Chapitre 2: Les généralités du calcul des probabilités.

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1 Chapitre 2: Les généralités du calcul des probabilités. 1 Introduction Le modèle du chapitre un (univers fini) n est pas suffisant. Ainsi par exemple, dans l expérience aléatoire "jouer à pile où face jusqu à ce qu il sorte pile pour la première fois", on est amené à considérer un univers d éventualités infini dénombrable : Ω = {(π), (fπ), (ffπ), (fffπ),..., (ff... fπ),...} (n 1 lettres f suivies d une lettre π représente l éventualité "pile est sortie pour la première fois au n-ième coup"). Si on observe une particule en suspension dans un liquide, sa position à un instant donné peut être un point quelconque du liquide. L ensemble des éventualités est ici infini non dénombrable. Quand Ω est infini non dénombrable on ne peut plus en général considérer que tous les éléments de P(Ω) sont des événements (ceci pour des raisons mathématiques qui dépassent le cadre de ce cours). Dans ce cas l ensemble des événements est seulement une partie F de P(Ω) vérifiant certaines conditions naturelles et bien entendu seuls les éléments A F seront probabilisés. 2 Notion d espace probabilisé Soit Ω un univers (quelconque 1 ) d éventualités et P(Ω) l ensemble de tous les sous-ensembles de Ω. Définition 2.1 : On appelle tribu (ou σ-algèbre 2 ) sur Ω toute partie F de P(Ω) vérifiant les propriétés suivantes : 1) Ω F. 2) A F Ā F. 3) Pour toute suite (A n ) n 0 d éléments de F, n=0a n F. (Autrement dit Ω F et F est stable par passage au complémentaire et par réunions dénombrables) Notes du cours de Probabilités de M1 de M. L. Gallardo, Université de Tours, année Les démonstrations sont détaillées dans le cours oral. 1 fini ou infini. 2 prononcer sigma-algèbre 1

2 Exercice 2.2 : Soit F est une tribu sur Ω. 1) Montrer que F est stable par intersections dénombrables (utiliser les propriétés 2) et 3) de la définition 2.1). 2) Montrer que F est stable par intersections et réunions finies. Exemple 2.3 : 1) L ensemble P[Ω) de toutes les parties de Ω est une tribu. 2) L ensemble {Ω, } est une tribu appelée tribu triviale (car c est la plus petite tribu de Ω). 3) Soit (A i ) i I une partition finie ou dénombrable 3 de Ω. L ensemble F de toutes les parties de Ω qui sont des réunions finies ou dénombrables de certains A i 4, est une tribu appelée tribu engendrée par la partition (A i ) i I. Définition 2.4 : On appelle espace probabilisé (ou univers probabilisé) tout triplet (Ω, F, P) où 1) Ω est un ensemble (univers d éventualités). 2) F est une tribu sur Ω (ensemble des événements). 3) P est une probabilité (ou mesure de probabilité) sur F i.e. une application P : F [0, 1] vérifiant les propriétés suivantes : i) P(Ω) = 1. ii) P( n=0a n ) = n=0 P(A n) pour toute suite (A n ) d événements deux à deux incompatibles 5 (propriété de sigma-additivité 6 ). Pour tout A F, le nombre P(A) est la probabilité de l événement A. La théorie des probabilités telle qu on va la développer dans la suite du cours s applique aux expériences aléatoires qui peuvent être modélisées par un espace probabilisé. Exercice 2.5 : 1) Montrer que P( ) = 0. 2) Montrer que la propriété de sigma-additivité de P implique la propriété d additivité de P (i.e. pour suite finie A 1,..., A N d événements deux à deux incompatibles, P( N n=1a n ) = N n=1 P(A n). 3) En déduire que pour tous événements A et B, P(Ā) = 1 P(A) et que si A B, P(A) P(B). solution : 1) Si on applique la propriété de sigma-additivité à la suite A n = ( n 0) on voit qu il est impossible que P( ) > 0 donc P( ) = 0. 2) Pour tout n N + 1, posons A n =. Comme les A n (n N ) sont deux à deux incompatibles et que N n=1a n = + n=1a n, la propriété de sigma-additivité, et le résultat de 1) donnent aussitôt le résultat. 3) Comme Ω = A Ā et que A Ā =, on a 1 = P(Ω) = P(A) + P(Ā), d où la première assertion. Si A B, on a B = A (B \ A) d où P(B) = P(A) + P(B \ A) donc P (A) P(B). 3 i.e. l ensemble I des indices est fini ou dénombrable. 4 i.e. E F s il est de la forme E = j J A j où J I et en convenant que si J =, j A j =. 5 i.e. A i A j = pour tous i j. 6 On notera que cette propriété impose que par définition la série n=0 P(A n) est convergente si les A n sont deux à deux incompatibles. 2

