POURCENTAGE PROPORTION ÉVOLUTION

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1 POURCENTAGE PROPORTION ÉVOLUTION I. PROPORTION Dns une clsse de 35 élèves il y 14 filles. L proportion de filles dns cette clsse est de Dns cette clsse il y de filles. Prmi ces filles il y 42 % de demi-pensionnires, soit filles. Elles représentent environ des élèves de l clsse. Définition 1 Soit un ensemble A, ynt éléments, contenu dns un ensemble B, ynt b éléments. L proportion ou prt de A pr rpport à B est le réel nombre d éléments de A = b nombre d éléments de B. Dns l exemple A est B est = et b = Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1. Elle s exprime le plus souvent sous forme de pourcentge. Dns l clsse l prt des élèves de plus de 30 ns est de et l prt des élèves de moins de 30 ns est de Propriété 1 Prendre x % d une quntité (x 0) c est multiplier cette quntité pr Exercice 1 1) 32 % des 210 élèves de 2 nde sont externes. Clculer le nombre d externes en 2 nde. 2) Prmi les 180 élèves de 1 ère il y 68 externes. Clculer l proportion d externes prmi les élèves de 1 ère 3) En terminle l proportion d externes est de 42 % et il y 71 externes. ) Clculer le nombre d élèves en terminle. b) Clculer l proportion d élèves de terminle externes prmi les élèves du lycée. II. ÉVOLUTIONS ET POURCENTAGES Dns l suite du cours on considère deux vleurs numériques positives : V I, l vleur initile ; V F, l vleur finle, c est-à-dire l vleur près une ugmenttion ou bien une bisse de V I de % ( 0). Définition 2 1 Le coefficient multiplicteur de V I à V F (ou coefficient d évolution) est le réel c = V F V I 2 L vrition bsolue de V I à V F est le réel V F V I. 3 Le tux d évolution de V I à V F (ou vrition reltive) est le réel t = V F V I V I. Un tux d évolution peut être donné sous forme de frction, sous forme décimle ou sous forme de pourcentge. Dns ces deux derniers cs on utilise souvent un rrondi. Il est supérieur à 1. Pr convention, une évolution exprimée en pourcentge est toujours un tux d évolution (ou vrition reltive). 1/5

2 Exercice 2 Compléter le tbleu. 1 Une tempérture psse de 15 C à 18 C ; 2 Une production psse de 4 à 10 tonnes ; 3 Un prix psse de 12 à à 19,6 % Vleur initile V I 250 Vleur finle V F Vrition bsolue 686 Coeff. mult. c = Tux d évolution t = Le tux d évolution de l tempérture est de ou de. L tempérture Le tux d évolution du prix est de ou de. Le prix Le tux d évolution de l production est de. L production. Propriété 2 Soit un réel positif et inférieur à dns le cs d une bisse. 1 Augmenter une quntité de % revient à l multiplier pr c = 1 + Le tux d évolution est t = c 1 = (ou de % ). Il est positif. = 1 + t. V F = c V I = ( 1 + t ) V I = 1 + V I 2 Diminuer une quntité de % revient à l multiplier pr c = 1 Le tux d évolution est t = c 1 = = 1 + t. (ou de % ). Il est négtif. V F = c V I = ( 1 + t ) V I = 1 V I 3 Un coefficient multiplicteur supérieur à 1 correspond à une husse de % et = (c 1). 4 Un coefficient multiplicteur c compris entre 0 et 1 correspond à une bisse de % et = (1 c). Le coefficient multiplicteur 0 correspond à Le coefficient multiplicteur 1 correspond à Un coefficient multiplicteur négtif n ps de sens. Il correspond à une bisse de plus de %. Exercice 3 Tux d évolution + 0,3 % + 30 % + % % % 0,3 % 30 % 85,5 % Coeff. mult. 0,16 0,5 0, ,075 1,42 2 3,2 12,5 Exercice 4 Le tbleu donne prtiellement l fréquenttion du ciném en millions de spectteurs en Frnce de 1989 à Année Spectteurs 120,9 130,2 1) Clculer l vrition bsolue de 1989 à 1995 et le tux d évolution de 1989 à ) Schnt que l vrition reltive de 1995 à 2002 est de 15,2 %, clculer l fréquenttion en ) L vrition reltive de 2001 à 2002 est de 0,02. En déduire l fréquenttion en /5

