DIFFUSION MULTIPLE D ONDES ACOUSTIQUES DANS LES MILIEUX POREUX ABSORBANTS. fréquentielle non triviale existe et doit nécessairement

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1 DIFFUSION MULTIPLE D ONDES ACOUSTIQUES DANS LES MILIEUX POREUX ABSORBANTS V. Tournat, V. Pagneux, D. Lafarge et L. Jaouen Laboratoire d Acoustique de l Université du Maine UMR-CNRS 663, Université du Maine, Av. Olivier Messiaen, Le Mans cedex 9, France vincent.tournat@univ-lemans.fr Résumé Une étude théorique et expérimentale de la diffusion multiple d ondes acoustiques par des matériaux poreux saturés d air est présentée. Les expériences présentées sont menées avec plusieurs types d échantillons : forêt de cylindres métalliques parallèles saturés d air, mousses polyuréthanes et mousses polyuréthanes avec des inclusions cylindriques métalliques et parallèles. Ces derniers milieux présentent d une part une forte dissipation associée aux effets visqueux et thermiques qui ont lieu dans les couches limites des pores de la mousse, et d autre part, une diffusion multiple principalement associée aux cylindres rigides qui ont été ajoutés (et dont le rayon est plus grand que la taille caractéristique de la microstructure de la mousse). La propagation acoustique dans la mousse seule est traditionnellement bien décrite par l approximation de fluide équivalent, lorsque la longueur d onde reste très supérieure à la taille caractéristique de la microstructure. Dans cette approximation, le milieu est homogénéisé et peut être considéré comme un fluide dissipatif. La diffusion multiple par les cylindres rigides est traitée à l aide de l approximation de diffusion indépendante (Independent Scattering Approximation ou ISA) qui permet d obtenir un nombre d onde pour le milieu effectif considéré. Ce nombre d onde prend en compte la dissipation de l énergie acoustique dans la mousse et la diffusion multiple par les cylindres rigides. Afin de prendre en compte la diffusion qui apparaît aussi dans la mousse seule pour les plus hautes fréquences, la dissipation acoustique est introduite dans l ISA. La nouvelle approximation de diffusion multiple obtenue permet de décrire la propagation de l onde cohérente dans le milieu poreux sur toute la gamme de fréquences présentée. Introduction La diffusion multiple des ondes classiques a été très largement étudiée depuis une cinquantaine d années [], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Concernant les ondes élastiques, les milieux les moins dissipatifs sont souvent utilisés [8], [9], [0] : eau, métaux... Cependant, dans le cas d échantillons de type matériaux poreux absorbants (des mousses polyuréthanes ou métalliques par exemple, caractérisées par un squelette solide et un fluide saturant), une dissipation avec une dépendance fréquentielle non triviale existe et doit nécessairement être prise en compte pour décrire précisément la propagation des ondes acoustiques. Dans ces matériaux, lorsque la longueur d onde λ est très supérieure à la dimension caractéristique de la microstructure (échelle microscopique), la propagation acoustique est traditionnellement bien décrite par la théorie d homogénéisation des matériaux poreux [], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Si des diffuseurs additionnels, de taille mésoscopique, sont introduits dans le milieu poreux, la propagation acoustique peut être décrite grâce à une approche multi-échelles : la diffusion multiple par les diffuseurs mésoscopiques est décrite par une approximation de diffusion multiple, et prend place dans un milieu hôte (milieu poreux homogénéisé) dont le comportement est celui d un fluide dissipatif effectif (modèle de fluide équivalent ou EFM). Dans cet article, les propriétés effectives de milieux poreux sont étudiées lorsque les effets de diffusion multiple et d absorption sont présents. Concernant la diffusion multiple, différentes approximations de milieu effectif existent. Nous avons fait le choix d utiliser l approximation de diffusion indépendante ou independent scattering approximation, notée ISA dans la suite [8]. Théoriquement, cette approximation est valable pour des faibles densités de diffuseurs, et ne