3 Remarque 2.6 : Si Ω = {ω 1, ω 2,...} est dénombrable, on peut toujours supposer que P(Ω) est la tribu des événements donc toutes les éventualités ω Ω sont des événements 7. Si on connait la distribution de probabilité : p 1 = P(ω 1 ), p 2 = P(ω 2 ),... alors on connait la probabilité de n importe quel événement car tout événement A est réunion (finie ou dénombrable) de ses éventualités c est à dire A = i J {ω i } où J est fini ou dénombrable ; la propriété de sigma-additivité implique alors que P(A) = i J p i. On notera cependant qu il n est plus possible de parler de probabilité équidistribuée sur Ω. En effet s il existait une constante a 0 telle que pour tout ω Ω, P(ω) = a, la propriété de sigma-additivité imposerait 1 = P(Ω) = ω Ω) P(ω) ce qui est absurde car la somme de la série est infinie si a > 0 et nulle si a = 0. Proposition 2.7 (Propriété de continuité d une probabilité) 1) Soit (A n ) n 0 une suite croissante d événements (i.e. A n A n+1 pour tout entier n) et A = n 0 A n. Alors P(A) = lim n + P(A n ). 2) Soit (B n ) n 0 une suite décroissante d événements (i.e. B n+1 B n pour tout entier n) et B = n 0 B n. Alors P(B) = lim n + P(B n ). (Pour résumer on dit que la probabilité est continue par limite monotone d événements). démonstration : 1) La suite P(A n ) est croissante est majorée donc elle converge. Il faut montrer que la limite est P(A). Or on a P(A n ) = P(A 0 ) + P(A 1 \ A 0 ) + + P(A n \ A n 1 ) = n P(C k ), k=0 où C 0 = A 0, C 1 = A 1 \ A 0,..., C n = A n \ A n 1,... sont des événements incompatibles. Par sigma-additivité de P, on a P( + i=0 C i) = + i=0 P(C i). Or + i=0 C i = + n=0a n (facile à vérifier par double inclusion) donc la série + i=0 P(C i) converge et a pour somme P(A). Mais P(A n ) est justement la somme partielle d ordre n de cette série, d où lim n P(A n ) = P(A). 2) Par dualité, la suite B n est croissante et d après le 1), on a P( n Bn ) = lim n P( B n ). Or n Bn = n B n, d où 1 P( n B n ) = P( n B n ) = lim n P( B n ) = lim n (1 P(B n )), ce qui implique lim n P(B n ) = P(B). 3 Notions de probabilité conditionnelle 3.1 Introduction Considérons une expérience aléatoire schématisée par un espace probabilisé (Ω, F, P). Supposons que l expérience n étant pas terminée (ou si elle est terminée, on en ignore le résultat), on obtienne une "information" B (B F) sur ce que sera son résultat. La probabilité P doit 7 en toute rigueur ce sont les singletons {ω} qui sont des événements. 3

