Le tenseur Energie-Impulsion
|
|
- Bertrand Laurin
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université de Caen LMNO Le tenseur Energie-Impulsion C. LONGUEMARE 28 octobre 2014 Résumé : Qu'est-ce que T µν dans l'équation d'einstein?
2 Equation d'einstein Référence [1] Conséquences ( R µν 1 2 g µνtr R ) g µν Λ = a T µν Tr R = a Tr T 4Λ R 00 = a (T 00 g 00 2 Tr T ) g 00 Λ En principe, le programme est simple mais... T µν R µν (courbure) g µν (eq di) géodésique T µν Equation aux dimensions (physiques) soit à vérier R ij L 2 a = 8πG c 4 G LM 2 W a LW 1 T 00 W L 3 R 00 a T 00 L 2 cqfd R 2 x 2 g. a = 8πG c 4 L W 1 = 2, m J 1 0-a
3 Conventions c = ħ = 1 sauf... g µν = g µν = (1, 1, 1, 1) ϵ 0123 = 1 et ϵ 123 = 1 avec µ = 0, 1, 2, 3 et i = 1, 2, 3 p 2 = m 2 c 4 0 c 2 τ 2 = x 2 0 x2 0 unités électromagnétiques ϵ 0 = µ 0 = 1 α = e2 4π ħc = 1 137, Statique V = ρ W EM = q V = qq 4π r Gravitation ϕ = ρ W Gr = m ϕ = G mm 4π r F EM = qq 4π r 2 u F Gr = G mm 4π r 2 u
4 Plan 1. La conservation de l'énergie 2. La conservation de l'énergie-impulsion classique 3. Le théorème de Noether Le tenseur énergie-impulsion en théorie des champs. 4. Les uides acoustiques 5. Les ondes électromagnétiques classiques 6. La gravitation relativiste d'einstein propriétés générales de T µν cas d'un gaz de poussières à la pression p cas d'un gaz relativiste 7. Diérentes hypothèses en cosmologie 1
5 Conservation de l'énergie invariance / temps 1. Un point matériel (m) dans un potentiel U(x) x R(3) 2. l'espace de phase est (x, ẋ) ou (x, p) Le formalisme lagrangien et hamiltonien L(x, ẋ) = m 2 ẋ2 U(x) p = L(x,ẋ) ẋ = mẋ H(x, p) = L ẋ ẋ L = p2 2m + U(x) Dynamique : principe de moindre action A = L(x, ẋ) dt Conséquence d dt H(x, p) = L t = 0 L(x, ẋ, t ) = L(x, ẋ, t) 2
6 L'énergie-impulsion invariance / espace-temps 1. deux points matériels (m) en interaction U(x 1 x 2 ) 2. l'espace de phase est (x i, ẋ i ) ou (x i, p i ) avec i = 1, 2 Le formalisme lagrangien et hamiltonien 3. Théorème de Noether : L(x, ẋ) = i m 2 ẋ2 i U(x 1 x 2 ) soit une "symétrie" continue, paramétre ϵ 0 telque x(t, ϵ) dl dϵ ( L ẋ = L x ) x ϵ x ϵ + L ẋ ϵ=0 = Cte ẋ ϵ = d dt ( L ẋ x ϵ ) ϵ=0 = 0 4. Exemple : La translation dans R 3, dans chaque direction spatiale x(t, ϵ) = x(t) + ϵ constantes du mouvement x ϵ = 1 H(x, p) = 1 2m p2 i + U(x 1 x 2 ) L ẋ = mẋ = Cte P (x, p) = pi 3
7 Conclusion : Systèmes conservatifs 1. Espace de phase pour n points (x(t), ẋ(t)) i 2. Equations de Lagrange-Euler : L(x, ẋ) d dt L(x, ẋ) ẋ = L(x, ẋ) 3. Invariance par translation dans les directions i = 0..3 P = Cte H = Cte x 4. Equations dynamiques de Hamilton : H(x, p) ṗ = H ẋ = H p x (ẋ ṗ ) = ( ) ( ) 0 1 x H 1 0 p. pour le temps il faut tenir compte le la variation des bornes 4
8 En théorie des champs Le système est déni par des fonctions u(x) et les variations associées à chacune des directions de l'espace temps. (u(x), u µ (x)) avec u µ = µ u(x) = u(x) x µ Equation de Lagrange (expression du principe de moindre action) A = L(u, u µ, x) d 4 x µ ( L u µ Exemple : une onde scalaire u(x) libre, sans source! L = 1 2 ( ) L µ u µ ( ui u i + β 2 u 0 u 0) = 1 2 ) = L u ( (ui ) 2 + β 2 (u 0 ) 2) = i (u i ) + β 2 0 u 0 = L u = 0 soit l'équation de D'Alembert : (avec x 0 = βt) u = 0 avec = µ µ = Avec une source S(x) : (interaction) L int = S(x) u(x) L u = S(x) u = S(x). La dimension physique de u est xée par L = densité d'énergie L W.L 3. 5
