Le tenseur Energie-Impulsion

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1 Université de Caen LMNO Le tenseur Energie-Impulsion C. LONGUEMARE 28 octobre 2014 Résumé : Qu'est-ce que T µν dans l'équation d'einstein?

2 Equation d'einstein Référence [1] Conséquences ( R µν 1 2 g µνtr R ) g µν Λ = a T µν Tr R = a Tr T 4Λ R 00 = a (T 00 g 00 2 Tr T ) g 00 Λ En principe, le programme est simple mais... T µν R µν (courbure) g µν (eq di) géodésique T µν Equation aux dimensions (physiques) soit à vérier R ij L 2 a = 8πG c 4 G LM 2 W a LW 1 T 00 W L 3 R 00 a T 00 L 2 cqfd R 2 x 2 g. a = 8πG c 4 L W 1 = 2, m J 1 0-a

3 Conventions c = ħ = 1 sauf... g µν = g µν = (1, 1, 1, 1) ϵ 0123 = 1 et ϵ 123 = 1 avec µ = 0, 1, 2, 3 et i = 1, 2, 3 p 2 = m 2 c 4 0 c 2 τ 2 = x 2 0 x2 0 unités électromagnétiques ϵ 0 = µ 0 = 1 α = e2 4π ħc = 1 137, Statique V = ρ W EM = q V = qq 4π r Gravitation ϕ = ρ W Gr = m ϕ = G mm 4π r F EM = qq 4π r 2 u F Gr = G mm 4π r 2 u

4 Plan 1. La conservation de l'énergie 2. La conservation de l'énergie-impulsion classique 3. Le théorème de Noether Le tenseur énergie-impulsion en théorie des champs. 4. Les uides acoustiques 5. Les ondes électromagnétiques classiques 6. La gravitation relativiste d'einstein propriétés générales de T µν cas d'un gaz de poussières à la pression p cas d'un gaz relativiste 7. Diérentes hypothèses en cosmologie 1

5 Conservation de l'énergie invariance / temps 1. Un point matériel (m) dans un potentiel U(x) x R(3) 2. l'espace de phase est (x, ẋ) ou (x, p) Le formalisme lagrangien et hamiltonien L(x, ẋ) = m 2 ẋ2 U(x) p = L(x,ẋ) ẋ = mẋ H(x, p) = L ẋ ẋ L = p2 2m + U(x) Dynamique : principe de moindre action A = L(x, ẋ) dt Conséquence d dt H(x, p) = L t = 0 L(x, ẋ, t ) = L(x, ẋ, t) 2

6 L'énergie-impulsion invariance / espace-temps 1. deux points matériels (m) en interaction U(x 1 x 2 ) 2. l'espace de phase est (x i, ẋ i ) ou (x i, p i ) avec i = 1, 2 Le formalisme lagrangien et hamiltonien 3. Théorème de Noether : L(x, ẋ) = i m 2 ẋ2 i U(x 1 x 2 ) soit une "symétrie" continue, paramétre ϵ 0 telque x(t, ϵ) dl dϵ ( L ẋ = L x ) x ϵ x ϵ + L ẋ ϵ=0 = Cte ẋ ϵ = d dt ( L ẋ x ϵ ) ϵ=0 = 0 4. Exemple : La translation dans R 3, dans chaque direction spatiale x(t, ϵ) = x(t) + ϵ constantes du mouvement x ϵ = 1 H(x, p) = 1 2m p2 i + U(x 1 x 2 ) L ẋ = mẋ = Cte P (x, p) = pi 3

7 Conclusion : Systèmes conservatifs 1. Espace de phase pour n points (x(t), ẋ(t)) i 2. Equations de Lagrange-Euler : L(x, ẋ) d dt L(x, ẋ) ẋ = L(x, ẋ) 3. Invariance par translation dans les directions i = 0..3 P = Cte H = Cte x 4. Equations dynamiques de Hamilton : H(x, p) ṗ = H ẋ = H p x (ẋ ṗ ) = ( ) ( ) 0 1 x H 1 0 p. pour le temps il faut tenir compte le la variation des bornes 4