4 être remise en question. On doit considérer une nouvelle probabilité P B qui tienne compte du fait nouveau. On l appelle la probabilité conditionnelle sachant B. Exemple 3.1 : Soit E un ensemble de N objets et A E. Tirons au hasard un élément a dans E. A priori la probabilité que a appartienne à A est P(A) = CardA. Supposons que l on apprenne que a B où B CardE est un certain sous-ensemble de E. Il est alors évident que pour tenir compte de l information, la probabilité que a appartienne à A doit être remplacée par P B (A) = Card(A B) Card(B) = On va généraliser cette situation. Card(A B)/Card(E) Card(B)/Card(E) = P(A B). P(B) 3.2 Généralités sur la probabilité conditionnelle Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et soit B F un événement tel que P(B) > 0. Définition 3.2 : Pour tout A F le nombre P B (A) (ou P(A B)) donné par (1) P B (A) = P(A B) P(B) est appelé probabilité conditionnelle de A sachant B. Proposition 3.3 : P B est une probabilité sur F (i.e. P B possède les propriétés 3), i) et ii) données dans la définition 2.4). démonstration : i) P B (Ω) = P(Ω B) P(B) = P(B) P(B) = 1. n=0 P(An B) ii) P B ( n=0a n ) = P( n=0 An B) = = P(B) P(B) n=0 P B(A n ) pour toute suite d événements deux à deux incompatibles. L un des résultats élémentaires les plus utiles est le suivant : Proposition 3.4 (Formule de l intersection) : Soient A 1, A 2,..., A k des événements tels que P(A 1 A 2... A k 1 ) > 0. Alors (2) P(A 1 A 2... A k ) = démonstration : On a P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A k A 1... A k 1 ). P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A k A 1... A k 1 ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 4 A 1 A 2 A 3 )... P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 A 3 ) P(A k A 1... A k 1 ). P(A 1... A k 1 ) Comme le numérateur d un terme se simplifie avec le dénominateur du terme suivant, il ne reste finalement que P(A 1 A 2... A k ). 4

5 Exercice 3.5 : Une personne dispose de N clés (d aspect identique) et veut ouvrir sa porte dans l obscurité. Elle essaye les clés les unes après les autres, en les mettant de côté après essai. Quelle est la probabilité que la porte s ouvre à la k-ième tentative (1 k N)? solution : Considérons les événements A i ="le i-ème essai est un échec" (i = 1, 2,..., k 1) et A k ="le k-ième essai est le bon". Comme A k A i (si i < k), par la formule de l intersection, on a P(A k ) = P(A 1 A 2... A k 1 A k ) = N 1 N 2 N N 1... N k N k + 2 N k + 1 = 1 N. Remarque 3.6 : Comme on le constate dans l exercice précédent, la formule de l intersection permet de calculer des probabilités sans avoir à faire référence explicitement à l espace (Ω, F, P) qui modélise l expérience aléatoire et qui peut dans certains cas être assez compliqué. C est l un des principaux avantages de cette formule. Définition 3.7 : Soit (A i ) une suite (finie ou infinie dénombrable) d événements de F. On dit que les A i forment un système complet si en tant qu ensembles ils forment une partition de Ω et s ils sont tous de probabilité non nulle. Autrement dit 1) Les A i sont deux à deux incompatibles. 2) i A i = Ω. 3) i, P(A i ) > 0. Théorème 3.8 (formule de la probabilité totale) : Soit (A i ) un système complet d événements et soit A F. Alors (3) P(A) = i P(A A i )P(A i ). (somme finie si le système (A i ) est fini et série convergente si le système est dénombrable). démonstration : En notant que les événements A A i sont deux à deux incompatibles, on a P(A) = P(A Ω) = P(A ( i A i )) = P( i (A A i )) = P(A A i ) = P(A A i )P(A i ). i i Corollaire 3.9 (formule de Bayes) : Soit (A i ) est un système complet et A un événement de probabilité non nulle. Supposons connus les nombres P(A A i ) et les nombres P(A i ). Alors pour tout i (4) P(A i A) = P(A A i)p(a i ) j P(A A j)p(a j ) (où la somme du dénominateur est étendue à tous les indices j et est une somme finie ou une série convergente suivant que le système (A i ) est fini ou dénombrable). 5