9 Le théorème de Noether La dynamique du système u(x) est invariante dans la symétrie ϵ ( x ) u(x) ( ) x(ϵ) u(x(ϵ), ϵ) si l'action est stable par rapport à la transformation δ (L(u, uµ, x) d 4 x ) 0 au 1er ordre en ϵ Les variations : ( ) δx µ = Λ µ δϵ δu = M δϵ Le courant conservé dans la "direction" δϵ : Θ µ = L u µ ( M + u ν Λ ν ) L Λ µ µ Θ µ = 0 Θ 0 est conservé et Θ i est le courant associé 6
10 Démonstration La dynamique du système u(x) est invariante dans la symétrie si l'action est stable par rapport à la transformation δϵ A = analyse des diérentes variations 1. changement de variable δx : L(x) d 4 x L (x ) d 4 x δx µ = Λ µ δϵ d 4 x = J d 4 x = (1 + µ (δx µ )) d 4 x 2. changement de fonction : u (x ) = u(x) + Mδϵ 3. changement de l'action δa u (x) u(x) = δu(x) = (M Λ ν u ν ) δϵ ( L u ) L δu + δu µ + µ L δx µ + L µ (δx µ ) u µ 4. Utilisant l'équation de Lagrange - Euler δa ( ) L µ δu + L δx µ u µ d 4 x d 4 x 7
11 5. Soit δϵ 0 : δa 0 µ Θ µ δϵ d 4 x = 0 µ Θ µ = 0 avec Θ µ = L u µ (M Λ ν u ν ) + L Λ µ Θ 0 est conservé dans symétrie ϵ Θ i est la densité de courant de Θ 0 Pour les quatre translations, à ρ xé = 0, 1, 2, 3 ( Λ ν = g ν ρ δϵ M = 0 ) Θ µ ρ = L u µ g ν ρ u ν L g µ ρ = L u µ D'après le théorème de Noether : µ Θ µ ρ = 0 et Θ 0 ρ conservé u ρ L g µ ρ
12 Le tenseur énergie impulsion Le tenseur énergie - impulsion (non symétrique) : Θ µ ν = L u µ u ν L g µ ν Θ 0 ν est conservé ν = 0, 1, 2, 3 [1] Θ µ ν Θ ν µ apriori non-symétrique Théorème de Noether : conservation de Θ 0 ν µ Θ µ ν = 0 = 0 Θ 0 ν + i Θ i ν Lois de conservation dans R 3 (énergie et impulsion) Q ν = Θ 0 ν d 3 x d dt Q ν = F lux(θ i ν) ν = 0, 1, 2, 3 Interprétation physique des termes du tenseur (réf 1 page 111) : 1. Θ 0 0 : densité d'énergie 2. Θ 0 i : densité de quantité de mvt 3. Θ i 0 : courant d'énergie 4. Θ i j : tenseur de contraintes dans R 3 8
13 Θ µν = L u µ u ν L g µν Θ 0ν conservé Θ µν = ( ) Θ 00 Θ 0i Θ i0 Θ ij Exemple : une onde scalaire u(x) L = 1 2 Θ 0 0 = 1 2 ( ui u i + β 2 u 0 u 0) H = Θ 0 0 ( β 2 u u 2 i ) Θ i 0 = ui u 0 Θ 0 i = β 2 u 0 u i Θ i j = u i u j L g i j Tr (Θ) = 3 2 ( u 2 i β 2 u 2 0). le courant d'énergie est Θ i 0 tandis que Θ 0 i est la densité de quantité de mouvement
14 Cas d'un uide acoustique : u(x) ϕ(x) Approximation linéaire avec ϕ le potentiel des vitesses : ϕ dimension L 2 t 1 Ecart à l'équilibre : pression température densité vitesse p = p(x) p 0, T = T (x) T 0, ρ = ρ(x) ρ 0, v(x) 0 Equation d'euler et thermodynamique (linéarité, réversibilité) ρ 0 v t = grad p ρ = χ s ρ 0 p ρ = ρ 0 div( v) hypothèses : mvt irrotationnel, sans viscosité..., vitesse des ondes v = grad ϕ p = ρ 0 ϕ β = 1/2 χs ρ 0 Dynamique lagrangienne et tenseur E-P L = 1 2 ( ρ0 v 2 χ s p 2) ϕ β 2 2 t ϕ = 0 Θ 0 0 = H = 1 2 ( ρ0 v 2 + χ s p 2) Θ i 0 = p vi Θ 0 j = β 2 p v j Θ i j = ρ 0 v i v j L g i j 9
