Cours 9. Le quadri-vecteur énergie-impulsion

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1 Cours 9: Le quadri-vecteur énergie-impulsion 1 Cours 9. Le quadri-vecteur énergie-impulsion Résumé du dernier cours sur l espace-temps. Les quadri-vecteurs. Le quadri-vecteur vitesse. Le quadri-vecteur énergie-impulsion. Exercices pour la maison.

2 Résumé du cours 8 2 Les grandes lignes : Résumé du cours 8 Contraction des longueurs. Intervalle d espace-temp. La structure causale de l espace-temps.

3 Résumé du cours 8 3 Contraction des longueurs Voir (Smith, 1997, Chapitre 4), TD 6 exercice 2. Si une tige est au repos dans R on mesure dans R sa longueur propre L = L 0. L observateur attaché au repère R qui se déplace par rapport à R, on mesure sa longueur impropre L. La relation entre la longueur propre et impropre est : L = L 0 γ. La longueur propre est donc toujours plus grande que la longueur mesurée dans un repère où la tige est en mouvement. C est ce que l on appelle la contraction des longueurs.

4 Résumé du cours 8 4 La contraction des longueurs est un phénomène cinématique et non dynamique comme l ont cru Fitzgerald, Lorentz, et Poincaré. Aucune force n est à l origine de cette contraction. C est un effet de perpective. Il ne s agit pas d une illusion ; c est une vraie longueur. La contraction des longueurs dépend du référentiel et est un résultat du fait que une ligne de simultanéité dépend du référentiel aussi. Une ligne de simultanéité est parallel aux axes spatiaux.

5 Résumé du cours 8 5 ct ct x x Figure 1 La ligne d univers de l avant du train est en rouge, le derrière du train en rose. Les lignes d univers de l avant et derrière du tunnel en bleu. Solution complète disponible sur mon site web.

6 Résumé du cours 8 6 Diagramme de Minkowski pour deux référentiel en configuration standard Soitent R et R deux référentiels en configuration standard. L axe des ct est l ensemble des points x = 0. Il s agit de la ligne d univers de l origine O. Par définition de la configuration standard on a : x = ctβ = vt. (1) Donc l axe ct est une droite avec coefficient directeur 1/β. Ça veut dire que l angle θ de l axe ct à l axe ct est tel que tan(θ) = β, positive dans le sens anti-trigonométrique (2) Il n y a rien nouveau la.

7 Résumé du cours 8 7 ct ct q x q x Figure 2 Configuration standard avec v/c = β = tan(θ).

8 Résumé du cours 8 8 L axe des x est l ensemble des points t = 0. Nous avons trouvé avec la transformation de Lorentz qu il s agit d une droite avec coefficient directeur β. Ça veut dire que l angle θ de l axe des x à l axe des x est tel que tan(θ) = β, positive dans le sens trigonométrique (3) Pour ct et x sur le diagramme de Minkowski pour R en configuration standard β > 0 donc on a toujours tan(θ) = β (4) mais les axes penchent dans l autre sens, voir Figure 3.

9 Résumé du cours 8 9 ct ct q q x Figure 3 Configuration standard avec v/c = β = tan(θ). x

10 Résumé du cours 8 10 Intervalle d espace-temps Un événement correspond à un point dans l espace-temps à quatre dimensions. Il a lieu à un endroit et à un instant donnés. Soit A et B deux événements. On défine s l intervalle d espace-temps entre A et B où s 2 = c 2 (t B t A ) 2 (x B x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2. (5) Cet intervalle étant le même pour tous les référentiels galiléens (i.e. inertiels) il a une signification absolue.

11 Résumé du cours 8 11 Table 1 Lien entre structure causale et l intervalle s 2 A et B sont séparé Relation causale cône avec apex à A > 0 du genre temps possible B à l interieur = 0 du genre lumière possible B sur le cône < 0 du genre espace impossible B à l exterieur

12 Cours 9 12 Exercices pour la maison 1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum 4.1 ) de (Smith, 1997). 2. Quand est la loi de Galilée de l addition des vitesse valable? 3. (Examen de l année 2015) J ai deux fils, Red et Kas, et chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte à la vitesse v = 3c/4, par rapport à moi, vers la nébuleuse du Crabe. Au même instant Kas le suivre à la vitesse v = c/2 par rapport à moi. Calculer la vitesse de Red par rapport à Kas comme fraction de c. 4. Tracer la ligne d univers de la fusée dans l exercice du voyage à l Alpha du Centaure dans le référentiel R fixé par le soleil, et le référentiel R qui ce déplace avec la fusée. Indiquer les intervalles du temps et longueurs propre est impropre.

