Le problème de Cauchy. Résultats fondamentaux.

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1 Le problème de Cauchy. Résulas fondamenaux. 1. Noion de soluion maximale. Problème de Cauchy. 1.1 Forme normale d une équaion différenielle y = f(x,y). On éudie ici les équaions différenielles (ou sysèmes d équaions) de la forme: y = f(x,y) (E) (forme normale) où f es une foncion coninue sur un ouver U r x r n, à valeurs dans r n e y une foncion de classe C 1 sur un inervalle de r à valeurs dans r n. Exercice: Vérifier que si f es de classe C p, oue soluion de y = f(x,y) es de classe C p+1. Exprimer les dérivées y (k), pour k p+1 en foncion des dérivées parielles de f e de y. Forme normale des équaions e des sysèmes d ordre supérieur: Une équaion d ordre n : y (n) = F(, y(), y (),... y (n-1) ) où y es une foncion de classe C n à valeurs dans r p se ramène à un sysème d ordre 1. ( yy, ',, y n 1) à la foncion y, ce qui défini une Pour cela on associe Y = [ ] foncion à valeurs dans r np qui es soluion d un sysème Y = G(, Y) ssi y vérifie le sysème d ordre n précéden. Exemple: Considérons l équaion x" + x = µ ( 1 x²) x' (V) (équaion de Van der Pol). Associons à oue foncion x() deux fois dérivable, la foncion vecorielle X() = (x(), x ()). Il es immédia que x() es une soluion de (V) ssi X() vérifie le sysème du premier ordre: X' 1 ( ) = X2 () X' 2 ( ) = X1() µ ( 1 x²). X2() 1.2 Soluions maximales e soluions globales. définiions: on di qu une soluion de (E), définie sur un inervalle I es une soluion maximale de (E) si elle n adme pas de prolongemen à un inervalle conenan sricemen I. Dans le cas où l ouver de définiion de f es de la forme J x U où J es un inervalle ouver de r e U es un ouver de r n, on di qu une soluion es une soluion globale si elle es définie sur l inervalle J. 1

2 illusraions: y = 1 + y² n a pas de soluion globale... alors que oue soluion maximale d'une équaion linéaire y = a(x)y + b(x) es une soluion globale (ie: définie sur D a D b ). Théorème: Toue soluion de (E) se prolonge en une soluion maximale au moins. dém: [Dem] ou [Schwarz]. C es une conséquence facile du lemme de Zorn. Sous les hypohèses du héorème de Cauchy-Lipschiz nous monrerons ce résula plus direcemen. 1.3 Equaion foncionnelle associée à un problème de Cauchy. La remarque qui sui es essenielle. Soi U un ouver de r x r m e f: U r m, une foncion coninue. Une foncion y() de classe C 1, définie sur un inervalle conenan 0 es soluion y' = f(, y) du problème de Cauchy (E0), ssi y( ) = y0 + f ( u, y( u)) du. y ( 0) = y Noion de cylindre de sécurié. _ Soien C = [ 0 - T, 0 + T] x B (y 0, R) un voisinage compac de ( 0, y 0 ) conenu dans U, M un majoran de f sur C e y() une foncion coninue, définie sur _ l inervalle I = [ 0 - T, 0 + T] e à valeurs dans la boule fermée B (y 0, R). Posons T(f)() = y0 + f u y u du (, ( )). 0 Comme Tf ()() y0 M 0 il suffi que l on ai MT R pour que T(f) soi définie sur l inervalle I e que son graphe soi conenu dans C. Cee remarque nous condui inroduire la noion rès uile de cylindre (ou onneau ou...) de sécurié On di que C es un cylindre de sécurié pour le problème de Cauchy (E0) si la condiion T R es remplie, M éan un majoran de f sur C. M 2

3 Pour oue foncion f coninue définie sur un voisinage de ( 0, y 0 ), il exise des cylindres de sécurié pour le problème (E0). _ Il suffi en effe de prendre un cylindre [ 0 -T 0, 0 +T 0 ] x B (y 0, R) conenu dans U, sur lequel f es bornée par M e de choisir T = inf(t 0, R/M). Le cylindre C ainsi obenu es un cylindre de sécurié pour (E 0 ). Si C es un cylindre de sécurié pour (E 0 ), l'opéraeur T ransforme oue foncion coninue sur I = [ 0 -T, 0 +T], don le graphe es conenu dans C, en une foncion coninue sur I don le graphe es aussi conenu dans C. En pariculier oue soluion de (E0) définie sur I (qui es donc invariane par T) a son graphe conenu dans C. Lorsque ϕ 0 () es définie sur I, la relaion ϕ n+1 () = y0 + f u n u du (, ϕ ( )) 0 perme de consruire une suie de foncions qui son oues définies sur I, ce qui apparaîra esseniel dans la démonsraion du héorème de Cauchy- Lipschiz. 3

4 3. Le héorème de Cauchy-Lipschiz. On di que f es k-lipschizienne en y ssi f(, y) f(, z) k y z pour (,y), (,z) dans U. On di que f es localemen lipschizienne en y, si ou poin de U adme un voisinage sur lequel f es lipschizienne en y. Cee propriéé de la foncion f, supposée par ailleurs coninue, assure l exisence e l unicié d une soluion maximale du problème de Cauchy. Nous verrons (chapire 2) que sous la seule hypohèse de coninuié de f, l exisence d une soluion maximale es assurée, sans qu il n'y ai nécessairemen unicié. Remarquons qu il exise des classes d équaions différenielles y = F(, y), pour lesquelles chaque problème de Cauchy adme une soluion e une seule sans que F ne soi nécessairemen localemen lip en y. C es le cas par exemple des équaions à variables séparables (de la forme y = f()g(y) = F(, y), f e g coninues). 3.1 Eude locale. Gardons les noaions du paragraphe précéden. Théorème 3.1: (de Cauchy - Lipschiz, exisence e unicié locales) Si f es lipschizienne en y, si C es un cylindre de sécurié pour le problème (E0), il exise une soluion de (E0) définie sur I = [ 0 - T, 0 + T],e une seule. démonsraion: prouvons d un même je le héorème 3.1 e le héorème d exisence e de coninuié en foncion des paramères... problème avec paramère: Soi f : (,y, λ) U x Λ r x r n x Λ f(, y, λ) r n coninue, K-lipchizienne en y (K indépendan de e λ)), Λ éan localemen compac. y'( ) = f(, y( ), λ) Noons (E λ ) le problème de Cauchy, λ Λ. y ( 0) = y0 Théorème 3.2: coninuié de la soluion dépendan d un paramère. Il exise un compac [o-t,o+t] x B _ (yo, r) x Λ 0, el que pour ou λ Λ 0, le cylindre C = [o-t,o+t] x B _ (yo, r) soi un cylindre de sécurié pour (E λ ). la foncion (, λ) y λ (), où y λ es la soluion du problème (E λ ) sur I, es une foncion coninue sur C. 4

5 démonsraion: 1.La méhode du poin fixe de Picard: [Schwarz],[Dem] [Z & Q] ec... ( 0, y 0, λ 0 ) adme un voisinage compac [o-t,o+t ] x B _ (yo, r) x Λ 0 sur lequel f es bornée. En choisissan T= inf(t, r/m), C es un cylindre de sécurié pour ous les problèmes (E λ ). Posons: Φ λ (y) () = y0 + f u y u du (, ( ), λ ), ce qui défini un opéraeur 0 foncionnel de l espace E des foncions coninues de I dans r m dans luimême. Φ λ adme une iérée conracane pour la norme uniforme. Φ λ (y) () - Φ λ (z) () = f( u, y( u), λ) f( u, z( u), λ) du φ ( 2 ) λ( )() φ ( 2 y ) λ()() z K φλ( y)( u) φλ( z)( u) du 0 u K ² y ( s ) z ( s ) dsdu Une récurrence facile monre que: φ ( n ) λ φ ( n ( y)() ) λ( z)() K² y () z (). 2 n K n! y () z () On en dédui, puisque E es un espace de Banach pour la norme uniforme, que pour ou λ Λ, Φ λ adme un poin fixe unique y λ e que l applicaion λ y λ, es coninue sur Λ 0. Pour en déduire la coninuié de (, λ) y λ () sur I x Λ 0, écrivons: yλ ( ) yµ ( u) yλ( ) yλ( u) + yλ ( u) yµ ( u) e le résula devien éviden puisque le second erme es majoré indépendammen de u par y y λ µ. 2. Nous donnerons une aure démonsraion du héorème de Cauchy Lipschiz faisan inervenir les foncions d Euler dans le chapire 2. 5

6 Remarque: les condiions iniiales pour les équaions d'ordre supérieur. On sai qu'une équaion d'ordre n de la forme Y (n) = F(, Y(),..., Y (n-1) ()) où Y es une foncion vecorielle à valeurs dans E, es équivalene à un sysème du premier ordre de la forme Z' = G(, Z()) où Z es la foncion définie par Z() = [Y'), Y'(),..., Y (n-1) ()]. La condiion iniiale Z( 0 ) ) = Z 0 s'exprime donc {Y( 0 ) = Y 0,..., Y (n-1) ( 0 ) = Y n-1 } 3.2.Coninuié en foncion des condiions iniiales. Théorème 3.3: dépendance de la soluion en foncion de ( 0, y 0 ). On suppose, comme dans le héorème 2, que la foncion f(, y, λ) es coninue, localemen lipschizienne en y sur U. Alors: Pour ou riple ( 0, y 0, λ 0 ) dans U x Λ, il exise T > 0, R >0, els que : si V = [o-t,o+t] x B _ (yo, R), pour ou ( 1, y 1, λ 1 ) V x Λ 0, la soluion du problème {y = f(, y, λ 1 ) e y( 1 ) = y 1 } es définie sur [ 0 -T, 0 +T]. La foncion (, 1, y 1, λ 1 ) y(, 1, y 1, λ 1 ), où y(, 1, y 1, λ 1 ) es soluion du problème précéden es coninue. références: ces résulas son démonrés dans [Dem], [Z & Q],...(ainsi que les héorèmes analogues de différeniabilié). démonsraion: éape 1: exisence d un inervalle sur lequel son définies des soluions des problèmes {y =f(,y, λ 1 ),y( 1 )=y 1 }. Soi C = [o-t 0,o+T 0 ] x B _ (yo, R 0 ) un cylindre de sécurié pour les problèmes de Cauchy {y = f(, y, λ) e y( 0 ) = y 0 } lorsque λ décri un voisinage de λ 0 (voir démonsraion du héorème 2). On a MT0 R0 où M es un majoran de f(,y,λ) sur C x Λ 0... Posons V = [o-t,o+t] x B _ (yo, R) où T = T 0 /3 e R = R 0 /3. Prenons ( 1, y 1, λ 1 ) V x Λ 0. 6

7 On obien un cylindre de sécurié pour le problème de Cauchy (E1): {y = f(, y, λ 1 ) e y( 1 ) = y 1 } en posan C 1 = V = [o- 2T 0 /3,o+ 2T 0 /3] x B _ (yo, 2R 0 /3) (conenu dans C sur lequel f es majorée par M). La soluion y 1 de ce problème es donc définie sur [o- 2T 0 /3,o+ 2T 0 /3] qui conien [o-t,o+t]. éape 2: se ramener à une équaion don (1, y1) son des paramères. Noons x(, ( 1, y 1, λ 1 )) la soluion de (E1) sur l inervalle [o-t,o+t]. Posons ϕ(s) = x(o + s, ( 1, y 1, λ 1 )) - x(o, ( 1, y 1, λ 1 )). Elle vérifie: (i) ϕ(s) es définie sur [o-t,o+t]; (ii) ϕ(0) = 0; (iii) ϕ'(s) = f(o + s, [x(o + s, ( 1, y 1, λ 1 ))], λ 1 ); Posons g(s, z, [o, 1, y 1, λ 1 )] ) = f(o + s, [z + x(o, ( 1, y 1, λ 1 ))], λ 1 ), il vien encore: (iv) ϕ'(s) = g(s, z, µ1). Il suffi pour conclure de vérifier que g saisfai aux hypohèses du héorème 2, ce qui es facile Eude globale. Théorème 3.4: ( de Cauchy - Lipschiz global) Si f es coninue e localemen lipschizienne en y, le problème de Cauchy (E 0 ) adme une soluion maximale e une seule e oues les soluions du problème son des resricions de cee soluion maximale. démonsraion: voir [Schwarz], [Z & Q] ou [Dem]. Deux soluions u e v du problème (E 0 ) définies sur des inervalles ouvers J u e J v coïnciden sur l inersecion de leurs domaines. On pose A = { Ju Jv; s [ 0, [, u(s) = v(s) }. Le héorème d unicié locale nous assure que A conien un voisinage à droie de 0. Posons β = sup A. Supposons que β Ju Jv. Par coninuié de u e v, on a u(β) = v(β). Le héorème d exisence e d unicié locale nous apprend que le problème de 7

8 Cauchy de condiion iniiale y(β) = u(β) adme une soluion e une seule au vois de β. Cee soluion coïncide sur un voisinage à droie de β avec u e v qui son égales au delà de β = sup A. Conradicion. Soi S l ensemble des soluions de (E 0 ) définies sur un inervalle conenan 0. Deux élémens u e v de S coïnciden sur J u J v, ce qui perme de définir une foncion U sur la réunion de ces inervalles J = J u, en posan U() = u() où u es une foncion quelconque de S don l inervalle de définiion conien. U es maximale par consrucion e une aure foncion maximale es aussi définie sur J e coïncide avec U. Remarque: la propriéé d exisence e d unicié locale nous perme de monrer qu il exise une soluion maximale sans faire appel au lemme de Zorn. Le résula énoncé en 1 rese plus général. Exercices Exercice 3.1: Cas où la foncion f n es pas lipschizienne en y. Eudier le problème de Cauchy { y () =. y 1/2, y( 0 ) = y 0 }. Moner qu'il adme pour cerains couples (0, y0) une infinié de soluions globales sur r (penser à prolonger les soluions du problème y () =. y 1/2, y( 1 ) = y 1 ). Exercice 3.2: que faire avec le héorème de Cauchy-Lipschiz? Soi (E) l'équaion différenielle y'() = sin( y()) (voir plus loin, exercice 4.3 une éude plus déaillée). Monrer que si y( ) es une soluion de (E), y es de signe consan, que les foncions y()e y( ) son égalemen soluions, en déduire que si y() es une soluion maximale définie sur un voisinage de 0 c'es une foncion paire. 8

9 4. Inéquaions différenielles. En majoran/minoran le deuxième membre d une équaion différenielle, on majore/... ses soluions à droie e on les minore/... à gauche. Théorème 4.1: Soi F une foncion coninue sur ]a,b[ x Ω (où r) e u() une foncion dérivable (ou bien coninue e admean des dérivées à droie e à gauche) sur un inervalle I conenu dans ]a,b[, qui vérifie l inéquaion différenielle: u'( ) < F(, u( )) (ou bien: u d (), u g () < F(,g())...). uo ( ) = yo g'( ) = F(, g( )) Si g es une soluion du problème de Cauchy:, pour ou I, go ( ) = yo si > o, g() > u() si < o, g() < u(). Remarque: l'hypohèse sur > 0 seulemen. u'( ) < F(, u( )) uo ( ) < yo condui à un résula analogue mais On généralise ce résula à des inéquaions différenielles dans r m suivane: de la façon Théorème 4.2: Considérons une équaion différenielle scalaire z = M(,z) où M es une foncion à valeurs réelles posiives, coninue sur ] α,β[ x r +. Soi o ] α,β[. Soi g une soluion de l équaion différenielle g () = M(,g()) sur [o,β[. Soi f: U r m (ouver U de r x r m), coninue e dérivable à droie sur [o,β[, vérifian l inéquaion différenielle : f d () < M(, f() - x o ) e f(o) - x o g(o). Alors, Pour ou [o, β[, on a : f() - x o g(). Si de plus, f es dérivable à gauche, la dérivée à gauche vérifian la même inégalié, f g () < M(, f() - x o ), la majoraion es srice en ou poin > o e on obien l inégalié inverse sur < o. 9

10 références: On rouvera la démonsraion de ce résula dans [Schwarz II p 366] (avec l hypohèse f dérivable) ou dans [V&P], (avec l hypohèse f dérivable à droie)... ou en exercice, pour ce qui es du cas réel, dans [Dém, prob. 2 p 138]. Signalons enfin la démonsraion de [Z Q]. démonsraion: par commodié d écriure démonrons le Théorème 4.1. Remarquons ou d abord, qu en un poin 0 el que u( 0 ) =g( 0 ), on a: u ( 0 ) < F( 0, y 0 ) = g ( 0 ). Sur un voisinage de 0, on a donc u() < g() si > 0 e l inégalié conraire sinon. Soi alors J ={ [ 0, b[ / u(s) < g(s) pour 0 < s < }. J es non vide d'après la remarque précédene. Posons β =sup(j). Monrons par l absurde que β es égal à b. Si β < b, par coninuié de u e de g on a u(β) = g(β) (si u(β) < g(β), l inégalié srice es vérifiée au delà de β). Cee siuaion es conredie par la remarque préliminaire. Exercices Exercice 4.1: Soi l équaion différenielle y = y 2 + x e f une soluion maximale de cee équaion définie sur ]α, β[. a) Monrer que β es réel e que f end vers l infini en β. b) Monrer que si ]α, β[ conien o assez grand alors α es réel e f end vers en α. 10

11 y ' = y + x; inflexions isocline 0 inflexions inflexions remarques: on peu en fai monrer que les soluions s'exprimen à l'aide des foncions de Bessel (qui ne son pas des foncions élémenaires!): yx ( ) = x -2 _C1 BesselY, x / BesselJ -2, x / _C1 BesselY, x 3 / BesselJ, 3 3 x 3 / 2 une éude déaillée de cee équaion fai l obje du problème d agrégaion inerne 90 e donc de ses corrigés. Exercice 4.3: Soi (E) l'équaion différenielle y'() = sin( y()) (un classique!). a) On éudiera cee équaion sur ( > 0, y >0) après avoir éabli les résulas de l'exercice 3.2. b) Déerminer les isoclines de penes 0 e ±1. 11

12 y' = sin(y) c) (représenaion des soluions avec graph'x) 12

13 Exercice 4.2: inerpréer le lemme de Gronwall à la lumière du héorème de comparaison. Soi ϕ une foncion coninue elle que ϕ() A + B s ds ϕ() sur un inervalle I, monrer que ϕ( ) Ae B 0 (lemme de Gronwall). Applicaion: Soi f k-lipschizienne en y sur un cylindre de sécurié C pour le y'( ) = f(, y( )) problème. Monrer que si les foncions y 1 e y 2 son des y ( 0) = y0 soluions ε i -approchées de ce problème, (ie: y () f(, y ()) ε e y i ( 0 ) = y 0 i i i k 0, i = 1, 2), alors: y () y () (e e ) e sur [ 0 -T, 0 +T]. k 0 5. Allure des soluions maximales d une équaion différenielle. Théorème 5.1 : allure des soluions maximales. Soi F une foncion coninue sur ]a,b[ x Ω, localemen lipschizienne en y, e u une soluion maximale de l équaion différenielle y () = F(,y()) définie sur un inervalle I = ]α,β[. Alors, * soi β = b, * soi u() end vers la fronière de Ω lorsque end vers β (i.e.: pour ou compac K Ω, il exise s I, el que > s u() K). références: Ce héorème es vrai en supposan f coninue. Sous l'hypohèse que f es localemen lipschizienne en y la démonsraion es plus facile à exposer (oral). On rouvera les deux démonsraions dans [Schwarz II, p 364]. Ce héorème es égalemen démonré dans [V&P] (cas général), [Avez] (champs localemen lip) e dans [Z Q]. démonsraion: Soi u() une soluion maximale de y = F(, y) définie sur ]α,β[. * Supposons que β < b e que la deuxième condiion ne soi pas remplie: Il exise alors un compac K Ω e une suie ( n ) d élémens de ]α,β[, de limie β, els que u( n ) K. 13

14 La suie (u( n )) adme un poin d accumulaion z dans K. Le couple (β, z) adme un voisinage conenu dans le pavé sur lequel F es définie, qui es un cylindre de sécurié pour le problème de Cauchy: {y = F(, y) e y(β) = z}. Noons C = [β-t, β+t]x B(z,R) ce cylindre (pour lequel MT < R, M majoran de F sur C). Nous voyons facilemen que pour ou (, x) dans [β-t/3, β+t/3] x B(z,R/3), le cylindre [-2T/3, +2T/3] x B(y,2R/3) es un cylindre de sécurié pour le problème de condiion iniiale y() = x. Ce problème adme une soluion qui es définie sur [-2T/3, +2T/3]. Ce inervalle conien [β-t/3, β+t/3]. Prenons alors = n, noons y n la soluion du problème de condiion iniiale ( n, u( n )). Posons v() = u() si n e v() = y n () si n. Cee foncion es une soluion (car en n les dérivées à droie e à gauche vérifien y = F( n, u( n )) = F( n, y n ( n ))...). Elle coïncide donc avec u sur leur ensemble de définiion commun. C es un prolongemen de u à ]a, β + T[. La conradicion es obenue. Exercice: Exercice 5.1 condiions suffisanes d'exisence de soluions globales. a) Soi f une foncion coninue sur I x r n. On suppose que, pour ou inervalle [a, b] conenu dans I, il exise une foncion ds F: IR+ IR + elle que: (i) f(,x) F( x ) e (ii) =+. 0 Fs () Monrer que les soluions maximales de y'() =f(,y()) son des soluions globales. indicaion: inroduire r()² = y() ² e dériver. On en déduira que r vérifie l'inéquaion différenielle r' F(r). b) Eudier l'équaion à variable séparables y' = a() y, où a() es définie sur r. c) Equaions linéaires: Monrer qu'une équaion linéaire Y'() = A() Y() + b() où A: L(E) es une famille d'endomorphismes de E, b E, une foncion vecorielle coninue a des soluions maximales qui son des soluions globales (lemme de Gronwall e allure des soluions maximales). 14

15 6. Exemple d éude déaillée : l équaion y = y 2 - x. C'es encore un exemple classique. L'éude de cee équaion es proposée comme problème déaillé dans [Dem], p 137, elle figure égalemen dans le livre Sysèmes différeniels, de Arigue e Gauheron chez CEDIC (épuisé en librairie). Enfin [Anal 3] le propose comme exercice corrigé. Nous suivons la démarche proposée par [Dem] qui peu servir dans une leçon. a) isoclines: ce son les courbes d équaions (y 2 - x = p), en pariculier Io a pour équaion (y 2 = x). On noera aussi (y <0). P - (y < 0)= (y 2 -x < 0) es une zone piège ( ie: (xo,f(xo)) P - (x,f(x)) P - pour ou x > xo); En effe: considérons f une soluion maximale de l équaion définie sur un inervalle I = ]α,β[. Soi xo I, el que (xo,f(xo)) P -. Posons J = {x > xo/ (x,f(x)) P - } e c = sup J. Si c = β, c es fini. Sinon, par coninuié, (c,f(c)) Io. La pene de la courbe représenaive de f en ce poin es nulle. Il exise ε > 0 el que: c- ε< < c (,f()) es exérieur à P -. Cela es conradicoire. b) lieu des poins d inflexion: En dérivan l équaion e en remplaçan, on obien: y = 2yy -1=2y(y 2 -x) - 1 = 2y 3-2xy - 1. L ensemble des poins d inflexion es la courbe d équaion (x = y 2-1 ), qui a 2y deux composanes I1(x = y 2-1 2y e y>0), e I2(x = y2-1 e y <0), e parage le 2y plan en rois paries. c). Comparons les penes en un poin d inersecion Mo d une courbe C soluion, e de I 1. c.α) La pene de C en ce poin es p = 1/2yo; Celle de I 1 es p = 2 2 yo. On a donc p > p yo Conséquence: au voisinage de xo, si x < xo, la courbe C es au dessous de I 1 (y =0 e y > 0), si x > xo, elle es au dessus. 15

16 c.β ) C ne renconre I 1 qu en un poin: Posons J = {x > xo/ f (x) > 0}, on monre comme ci-dessus, en raisonnan sur la coninuié de f, que c = supj = β. Il n y a pas de poin d inersecion d abscisse supérieure à xo. Mo es donc le seul poin d inersecion (raisonner par l absurde...). La soluion f a donc une dérivée posiive au vois de xo e sricemen croissane sur ]xo, + [, la courbe ne renconre nulle par P - qui es une zone piège, en pariculier f es croissane. c.γ) branches infinies: Rappelons que f es une soluion maximale de l équaion définie sur I = ]α,β[. Monrons que β es réel: Si ce n es pas le cas, f es définie sur [xo, + [, on sai que f y es croissane (puisque la courbe ne sor pas de (y > 0 e y >0). x On a donc y > po e f(x) > pd + f(xo) = px + f(xo) pour x > xo. xo Ainsi, f (x) = f 2 (x) - x > f 2 (x) / 2 pour x > a suffisammen grand. D après le héorème de comparaison, si x > a, alors f (x) > g(x), où g es la soluion de l équaion différenielle y = y 2 /2 elle que g(a) = f(a). 2 Or g(x) =, a pour pôle a + 2/f(a) > a (en effe la courbe soluion 2 ( x a) fa ( ) envisagée vérifie par définiion f(xo) > 0 es f croî sur l inervalle [xo, β [...). On a donc β < a + 2 /f(a). La courbe adme une asympoe vericale en β. Démonsraion direce: f croî au voisinage de β, adme donc une limie l. Si l es réelle, il exise une soluion du problème de Cauchy de condiion iniiale y(β) = l, ce qui perme de prolonger f. C es aussi une conséquence du héorème sur l allure des soluions maximales. Toue soluion maximale adme une asympoe vericale en α r. Monrons que α es réel: Si ce n es pas le cas, f es définie sur un voisinage de, de la forme ]-, a] où a < -1. Sur un el inervalle, on a: y = y 2 - x > y Soi g la soluion de y = y 2 +1 elle que g(a) = f(a). 16

17 D après le héorème de comparaison, si x < a, f (x) < g(x) = an(x + c), cee foncion adme pour limie en x1 < α. La courbe adme une asympoe vericale en α: On monre que f adme pour limie - comme dans le cas précéden. quesions d) e e): le leceur se fera un plaisir d achever le problème. remarque: on peu monrer (MAPLE V.3) que: y =' y - x isocline 0 (y" = 0) (y" = 0) (fai avec graph'x) 17

18 Annexe 1. Le héorème du poin fixe de Banach: Théorème 1: héorèmes du poin fixe. Soi f : E E, où E es un espace mérique comple. On suppose f conracane de rappor k < 1. Alors (i) f adme alors un poin fixe a e un seul, (ii) pour ou x o E, la suie (x n ) de premier erme x0, définie par la relaion n x n+1 = f(x n), converge vers a avec: d(x n, a) k d(x o, x 1 ). 1 k On suppose qu une iérée f p de f e conracane de rappor k < 1, alors f adme un poin fixe e un seul. Théorème 2: dépendance du paramère... Soi f: (x, λ) E x Λ f(x,λ) E, coninue en λ. On suppose qu'il exise un enier n e une consane k <1 els que pour ou λ apparenan à Λ, x f(x,λ) adme une iérée d'ordre n conracane de rappor k. Alors, pour ou λ, f(.,λ) adme un poin fixe unique a λ e l applicaion λ a λ, es coninue sur Λ. démonsraions: voir [Schwarz I] ou [Choque]... 18

19 Annexe 2 : méhodes explicies élémenaires. 1. Equaions à variables séparables. Une équaion différenielle à variables séparables es une équaion de la forme y () = h()g(y) définie sur I x J, inervalles ouvers où les foncions h e g son coninues sur I e J respecivemen. Théorème: On suppose que g(y) ne s annule pas sur J. Pour ou ( o, y 0 ) I x J, le problème de Cauchy: y '( ) = h()g(y) adme une soluion maximale e une y ( 0) = y0 seule définie sur un voisinage de 0 dans I. démonsraion: on jusifie facilemen que la seule soluion du problème es la foncion y() = G -1 o H() où H es la primiive de h nulle en 0 e G la primiive de g nulle en y 0. 1 y² Exercice 1.1: éudier l'équaion y = 1 x². Exercice 1.2: On considère l'équaion 3 sin(y())y'() = 2 où A > 0. a) Monrer qu'une soluion maximale du problème de Cauchy de condiion iniiale y(a) = y 0 définie sur [a, b[es monoone e bornée. Que peu on dire de l'allure de la soluion au voisinage de b? b) Donner une expression de y() e discuer de l'inervalle [a, b[ en foncion du choix de y 0. Exercice 1.3: Soi y = h(x)g(y) une équaion différenielle à variables séparables, les foncions g e h éan posiives, définies sur ]0, + [ e ]o, + [ respecivemen, avec g > 0 e h 0,. 1 a) Monrer que si l inégrale g d diverge, alors le problème de Cauchy a () y' = gyhx ( ) ( ) adme une soluion sur ]0, + [ pour ou y 0 > 0. y( 0) = y 0 b) Que dire lorsque l inégrale converge? 19

20 2. Equaions linéaires du premier ordre ou s'y ramenan On es ici censé connaîre les méhodes de résoluions des équaions linéaires d'ordre 1. exercice 2.1: équaion de Bernoulli. Soi (E) l'équaion différenielle y' = a()y + b()y α où a e b son des foncions coninues sur I e α es différen de 1. a) Monrer que le changemen de foncion inconnue z = y β (on choisira correcemen l'exposan) condui à la résoluion linéaire. b) Résoudre comme cela: (i) y' - 4 y x = x y (ii) y' - y x = x3 y 4 exercice 2.2: équaion de Riccai Soi (E) l'équaion différenielle y' = A() y² +B() y + C() (où A, B e C son coninues sur I). On sai résoudre une elle équaion dés que l'on en connai une soluion pariculière f. a) Monrer que le changemen de foncion inconnue y = f + u (où u es la nouvelle foncion inconnue) nous ramène à une équaion de Bernoulli (B). