TD 22 Machines thermiques

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1 hermodynamique D 22 Machines thermiques Exercice uestion de cours eut-on réaliser un moteur thermique, une machine frigorifique, ou une pompe à chaleur (pompe thermique) à partir d un fluide décrivant des cycles en échangeant de l énergie thermique avec une seule source thermique de température s? 2 La machine peut maintenant échanger de la chaleur avec deux thermostats de température f et c (avec c > f) Reprendre la question précédente et définir dans chaque cas le rendement (ou l efficacité) de la machine Exprimer ensuite le rendement (ou l efficacité) en fonction de c et f et de la création d entropie pour le cycle ommenter Application numérique : pompe thermique réversible pour laquelle f = 273 K et c = 292 K Donner la valeur du coefficient d efficacité Exercice 2 Différents moteurs On compare les efficacités des cycles moteurs de arnot, Beau de Rochas et Stirling e dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité On rappelle l expression du rendement d un moteur de arnot fonctionnant de manière réversible entre une source froide de température f et une source chaude de température : η = A ycle de Beau de Rochas f Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m, assimilé à un gaz parfait diatomique( γ =, 4), de masse molaire M, suit une évolution cyclique ABDA, constituée de deux portions isentropiques (adiabatiques réversibles), AB et D, séparées par deux portions isochores, B et DA Les températures aux points A et sont respectivement : A = ; = 2 avec < 2 En outre, le taux de compression = est supérieur à Aa Justifier le sens de description du cycle Ab uelle équation relie la pression et le volume en A et B? en et D? (on ne demande pas de démonstration) Ac Montrer que la pression en B et en D est donnée par : B = A et D = Ad Exprimer le volume en B en fonction de m, M, 2 et Exprimer de même le volume en D en fonction de m, M, et A

2 A2a Exprimer, en fonction de γ, A, B, et A, le travail W AB et le transfert thermique AB échangés par le gaz sur la portion AB A2b Montrer que le transfert thermique échangé par le gaz sur la portion B est donné par : B = A2c Exprimer, en fonction de γ,,, et le gaz sur la portion D c D A 2, le travail W D et la chaleur D échangés par A2d Montrer que le transfert thermique échangé par le gaz sur la portion DA est donné par : DA = A2e uelle relation simple relie tous les transferts thermiques avec tous les travaux? DA A3a Montrer que le rendement h BO de ce cycle moteur, est donné par : η BO = + A3b On donne DA = 0, 50 kj, B =,00 kj, α = 000, = 300K et 2 = 000K omparer numériquement au rendement d'un cycle moteur de arnot fonctionnant entre les températures et 2 ommenter B ycle de Stirling Dans un cycle de Stirling, une même masse m d air que précédemment (soit n moles de gaz parfait) suit une évolution cyclique A'B''D'A' constituée de deux portions isothermes réversibles A'B' et 'D' séparées par deux portions isochores B'' et D'A' Les températures et les pressions aux points A' et ' sont les mêmes qu aux points A et respectivement Le taux de compression ( = ) est aussi le même que précédemment Ba racer l allure du cycle A'B''D'A' dans le diagramme de lapeyron (, ) Bb En comparant les pentes d isothermes et d adiabatiques, justifier que le travail récupéré au cours d un cycle est (en valeur absolue) a priori plus important dans le cycle de Stirling que dans le cycle de Beau de Rochas B2a uelle équation relie la pression et le volume en A et B? en et D? B2b En déduire que les pressions B' et D', en B' et D', sont données par : B'= A' v et D'= B3a Montrer que W A'B' = ln v En déduire A' B ' sur l isotherme A B B3b Exprimer, en fonction de m, M, γ, R, et 2, le travail et le transfert thermique W et échangés par le gaz sur l isochore B B' ' B' ' B3c Montrer que W 'D'= ln v En déduire ' D' sur l isotherme ' D ' B3d Exprimer, en fonction de m, M, γ, R, et 2, le travail et le transfert thermique W et échangés par le gaz sur l isochore D A D ' A' D ' A' B4a alculer la variation d entropie Scycle sur tout le cycle B5a Montrer que le rendement h S de ce cycle moteur s écrit :! = " $ % $ &' $ % $ + " $ % &' B

3 B5b Exprimer! en fonction de η, γ et α omparer ηs et η B5c Avec les valeurs numériques de la question A3b, calculerη S omparer à ηboet conclure Exercice 3 ompe à chaleur On étudie dans cette partie l utilisation d une pompe à chaleur pour maintenir constante la température à l intérieur d une maison (régime permanent) La pompe à chaleur fonctionne de manière cyclique entre deux sources idéales (machine ditherme) : la source chaude, constituée de l intérieur de la maison à la température h de 20 la source froide, constituée de l extérieur à la température Fr de 5 Le fluide qui circule à l intérieur de la pompe à chaleur échange, au cours d un cycle : le transfert thermique h avec la source chaude (évolution B ) le transfert thermique Fr avec la source froide (évolution D A) le travail mécanique W avec un système mécanique / Faire un schéma des différents échanges énergétiques avec des blocs représentant le fluide, les sources et le système mécanique On précisera le sens des échanges sur le schéma ainsi que les signes de h, Fr et W 2/ On suppose dans un premier temps que le cycle effectué est constitué de deux isothermes réversibles (au cours desquelles se font les échanges avec les sources) reliées par deux adiabatiques réversibles a/ omment s'appelle un tel cycle? b/ Dans quel sens doit "tourner" le cycle? Justifier c/ Recopier le schéma ci-contre et y placer le sens de parcou cycle ainsi que les 4 points A, B,, D cités dans l'introduction 3/ Ecrire le premier principe et le second principe pour ce cycle réversible et en déduire deux égalités reliant certaines des grandeurs h, Fr, W, Fr et h 4/ L efficacité thermodynamique e rév de la pompe à chaleur est définie par e = ch rév W En vous servant des deux égalités précédentes, en déduire e rév en fonction des seules températures h et Fr Application numérique 5/ Le cycle réel d'un fluide de pompe à chaleur est souvent plus proche du cycle ci-contre, constitué de deux isobares : B au cours de laquelle s'effectue l'échange avec la source chaude, le fluide atteignant la température de la source chaude en ( = h) D A au cours de laquelle s'effectue l'échange avec la source froide, le fluide atteignant la température de la source froide en A ( A = Fr) Les deux isobares sont reliées par deux adiabatiques réversibles AB et D Recopier le schéma ci-dessus et y placer le sens de parcours du cycle ainsi que les 4 points A, B,, D 6/ En raisonnant sur la température du fluide et la température extérieure, justifier rapidement que les évolutions isobares sont irréversibles 3 2