13 Cours 9 13 Exercices pour la maison : solutions 1. Quand est la loi de Galilée de l addition des vitesse valable? Solution Quand le paramètre on a v 12 v 23 c 2 1 (6) v 13 = v 12 + v v 12v 23 c 2 v 12 + v 23. (7) 2. (Examen de l année 2015) J ai deux fils, Red et Kas, et chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte à la vitesse v = 3c/4, par rapport à moi, vers la nébuleuse du Crabe. Au même instant Kas le suivre à la vitesse v = c/2 par rapport

14 Cours 9 14 à moi. Calculer la vitesse de Red par rapport à Kas comme fraction de c. Solution La loi d Einstein donne v 13 = v 12 + v v 12v 23 c 2 (8) où Kas est particule 1, moi je suis particule 2, et Red est particule 3. Donc, v 12 = c/2 parce que je vais dans le sens négative par rapport à Kas. v 23 = 3c/4, c est la vitesse de Red par rapport à moi. Finalement v 13 est la vitesse de Red par rapport à Kar, la vitesse nous cherchons : v 13 = v 12 + v v 12v 23 c 2 = c/2 + 3c/ = c = c = 3 c. (9) 5 3. Tracer la ligne d univers de la fusée dans l exercice du voyage à l Alpha du Centaure dans le référentiel R fixé par le soleil,

15 Cours 9 15 et le référentiel R qui ce déplace avec la fusée. Indiquer les intervalles du temps et longueurs propre est impropre.

16 Cours 9 16 Exercices pour la maison 1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum 4.1 ) de (Smith, 1997). 2. (Examen de l année 2015) J ai deux fils, Red et Kas, et chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte à la vitesse v = 3c/4, par rapport à moi, vers la nébuleuse du Crabe. Au même instant Kas le suivre à la vitesse v = c/2 par rapport à moi. Calculer la vitesse de Red par rapport à Kas comme fraction de c. Solution Dans le référentiel inertiel qui se déplace avec Kas, j ai une vitesse V = c/2 le long de l axe des x (c est négative parce que c est dans le sens de x). Maintenant on peut utiliser la loi d addition des vitesses d Einstein pour trouver la vitesse

17 Cours 9 17 u de Red par rapport au Kas : u = V + v 1 + vv c 2 = c 2 + 3c = 1 4 c 8 5 = 2 c. (10) 5 la loi exacte d Einstein : v 13 = v 12 + v v 12v 23 c 2. (11)

18 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 18 Le quadri-vecteur énergie-impulsion

19 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 19 Les quadri-vecteurs Le quadri-vecteur (ct, x, y, z) est le quadri-vecteur position. La transformation de Lorentz donne la relation entre les composantes mesurées dans deux repères inertiels. Elle est construite pour que la quantité (ct) 2 x 2 y 2 z 2 soit invariante. Nous allons voir comment construire d autres quadrivecteurs. Les composantes d un quadri-vecteur A sont notées (A 0, A 1, A 2, A 3 ) dans un repère R. Dans R elles deviennent (A 0, A 1, A 2, A 3) et la relation entre les deux est fournie par

20 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 20 la transformation de Lorentz : A 0 γ βγ 0 0 A 1 βγ γ 0 0 = A A 3 A 0 A 1 A 2 A 3. Remarque : On écrit A pour le quadri-vecteur dans tous les référentiels car le quadri-vecteur est le même dans tous les référentiels. Ceci n est pas le cas dans mécanique classique newtonienne exprimé avec les vecteurs habituels. Nous avons vu, par exemple, que la vitesse v = ẋ i + ẏ j + ż k, elle change lors d un transformation de Galilée. Un calcul direct montre que : A 2 0 A 2 1 A 2 2 A 3 3 = A 2 0 A 2 1 A 2 2 A 2 3. Considérons un autre quadri-vecteur dont les composantes

21 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 21 sont (B 0, B 1, B 2, B 3 ). Le produit scalaire au sens de Minkiowski de ces deux quadri-vecteurs est donné par : A B = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3. (12) La forme la plus générale d un produit scalaire de deux quadri-vecteurs peut s écrire : A B = 3 µ=0,ν=0 g µν A µ B ν, où g µν est la metrique de l espace-temps. La métrique de l espace-temps de Minkowski utilisée en relativité restreinte est telle que : g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = 1, et g µν = 0 si µ ν. On suppose que les coordonnées cartésiennes sont utilisées pour la partie spatiale. En

22 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 22 coordonnées sphériques la forme serait différente. Le produit scalaire peut s écrire comme un double produit matriciel : ) g µν A µ B ν = (A 0 A 1 A 2 A 3 µν (13) Nous allons voir comment construire des quadrivecteurs à partir du quadri-vecteur position. Ils se caractérisent par des propriétés de transformation identiques dans un changement de repère. B 0 B 1 B 2 B 3.