15 Physique de l'acoustique L'équation de conservation Interprétation 0 Θ 0 ν = j Θ j ν en intégrant sur le volume fermé V de limite δv dans R 3 Q ν = V Θ0 ν d 3 d x dt Q ν = δv Θj ν ds j théorème de Stockes Les grandeurs conservées : ( ρ0 v 2 + χ s p 2) est la densité d'énergie Θ 0 0 = 1 2 les actions dynamiques Θ 0 i = Θ 0i = β 2 p v est la densité de quantité de mvt Θ j 0 = p v est le courant d'énergie l'intensité incidente Θ j i = ρ 0 v i v j L g i j est le tenseur des contraintes dans R 3 10
16 Tenseur Θ : matière non-relativiste à partir de points matériels sans interaction Le Lagrangien ( mc mv2 ) da = L dt d3x = n d 4 x n est la densité de points dans R 3 La densité du tenseur Θ µ ν (Θ µν symétrique) Θ µ ν = m ( v µ v ν ) n v µ = (c, v i ) Θ 0 0 = n mc2 Θ i 0 = n mc vi Θ i j = n m v i v j En moyenne, localement (gaz parfait isotrope) Autres composantes Θ j i = ( ) 1 3 m v 2 n δ j i = p δ i j Θ i 0 v i = 0 Θ 0 j v j = 0 Trace de Θ? Θ 0 0 = ϵ = m ( c v2 ) n +... Θ µ ν = ( ) ϵ 0 0 p Tr Θ = ϵ 3 p 11
17 Généralisation relativiste : uide en mouvement à la pression interne p Θ µ ν = (ϵ + p) U µ U ν p g µ ν Tr Θ = ϵ 3p U µ = dxµ dτ Θ µ ν compatible avec l'approximation statique pour U µ = (1, 0) et ϵ = (mc 2 ) n. référence : 1 page 118
18 Les ondes électromagnétiques en relativité restreinte L'électromagnétisme classique de Maxwell (rappels ) F µν est le tenseur électromagnétique 6 composantes ( E, B). Interprétation du tenseur F µν Equations de J.C. Maxwell F µν = µ A ν ν A µ F ij = ϵ ijk B k F i0 = E i ν F νµ = J µ [1] λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = 0 [2] Une particule chargée interagit avec un champ classique et la dynamique peut être extraite du principe de moindre action (A min ). da = mdτ q A µ dx µ dp µ dτ = F µ = q (F µν.v ν ) avec p µ = m v µ = m dxµ ds La dynamique du champ EM (équations de Maxwell) obéit au principe de moindre action. L = ( 1 4 F 2 + m2 2 A2 J.A ) da = L d 4 x avec F 2 = F µν F µν A 2 = A µ A µ J.A = J µ A µ 12
19 Le champ E.M libre, sans masse Le tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique classique u(x) = A ρ (x) et J(x) = 0 et L = 1 4 F 2 Le tenseur énergie.impulsion Θ µ ν. Θ µ ν = L A ρ µ A ρ ν L g µ ν Θ 0 ν est conservé Θ µ ν = F ρν F ρµ F 2 g µ ν = Θ ν µ composante symétrique Explicitement en fonction de E 2 et B : L = 1 4 ( F 2 ) = 1 2 ( E 2 B 2) Θ 0 0 = H = 1 2 ( E 2 + B 2) Θ 0 i = (E B) i Θ 0i = Θ i0 Θ j i = E i E j B i B j 1 2 gj i (E 2 + B 2 ) Propriété du tenseur EM Tr Θ = 0 ϵ 3p = 0. référence 1 page
20 La cosmologie La métrique de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (appendice 1) ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dω 2, où dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2. avec A(r) = (1 k r 2 ) 1 this metric ranges over a 3-dimensional space of uniform curvature, that is, elliptical, Euclidian, or hyperbolic space. dσ does not depend on t, all of the time dependence is in the function λ(t), known as the "scale factor". hypothèse d'isotropie espace R 3 à courbure 6k dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 hypothèse euclidienne : espace R 3 à courbure nulle : k = 0 Les coordonnées sont : dσ 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ct r θ ϕ g 00 = 1 g 11 = λ(t) 2 A(r) g 22 = λ(t) 2 r 2 g 33 = λ(t) 2 r 2 sin 2 (θ). http :/en.wikipedia.org/wiki/friedmann-lemaitre-robertson-walker metric 14