nécessite de connaître que l amplitude de diffusion vers l avant d un diffuseur seul ainsi que la densité de diffuseurs. L absorption est prise en compte en introduisant des pertes lors de la diffusion, dans les couches limites visqueuses et thermiques des diffuseurs de la microstructure. Dans une première partie, les résultats classiques de l EFM sont brièvement rappelés. Dans une seconde partie, l approximation de diffusion indépendante (ISA) est présentée pour un milieu de type forêt de cylindres rigides parallèles dans l air. La dissipation est introduite grâce à une admittance équivalente de paroi qui prend en compte les pertes visco-thermiques dans les couches limites. Des résultats expérimentaux sont comparés aux résultats analytiques obtenus. Dans une troisième partie, la diffusion multiple dans des milieux poreux de type mousses polyuréthanes est étudiée. Des résultats expérimentaux sont présentés sur le coefficient de transmission et la vitesse de phase de

2 l onde cohérente. Enfin, dans une quatrième partie, des diffuseurs de taille mésoscopique, c est-à-dire de taille caractéristique supérieure à celle de la microstructure, sont insérés dans le milieu poreux. En utilisant une approche multi-échelles, il est possible de bien décrire la propagation de l onde cohérente dans ce type de milieu. Pour ce faire, le nombre d onde du milieu hôte est reporté dans l ISA associée aux diffuseurs additionnels. Diffusion multiple et dissipation L étude réalisée ici porte sur les propriétés de milieu effectif du milieu multidiffusant. C est donc la propagation de l onde cohérente qui est considérée. La configuration type qui est utilisée est la transmission d une onde ultrasonore impulsionnelle à travers une tranche de milieu multi-diffusant et absorbant (voir la figure ). À partir d un signal temporel de référence se propageant dans l air uniquement et d un signal temporel transmis à travers l échantillon, il est possible d obtenir grâce à l analyse de Fourier, la vitesse de phase de l onde cohérente en fonction de la fréquence et le coefficient de transmission de la tranche en fonction de la fréquence. Modèle de fluide équivalent Traditionnellement, la description de la propagation d ondes ultrasonores dans des mousses saturées d air est effectuée à l aide du modèle de fluide équivalent [7]. Ce modèle suppose que le matériau étudié est composé de deux phases : une phase solide qui forme la microstructure du milieu, et une phase fluide (air) qui sature cette microstructure solide. La phase solide est considérée comme parfaitement rigide et n est donc pas excitée par les ondes ultrasonores. Soit L une longueur caractéristique de la microstructure telle que le matériau apparaisse homogène à cette échelle. Lorsque la longueur d onde λ est très supérieure à L, il est possible de démontrer par des méthodes de moyennage spatial que le nombre d onde effectif k e s écrit : ρ e /ρ 0 k e = k 0 () K e /K a où ρ e est une densité effective complexe de l air déterminée par les interactions inertielles et visqueuses, K e est un module elastique effectif complexe de l air déterminé par les échanges thermiques, ρ 0 est la densité de l air au repos, K a est le module volumique adiabatique de l air et k 0 le nombre d onde de l onde acoustique dans l air. Ces fonctions ont dans le cas général les formes données dans les équations 7 et 8 [4], [6], [7] de l annexe. Emetteur Figure : Schéma de l expérience type en transmission à travers une tranche de milieu multi-diffusant. Récepteur Du point de vue théorique, le choix a été fait d utiliser dans ce qui suit l ISA comme approximation de diffusion multiple menant à un résultat analytique pour le nombre d onde du milieu effectif. Approximation de diffusion indépendante (ISA) La fonction de Green G d un milieu multidiffusant, lorsqu elle est moyennée spatialement, permet de décrire la propagation de l onde cohérente dans son milieu effectif [5]. Cette fonction peut être écrite comme : G (ω, k) = k0 2(ω) k2 Σ(ω, k) (2) où le moyennage spatial est dénoté par..., k 0 est le nombre d onde du milieu hôte, ω la pulsation, k le vecteur d onde, et Σ(ω, k) l énergie propre. L énergie propre Σ(ω, k) qui apparaît en raison des déviations locales du nombre d onde du milieu par rapport à la valeur k 0, contient des informations sur la diffusion multiple. Lorsque l énergie propre ne dépend pas de k, il devient possible de définir un milieu effectif, perçu comme un milieu homogène pour l onde cohérente. L équation (2), permet de définir un nombre d onde effectif k e pour l onde cohérente, de la forme : k 2 e = k 2 0 Σ(ω). (3) Le problème consiste alors à déterminer l énergie propre complexe Σ(ω). Dans l approximation de diffusion indépendante (ISA), l énergie propre s exprime comme [8] : Σ(ω) = n k 0 t k 0 (4)