8 En théorie des champs Le système est déni par des fonctions u(x) et les variations associées à chacune des directions de l'espace temps. (u(x), u µ (x)) avec u µ = µ u(x) = u(x) x µ Equation de Lagrange (expression du principe de moindre action) A = L(u, u µ, x) d 4 x µ ( L u µ Exemple : une onde scalaire u(x) libre, sans source! L = 1 2 ( ) L µ u µ ( ui u i + β 2 u 0 u 0) = 1 2 ) = L u ( (ui ) 2 + β 2 (u 0 ) 2) = i (u i ) + β 2 0 u 0 = L u = 0 soit l'équation de D'Alembert : (avec x 0 = βt) u = 0 avec = µ µ = Avec une source S(x) : (interaction) L int = S(x) u(x) L u = S(x) u = S(x). La dimension physique de u est xée par L = densité d'énergie L W.L 3. 5

9 Le théorème de Noether La dynamique du système u(x) est invariante dans la symétrie ϵ ( x ) u(x) ( ) x(ϵ) u(x(ϵ), ϵ) si l'action est stable par rapport à la transformation δ (L(u, uµ, x) d 4 x ) 0 au 1er ordre en ϵ Les variations : ( ) δx µ = Λ µ δϵ δu = M δϵ Le courant conservé dans la "direction" δϵ : Θ µ = L u µ ( M + u ν Λ ν ) L Λ µ µ Θ µ = 0 Θ 0 est conservé et Θ i est le courant associé 6

10 Démonstration La dynamique du système u(x) est invariante dans la symétrie si l'action est stable par rapport à la transformation δϵ A = analyse des diérentes variations 1. changement de variable δx : L(x) d 4 x L (x ) d 4 x δx µ = Λ µ δϵ d 4 x = J d 4 x = (1 + µ (δx µ )) d 4 x 2. changement de fonction : u (x ) = u(x) + Mδϵ 3. changement de l'action δa u (x) u(x) = δu(x) = (M Λ ν u ν ) δϵ ( L u ) L δu + δu µ + µ L δx µ + L µ (δx µ ) u µ 4. Utilisant l'équation de Lagrange - Euler δa ( ) L µ δu + L δx µ u µ d 4 x d 4 x 7

11 5. Soit δϵ 0 : δa 0 µ Θ µ δϵ d 4 x = 0 µ Θ µ = 0 avec Θ µ = L u µ (M Λ ν u ν ) + L Λ µ Θ 0 est conservé dans symétrie ϵ Θ i est la densité de courant de Θ 0 Pour les quatre translations, à ρ xé = 0, 1, 2, 3 ( Λ ν = g ν ρ δϵ M = 0 ) Θ µ ρ = L u µ g ν ρ u ν L g µ ρ = L u µ D'après le théorème de Noether : µ Θ µ ρ = 0 et Θ 0 ρ conservé u ρ L g µ ρ

12 Le tenseur énergie impulsion Le tenseur énergie - impulsion (non symétrique) : Θ µ ν = L u µ u ν L g µ ν Θ 0 ν est conservé ν = 0, 1, 2, 3 [1] Θ µ ν Θ ν µ apriori non-symétrique Théorème de Noether : conservation de Θ 0 ν µ Θ µ ν = 0 = 0 Θ 0 ν + i Θ i ν Lois de conservation dans R 3 (énergie et impulsion) Q ν = Θ 0 ν d 3 x d dt Q ν = F lux(θ i ν) ν = 0, 1, 2, 3 Interprétation physique des termes du tenseur (réf 1 page 111) : 1. Θ 0 0 : densité d'énergie 2. Θ 0 i : densité de quantité de mvt 3. Θ i 0 : courant d'énergie 4. Θ i j : tenseur de contraintes dans R 3 8

13 Θ µν = L u µ u ν L g µν Θ 0ν conservé Θ µν = ( ) Θ 00 Θ 0i Θ i0 Θ ij Exemple : une onde scalaire u(x) L = 1 2 Θ 0 0 = 1 2 ( ui u i + β 2 u 0 u 0) H = Θ 0 0 ( β 2 u u 2 i ) Θ i 0 = ui u 0 Θ 0 i = β 2 u 0 u i Θ i j = u i u j L g i j Tr (Θ) = 3 2 ( u 2 i β 2 u 2 0). le courant d'énergie est Θ i 0 tandis que Θ 0 i est la densité de quantité de mouvement