21 Le tenseur de Ricci R µν = l Γ l µν ν Γ l µl + Γ l lsγ s µν Γl νsγ s µl = l lsγ s µν l νsγ s µl Calcul de R 00 Calcul des R ii R 11 = Aλ2 c 2 ( R 00 ( λ λ R 22 = r2 λ 2 c 2 ( R 33 = r2 λ 2 c 2 Conséquences ( λ λ = 3 c 2 ( λ λ ) g 00 = 1 (1) ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 sin 2 θ ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 ( ( λ λ ) λ ) + 2( λ )2 + 2kc2 λ 2 g 11 = λ 2 A(r) g 22 = λ 2 r 2 g 33 = λ 2 r 2 sin 2 (θ) Tr R = R0 0 + ) (( λ i=1..3 Ri i = 6 c 2 λ ) + ( λ λ )2 + kc2 λ 2 ) R0 (( Tr R = + 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 R 0 0 = 3 c 2 ( λ λ ). http :// GD.pdf pages
22 La physique de l'équation d'einstein Equations d'einstein (réf 1 page 363, réf 2 page ) ( R ν µ 1 2 gν µ Tr R) = a T ν µ + g ν µ Λ conséquences : Tr R = a Tr T + 4 Λ R 0 0 = a 2 (T 0 0 T i i ) Λ = 3 c 2 ( λ λ ) ) R Tr R = a T 0 (( 0 + Λ = + 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 Univers homogène de matière statique : T ν µ = ( ) ϵ(t) ϵ(t) = ρ(t)c 2 Equations de Friedmann : fonctions λ(t) et ρ(t) et paramétres Λ, k. 3(( λ cλ )2 + k λ 2 ) = (a ρc 2 + Λ) 3( λ c 2 λ ) = ( a 2 ρc2 Λ). a = 8π G t 2 L 1 M 1 c 4. http :/en.wikipedia.org/wiki/friedmann-lemaître-robertson-walker metric 16
23 Quelques résultats numériques constante de Hubble : les mesures les plus récentes, en 2008, donnent h 0 = 80, 0 ± 2, 7 (km/s)/mpc h 1 0 = 12, a Mpc = Mégaparsec = 3, km La densité d'énergie critique : ϵ 0 = ρ 0 c 2 1. univers plat k = 0 2. en expansion h 0 3. de matière non-relativiste 4. avec Λ = 0 ϵ 0 = 3 c2 8π G h2 0 = 6, 74 GeV/m3 7, 2 (nucléons) /m 3. http :// GD.pdf page 31. m p = 0, 938 GeV/c 2 (proton) GeV = Giga électron-volt = 1, J 17
24 En fonction de h(t) = Quelques situations particulières λ λ (comme Hubble) L'univers stationnaire : λ = 1 λ = λ = 0 h = 0 2k = ac 2 ρ Λ = k L'univers plat et composé de matière statique : λ 0 λ t 2/3 Λ = 0 k = 0 ḣ(t) = ac2 2 ρc2 h(t) 2 3 t 1 ρλ 3 = Cte L'univers inationnaire sans matière : λ 0 λ exp(h 0 t) ρ = 0 k = 0 Λ > 0 ḣ(t) = 0 h(t) = ±h 0 h 0 = Λ 3 c2. http :// GD.pdf page 31 18
25 Retour sur le tenseur Energie-Impulsion Univers homogène de matière en mouvement "brownien" à la pression p : T ν µ = ( ) ϵ(t) 0 0 p(t) Tr T = ϵ 3p Equations d'état de la matière qui contribue au tenseur T µ ν hypothèse! p(ϵ) = w ϵ avec w = cte Equations de Friedmann sur ϵ(t) p(t) paramétres Λ k R0 0 = a 2 (ϵ + 3p) Λ = 3 ( λ ) [F 1] c 2 λ ) R0 (( Tr R = a ϵ + Λ = 3 λ c 2 λ )2 + kc2 λ 2 La constante cosmologique Λ une pression négative p Λ = 2Λ 3a [F 2] Conséquence indépendante de Λ! ( eq [F1]+eq [F2] et dérivée [F2]) ϵ = 3(ϵ + p) λ λ. réf 1 page