3 Exercice 5 Un employé se voit proposer deux options pour l ugmenttion de son slire mensuel, exprimé en euros, u 1 er jnvier de chque nnée. option 1 : l ugmenttion est chque 1 er jnvier de 39 ; option 2 : l ugmenttion est chque 1 er jnvier de 3 %. Compléter le tbleu en rrondissnt les pourcentges à 0,01 %. option 1 option 2 Année Slires en euros Vrition bsolue Vrition reltive en % Cs de l Comment, vec un tux de de %, psser d un renseignement (prix, prix, montnt de l ) à un utre? Ici l vleur initile est le prix (hors txe) et l vleur finle est le prix (toutes txes comprises). Exemple pour une à 19,6 % 1 + ou prix + III. ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES Exercice 6 Le prix d un rticle subit deux ugmenttions successives de 22 % et de 15 %. 1) Clculer le pourcentge globl d ugmenttion? 2) Le prix finl est de 94. Clculer le prix initil. Exercice 7 L popultion d une ville ugmente chque nnée de 3 %. 1) Clculer le pourcentge d ugmenttion sur 2 ns, 3 ns et 10 ns. Arrondir à 0,01 %. 2) Déterminer, à l ide de l clcultrice, u bout de combien d nnées l popultion double. Propriété 3 Soient deux évolutions successives schémtisées insi : V 1 c1 V 2 c 2 c 1 Le coefficient multiplicteur globl c est le produit des coefficients multiplicteurs. c = c 1 c 2 = ( 1 + t 1 ) ( 1 + t 2 ) 2 Le tux globl d évolution t vérifie : 1 + t = ( 1 + t 1 ) ( 1 + t 2 ). Cette propriété se générlise à plusieurs évolutions. Une husse de 22 % suivie d une husse de 15 % ne correspond ps à une husse de 37 % (voir ex. 6) Ajouter des pourcentges de husses (ou de bisses) n ps de sens. 3/5 V 3

4 IV. ÉVOLUTION RÉCIPROQUE Exercice 8 Un objet à un prix initil de 13 est ugmenté de 30 %. 1) Clculer son nouveu prix. 2) Vérifier qu une bisse de 30 % de ce nouveu prix ne permet ps de revenir u prix initil. 3) Clculer le pourcentge de l bisse à ppliquer u nouveu prix pour revenir u prix initil. Propriété 4 Soit t le tux d évolution de V I à V F et t le tux d évolution réciproque de V F à V I. 1 1 Le coefficient multiplicteur c de V F à V I.est c = 1 + t = 1 + t. V I ( 1+ t ) V F ( 1+ t ') 2 Une ugmenttion de % suivie d une bisse de %, et inversement, conduit toujours à une bisse. Exercice 9 Retrouver l réponse à l question 3 de l exercice 8 à l ide de l églité 1 + t = t. Exercice 10 Une entreprise nnonce en 2008 une bisse de 15 % du chiffre d ffires pr rpport à Clculer le pourcentge, rrondi à 0,1 %, de l husse du chiffre d ffires à prévoir u cours de l nnée 2009 pour retrouver le chiffre d ffires de IV. POURCENTAGE DE POURCENTAGE Propriété 5 Pour prendre % de b % d une quntité on multiplie cette quntité pr Ce qui revient à prendre b % de cette quntité. b. Exercice 11 Le prti du président triomphe : vec 6,3 millions de voix il tteint un score de près 90 % des suffrges! L opposition, elle, dénonce une frude mssive et estime que l immense mjorité des 32 millions d électeurs inscrits désvoué le président. Clculer le nombre de votnts et le tux de prticiption. En déduire le pourcentge des inscrits qui ont voté pour le président. Exercice 12 Une forêt est composée de pins et de chênes. 30 % des rbres sont des chênes. Prmi ceuxci, 10 % sont prsités pr un chmpignon. Prmi les pins, un sur cinq est prsité pr ce même chmpignon. Nous llons rendre compte de ces données à l ide d un tbleu puis à l ide d un rbre. 1) Compléter le tbleu de pourcentges ci-contre. Les pourcentges sont tous exprimés pr rpport à l ensemble des rbres. 2) Compléter le schém suivnt : C C (chêne) (1) (mlde) (ps mlde) Totl P (pin) (2) Totl % Il y de chênes mldes prmi les rbres. Il y % de chênes sins prmi les rbres (4). P Il y de 3) Donner le pourcentge d rbres mldes. Il y de 4/5