14 Cas d'un uide acoustique : u(x) ϕ(x) Approximation linéaire avec ϕ le potentiel des vitesses : ϕ dimension L 2 t 1 Ecart à l'équilibre : pression température densité vitesse p = p(x) p 0, T = T (x) T 0, ρ = ρ(x) ρ 0, v(x) 0 Equation d'euler et thermodynamique (linéarité, réversibilité) ρ 0 v t = grad p ρ = χ s ρ 0 p ρ = ρ 0 div( v) hypothèses : mvt irrotationnel, sans viscosité..., vitesse des ondes v = grad ϕ p = ρ 0 ϕ β = 1/2 χs ρ 0 Dynamique lagrangienne et tenseur E-P L = 1 2 ( ρ0 v 2 χ s p 2) ϕ β 2 2 t ϕ = 0 Θ 0 0 = H = 1 2 ( ρ0 v 2 + χ s p 2) Θ i 0 = p vi Θ 0 j = β 2 p v j Θ i j = ρ 0 v i v j L g i j 9

15 Physique de l'acoustique L'équation de conservation Interprétation 0 Θ 0 ν = j Θ j ν en intégrant sur le volume fermé V de limite δv dans R 3 Q ν = V Θ0 ν d 3 d x dt Q ν = δv Θj ν ds j théorème de Stockes Les grandeurs conservées : ( ρ0 v 2 + χ s p 2) est la densité d'énergie Θ 0 0 = 1 2 les actions dynamiques Θ 0 i = Θ 0i = β 2 p v est la densité de quantité de mvt Θ j 0 = p v est le courant d'énergie l'intensité incidente Θ j i = ρ 0 v i v j L g i j est le tenseur des contraintes dans R 3 10

16 Tenseur Θ : matière non-relativiste à partir de points matériels sans interaction Le Lagrangien ( mc mv2 ) da = L dt d3x = n d 4 x n est la densité de points dans R 3 La densité du tenseur Θ µ ν (Θ µν symétrique) Θ µ ν = m ( v µ v ν ) n v µ = (c, v i ) Θ 0 0 = n mc2 Θ i 0 = n mc vi Θ i j = n m v i v j En moyenne, localement (gaz parfait isotrope) Autres composantes Θ j i = ( ) 1 3 m v 2 n δ j i = p δ i j Θ i 0 v i = 0 Θ 0 j v j = 0 Trace de Θ? Θ 0 0 = ϵ = m ( c v2 ) n +... Θ µ ν = ( ) ϵ 0 0 p Tr Θ = ϵ 3 p 11

17 Généralisation relativiste : uide en mouvement à la pression interne p Θ µ ν = (ϵ + p) U µ U ν p g µ ν Tr Θ = ϵ 3p U µ = dxµ dτ Θ µ ν compatible avec l'approximation statique pour U µ = (1, 0) et ϵ = (mc 2 ) n. référence : 1 page 118

18 Les ondes électromagnétiques en relativité restreinte L'électromagnétisme classique de Maxwell (rappels ) F µν est le tenseur électromagnétique 6 composantes ( E, B). Interprétation du tenseur F µν Equations de J.C. Maxwell F µν = µ A ν ν A µ F ij = ϵ ijk B k F i0 = E i ν F νµ = J µ [1] λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = 0 [2] Une particule chargée interagit avec un champ classique et la dynamique peut être extraite du principe de moindre action (A min ). da = mdτ q A µ dx µ dp µ dτ = F µ = q (F µν.v ν ) avec p µ = m v µ = m dxµ ds La dynamique du champ EM (équations de Maxwell) obéit au principe de moindre action. L = ( 1 4 F 2 + m2 2 A2 J.A ) da = L d 4 x avec F 2 = F µν F µν A 2 = A µ A µ J.A = J µ A µ 12

19 Le champ E.M libre, sans masse Le tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique classique u(x) = A ρ (x) et J(x) = 0 et L = 1 4 F 2 Le tenseur énergie.impulsion Θ µ ν. Θ µ ν = L A ρ µ A ρ ν L g µ ν Θ 0 ν est conservé Θ µ ν = F ρν F ρµ F 2 g µ ν = Θ ν µ composante symétrique Explicitement en fonction de E 2 et B : L = 1 4 ( F 2 ) = 1 2 ( E 2 B 2) Θ 0 0 = H = 1 2 ( E 2 + B 2) Θ 0 i = (E B) i Θ 0i = Θ i0 Θ j i = E i E j B i B j 1 2 gj i (E 2 + B 2 ) Propriété du tenseur EM Tr Θ = 0 ϵ 3p = 0. référence 1 page