26 Diérents modèles : Diérents univers homogènes réf 12 page 39 p = w ϵ équation d'état ϵ = 3(ϵ + p) λ λ ϵ λ 3(1+w) ϵ ϵ = 3(1 + w) λ λ hypothèse w ϵ scaling with λ radiation 1/3 λ 4 matter 0 λ 3 dark energy -1 λ 0 Evolution en fonction du temps dans l'hypothèse λ t β réf 10 page 64 a 2 ϵ (1 + 3w) Λ = 3 c 2 ( λ λ ) h 0 = Λc 2 3 hypothèse λ t β λ radiation t 1/2 matter t 2/3 dark energy exp h 0 t + 20
27 gure 1
28 gure 2 (réf wikipedia) Estimated relative distribution for components of the energy density of the Universe : Dark energy dominates the total energy (74%) While dark matter (22%) constitutes most of the mass. Of the remaining baryonic matter (4%), only one tenth is compact. On 21 March 2013, the European-led research team behind the Planck cosmology probe released new data rening these values to 4.9% ordinary matter, 26.8% dark matter and 68.3% dark energy.. http ://en.wikipedia.org/wiki/friedmann equations
29 Retour sur l'équation d'einstein à suivre Conclusion Comparaison de la gravitation relativiste avec l'électromagnétisme Le courant électromagnétique = source du champ E-M interaction vectorielle Le tenseur énergie-impulsion = source du champ de gravitation interaction tensorielle Les ondes gravitationnelles et la quantication 21
30 références 1 L. Landau & E. Lifchitz, Théorie des champs, Ed MIR, R. Feynman, Leçons sur la gravitation, Ed Odile Jacob, C. Missner & al, Gravitation, Ed W.H. Freeman & Co, J. Rich, Principes de la cosmologie, Ed Ecole Polytechnique, C.D. Walecka, Introduction to general relativity, Ed World Scientic, P. Dirac, General theory of relativity, Ed Princeton, P. Peter & al, Cosmologie primordiale, Ed Belin, R. Omnès, Théorie du champ électromagnétique, Poly Orsay, L. Ryder, Introduction to general relativity, Cambridge U Press, L. Bergstrom & al, Cosmology and particle astrophysics, Wiley & Sons, Scott Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press, London, Balsa Terzic, http :// bterzic/phys652/, Northern Illinois Univ,
31 Appendice 1 : : La métrique de FLRW La métrique de Robertson Walker (réf 1 page 442) ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 hypothèse d'isotropie dans R 3 : dσ 2 = A(r)dr 2 + r 2 dω 2, où dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2. avec A(r) = (1 k r 2 ) 1 Les coordonnées sont : q 0 = ct q 1 = r q 2 = θ q 3 = ϕ g 00 = 1 g 11 = λ(t) 2 A(r) g 22 = λ(t) 2 r 2 g 33 = λ(t) 2 r 2 sin 2 (θ) 23
32 Forme de la métrique (réf 1 page 442 et suivantes) Soit une hyper-sphére à 3D dans R 4 a 2 = x x2 2 + x2 3 + x2 4 sur la sphère de rayon a dl 2 = dx dx2 2 + dx2 3 + dx2 4 dx 4 = x 1 dx x 4 En remplaçant dans dl 2 et en passant en sphériques dl 2 = (r 2 + r2 a 2 r 2) dr2 + r 2 dω 2 = (1 k r 2 ) 1 dr 2 + r 2 dω 2 k = a 2 dans l'espace-temps ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 λ(t) 2 dσ 2 dσ 2 dl 2
Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014
Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailRelativité et électromagnétisme. Alain Comtet - alain.comtet@u-psud.fr, Notes de Florian Bolgar
Relativité et électromagnétisme Alain Comtet - alain.comtet@u-psud.fr, Notes de Florian Bolgar Table des matières 1 Symétries et principe de relativité 5 I) Symétries et groupes de transformation....................