4 7/ Montrer que pour une évolution isobare ( = ext = cte), = H 8/ Le fluide qui parcourt le cycle sera considéré comme étant constitué de n = 3 moles de gaz parfait de coefficient γ =,2 a/ Rappeler la relation existant entre γ et les coefficients molaires c p et c v Rappeler la relation existant entre les coefficients molaires c p, c v et la constante R pour un gaz parfait b/ On donne R = 8,34 Jmol - K - En déduire les valeurs de c p et c v 9/ Donner les expressions de h et Fr en fonction de n, d'un coefficient molaire et de certaines températures du cycle 0/ Montrer que l'efficacité thermodynamique e = ch W B températures A = Fr, B, = h et D peut s'écrire e = + de cette pompe en fonction des seules B D A / Déterminer une relation entre A, B,, 2 et le coefficient γ Faire de même avec, D,, 2 et le coefficient γ En déduire les expressions respectives de B et D en fonction de 2 a =, du coefficient γ et respectivement de A et 2/ On donne a = 2 Déterminer la valeur numérique de e 3/ A cause du second principe, on doit trouver e < e rév a/ Déterminer l'expression des entropies échangées par le fluide avec les sources, soient S eh et S efr en fonction de n, d'un coefficient molaire et de certaines températures du cycle b/ En déduire l'entropie créée par le fluide au cours d'un cycle Application numérique Exercice 4 ycle de Rankine L eau décrit le cycle suivant : AB : l eau, liquide saturant à et *( ) est comprimé de façon isentropique dans une pompe jusqu à la pression * 2 de la chaudière BD : L eau passe dans la chaudière et s y réchauffe jusqu à 2(B) puis s y vaporise (D) sous la pression *( 2) DE : la vapeur saturante passe dans le cylindre à 2, * 2 et on effectue une détente isentropique jusqu à, * : on obtient un mélange liquide vapeur de titre x en vapeur EA : Le piston par son retour chasse le mélange dans le condenseur où il se liquéfie totalement On assimile le liquide à un liquide incompressible de capacité thermique massique c l = 4,8 kjkg - K - et la vapeur à un G On raisonne sur l unité de masse du fluide et on donne les caractéristiques : ( ) (bar) h vap = l vap (kjkg - ) = 60 = 0, = 88 2 = Justifier que la compression isentropique AB du liquide (saturant en A) est confondue avec l isotherme 2 Justifier que la détente isentropique DE de la vapeur (saturante en D) conduit nécessairement à un mélange diphasé dont on calculera le titre massique x en vapeur 3 Représenter la totalité du cycle de Rankine en diagramme (,v) 4 Exprimer et calculer les divers transferts thermiques pour chaque étape du cycle de Rankine 4

5 5 Définir le rendement de cette machine à vapeur L exprimer puis le calculer 6 uelles sont les causes d irréversibilité d une telle machine? Exercice 5 Réflexion et culture générale (recherches autorisées) ourquoi le cycle de arnot n est-il pas utilisé dans la pratique? 2 uel est le fluide décrivant le cycle moteur dans un moteur à explosion? uelles sont les sources? 3 Dans un moteur à combustion interne, à essence, l allumage est commandé par des bougies Le modèle du cycle décrit par une masse d air et d essence est constitué de deux adiabatiques réversibles et de deux isochores a ui a proposé ce cycle, en quelle année? b ui a réalisé ce cycle? En quelle année? c Représenter le cycle d Représenter un schéma du cylindre avec la soupape d admission, de refoulement, la bougie, le piston e Décrire les transformations correspondant à chaque temps et les relier au déplacement du piston et à l ouverture et fermeture des soupapes f uel est le temps moteur? ourquoi utilise-t-on couramment 4 cylindres dans un moteur? g A quoi correspond la différence - 2? Le produit a =? h Le rendement théorique de ce moteur est : r = - * +, omment évolue le rendement quand a augmente? ourquoi ne peut-on pas beaucoup augmenter a en pratique? ourquoi le rendement réel est-il environ deux fois plus petit que le rendement théorique? 4 ourquoi les moteurs électriques ont-ils de bien meilleurs rendements que les moteurs thermiques? Ils sont aussi moins polluants, moins bruyants et pourtant ils ne sont pas encore utilisés dans l industrie automobile? ourquoi? 5 omparer l efficacité d une pompe à chaleur à celle d un chauffage classique ordinaire 6 La majorité des machines thermiques sans combustion utilisent les changements d état des fluides uelle en est la raison? Ne pourrait-on pas simplement utiliser des gaz échangeant chaleur et travail? 7 Expliquer qualitativement le fonctionnement de la climatisation d une voiture 5