6 démonstration : P(A i A) = P(A i A) = P(A A i)p(a i ) P(A) j P(A A j)p(a j où on a utilisé la ) formule de la probabilité totale pour exprimer le dénominateur. Remarque 3.10 : On a aucun intérêt à apprendre par coeur la formule (4). Il vaut mieux savoir la redémontrer quand on en a besoin. Remarque 3.11 (Note heuristique) : La formule de Bayes s appelle aussi «formule de la probabilité des causes» pour la raison suivante. Appelons «causes» les événements A i. Sachant que A est réalisé, P (A i A) est la probabilité que ce soit la cause A i qui en soit responsable. Exemple 3.12 : Quatre usines fabriquent des lampes. L usine n i (1 i 4) produit 100p i % de la production totale des 4 usines et il y a 100d i % de déchet dans sa production. Etant donné une lampe défectueuse tirée au hasard, la probabilité qu elle provienne de l usine n i est (d après la formule de Bayes) égale à d i p i d 1 p 1 + d 2 p 2 + d 3 p 3 + d 4 p 4. Remarquer qu on peut résoudre facilement cet exercice par des calculs de pourcentage et qu on n a pas réellement besoin de la formule de Bayes. Cependant la notion de probabilité conditionnelle, par sa généralité, permet de résoudre de la même façon tout un éventail de questions formellement identiques à l exemple précédent. 4 Événements indépendants 4.1 Introduction et définitions Soient A et B deux événements (de probabilité non nulle). Si P(A B) = P(A) cela signifie concrètement que la réalisation de l événement B ne modifie pas les chances de réalisation de A c est à dire que B n influe pas sur A. Dans ce cas on a P(A B) = P(A)P(B) et on voit qu on a aussi P(B A) = P(B) donc A n influe pas sur B et la non infuence est donc réciproque. Si maintenant l un des événements A ou B est de probabilité nulle, il est intuitivement clair qu il n influe pas sur l autre. Pour tenir compte de ce fait on préfère définir l indépendance entre deux événements de la manière suivante Définition 4.1 : Les événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A)P(B). Plus généralement on peut définir l indépendance d un nombre fini d événements ou de tribus sont dits indépen- Définition 4.2 : 1) Les événements A 1,..., A n dants (dans leur ensemble) si (5) P( n A i ) = n P(A i ). 6

7 2) Les tribus F 1,..., F n sont indépendantes si (6) i = 1,..., n, A i F i, A 1, A 2,..., A n sont indépendants. Remarque 4.3 : Attention la notion d indépendance est délicate ; elle est relative à la probabilité P considérée. Ainsi des événements peuvent être indépendants pour une probabilité P et ne plus l être pour une autre probabilité P. De plus n événements (n 3) peuvent être deux à deux indépendants sans être indépendants dans leur ensemble (voir les exercices). Heureusement dans la pratique on a rarement besoin de démontrer que des événements sont indépendants. Cela sera toujours évident dans la plupart des expériences aléatoires élémentaires. On doit donc examiner dans quelles situations courantes on peut postuler l indépendance. Ceci fera l objet du prochain paragraphe. 4.2 Expériences aléatoires indépendantes Considérations heuristiques On dit généralement que deux expériences aléatoires sont indépendantes quand il n y a aucun lien de causalité entre elles. Par exemple 1) On lance un dé (expérience E 1 ) puis on lance un pièce (expérience E 2 ). Il est clair que les expériences E 1 et E 2 sont indépendantes car il n y a aucune raison pour que le résultat de E 1 influe d une façon ou d une autre sur celui de E 2 et inversement. 2) On lance un dé (expérience E 1 ) puis on relance le dé une deuxième fois dans les mêmes conditions (expérience E 2 ). Ici aussi E 1 et E 2 sont indépendantes. Soient donc E 1 et E 2 des expériences aléatoires indépendantes, A 1 un événement relatif à E 1 et A 2 un événement relatif à E 2. On est en droit de postuler l indépendance des événements A 1 et A 2. Plus généralement, quand n événements A 1,..., A n sont relatifs respectivement à des expériences aléatoires indépendantes E 1,..., E n, on postulera l indépendance de ces événement et le fait qu on a P(A 1... A n ) = P(A 1 )... P(A n ). Mais un problème mathématique subsiste : de quel espace probabilisé (Ω, F, P) les A i sont-ils des événements et quelle est la probabilité P? Nous examinerons cette question dans le paragraphe suivant. Exemple 4.4 : On lance un dé deux fois de suite. Quelle est la probabilité d obtenir deux fois un nombre pair? Intuitivement, on peut procéder comme suit : Soit A i (i = 1, 2) l événement "obtenir pair au i-ème coup". Comme les événements sont implicitement indépendants, on a P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = = Produit fini d espaces probabilisés Soient (Ω i, F i, P i ) (1 i n) des espaces probabilisés. Considérons le produit cartésien Ω = Ω 1 Ω n. 7