3 où n est la densité de diffuseurs identiques dans le milieu, et k 0 t k 0 le terme de diffusion vers l avant de la matrice de diffusion d un diffuseur seul. En exprimant ce dernier terme à l aide des coefficients de diffusion D m, l énergie propre peut être réécrite dans le cas du problème 2-D de diffuseurs cylindriques parallèles sous la forme (convention e iωt ) : Σ(ω) = 4ni (2 δ m0 )D m. (5) m=0 Avec une condition limite de Neumann à la surface des diffuseurs, les coefficients de diffusion sont donnés par [5] : D m = J m(k 0 R) H m(k (6) 0 R) où R est le rayon des cylindres, J m et H m les dérivées premières des fonctions de Bessel cylindriques et fonctions de Hankel cylindriques. En utilisant les relations (6), (5), et (3), le nombre d onde effectif k e peut être évalué explicitement. La vitesse de phase v de l onde cohérente est égale à, v = ω Re(k e ), (7) et le coefficient de transmission A par une tranche d épaisseur L de milieu multidiffusant, est donné par, A = e Im(ke)L, (8) en négligeant les réflexions au niveau des parois de la tranche. Approximation de diffusion indépendante avec pertes dans les couches limites (ISAβ) Dans les échantillons composés de cylindres rigides parallèles dans l air, une admittance équivalente de surface peut être utilisée afin de prendre en compte les effets visqueux et thermiques qui prennent placent dans les couches limites des diffuseurs. Pour une onde plane incidente sur une surface plane, l admittance équivalente de surface β a la forme suivante [9] : β = i 2 k 0[(γ )δ h + ( k2 0 )δ v ] (9) où γ est le rapport des chaleurs spécifiques de l air, δ h l épaisseur de couche limite thermique, δ v l épaisseur de couche limite visqueuse, et k 0 la composante normale à la surface du vecteur d onde de l air. En considérant maintenant une onde plane incidente sur un cylindre rigide au repos, la pression acoustique peut être décomposée comme : p(r, θ) = p m = i m (2 δ m0 )[J m (k 0 r) (0) m=0 m=0 k 2 0 +D m H m (k 0 r)] cos(mθ) où les D m sont les coefficients de diffusion qui interviennent dans la définition de l énergie propre, Éq. (5). Une expression pour l admittance β m, vue par la composante m du champ de pression, peut être obtenue en identifiant, dans l Éq. (9), le nombre d onde normal k 0 avec le nombre d onde radial k r. Comme kr 2 = k0 2 m2 /r 2, l admittance suivante est obtenue : β m = i 2 k 0 [(γ )δ h + m2 k 2 0 R2 δ v ]. () La condition nécessaire à remplir pour utiliser ce concept d admittance équivalente de surface est que la surface doit apparaître comme localement plane, c està-dire δ h et δ v R. En appliquant la condition mixte suivante en r = R, iβ m k 0 p = p r, (2) et en utilisant l Éq. (0), les coefficients de diffusion sont déterminés : D m = J m(k 0 R) + iβ m J m (k 0 R) H m(k 0 R) + iβ m H m (k 0 R). (3) L utilisation de ces nouveaux coefficients de diffusion dans la formule précédente de l ISA, Éq. (5), est une correction qui prend en compte les effets visqueux et thermiques à la surface des diffuseurs. Dans la suite, la notation ISAβ sera utilisée pour cette ISA modifiée. Comportements asymptotiques Dans cette section, le but est de comparer les résultats obtenus par l approche de diffusion multiple ISAβ avec la limite haute fréquence du modèle d homogénéisation EFM pour un milieu de type forêt de cylindres parallèles et rigides. En supposant qu un régime où les inégalités δ v, δ h R sont vérifiées, les résultats de l EFM peuvent être décomposés en séries de puissances des épaisseurs δ v et δ h. Le développement asymptotique pour ke 2 s écrit au premier ordre en δ v, δ h : ( )] ke 2 = k0 2 δv α [ + ( + i) Λ + (γ )δ h Λ (4) où α, Λ, et Λ sont définis dans l annexe. Pour une propagation normale aux cylindres d une forêt, les résultats suivants sont obtenus au premier ordre en fraction volumique f = nπr 2 : α = + f, Λ = 2f R, Λ = f R. (5) Lorsque l ISAβ est simplifiée dans la limite k 0 R 0, elle doit rejoindre la limite HF de l EFM. Dans la limite k 0 R 0, une diffusion de Rayleigh a lieu (rayonnement monopolaire et dipolaire). Le développement