Plus en détailModule d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailQuantité de mouvement et moment cinétique
6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1 Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f -
Plus en détailMichel Le Bellac. HAL Id: cel-00092961 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961
Relativité générale pour débutants Michel Le Bellac To cite this version: Michel Le Bellac. Relativité générale pour débutants. DEA. 2004. HAL Id: cel-00092961 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailErnst C. G. Stueckelberg. Thermodynamique statistique. Livre V. Presses polytechniques et universitaires romandes
Ernst C. G. Stueckelberg Thermodynamique statistique Livre V Presses polytechniques et universitaires romandes Livre V Thermodynamique statistique Table des matières 1 Théorie cinétique du gaz monoatomique
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailLa Relativité générale aujourd hui
Séminaire Poincaré IX (2006) 1 40 Séminaire Poincaré La Relativité générale aujourd hui Thibault Damour Institut des Hautes Études Scientifiques 35, route de Chartres 91440 Bures-sur-Yvette, France 1 Introduction
Plus en détailIntroduction à l'electromagnétisme
Introduction à l'electromagnétisme 5 novembre 2014 Table des matières 1 Systèmes de coordonnées et vecteurs 6 1.1 Systèmes de coordonnées................................... 6 1.1.1 Repère cartésien...................................
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChapitre 1. Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) 1.1 Espace des états : les fonctions d'ondes
Chapitre 1 Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) Dans ce chapitre il y a beaucoup de rappels du cours de licence, mais avec une présentation aussi un peu plus formelle. Nous allons étudier
Plus en détailOnveutetudierl'equationdierentiellesuivante
Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique
Plus en détailSymétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques
Symétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques Frédéric Hélein le 12 juin 1998 1 Introduction Certaines quantités fondamentales en physique (énergie, quantité de mouvement, charge
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailcel-00530377, version 1-28 Oct 2010
Mécanique des milieux continus F r a n ç o i s S i d o r o f f p Ce document est sous licence Creative Commons Paternité Pas d Utilisation Commerciale Partage des Conditions Initiales à l Identique 3.0
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailLa fonction d onde et l équation de Schrödinger
Chapitre 1 La fonction d onde et l équation de Schrödinger 1.1 Introduction En physique classique, une particule est décrite par sa position r(t). L évolution de sa position (la trajectoire de la particule)
Plus en détailLa notion de temps. par Jean Kovalevsky, membre de l'institut *
La notion de temps par Jean Kovalevsky, membre de l'institut * Introduction : le temps classique Nous avons de la notion de temps une connaissance primaire, vivant dans un présent coincé entre un passé
Plus en détailCours d électricité. Introduction. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie
Cours d électricité Introduction Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Le terme électricité provient du grec ἤλεκτρον
Plus en détailRupture et plasticité
Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements
Plus en détailLe Soleil. Structure, données astronomiques, insolation.