20 La cosmologie La métrique de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (appendice 1) ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dω 2, où dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2. avec A(r) = (1 k r 2 ) 1 this metric ranges over a 3-dimensional space of uniform curvature, that is, elliptical, Euclidian, or hyperbolic space. dσ does not depend on t, all of the time dependence is in the function λ(t), known as the "scale factor". hypothèse d'isotropie espace R 3 à courbure 6k dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 hypothèse euclidienne : espace R 3 à courbure nulle : k = 0 Les coordonnées sont : dσ 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ct r θ ϕ g 00 = 1 g 11 = λ(t) 2 A(r) g 22 = λ(t) 2 r 2 g 33 = λ(t) 2 r 2 sin 2 (θ). http :/en.wikipedia.org/wiki/friedmann-lemaitre-robertson-walker metric 14

21 Le tenseur de Ricci R µν = l Γ l µν ν Γ l µl + Γ l lsγ s µν Γl νsγ s µl = l lsγ s µν l νsγ s µl Calcul de R 00 Calcul des R ii R 11 = Aλ2 c 2 ( R 00 ( λ λ R 22 = r2 λ 2 c 2 ( R 33 = r2 λ 2 c 2 Conséquences ( λ λ = 3 c 2 ( λ λ ) g 00 = 1 (1) ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 sin 2 θ ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 ( ( λ λ ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 g 11 = λ 2 A(r) g 22 = λ 2 r 2 g 33 = λ 2 r 2 sin 2 (θ) Tr R = R0 0 + ) (( λ i=1..3 Ri i = 6 c 2 λ ) + ( λ λ )2 + kc2 λ 2 ) R0 (( Tr R = + 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 R 0 0 = 3 c 2 ( λ λ ). http :// GD.pdf pages

22 La physique de l'équation d'einstein Equations d'einstein (réf 1 page 363, réf 2 page ) ( R ν µ 1 2 gν µ Tr R) = a T ν µ + g ν µ Λ conséquences : Tr R = a Tr T + 4 Λ R 0 0 = a 2 (T 0 0 T i i ) Λ = 3 c 2 ( λ λ ) ) R Tr R = a T 0 (( 0 + Λ = + 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 Univers homogène de matière statique : T ν µ = ( ) ϵ(t) ϵ(t) = ρ(t)c 2 Equations de Friedmann : fonctions λ(t) et ρ(t) et paramétres Λ, k. 3(( λ cλ )2 + k λ 2 ) = (a ρc 2 + Λ) 3( λ c 2 λ ) = ( a 2 ρc2 Λ). a = 8π G t 2 L 1 M 1 c 4. http :/en.wikipedia.org/wiki/friedmann-lemaître-robertson-walker metric 16

23 Quelques résultats numériques constante de Hubble : les mesures les plus récentes, en 2008, donnent h 0 = 80, 0 ± 2, 7 (km/s)/mpc h 1 0 = 12, a Mpc = Mégaparsec = 3, km La densité d'énergie critique : ϵ 0 = ρ 0 c 2 1. univers plat k = 0 2. en expansion h 0 3. de matière non-relativiste 4. avec Λ = 0 ϵ 0 = 3 c2 8π G h2 0 = 6, 74 GeV/m3 7, 2 (nucléons) /m 3. http :// GD.pdf page 31. m p = 0, 938 GeV/c 2 (proton) GeV = Giga électron-volt = 1, J 17

24 En fonction de h(t) = Quelques situations particulières λ λ (comme Hubble) L'univers stationnaire : λ = 1 λ = λ = 0 h = 0 2k = ac 2 ρ Λ = k L'univers plat et composé de matière statique : λ 0 λ t 2/3 Λ = 0 k = 0 ḣ(t) = ac2 2 ρc2 h(t) 2 3 t 1 ρλ 3 = Cte L'univers inationnaire sans matière : λ 0 λ exp(h 0 t) ρ = 0 k = 0 Λ > 0 ḣ(t) = 0 h(t) = ±h 0 h 0 = Λ 3 c2. http :// GD.pdf page 31 18