4 de l énergie propre (5) doit alors être limité à m = 0,, et les fonctions de Bessel et de Hankel de l Éq. (3) doivent être développées. Au premier ordre en k 0 R le résultat est, k 2 e = k 2 0 [ + nπr 2 [ + ( + i) ( 2δv Λ + (γ )δ h Λ (6) ce qui correspond au même résultat donné par l EFM dans les équations (4-5). Diffusion multiple dans les milieux poreux absorbants Cas de la forêt de cylindres L échantillon étudié consiste en un arrangement aléatoire de cylindres rigides identiques et parallèles dans l air. Le rayon des cylindres est de 0, 4 mm et la fraction volumique, définie comme le rapport du volume occupé par les diffuseurs sur le volume total est f 0,. Pour l excitation et la réception des ultrasons, les mêmes transducteurs de large bande sont utilisés (20 khz 200 khz). Le rapport signal à bruit est amélioré grâce à un moyennage sur plusieurs signaux détectés, à l aide d un oscilloscope numérique. Une estimation de la distance entre les cylindres donne environ 2 mm, ce qui n est pas petit devant les longueurs d onde (7, 7 mm). Par conséquent, l EFM ne sera a priori pas capable de décrire la propagation acoustique effective dans ce cas. Un quantité intéressante à tracer est le coefficient de transmission de l onde cohérente à travers l échantillon (voir l Éq. (8)). L amplitude de l onde acoustique cohérente, qui se propage comme dans un milieu homogène effectif, est obtenue expérimentalement par un moyennage spatial sur 40 positions différentes de l échantillon [8]. Il faut aussi constater que le diamètre du transducteur récepteur (4 cm) n est pas nécessairement petit devant la longueur d onde (7, 7 mm), ce qui correspond à un moyennage spatial additionnel. Cependant, il reste une part de champ incohérent dans les signaux moyennés spatialement, ce qui provoque des fluctuations dans les courbes expérimentales présentées sur les figures 2 et 3. Comme la discontinuité d impédance au niveau des surfaces de l échantillon est faible pour ces fractions volumiques, les ondes réfléchies en dehors et dans le milieu sont négligeables. Le coefficient de transmission est alors directement lié à l atténuation de l amplitude cohérente sur l épaisseur de l échantillon [7]. Sur la figure 2, le coefficient de transmission expérimental est tracé en fonction de la fréquence, de 20 khz à 200 khz, et est comparé à l ISA et à l ISAβ. Dans cette bande de fréquence, les rapports δ h,v /R varient de /25 à /80, ce qui assure la validité de la relation (). )]], Coefficient de transmission Vitesse de phase (m/s) Figure 2: Coefficient de transmission en fonction de la fréquence. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue et ISA en ligne discontinue Figure 3: Vitesse de phase en fonction de la fréquence. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue et ISA en ligne discontinue. Pour le coefficient de transmission ou la vitesse de phase de l onde cohérente, l ISA et l ISAβ décrivent bien le comportement expérimental. La correction prise en compte dans l ISAβ pour les effets visqueux et thermiques est trop faible comparée au bruit des résultats expérimentaux pour valider cette approche. Cependant, une légère amélioration de l accord théorie - expérience est observée pour les plus basses fréquences à la fois pour le coefficient de transmission et pour la vitesse de phase. Les valeurs plus faibles pour le coefficient de transmission ou pour la vitesse de phase obtenues par l ISAβ comparée à l ISA sont dues aux pertes visqueuses et thermiques. Comme il est attendu, cette différence entre ces deux modèles est plus importante à basses fréquences puisque les épaisseurs de couches limites sont plus grandes.