8 Les sous-ensembles de Ω de la forme A 1 A n où pour tout i = 1,..., n, A i F i, s appellent pavés mesurables de Ω. La tribu F sur Ω engendrée 8 par les pavés mesurables s appelle la tribu produit des tribus F i et on la note F = F i F n Théorème 4.5 (probabilité produit) : Il existe une unique mesure de probabilité P sur la tribu produit F telle que pour tout pavé mesurable A = A 1 A n, (7) P(A) = n P(A i ). Cette probabilité s appelle la probabilité produit des probabilités P i et on la note P = P 1 P n. démonstration : C est un résultat connu de théorie de la mesure (voir un livre sur l intégration). Définition 4.6 : L espace (Ω, F, P) où Ω = Ω 1 Ω n, F = F 1 F n et P = P 1 P n, s appelle l espace probabilisé produit des espaces probabilisés (Ω i, F i, P i ) (1 i n). La notion d espace produit permet de modéliser correctement la notion d expériences aléatoires indépendantes considérée dans le paragraphe Considérons des expériences aléatoires E i (1 i n) indépendantes au sens de et supposons que E i est modélisée par un espace probabilisé (Ω i, F i, P i ) et soit E l expérience aléatoire E 1 puis E 2 puis etc.. E n consistant en la succession des diverses expériences indépendantes E i. Définition 4.7 : On modélise l expérience E par l espace probabilisé produit (Ω, F, P) des espaces probabilisés (Ω i, F i, P i ). Remarque 4.8 : Avec les notations précédentes, soit A i F i un événement relatif à la i-ème expérience. Il s identifie naturellement à l événement à i = Ω 1 Ω i 1 A i Ω i+1... Ω n de la tribu produit F. Ces événements sont indépendants dans l espace produit puisque P(Ã1 Ã2... Ãn) = P(A 1 A 2 A n ) n n = P i (A i ) = P(Ãi), ce qui répond à la question posée à la fin des considérations heuristiques du paragraphe i.e. la plus petite tribu de parties de Ω contenant les pavés qui existe puisque c est l intersection de toutes les tribus de Ω qui contiennent les pavés. 8

9 Exemple 4.9 (les tirages avec remise) : L expérience aléatoire tirer au hasard n fois avec remise un élément dans un ensemble fini E est modélisée par l espace produit (Ω, F, P) où Ω = E n = E E E (n fois), P = U n = U U (n fois) où U est la probabilité uniforme sur E et F = P(E n ) la tribu de toutes les parties de E n (c est, dans ce cas, la tribu produit P(E) n ). Exercice 4.10 : Une urne contient N boules dont N B blanches et N R rouges (N = N B + N R ). On fait n( 1) tirages avec remise dans l urne. Montrer que la probabilité d avoir tiré k boules rouges (0 k n) est égale à Cn( k N R N ) ( ) k 1 N R n k. N solution : Posons p = N R N (donc N B N = 1 p). A chaque tirage il y a deux éventualités : R (boule rouge) et B (boule blanche) avec P (R) = p et P (B) = 1 p ce qui définit une distribution de probabilité donc une probabilité P sur l ensemble a deux éléments Ω = {B, R}. Faire n tirages avec remise revient à considérer l espace produit Ω n = {(x 1, x 2,..., x n ); i, x i = B ou R} muni de la probabilité produit P = P n. L événement A k ="on tire k boules rouges" est composé des éventualités ω = (x 1, x 2,..., x n ) telles que parmi les x i il y a k fois la lettre R (et donc n k lettres B). Il y a donc Cn k éventualités (nombre de façons de disposer k boules rouges à n places numérotées). Chacune de ces éventualités a pour probabilité p k (1 p) n k (car les tirages sont indépendants). D où P(A k ) = Cnp k k (1 p) n k. On remarquera que les événements A k (0 k n) forment un système complet d événements. D ailleurs on peut vérifier directement que n n P(A k ) = Cnp k k (1 p) n k = (p + 1 p) n = 1. k=0 k=0 La suite finie des nombres p k = C k np k (1 p) n k (k = 0, 1,..., n) s appelle la distribution binomiale de paramètres (n, p). 4.4 Exemple de produit infini d espaces probabilisés Il n est pas possible de généraliser la notion d espace probabilisé produit du paragraphe 4.3 à une infinité dénombrable (Ω i, F i, P i ) (i N) d espaces probabilisés quelconques. On peut toujours généraliser la notion de tribu produit mais c est la mesure produit qui pose problème si on ne fait pas certaines hypothèses sur la structure des espaces Ω i et des tribus F i. Ceci nécessiterait de développer des notions qui dépassent le cadre de ce cours aussi nous allons seulement considérer un cas particulier très important dans la pratique où il n y a pas de difficulté : Soit E un ensemble fini, P(E) la tribu de toutes les parties de E et P une probabilité sur P(E), le triplet (E, P(E), P ) modélisant une expérience aléatoire E à un nombre fini d éventualités. Considérons le produit cartésien Ω = E E E = 9 + E

