DÉPARTEMENT DU PREMIER CYCLE

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1 DÉPARTEMENT DU PREMIER CYCLE DEVOIR DE SYNTHÈSE DE PHYSIQUE 14 Juin 006 Durée : 3 heures (09h -1h) Tout document est interdit. Toute calculatrice d un modèle autre que celui autorisé, est interdite. Les élèves sont priés : d'indiquer leur nom et groupe, le nombre d intercalaires, soigneusement numérotées, d écrire très lisiblement, de soigner la rédaction, l orthographe et la présentation matérielle ; d'indiquer ou d'énoncer les lois ou principes utilisés, de justifier les résultats par des explications (claires, précises, concises) indispensables à une bonne compréhension de la solution proposée ; de mettre en évidence les résultats littéraux ou numériques (les principaux étant encadrés en couleur autre que rouge). BAREME APPROXIMATIF sur 40: I :10 pts ; II :14 pts ; III : 15 pts ; tenue copies :1 pt Problème I : Balance électrostatique Les deux armatures d'un condensateur sont deux disques métalliques (A) et (B) de surface S et de masse M a, d'axe commun z'oz dont un vecteur unitaire ascendant est u z. La distance entre (A) et (B) est z. Les potentiels de (A) et (B) sont V A et V B. (A) est placé sur un support isolant et fixe. (B) est suspendu par deux ressorts parfaitement isolants et peut se déplacer suivant l'axe z (figure 1). On suppose les armatures infinies dans des directions perpendiculaires à z. Le champ de pesanteur est z g =- gu. z M (B) (B) M-m u z e U O (A) (A) Figure I.1 L'espace entre les armatures est vide. Lorsque les potentiels V A et V B sont nuls, le système est en équilibre lorsque (B) porte une masse M, la distance entre les armatures est alors z=e. Si on porte (A) au potentiel U positif en maintenant V B =0, soit U=V A -V B, il faut remplacer la masse M par M-m pour obtenir la même distance z=e entre les armatures. On obtient l'état d'équilibre (I). 1

2 1) Questions préliminaires : a) Faire le bilan des forces qui s appliquent uniquement sur le plateau (B) lorsque U = 0, b) Lorsque U est positif, donner l origine et le sens de la force électrostatique qui s'ajoute sur (B) ) En analysant l'équilibre mécanique (I), montrer alors que la force électrostatique subie par (B) a pour expression: F =- mgu z On pourra noter F ressort la force exercée par les ressorts sans qu'il soit nécessaire de connaître son expression exacte. 3) Dans la suite les données sont à prendre parmi U, S, e, ε 0 et u z. a)en utilisant l'expression de la capacité d'un condensateur plan, calculer la densité surfacique de charge σ B portée par l'armature (B). b)en déduire une nouvelle expression de la force électrostatique F subie par (B). 4) Exprimer U en fonction de S, e, m, g et ε 0 et calculer numériquement U pour m=8,1g, e=1 cm, S=900 cm, g=9,81ms - et ε 0 =1/36π10 9 USI. On suppose m=0,1g et e=0,01 cm. Calculer l'incertitude sur U, U. 5) (A) étant maintenu au potentiel V A =U et (B) à V B =0, on remplace la masse m par une masse m'. La distance entre les armatures devient alors z=e' telle que e'>e. On obtient l'état d'équilibre (II). Les données sont à prendre parmi U, S, e, e' et ε 0. a) Calculer l'énergie W G fournie par la source de tension lors de cette transformation. b) La transformation est supposée réversible. Exprimer le travail mécanique reçu par le système à l'aide d'un bilan énergétique. Problème II: Conduction et électrocinétique : Modélisation d une fibre nerveuse ( Les parties A et B sont indépendantes) Dans le système nerveux animal, les signaux transportant l information résultent d impulsions de nature électrique. Ces impulsions, sont transportées par des fibres nerveuses appelées axones. L axone est une membrane cylindrique de rayon r de l ordre de 10 6 m et d épaisseur de l ordre de 10 9 m. Sa longueur l peut dépasser le mètre. L axone contient un liquide ionique conducteur, et l axone est alors polarisée comme sur la figure II.1