25 Retour sur le tenseur Energie-Impulsion Univers homogène de matière en mouvement "brownien" à la pression p : T ν µ = ( ) ϵ(t) 0 0 p(t) Tr T = ϵ 3p Equations d'état de la matière qui contribue au tenseur T µ ν hypothèse! p(ϵ) = w ϵ avec w = cte Equations de Friedmann sur ϵ(t) p(t) paramétres Λ k R0 0 = a 2 (ϵ + 3p) Λ = 3 ( λ ) [F 1] c 2 λ ) R0 (( Tr R = a ϵ + Λ = 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 La constante cosmologique Λ une pression négative p Λ = 2Λ 3a [F 2] Conséquence indépendante de Λ! ( eq [F1]+eq [F2] et dérivée [F2]) ϵ = 3(ϵ + p) λ λ. réf 1 page

26 Diérents modèles : Diérents univers homogènes réf 12 page 39 p = w ϵ équation d'état ϵ = 3(ϵ + p) λ λ ϵ λ 3(1+w) ϵ ϵ = 3(1 + w) λ λ hypothèse w ϵ scaling with λ radiation 1/3 λ 4 matter 0 λ 3 dark energy -1 λ 0 Evolution en fonction du temps dans l'hypothèse λ t β réf 10 page 64 a 2 ϵ (1 + 3w) Λ = 3 c 2 ( λ λ ) h 0 = Λc 2 3 hypothèse λ t β λ radiation t 1/2 matter t 2/3 dark energy exp h 0 t + 20

27 gure 1

28 gure 2 (réf wikipedia) Estimated relative distribution for components of the energy density of the Universe : Dark energy dominates the total energy (74%) While dark matter (22%) constitutes most of the mass. Of the remaining baryonic matter (4%), only one tenth is compact. On 21 March 2013, the European-led research team behind the Planck cosmology probe released new data rening these values to 4.9% ordinary matter, 26.8% dark matter and 68.3% dark energy.. http ://en.wikipedia.org/wiki/friedmann equations

29 Retour sur l'équation d'einstein à suivre Conclusion Comparaison de la gravitation relativiste avec l'électromagnétisme Le courant électromagnétique = source du champ E-M interaction vectorielle Le tenseur énergie-impulsion = source du champ de gravitation interaction tensorielle Les ondes gravitationnelles et la quantication 21

30 références 1 L. Landau & E. Lifchitz, Théorie des champs, Ed MIR, R. Feynman, Leçons sur la gravitation, Ed Odile Jacob, C. Missner & al, Gravitation, Ed W.H. Freeman & Co, J. Rich, Principes de la cosmologie, Ed Ecole Polytechnique, C.D. Walecka, Introduction to general relativity, Ed World Scientic, P. Dirac, General theory of relativity, Ed Princeton, P. Peter & al, Cosmologie primordiale, Ed Belin, R. Omnès, Théorie du champ électromagnétique, Poly Orsay, L. Ryder, Introduction to general relativity, Cambridge U Press, L. Bergstrom & al, Cosmology and particle astrophysics, Wiley & Sons, Scott Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press, London, Balsa Terzic, http :// bterzic/phys652/, Northern Illinois Univ,

31 Appendice 1 : : La métrique de FLRW La métrique de Robertson Walker (réf 1 page 442) ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 hypothèse d'isotropie dans R 3 : dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dω 2, où dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2. avec A(r) = (1 k r 2 ) 1 Les coordonnées sont : q 0 = ct q 1 = r q 2 = θ q 3 = ϕ g 00 = 1 g 11 = λ(t) 2 A(r) g 22 = λ(t) 2 r 2 g 33 = λ(t) 2 r 2 sin 2 (θ) 23

32 Forme de la métrique (réf 1 page 442 et suivantes) Soit une hyper-sphére à 3D dans R 4 a 2 = x x2 2 + x2 3 + x2 4 sur la sphère de rayon a dl 2 = dx dx2 2 + dx2 3 + dx2 4 dx 4 = x 1 dx x 4 En remplaçant dans dl 2 et en passant en sphériques dl 2 = (r 2 + r2 a 2 r 2) dr2 + r 2 dω 2 = (1 k r 2 ) 1 dr 2 + r 2 dω 2 k = a 2 dans l'espace-temps ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 dσ 2 dl 2

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