10 d une infinité dénombrable de copies de l ensemble E. Ω est l ensemble des suites infinies (x 1, x 2,..., x n,...) avec x i E pour tout i 1. On appelle ensembles cylindriques ou plus simplement cylindres les sous-ensembles de Ω de la forme C = + A i, tels que A i E et A i = E pour tout i assez grand, c est à dire tels qu il existe un entier K C (qui varie avec C) tel que (8) C = A 1 A KC E E = A 1 A KC + i=k C +1 Définition 4.11 : On appelle tribu produit la tribu sur Ω engendrée par les cylindres. On la notera F. Remarque 4.12 : On ne se préoccupera pas de savoir quelle est la structure exacte de cette tribu pour l instant. Il suffit de savoir qu elle existe. Théorème 4.13 : Il existe une unique probabilité P sur la tribu produit F telle que pour tout cylindre (de la forme (8)), on ait démonstration : Résultat admis. K C P(C) = P (A i ). Remarque 4.14 : Comme dans la remarque 4.8, on voit que des événements relatifs à des coordonnées différentes, sont des événements indépendants pour la probabilité P. Répétition d une infinité d expériences indépendantes Définition 4.15 : L expérience aléatoire consistant en une infinité de répétitions indépendantes de l expérience aléatoire E représentée par (E, P(E), P ), est modélisée par définition par l espace produit (Ω, F, P) défini ci-dessus. Exercice 4.16 (temps d attente du premier succès) : On considère une expérience aléatoire à deux issues : S(=succès) et E(=échec), avec P (S) = p (donc P (E) = 1 p). On répète de manière indépendante l expérience aléatoire jusqu au premier succès. 1) Sans préciser l espace probabilisé sous-jacent, calculer la probabilité d obtenir le premier succès à la k-ième tentative (événement noté A k ) (k 1)? 2) Préciser l espace probabilisé dans lequel on peut modéliser le jeu et montrer que l événement A k de la question 1) est un événement cylindrique. solution : 1) On peut écrire A k = E 1 E 2... E k 1 S k, E. 10

11 où E i ="échec à la i-ème tentative, (i = 1,..., k 1) et S k ="succès à la k-ième tentative". Comme les événements E i et S k sont indépendants puisque relatifs à des répétitions indépendantes d une expérience aléatoire (cf. la remarque 4.14), on a P(A k ) = (1 p) k 1 p. 2) Modélisons la n-ième répétition de l expérience par l espace Ω n = {E, S} muni de la probabilité P n telle que P n (E) = 1 p et P n (S) = p et considérons l espace produit infini Ω = + n=1 Ω n muni de la probabilité produit des P n qui modélise la répétition illimitée de l expérience. Alors A k est justement l événement cylindrique A k = {E} {E} {S} }{{} k 1fois + n=k+1 Exercice 4.17 (suite du précédent) : Quelle est la probabilité que le succès n arrive jamais? solution : l événement A="succès arrive"= + k=1 A k a pour probabilité P(A) = + k=1 P(A k) car le A k sont deux à deux incompatibles. Donc P(A) = p ( ) + k=1 (1 p)k 1 1 = p = 1. Donc la probabilité de ne 1 (1 p) jamais avoir de succès est P(Ā) = 1 P(A) = 0. Exercice 4.18 : On procède à une suite illimitée de tirages avec remise dans l ensemble des nombres {0, 1,..., 9} des nombres de 0 à 9. À un certain moment, on a tiré le nombre 4. Quelle est la probabilité que le prochain nombre tiré différent de 4 soit le nombre 7? solution : Examinons les différents cas possibles aboutissant à l événement désiré A : On peut avoir A 1 = (7) (i.e. 7 dès le tirage suivant) ou A 2 = (47) (i.e. 7 au 2-ième tirage, le premier étant encore le 4) ou ou A n = ( ) (i.e. 7 au n-ième tirage, les n 1 premiers étant encore des 4) etc. On a A = + n=1a n et comme les A n sont deux à deux incompatibles et que P(A n ) = ( 1 P(A) = 10) n, + n=1 ( ) n 1 = Ω n. 11