiane de cette série est la valeur centrale. C'est donc la 12e valeur. Les valeurs étant rangées dans l'ordre croissant, la médiane est donc la note de 11/20. Au moins 50 % des notes sont inférieures ou égales à 11/20 ou au moins 50 % des notes sont supérieures ou égales à 11/20, EXERCICE 3 : (4 points) Pour construire un mur vertical, il faut parfois utiliser un coffrage et un étayage qui maintiendra la structure verticale le temps que le béton sèche. Cet étayage peut se représenter par le schéma suivant qui n'est pas à l'échelle. Les poutres de fer sont coupées et fixées de façon que : Les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires ; C est situé sur la barre [AB] ; D est situé sur la barre [BE] ; AB = 3,5 m ; AE = 2,625 m ; CD = 1,5 m 1) Calculer BE. On sait que le triangle EAB est rectangle en A. Or d'après le théorème de Pythagore on a : BE² = AB² + AE² BE² = 3,5² + 2,625² BE² = 12,25 + 6, BE² = 19, BE= 19,140625=4,375 Donc BE = 4,375 m

4 2) Les barres [CD] et [AE] sont parallèles. À quelle distance de B faut-il placer le point C? On sait que dans le triangle ABE, les droites (CD) et (AE) sont parallèles. Or d'après le théorème de Thalès, on a : BD BE = BC BA =CD AE = BD 4,375 = BC 3,5 = 1,5 BC Donc 2,625 3,5 = 1,5 2,625 BC= 3,5 1,5 2,625 =2 Le point C doit donc se trouver à 2 m du point B EXERCICE 4 : (4 points) On a modélisé géométriquement un tabouret pliant pour les segments [CB] et [AD] pour l'armature métallique et le segment [CD] pour l'assise en toile. On a : CG = DG = 30 cm ; AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm Pour des raisons de confort, l'assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). Déterminer la longueur CD de l'assise. Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation. On sait que C, G et B sont alignés ainsi que les points D, G et A. De plus les droites CD) et (AB) sont parallèles. Or d'après le théorème de Thalès, on a : CG GB = DG GA = CD AB = =CD 51 Donc CD= =34 45 La longueur CD de l'assise est donc de 34 m.

5 EXERCICE 5 : (5,5 points) On considère les deux programmes de calculs suivants : PROGRAMME A - Choisir un nombre - Multiplier ce nombre par 2 - Soustraire 5 - Calculer le carré du nombre obtenu - Soustraire 16 - Écrire le résultat obtenu PROGRAMME B - Choisir un nombre - Soustraire 1 au double du nombre choisi - Soustraire 9 au double du nombre choisi - Multiplier les 2 nombres obtenus - Écrire le résultat obtenu 1) Vérifier que si l'on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est -15. Faire apparaître les calculs sur votre copie. (2 2 5)² 16 = (4 5)² 16 = (-1)² 16 = 1 16 = -15 2) Quel résultat obtient-on avec le programme A si on choisit 3 comme nombre de départ? Faire apparaître les calculs sur votre copie. (3 2 5)² 16 = (6 5)² 16 = 1² 16 = 1 16 = -15 3) Quelle remarque peut-on faire? On remarque que si l'on choisit le nombre 2 ou le nombre 3 comme nombre de départ, on obtiendra le même résultat avec le programme A. 4) Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 3 comme nombre de départ? Faire apparaître les calculs sur votre copie. (3 2 1)(3 2 9) = (6 1)(6 9) = 5 (-3) = -15 5) On a utilisé le tableur pour calculer les résultats obtenus par ces deux programmes pour certains nombres choisis. Voici ce qu'on a obtenu :