Le Soleil Structure, données astronomiques, insolation. Le Soleil, une formidable centrale à Fusion Nucléaire Le Soleil a pris naissance au sein d un nuage d hydrogène de composition relative en moles
Plus en détailEnergie nucléaire. Quelques éléments de physique
Energie nucléaire Quelques éléments de physique Comment produire 1 GW électrique Nucléaire (rendement 33%) Thermique (38%) Hydraulique (85%) Solaire (10%) Vent : 27t d uranium par an : 170 t de fuel par
Plus en détailPlan du chapitre «Milieux diélectriques»
Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation
Plus en détailLe second nuage : questions autour de la lumière
Le second nuage : questions autour de la lumière Quelle vitesse? infinie ou pas? cf débats autour de la réfraction (Newton : la lumière va + vite dans l eau) mesures astronomiques (Rœmer, Bradley) : grande
Plus en détailOFFRE DE FORMATION L.M.D. MASTER ACADEMIQUE
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE OFFRE DE FORMATION L.M.D. MASTER ACADEMIQUE Etablissement Faculté / Institut Département
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailCours de méthodes de scoring
UNIVERSITE DE CARTHAGE ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION Cours de méthodes de scoring Préparé par Hassen MATHLOUTHI Année universitaire 2013-2014 Cours de méthodes de scoring-
Plus en détail08/07/2015 www.crouzet.com
17,5mm - 1 Sortie statique 0,7A MUS2 Ref 88827004 Multifonction ou monofonction Multigamme (7 gammes commutables) Multitension Bornes à vis ou à ressort Visualisation des états par 1 led (version relais)
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailRetournement Temporel
Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailNotes sur le temps en physique (classique)
Notes sur le temps en physique (classique) Titre : Jean-Philippe Uzan Institut d Astrophysique de Paris Le sujet imposé par Annick était le temps en cosmologie. Ce qu un physicien peut faire, c est parler
Plus en détailSSNV143 - Traction biaxiale avec la loi de comportement BETON_DOUBLE_DP
Titre : SSNV14 - Traction biaxiale avec la loi e comport[...] Date : 17/02/2011 Page : 1/14 Manuel e Valiation Fascicule V6.04 : Statique non linéaire es structures volumiques Document V6.04.14 SSNV14
Plus en détailGroupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples
Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples Franck LESIEUR Mathématiques et Applications, Physique Mathématique d Orléans UMR 6628 - BP 6759 45067 ORLEANS CEDEX 2 - FRANCE e-mail
Plus en détailChapitre I- Le champ électrostatique. I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique
Chapitre I- Le champ électrostatique I.- Notions générales I..- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique Quiconque a déjà vécu l expérience désagréable d une «décharge électrique» lors
Plus en détailCours d Electromagnétisme
Année Universitaire 2012-2013 Licence de Physique (S4) Cours d Electromagnétisme Chargé du Cours : M. Gagou Yaovi Maître de Conférences, HDR à l Université de Picardie Jules Verne, Amiens yaovi.gagou@u-picardie.fr
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailOn ne peut pas entendre la forme d un tambour
On ne peut pas entendre la forme d un tambour Pierre Bérard Institut Fourier Laboratoire de Mathématiques Unité Mixte de Recherche 5582 CNRS UJF Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Introduction 1.1 Position
Plus en détailAnalyse et Commande des Systèmes Non Linéaires
Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires J. Lévine Centre Automatique et Systèmes école des Mines de Paris 35 rue Saint Honoré 77305 Fontainebleau Cedex E-mail : Jean.Levine@ensmp.fr Mars 2004 2
Plus en détailModèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.
Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailI - Quelques propriétés des étoiles à neutrons
Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailChapitre 11 Bilans thermiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE 30 août 2013 à 15:40 Chapitre 11 Bilans thermiques Table des matières 1 L état macroscopique et microcospique de la matière 2 2 Énergie interne d un système 2 2.1 Définition.................................