5 Exercice 13 Dns deux pys X et Y le tux de chômge étit de 10 % en En 2001 le tux de chômge ugmenté de 2 points dns le pys X lors que dns le pys Y il ugmenté de 2 %. Dns quel pys le chômge est-il le plus importnt en 2001? V. COPARAISONS ET SOES DE POURCENTAGES Exercice % du territoire de l Norvège est boisée pour 28 % seulement du territoire de l Frnce. Dns quel pys l superficie boisée est-elle l plus importnte? Pour indiction l superficie de l Norvège est de km² et celle de l Frnce de km². À retenir : En générl on ne peut ps comprer deux pourcentges qui portent sur deux ensembles de référence distincts. Exercice 15 Dns une clsse les deux lngues vivntes 1 sont l nglis et l llemnd. 40 % des élèves sont des grçons étudint l nglis en LV1 et 21 % sont des grçons étudint l llemnd en LV1. Quel est le pourcentge de grçons dns l clsse? Exercice 16 On psse une nnonce dns deux journux d une ville : Infos, qui est lu pr 20 % des hbitnts, et Bonjour, qui est lu pr 15 % des hbitnts. On précise que 2 % des hbitnts lisent ces deux journux. Clculer le pourcentge des hbitnts qui vont pouvoir lire cette nnonce. B B Totl I I Totl % À retenir : L ddition de deux pourcentges n de sens que lorsque ces pourcentges portent sur des prties disjointes (Elles n ont ps d éléments communs) d un même ensemble de référence. Dns l exercice 15 les prties A (LV1 nglis) et D (LV1 llemnd) sont disjointes (un élève une seule LV1) Dns l exercice 16 les prties I (Infos) et B (Bonjour) ne sont ps disjointes, elles ont en commun les lecteurs des deux journux. Exercice 17 Des élèves entrent ensemble en Seconde. Trois ns plus trd, 40 % pssent un bc générl et 20 % un bc technologique. Prmi ces cndidts, 80 % réussissent le bc générl et 70 % le bc technologique. Quel est le pourcentge de réussite u bc en trois ns dns ce lycée? VI LES INDICES Lorsque l on des évolutions successives en fonction du temps, il est souvent prtique de les présenter en utilisnt l notion d indice. On choisit une nnée de référence n, on ffecte l indice. Les utres indices seront clculés proportionnellement ux vleurs respectives. Vleur de l nnée k On pourr donc utiliser l formule : Indice de l nnée k = Vleur de l nnée de référence On dit lors que les indices sont les indices bse en l nnée n. Exercice 18 Les chrges d une société sont données pr le tbleu ci-dessous. Compléter le tbleu. Année Chrges en euros tux d évolution (1) Indice bse en 2002 Indice bse en 2003 (1) Les économistes l ppellent souvent tux de croissnce, ce qui peut déconcerter qund il est négtif 5/5