Pour comprendre la méthode des éléments finis

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Pierre-Yves Desmarais
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1 1 Pour comprendre la méthode des éléments finis Thibaud Kloczko OPALE Project-Team INRIA Sophia-Antipolis Méditerranée Tribune DREAM November 23 th, 2010 Sophia-Antopolis, FRANCE 1

2 Objectifs de la présentation 2 Pourquoi avoir recours aux méthodes numériques? Qu'apporte la méthode EF par rapport à d'autres? Comment l'implémenter intelligemment? 2

3 Les équations de l'ingénieur 3 1. Équation de la chaleur Fourier 1807 T x,t T = S t 2. Équations de la mécanique des fluides Navier-Stokes Équations de l'électromagnétisme Maxwell

4 Origines des difficultés 4 1. Inconnues = fonctions (scalaire ou vectorielle) de plusieurs variables (temps, espace,...) 2. Fonctions = solutions d'équations aux dérivées partielles t,, 3. Équations non-linéaires Si = x alors équation linéaire Si = x,t alors équation non-linéaire 4

5 Difficulté d'une résolution analytique 5 Conditions du succès Géométrie simple voire simpliste Équations linéaires Et malgré cela... Les solutions obtenues sont extrêmement lourdes 5

6 Conduction thermique dans une cavité rectangulaire 6 y 2 T x, H y 2 = h T x, H T 0 H T 0, y =T 0 T L, y =T 2 T T 0 x 2 2 y = S 2 0 T x,0 =T 0 L x 6

7 Résolution par séparation des variables 7 Solution analytique non triviale T x, y =T 0 sin k L x k =1 A k k sinh y k L k / L cosh k 2 L y 1 A k = k L k sinh k L H h L k cosh k L H 1 k L cosh k L H hsinh k k = 2 S 0 L H k [ 1 k 1 ] 7

8 Effet des fuites par convection 8 h = 0 h = h = 0.00 h = 0 8

9 Solution alternatives 9 Cas académiques très utiles pour comprendre: les phénomènes de base les effets des différents termes des équations Problèmes pratiques inaccessible à la résolution analytique Recours à l'expérimentation réelle à l'aide de maquette à échelle 1 ou réduite virtuelle à l'aide de la simulation numérique 9

10 Expériences: du réel au virtuel 10 Diminution des expériences à échelle 1 réduction des coûts de fabrication réduction des émissions polluantes (ex: fours industriels) réservées à la certification et à la mise en production Recours à des maquettes numériques coût intrinsèque plus faible émissions quasi nulles maîtrise d'outils numériques sophistiqués 10

11 Simulation numérique 11 Principes calcul des solutions pour un nombre fini de points de l'espace et pour un fini d'instants Espace fonctionnel de dimension infinie T x, t Méthodes numériques différences finies (DF) volumes finis (VF) éléments finis (EF) Méthodes spectrales discrétisation Espace vectoriel de dimension finie T h x,t 11

12 Approche intuitive : les différences finies 12 Problème modèle 2 T x x 2 = S x T 0 =T 1 =0 Objectifs Trouver une approximation de T x pour x [0 ;1] Principe des différences finies Remplacer les dérivées partielles aux points du maillage par des combinaisons de développements de Taylor 12

13 Problème discrétisé 13 Maillage (N+1) intervalles de longueur h=1/n. 0 1 x 0 x 1 x i 1 x i x i 1 x N 1 x N T x i 1 =T x i h =T x i h T x i... hn T x i x n! n x n O h n 1 T x i 1 =T x i h =T x i h T x i... 1 n h n T x i x n! n x n Approximation de la dérivée seconde 2 T x i x 2 = T I 1 2T i T i 1 h 2 O h 2 O h n 1 13

14 Système linéaire tridiagonal 14 i [1; N 1] T I 1 2T i T i 1 =S x h 2 i [ ][ T T T T N T N 1]=h Avantages 2[ S ] S x N 1 x1 S x 2 S x 3 S x N 2 Mathématiquement très accessible Point d'entrée pour comprendre les notions de consistance, stabilité, convergence Limite Requiert des grilles cartésiennes peu adaptées aux cas réels 14

15 Résolution par éléments finis 15 Principe Trouver la solution dans un espace vectoriel qui minimise l'erreur de discrétisation. V h de dimension M 1 Approche clairement moins intuitive ;) Objectif des planches à venir Expliquer les points clés de la méthode Comparer avec les différences finies 15

16 Réduction de la dimension du problème 16 Principe Soit V h un espace vectoriel de dimension M 1 Soit cet espace 0, 1, 2,..., i,..., M la base des fonctions qui engendrent Si on cherche la solution dans alors on a: Conséquence M M 1 Il suffit de calculer les coefficients, aussi appelés degrés de liberté V h T h x = i=0 T i i x T i 16

17 Première comparaison DF vs EF 17 Différences Finies Réduction de la dimension du problème par discrétisation explicite du domaine de calcul via une grille de taille N 1 Éléments Finis Réduction de la dimension du problème par approximation de la solution dans un espace de dimension finie M 1 Pas de recours explicite à un maillage dans un premier temps 17

18 Origine de l'erreur 18 Conséquence de la réduction de la dimension du problème Erreur d'approximation e h = T x T h x 0 Cette erreur génère une erreur de résolution 2 T x S x =0 x 2 2 T h x S x = x 2 h 0 Rappel T h On souhaite trouver telle que l'erreur soit minimale On va utiliser le principe d'orthogonalité h 18