23 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 23 Le quadri-vecteur vitesse Un quadri-vecteur est un ensemble de 4 composantes qui se transforme selon une transformation de lorentz lors d un changement de référentiel inertiel : cdt γ βγ 0 0 cdt dx βγ γ 0 0 dx = (14) dy dy dz dz Les quantités cdt, dx, dy et dz sont les composantes d un quadri-vecteur. Mais (c, dx/dt, dy/dt, dz/dt) n est pas un quadri-vecteur. La première composante est invariante ce qui n est pas le cas pour un quadri-vecteur. Par ailleurs les composantes de la

24 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 24 vitesse ne se transforment pas comme celles d un quadri-vecteur. (Voir chapitre 3 des notes du cours de Jacque Langlois.) La raison est que l intervalle de temps dt n est pas un invariant. En divisant chaque composante par dt on modifie donc les propriétés de transformation de l ensemble des quatre grandeurs obteneues. L intervalle d espace-temps pour deux événements proches s écrit : ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 il est une quantité invariante par la transformation de Lorentz. Pour un intervalle du genre temps ds 2 > 0 on a ds 2 = c 2 dτ 2 où dτ est l intervalle de temps propre. Il est l intervalle du temps dans le repère propre de la particule.

25 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 25 On peut donc écrire : dτ = dt γ. Le facteur γ est ce que intervient dans la transformation de Lorentz du repère R au repère propre de la particule. Il ne dépend que de la vitesse de la particule dans le repère R, γ = 1 1 v2 /c 2, v2 = v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z. En divisant les composantes du quadri-vecteur (cdt, dx, dy, dz) par dτ on obtient un nouveau quadri-vecteur dont les composantes sont homogènes à une vitesse : ( c dt dτ, dx dτ, dy dτ, dz dτ ) = γ ( c dt dt, dx dt, dy dt, dz dt ), = γ(c, v x, v y, v z ) U. (15) C est le quadri-vecteur vitesse ou la quadri-vitesse.

26 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 26 Notation : Ce cours je vais parler des vecteurs habituels aussi, donc je utilise une majuscule pour un quadri-vecteur, et une minuscule pour un vecteur habituel, comme la vitesse habituel v. (Il n y a pas du standard pour distinguer les vecteurs habituels et les quadri-vecteurs.) On peut l écrire également U = (γc, γ v). Le produit scalaire de ce quadri-vecteur par lui-même s écrit : γ 2 c 2 γ 2 v 2 x γ 2 v 2 y γ 2 v 2 z = γ 2 (c 2 v 2 ) = c 2 γ 2 (1 v 2 /c 2 ) = c 2. Cette grandeur est manifestement invariante. Dans le repère R on définit de la même manière les composantes du quandri-vecteur vitesse dans R : (γ c, γ v x, γ v y, γ v z ) où β = v /c, et γ = 1/ 1 β 2. Si la vitesse relative des deux repères est β L c, on a

27 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 27 γ L = 1/ 1 βl 2. La relation entre les deux quadri-vecteurs s écrit : A 0 γ L β L γ L 0 0 A 0 A 1 β L γ L γ L 0 0 A 1 = A A A 3 A 3 où A 0 A 1 A 2 = γc γv x γv y A 3 γv z

28 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 28 et A 0 A 1 A 2 = γ c γ v x γv y A 3 γv z

29 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 29 Le quadri-vecteur vitesse : interprétation géométrique Considérons une particule ponctuelle. Elle a une ligne d univers dans l espace-temps de Minkowski. On peut considérer la ligne d univers comme une courbe paramétrée ; voir ~scott/iut_cp_2016/index_cp.html. Le quadri-vecteur vitesse (ou la quadri-vitesse) est le vecteur tangent à la ligne d univers paramétrisée par τ, le temps propre mesuré le long de la ligne d univers : ( ) d ct(τ) U = dτ, d x(τ) dτ, d y(τ), d z(τ) dτ dτ (16)

30 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 30 U t U x Figure 4 Ligne d univers d une particule massive. U est la tangente.

31 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 31 ct x Figure 5 Les particules massives portent une montre qui mesurent le temps propre le long de leur lignes d univers.

32 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 32 Le quadri-vecteur énergie-impulsion En mécanique newtonienne on définit l impulsion p (ou quantité de mouvement) par l expression : p = m v où m est la masse de la particule. En relativité il faut mesurer cette masse toujours avec la particule au repos. La masse mesuré ainsi s appele la masse au repos ou masse propre. Si on multiplie chaque composante du quadrivecteur vitesse par la masse propre de la particule on obtient un autre-quadrivecteur dont les composantes sont : P = (γmc, γmv x, γmv y, γmv z ) Une extension naturelle au domaine relativiste est fournie

33 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 33 par la formule : p γm v Elle redonne la formule précédente lorsque v c. Le quadrivecteur obtenu en multipliant le quadrivecteur vitesse par la masse propre a donc pour composantes spatiale l impulsion relatviste p : P = (P t, p) (17) Il faut encore identifier la composante temporelle, P t. La puissance fournie à une particule soumise à une force f est : v f = de dt où E est l énergie de la particule. La loi de Newton étendue

34 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 34 au domaine relativiste permet d écrire : soit : On en déduit : f = d p dt v f = v d(γm v) dt v f = m v v dγ dt + γm v d v dt A partir de la définition de γ on peut écrire : dγ dt = d dt (1 β2 ) 1/2 = 1 2 (1 β2 ) 3/2 ( 2β dβ dt = γ 3 β dβ dt = γ3 c 2 v dv dt ) (18)

35 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 35 Par ailleurs seule la composante de la force sur la direction de v produit un travail et contribue à faire varier l énergie de la particule. On peut donce écrire : v d v dt = v dv dt où v = v. La puissance fournie peut donc s écrire : Or on a : On en déduit : v f = mv 2 γ3 c 2 v dv dv + γmv dt dt = (β 2 γ 2 + 1)γmv dv dt γ 2 β = γ 2 v f = γ 3 mv dv dt (19)

36 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 36 On peut réécrire le membre de droite sous la forme : v f = mc 2 γ 3 β dβ dt = d dt (γmc2 ) = de dt Ce résultat conduit à définir l énergie de la particule par l expression : E = γmc 2 Le quadri-vecteur énergie-impulsion peut donc s écrire : ( ) E P = (γmc, γm v) = c, p

37 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 37 Le quadri-vecteur énergie-impulsion : Bilan Nous avons généraliser l expression newtonienne pour l impulsion au cas relativiste : P m U = (γmc, γmv x, γmv y, γmv z ) ce qui donne le vecteur d impulsion relativiste p = mγ v. Nous avons utilisé la loi newtonienne pour la puissance fournie à une particule soumise à une force f : v f = de dt où E est l énergie de la particule. La seconde loi de Newton

38 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 38 permet d écrire : de dt f = d p dt, = v d p dt, remplace f dans l équation ci-dessus = v d(mγ v), remplace f dt dans l équation ci-dessus (20) On fait de mathématiques et on obtient : ce qui même à la définition : d dt (γmc2 ) = de dt E = γmc 2

39 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 39 Le produit scalaire d un quadri-vecteur par lui-même étant un invariant on en déduit que la grandeur E 2 /c 2 p 2 est la même dans tous les repères galiléens. Dans le repère propre de la particule p = 0 et E 0 = mc 2. On en déduit : ou E 2 c 2 p2 = E2 0 c 2 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 On distingue deux cas limites : l approximation non relativitste lorsque p 2 c 2 m 2 c 4 l approximation ultra relativiste lorsque p 2 c 2 m 2 c 4

40 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 40 Pour l approximation non-relativiste on peut écrire : ( E = mc p2 c 2 ) 1/2 m 2 c 4 ( mc p 2 c 2 ) 2 m 2 c 4 = mc 2 + p2 2m où p = γmv mv car v c. L énergie cinétique comprend tous les termes autres que mc 2. L énergie totale d une particule libre est γmc 2. Son énergie au repos étant mc 2 on en déduit que son énergie cinétique est : E cin = (γ 1)mc 2 Cette expression est exacte, quelle que soit la vitesse de la particle. (21)

41 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 41 Un développement de Taylor de la fonction f(x) = (1 + x) 1/2 donne : (1 + x) 1/ x x x En posant x = β 2 il vient : γ = (1 β 2 ) 1/ β β β Le développement de l énergie cinétique en puissances de β s écrit : E cin mc 2 [ 1 2 β β β6 +...] = mc 2 [ β β2 β β2 β ] = 1 2 mv2 [ β β4 +...] (22)

42 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 42 Lorsque β 1 on retrouve bien l expression familière de la mécanique classique.

43 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 43 Exercice pour la maison 1. Vérifier par un calcul direct que : A 2 0 A 2 1 A 2 2 A 3 3 = A 2 0 A 2 1 A 2 2 A 2 3. Ici, A µ avec µ = {0, 1, 2, 3} sont les composantes d un quadri-vecteur. 2. Vérifier par un calcul direct que le produit matriciel dans l équation (13) est égale à l équation (12) pour le produit scalaire. 3. Trouver la vitesse d une particule massive tel que l énergie totale relativiste au carré, E 2, a deux parties égales : p 2 c 2 = m 2 c 4

44 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 44 À cette vitesse, quel est le rapport E cin E?

45 Cours 9 : Le quadri-vecteur énergie-impulsion 45 Références Smith, J. H. (1997), Introduction à la relativité, InterEditions, Paris, France.