5 Cas du milieu poreux seul Lorsque la longueur d onde λ de l excitation acoustique reste très supérieure à la taille caractéristique de la microstructure du matériau poreux, le modèle de fluide équivalent est approprié pour décrire la propagation acoustique. Cependant, lorsque λ diminue, le modèle de fluide équivalent devient inapplicable et la diffusion par la microstructure du matériau poreux ellemême est susceptible d apparaître. Dans ce cas, l ISAβ est utilisée pour modéliser la diffusion et la dissipation dans le matériau poreux. L ISAβ, dans un milieu du type forêt de cylindres rigides parallèles, fait intervenir seulement deux paramètres : le rayon R des cylindres, et leur densité n. Pour un milieu qui a une microstructure plus complexe, comme les mousses polyuréthanes considérées dans cette section, les diffuseurs sont difficiles à identifier. Les paramètres R et n sont donc ajustables puisque méconnus. De plus, il s avère en raison du caractère tridimensionnel de la diffusion dans ce type de milieux contrairement aux cylindres parallèles, que l ajustement des paramètres R et n n est pas nécessairement le même pour ce qui est de la partie réelle du nombre d onde effectif (qui joue un rôle dans la vitesse de phase de l onde cohérente) ou de sa partie imaginaire (qui intervient dans le calcul du coefficient de transmission). Ainsi, il est nécessaire d ajuster le nombre d onde effectif complexe expérimental à l aide de l ISAβ comprenant deux jeux de deux paramètres chacun, R et n pour la partie imaginaire du nombre d onde effectif (coefficient de transmission) et R et n pour sa partie réelle (vitesse de phase). Coefficient de transmission acements Figure 4: Coefficient de transmission en fonction de la fréquence pour la mousse M3. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue et EFM en symboles carrés. Une expérience de transmission à travers une tranche de matériau poreux de type mousse polyuréthane saturée par de l air a été réalisée (mousse notée M3). Sur la Fig. 4, le coefficient de transmission de la tranche est tracé en fonction de la fréquence allant Vitesse de phase (m/s) Coefficient de transmission de 20 khz à 200 khz, ce qui correspond à la bande passante des transducteurs utilisés. Le modèle de fluide équivalent, avec les paramètres connus de la mousse M3 considérée, décrit bien le comportement expérimental en basses fréquences (BF), ce qui n est plus le cas en hautes fréquences (HF). L ISAβ avec les paramètres ajustés sur la courbe du coefficient de transmission (approximation des moindres carrés) R = 7, m et n = 4, m 2 décrit bien quant à elle le comportement expérimental sur toute la gamme de fréquences considérée. Il faut noter que le paramètre ajusté R est du même ordre de grandeur que la taille caractéristique des montants du squelette de la mousse Figure 5: Vitesse de phase en fonction de la fréquence pour la mousse M3. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue et EFM en symboles carrés. Pour ce qui est de la vitesse de phase en fonction de la fréquence (Fig. 5), les mêmes discussions sont valables. Les paramètres d ajustement pour la partie réelle de k e sont R = 6, m et n = 5, m 2, ce qui diffère légèrement de R et n VL2 M5 VL Figure 6: Coefficient de transmission en fonction de la fréquence pour trois mousses différentes. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue. La même expérience a été menée à travers d autres

6 acements mousses de microstructures différentes, par ordre de taille caractéristique décroissante : mousses VL, VL2, (M3), et M5. Sur les figures 6 et 7 sont tracés respectivement les coefficients de transmission et les vitesses de phase des trois mousses VL, VL2 et M5 en fonction de la fréquence, ainsi que les mêmes quantités obtenues avec l ISAβ. Pour chaque mousse, il est possible de trouver un couple de valeurs R et n qui permet de décrire précisément le comportement expérimental observé. Les valeurs des paramètres d ajustement sont collectés dans le tableau pour les quatre mousses considérées. Vitesse de phase (m/s) VL M5 VL2 Figure 7: Vitesse de phase en fonction de la fréquence pour trois mousses différentes. Expérience en cercles, ISAβ en ligne continue. Il est intéressant de noter que les densités de diffuseurs obtenues pour la partie réelle de k e sont inférieures à celles obtenues pour la partie imaginaire. Cet écart provient du fait que la diffusion est tridimensionnelle et non pas bi-dimensionnelle comme il est considéré dans l utilisation de