19 Principe d'orthogonalité 19 Illustration géométrique T e h = T h x T x T h V h L'approximation de qui minimise est celle pour laquelle est orthogonal à e h i h T h T V h i h e h =0 e h 19

20 Minimisation de l'erreur 20 Annulation de l'erreur h dans l'espace de recherche V h L'erreur est nulle dans l'espace si et seulement si chacune de ses composantes selon les directions de la base est nulle V h i i h, i =0 0 1 h x i x dx=0 On obtient ce que l'on appelle la formulation variationnelle du problème 1 i 2 T h x 1 0 x 2 i x dx = 0 S x i x dx 20

21 Formulation variationnelle 21 Hypothèse simplificatrice On suppose que les fonctions domaine [0 ;1] i s'annulent aux bords du Intégration par parties i 0 1 T h x x i x x dx T h 0 x i 0 T h 1 x i 1 = 0 1 S x i x dx or M T h x = j=0 T j j x d'où M i j=0 T j 0 1 j x x i x x dx = 0 1 S x i x dx 21

22 Système linéaire final 22 M i [0 ; M ] j=0 T ' j j x, i ' x = S x, i x [ ' ' ' ' ' ' 0 x, 0 x 1 x, 0 x M x, 0 ' ' 0 x, 1 x ' ' ' ' 1 x, 1 x M x, 1 ' ' ' ' ' ' 0 x, M x 1 x, M x M x, M x T 1 T 2 x ][ ]=[ S x, 0 x S x, 2 T M S x, M x ] A T = S 22

23 Deuxième comparaison DF vs EF 23 Différences Finies Système linéaire tri-diagonal de rang N Éléments Finis Système linéaire de rang M 1 La forme de la matrice dépend du choix des fonctions de base Toujours pas de recours explicite à un maillage 23

24 Méthode des éléments finis 24 Les questions qui demeurent Construction locale de ces fonctions via Éléments géométriques définissant un maillage Nœuds d'interpolation supports des degrés de liberté Fonctions de base définies associées aux nœuds des éléments Objectif i Comment construire les fonctions de base? Comment calculer les entrées de la matrice? Optimiser le nombre d'entrées nulles dans la matrice 24

25 Construction des fonctions de base 25 Maillage Localisation des degrés de liberté sur des nœuds d'interpolation propres à chaque élément M k =3 M k =6 A chaque degré de liberté, on attribue une fonction de base T h K x = j=0 M k 1 T j j x 25

26 Construction des fonctions de base 26 Construction des fonctions de base locales Approximation sur K de la restriction de la solution sur l'élément T K M k 1 h x = j=0 T K j K j x Pour qu'une approximation soit continue aux frontières des éléments, il faut qu'en chaque nœud de chaque élément T h x K i =T K h x K M k 1 i j=0 T K j K j x K i =T K i K j x K i = { 1 si i= j 0 sinon Définition des fonctions d'interpolation de Lagrange 26

27 Construction des fonctions de base 27 Construction des fonctions de base globale K Degré de liberté sur un seul élément i x ={ K k x si x K 0 ailleurs Degré de liberté partagé par deux éléments K 1 et K 2 i x ={ k K 1 x si x K 1 k K 2 x si x K 2 0 ailleurs Support des fonctions compact intersections souvent nulles nombreuses entrées nulles dans la matrice => matrice creuse 27

28 Calcul des entrées de la matrice 28 Formulation variationnelle élémentaire T h K x = j=0 M k 1 T j K j K x M k 1 i [0, M k 1] j=0 Système linéaire élémentaire A K T K = S K A K ij = K ' j x K ' i x K dx S i K = K S x i x dx K ' j x K ' i x K T K j dx = K S x i x dx 28

29 Premières conclusions 29 Avantages (acquis au prix d'un certain effort!!) Évaluation indépendante des contributions de chaque élément du maillage au système final Parallélisation facilité, méthodes multi-domaines Utilisation de maillages quelconques Avantage considérable par rapport à la méthode DF Gain de précision par augmentation du degré des fonctions d'interpolation Matrice du système creuse Inconvénients Évaluation des matrices élémentaires fastidieuse Fonctions d'interpolation a priori différentes sur chaque élément Calcul des intégrales sur chaque élément 29

30 Passage à l'élément de référence 30 Objectif Définir des opérations génériques sur un élément dont les propriétés sont indépendantes de l'élément réel Transformation pour chaque élément T K : K K =, x= x, y 0,1 K 0,0 1,0 T K x 2 K x x 1 0 Fonctions de base sur K K j x = K j T K = j Matrices jacobiennes de la transformation D T K, B K = D T K t Gradient des fonctions de base ' j Jacobien de la transformation J K 30

31 Passage à l'élément de référence 31 Introduction de la transformation dans les intégrales A ij K = K ' j B K t B K ' i J K d S i K = K S T K i J K d B K Seuls les matrices et le jacobien dépendent de l'élément mais ils sont constants tant que le maillage ou le degré d'interpolation ne varie pas En pratique ces intégrales sont évaluées en utilisant des quadratures de type Gauss Dans le cas du problème modèle considéré, ces évaluations peuvent être faites une seule fois au début du calcul. J K 31

32 Encore et encore Discrétisation temporelle Explicite simple et multi-niveau (Runge-Kutta) Implicite simple niveau (backward Euler) Implicite multi-niveaux Décentrement en élément finis Problème où les phénomènes convectifs sont dominants Méthode Petrov-Galerkin SUPG, SCPG Résolution de système linéaire Méthode pour matrices creuses 32

33 Merci de votre attention! 33

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