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détailPHYSIQUE 2 - Épreuve écrite
PHYSIQUE - Épreuve écrite WARIN André I. Remarques générales Le sujet de physique de la session 010 comprenait une partie A sur l optique et une partie B sur l électromagnétisme. - La partie A, à caractère
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailSi la source se rapproche alors v<0 Donc λ- λo <0. La longueur d onde perçue est donc plus petite que si la source était immobile
Red shift or blue shift, that is the question. a) Quand une source d onde se rapproche d un observateur immobile, la longueur d onde λ perçue par l observateur est-elle plus grande ou plus petite que λo
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailIntroduction à la méthode des éléments finis
ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailPhysique: 1 er Bachelier en Medecine. 1er juin 2012. Duree de l'examen: 3 h. Partie 1: /56. Partie 2 : /20. Nom: N ō carte d étudiant:
Nom: Prénom: A N ō carte d étudiant: Physique: 1 er Bachelier en Medecine 1er juin 2012. Duree de l'examen: 3 h Avant de commencer a repondre aux questions, identiez-vous en haut de cette 1ere page, et
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail(Ir)réversibilité et entropie
Séminaire Poincaré XV Le Temps (2010) 17 75 Séminaire Poincaré (Ir)réversibilité et entropie Cédric Villani Université de Lyon & Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05,
Plus en détailPremier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie
Chapitre 5 Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie 5.1 Bilan d énergie 5.1.1 Énergie totale d un système fermé L énergie totale E T d un système thermodynamique fermé de masse
Plus en détailPhotons, expériences de pensée et chat de Schrödinger: une promenade quantique
Photons, expériences de pensée et chat de Schrödinger: une promenade quantique J.M. Raimond Université Pierre et Marie Curie Institut Universitaire de France Laboratoire Kastler Brossel Département de
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailCONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. par. Jean-Pierre Puel
CONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES par Jean-Pierre Puel 1. Introduction Pourquoi équations aux dérivées partielles et pourquoi contrôle? Les équations aux dérivées partielles, associées à certaines
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailERRATA ET AJOUTS. ( t) 2 s2 dt (4.7) Chapitre 2, p. 64, l équation se lit comme suit : Taux effectif = 1+
ERRATA ET AJOUTS Chapitre, p. 64, l équation se lit comme suit : 008, Taux effectif = 1+ 0 0816 =, Chapitre 3, p. 84, l équation se lit comme suit : 0, 075 1 000 C = = 37, 50$ Chapitre 4, p. 108, note
Plus en détailChapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique
Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 Introduction 7.1.1 Production d un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailEléments de Relativité générale
Eléments de Relativité générale par Gilbert Gastebois 1. Notations 1.1 Unités En relativité générale on adopte certaines conventions sur les unités pour simplifier les formules : On prend la vitesse de
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailIntroduction à la relativité générale
Introduction à la relativité générale Bartolomé Coll Systèmes de référence relativistes SYRTE - CNRS Observatoire de Paris Introduction à la Relativité Générale Préliminaires Caractère théorique (formation)
Plus en détail- I - Fonctionnement d'un détecteur γ de scintillation
U t i l i s a t i o n d u n s c i n t i l l a t e u r N a I M e s u r e d e c o e ffi c i e n t s d a t t é n u a t i o n Objectifs : Le but de ce TP est d étudier les performances d un scintillateur pour
Plus en détailMonitoring continu et gestion optimale des performances énergétiques des bâtiments
Monitoring continu et gestion optimale des performances énergétiques des bâtiments Alexandre Nassiopoulos et al. Journée d inauguration de Sense-City, 23/03/2015 Croissance de la demande énergétique et
Plus en détailGénération de signaux multifractals possédant une structure de branchement sous-jacente.
1 / 64 Génération de signaux multifractals possédant une structure de branchement sous-jacente. Geoffrey Decrouez Cotutelle Internationale de Thèse préparée au Gipsa-Lab et à l Université de Melbourne
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailPHYSIQUE-CHIMIE. Partie I - Spectrophotomètre à réseau
PHYSIQUE-CHIMIE L absorption des radiations lumineuses par la matière dans le domaine s étendant du proche ultraviolet au très proche infrarouge a beaucoup d applications en analyse chimique quantitative
Plus en détailVibrations des milieux discrets et continus. Luc Jaouen
Vibrations des milieux discrets et continus Luc Jaouen Version datée du 9 avril 5 Table des matières Introduction iii Un Degré De Liberté. Oscillations libres..............................................
Plus en détail8 Ensemble grand-canonique
Physique Statistique I, 007-008 8 Ensemble grand-canonique 8.1 Calcul de la densité de probabilité On adopte la même approche par laquelle on a établi la densité de probabilité de l ensemble canonique,
Plus en détailEquations de Dirac et fermions fondamentaux ( Première partie )
Annales de la Fondation Louis de Broglie, Volume 24, 1999 175 Equations de Dirac et fermions fondamentaux ( Première partie ) Claude Daviau La Lande, 44522 Pouillé-les-coteaux, France email : cdaviau@worldnet.fr
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détail