3 Fig. II.1 Axone polarisée Fig. II. Modèle d un élément de longueur x d axone Quand une perturbation électrique V 0 est appliquée à l axone, il apparaît un courant d axone i a dans le liquide. Beaucoup de propriétés de la fibre nerveuse peuvent être interprétées en considérant l axone comme un mauvais conducteur de résistivité non nulle et présentant un courant de fuite i f à travers sa membrane. Un petit segment d axone (ab,cd), de longueur x, est ainsi schématisé électriquement par la figure II. : R 1 est la résistance du segment considéré (de résistivité constante ρ a ) de l axone (membrane + liquide) qui s oppose au courant longitudinal ; R est la résistance de fuite de la membrane du segment considéré de l axone ; - C est la capacité de cette même membrane. A. Etude des caractéristiques d un modèle de segment d axone de longueur x 1) Soit C m, la capacité par unité de surface de la membrane et G m la conductance de fuite par unité de surface de l axone, montrer que : Dx 1 R1 = r a p ; r R = ; C = C G m p r D x mp rd x (pour la détermination de C, on pourra identifier la paroi, en raison de sa très faible épaisseur, a un condensateur plan). ) Déterminer les valeurs numériques correspondantes R1, R et C pour un segment de longueur x = 1 cm de l axone. Les données numériques sont : ρ a =1 Ω m ; C m = 10 - F.m - ; G m =5 S.m - ; r = m. 3 ) On applique entre a et b (l entrée de l axone) une tension V 0. En négligeant le courant qui sort du segment d axone en d (voir figure II.) et en considérant le courant i c qui traverse le condensateur lors de l application de la tension V 0, déterminer l équation différentielle permettant de déterminer le potentiel V aux bornes de la capacité C. B. Modèle simplifie d axone 4) On considère le réseau infini de la figure II.3 et on désigne par R T la résistance totale de ce réseau (entre les points a et b). Figure II 3 Réseau résistif infini 3

4 En considérant que la résistance totale de la partie du circuit à droite des points d et e est aussi R T, démontrer que l expression de la résistance totale R T est : 1 1 R1 + ( R + 4 RR ) RT =. 5) Démontrer que, si la tension appliquée à l entrée du réseau est V ab = V 0, on peut écrire : V de =V 0 /(1+ β) et exprimer le coefficient β en fonction de R T, R 1 et R. 6) Exprimer la tension V n après n cellules élémentaires en fonction de V 0, β et n. 7) On suppose R 1 =R. Au bout de combien de cellules peut-on écrire : V n < 10 V 0? 8) Pour une cellule élémentaire de longueur x = 10 5 m, on prendra pour valeurs R 1 =3, Ω et R =1, Ω. Calculer la résistance totale R T et le coefficient β pour un axone «infiniment» long. Déterminer l atténuation V n /V 0 de la différence de potentiel sur une distance x = mm. Une telle fibre peut-elle permettre un transport d information sur l = 1 m? 9) En réalité, l axone permet le transport de l information sur une distance de plusieurs cm. La structure de l axone est donc plus complexe. Quel est le paramètre du modèle qu il faudrait modifier pour tenir compte du fonctionnement réel de l axone? Déterminer sa valeur pour que l atténuation V n /V 0 soit de 0,9 pour une distance de mm. (On cherchera à simplifier R T ) Problème III : Etude d un circuit récepteur en régime sinusoïdal Le circuit de la Figure III.1 représente un circuit récepteur qui est alimenté sous une tension sinusoïdale de valeur efficace E = 17 V en absorbant un courant I à la pulsation ω = 100π. r l i(t) 1.a) Déterminer les e(t) impédances complexes Z 1, Z et Z 3 de chaque branche de ce circuit. b) Déterminer l impédance complexe du récepteur sous la forme : Figure III. 1 Z = (A+ jb)/(c+ jd) c) En fonction des éléments du montage, détailler les expressions littérales de A, B, C et D sous la forme de polynômes en ω. ~ i 1 (t) i (t) R L u(t) C 4

5 . Les éléments du récepteur ont les valeurs suivantes : r = Ω, lω = 1 Ω, R = 5 Ω, Lω = 3 Ω, 1/Cω = Ω. Calculer l expression numérique de l impédance Z après avoir déterminé les termes A, B, C et D. Déterminer alors numériquement le module Z et l argument ϕ de l impédance. 3. Déterminer le module et l argument de i, puis l expression du courant i(t). 4.a) Déterminer l expression complexe de la tension u, en fonction de e et de i. b) Tracer minutieusement le diagramme de Fresnel associé aux grandeurs e, u, i, i 1 et i. Prendre les échelles suivantes: 1cm pour 10 V, et 1cm pour 4 A. Remarques : On choisira E comme origine des phases. On placera I avec les valeurs calculées précédemment. On construira ensuite U, I 1 et I. c) En déduire le signe des déphasages ϕ 1 et ϕ entre e(t) et les courants i 1 (t) et i (t) respectivement, et ϕ u entre e(t) et la tension u(t). d) En déduire les valeurs efficaces de i 1 (t), i (t) et u(t). 5. Calculer par deux méthodes, la puissance active consommée par le circuit récepteur. Pour l une des méthodes, vous ferez un tableau qui indiquera la puissance active de chaque élément du circuit. Vous donnerez leurs expressions littérales, puis leurs résultats numériques correspondants. 6. En utilisant le diagramme de Fresnel, déterminer la valeur de la capacité C c de compensation à placer en parallèle avec l impédance Z pour obtenir un comportement résistif vis à vis du réseau d alimentation. 5

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