6 a) Parmi les quatre formules suivantes, recopier sur votre copie celle qui a été saisie dans la cellule B2 puis qui a été recopié vers le bas. Première proposition : Deuxième proposition : Troisième proposition : Quatrième proposition : =2*A2-5^2-16 =2*(A2-5)^2-16 =(2*A2-5)^2-16 Formule exacte =(2*A2)-5^2-16 b) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau? Il semblerait que si l'on choisit le même nombre de départ pour les deux programmes on obtienne le même résultat. 6) Pour n'importe quel nombre de départ, l'expression A=(2 x 5)² 16 permet d obtenir le résultat du programme A. Écrire l expression qui permet d obtenir le résultat du programme B. Démontrer la conjecture faite à la question 5)b) A = (2x 5)² 16 = (2x)² 2 2x 5 + 5² 16 = 4x² 20x = 4x² 20x + 9 B = (2 x 1)(2 x 9) = 2x 2x + 2x (-9) + (-1) 2x + (-1) (-9) = 4x² 18x 2x + 9 = 4x² 20x + 9 On constate que A = B. Si l'on choisit le même nombre de départ pour les deux programmes, on obtiendra toujours le même résultat. EXERCICE 6 : (7 points) La courbe ci-dessous représente la distance d parcourue par un coureur à pied, en km, en fonction de la durée t de parcours en minutes.

7 1) Quelle distance coureur a-t-il parcourue au bout de 10 min? Au bout de 10 minutes, ce coureur a parcouru 2 kilomètres. 2) Combien de temps lui a-t-il fallu pour parcourir 5,4 km? Il lui a fallu 35 minutes pour parcourir 5,4 km. 3) La vitesse de ce coureur à pied a-t-elle été constante durant tout son parcours? Justifier. La vitesse de ce coureur à pied n'a pas été constante durant tout son parcours car les points ne sont pas alignés. 4) Pendant combien de temps ce coureur s'est-il arrêté lors de son parcours? Ce coureur s'est arrêté pendant 7 minutes. On note f la fonction qui à un temps de parcours associe la distance d parcourue par ce coureur à pied. 5) Lire graphiquement l'antécédent de 6 par la fonction f. L'antécédent de 6 par la fonction f est 37. Répondre par une phrase et faire apparaître sur le graphique les pointillés ayant permis la lecture. 6) Lire graphiquement l'image de 6 par la fonction f. L'image de 6 par la fonction f est 1,2. 7) Que signifie pour ce coureur à pied, l'égalité f (10)=2 Cette égalité signifie que le coureur a parcouru 2 km en 10 minutes. 8) Quelle a été la vitesse moyenne en km/h de ce coureur à pied durant les 10 dernières minutes de courses? v= d t = 3km 10min =0,3km/min Soit 18 km / h.

8 EXERCICE 7 : (4,5 points) Laurent s'installe comme éleveur de chèvres pour produire du lait afin de fabriquer des fromages. PARTIE 1 : la production de lait. Document 1 : Chèvre de race alpine : Production de lait : 1,8 litre de lait par jour et par chèvre en moyenne. Pâturage : 12 chèvres maximum par hectare. Document 2 : Plan simplifié des surfaces de pâturage Document 3 : 1 hectare = m² 1) Prouver que Laurent peut posséder au maximum 247 chèvres.

9 Calculons la surface totale des pâturages. Aire = 240² = = La surface totale est de m² soit 20,64 hectares. Calculons le nombre de chèvres : 20,64 12 = 247,68. Soit un maximum de 247 chèvres. 2) Dans ces conditions, combien de litres de lait peut-il espérer produire par jour en moyenne? 247 1,8 = 444,6. Il peut donc espérer produire 444,6 litres de lait par jour en moyenne. PARTIE 2 : le stockage du lait. Laurent veut acheter une cuve cylindrique pour stocker le lait de ses chèvres. Il a le choix entre 2 modèles : Cuve A : contenance 585 litres Cuve B : diamètre 100 cm, hauteur 76 cm Formule du volume du cylindre : V = Π r² h Conversion : 1dm 3 =1 L Il choisit la cuve ayant la plus grande contenance. Laquelle va-t-il acheter? Calculons la contenance de la cuve B. V = 50² ,6. La cuve B a un volume d'environ cm 3 soit 596 dm 3. La cuve B peut donc contenir 596 litres de lait. Laurent doit donc acheter la cuve B.