l ISAβ présentée ici. Table : Paramètres d ajustement de l ISAβ Ref. mousse Transmission Vitesse de phase VL n = 9, m 2 n =, m 2 R =, m R = 9, m VL2 n = 2, m 2 n = 3, m 2 R = 8, m R = 6, m M3 n = 4, m 2 n = 5, m 2 R = 7, m R = 6, m M5 n = 8, m 2 n =, m 2 R = 4, m R = 2, m Coefficient de transmission Cas du milieu poreux avec diffuseurs additionnels Afin d augmenter l effet de la diffusion dans les milieux poreux absorbants comme les mousses polyuréthanes présentées précédemment, il est possible, sans altérer leur microstructure, d y insérer des diffuseurs additionnels. Dans cette section, des cylindres métalliques de rayon R a = 0, 8 mm ont été insérés parallèlement et aléatoirement. La modélisation de ce milieu est réalisée en décrivant dans un premier temps la propagation dans le milieu poreux seul, comme dans la section précédente, soit à l aide de l EFM, soit à l aide de l ISAβ EFM EFM+ISA ISAβ ISAβ + ISA Poreux seul Poreux+diffuseurs Figure 8: Coefficient de transmission en fonction de la fréquence pour la mousse M3 seule et avec diffuseurs additionnels. Dans un second temps, l effet de la diffusion par les diffuseurs additionnels est pris en compte en reportant le nombre d onde effectif k e du milieu poreux seul obtenu avec l ISAβ ou avec l EFM dans l ISA mise en oeuvre pour ces diffuseurs additionnels (R a = 0, 8 mm et n a = m 2 ). Sur les figures 8 et 9, les coefficients de transmission et les vitesses de phase expérimentaux et théoriques sont comparés. L effet de la diffusion par ces diffuseurs additionnels se traduit par une chute allant jusqu à un facteur 3 dans le coefficient de transmission. L effet sur la vitesse de phase est surtout important pour les plus basses fréquences présentées. Sans ajustement de l ISA, l utilisation de l EFM pour décrire la propagation dans la mousse elle-même puis de l ISA pour prendre en compte l influence des diffuseurs additionnels permet de bien décrire les comportements expérimentaux pour les plus basses fréquences. A plus hautes fréquences, la diffusion par la microstructure de la mousse ellemême apparaît, et l utilisation de l ISAβ puis de l ISA améliore légèrement l accord théorie - expérience. Conclusions Une modélisation et des expériences de diffusion multiple d ondes acoustiques dans des milieux poreux absorbants de différentes structures ont été réalisées. Plusieurs problèmes ont été considérés. Dans le premier problème, la microstructure du milieu est constituée de diffuseurs rigides cylindriques disposés parallèlement

7 330 Vitesse de phase (m/s) acements EFM EFM+ISA ISAβ ISAβ + ISA Poreux seul Poreux+diffuseurs 35 Figure 9: Vitesse de phase en fonction de la fréquence pour la mousse M3 seule et avec diffuseurs additionnels. dans l air. L approximation de diffusion indépendante (ISA) est testée pour modéliser les propriétés de milieu effectif de cette forêt de cylindres. La dissipation visqueuse et thermique a été introduite dans le formalisme de diffusion multiple grâce à un concept d admittance équivalente de paroi qui prend en compte les pertes dans les couches limites des diffuseurs. L ISA est modifiée et donne l ISAβ. Dans le deuxième problème, celui de la diffusion par une microstructure complexe, comme celle d une mousse polyuréthane, l ISAβ est appliquée et est comparée à l approche, traditionnelle pour ce type de milieu, de milieu fluide équivalent (EFM). Pour les plus hautes fréquences, l ISAβ qui prend en compte la diffusion, donne de meilleurs résultats que l EFM. Dans le troisième problème, des diffuseurs mésoscopiques ont été insérés dans la microstructure d un milieu poreux. Une approche multi-échelles est mise en oeuvre pour décrire la propagation de l onde cohérente dans ce milieu. La propagation dans la microstructure du milieu poreux est décrite soit par l EFM soit par l ISAβ comme dans la partie précédente, et l influence de la diffusion par les diffuseurs additionnels est prise en compte en reportant le nombre d onde effectif obtenu pour la microstructure dans l ISA appliquée à ces diffuseurs additionnels. L accord théorie - expérience obtenu est satisfaisant. La qualité des ajustements théoriques (ISAβ) avec les courbes expérimentales permet d envisager une méthode de caractérisation simple des matériaux poreux, ne nécessitant qu une minimisation à deux paramètres (R et n ou R et n ). Dans ce cas, la diffusion multiple fournit des informations sur le milieu de propagation, et n est plus forcément un facteur limitant de l expérience de caractérisation.

8 Annexe : Modèle de fluide équivalent ρ e (ω) = ρ 0 α [ ( + ix [ K e (ω) = K a γ (γ ) M2 ix )] ix ( )] + M2 ix (7) (8) en utilisant les notations suivantes : M = 8k 0α φλ 2 M = 8k 0 α φλ 2 x = ωα ρ 0 σφ x = ωρ 0k 0 P r ηφ ρ 0 est la densité au repos du fluide saturant, α est la tortuosité, k 0 est la perméabilité visqueuse (à ne pas confondre avec le nombre d onde dans l air), φ est la porosité (rapport du volume de fluide sur le volume total), Λ est la longueur caractéristique visqueuse, k 0 est la perméabilité thermique, Λ est la longueur caractéristique thermique, P r est le nombre de Prandtl, et η est la viscosité dynamique du fluide saturant. References [] L. L. Foldy, Phys. Rev. 67, 07-9 (945). [2] M. Lax, Rev. Mod. Phys. 23, (95). [3] P. C. Waterman, R. Truell, J. Math. Phys. 2 4, (960). [4] A. Ishimaru, Wave propagation and scattering in random media, (Oxford University Press, Oxford), 997. [5] P. Sheng, Introduction to wave scattering, localization and mesoscopic phenomena, (Academic Press, New York), 995. [6] L. Tsang, J.A. Kong, and K.H. Ding, Scattering of Electromagnetic Waves, Vol. : Theory and Applications, (Wiley Interscience), [7] U. Frisch, Wave propagation in random media, (Academic Press, New York), 968. [8] A. Derode, A. Tourin, and M. Fink, Phys. Rev. E 64, (200). [9] J. H. Page, Ping Sheng, H. P. Schriemer, I. Jones, Xiaodun Jing, and D. A. Weitz, Science 27, (996). [0] R. Weaver, J. Acoust. Soc. Am. 00(4), 2684 (996). [] M. A. Biot, J. Acoust. Soc. Am. 28, 68-9 (956). [2] M. A. Biot, J. Appl. Phys. 33, (962). [3] D. L. Johnson, J. Koplik and R. Dashen, J. of Fluid Mech. 76, (987). [4] Y. Champoux and J.-F. Allard, J. Appl. Phys. 70, (99). [5] S. R. Pride, F. D. Morgan, and A. F. Gangi, Phys. Rev. B 47, (993). [6] D. Lafarge, P. Lemarinier, J.-F. Allard and V. Tarnow, J. Acoust. Soc. Am. 02 4, (997). [7] J.F. Allard, Propagation of sound in porous media : modeling sound absorbing materials, (Chapman and Hall, London), 993. [8] A. Lagendijk and B. A. Van Tiggelen, Phys. Rep. 270, 43 (996). [9] M. Bruneau, Manuel d acoustique fondamentale, (Hermès, Paris), 998. [20] F. Luppé, J.-M. Conoir, and H. Franklin, J. Acoust. Soc. Am. 6, (2002). [2] J. G. Berryman, J. Acoust. Soc. Am. 9 2, (992).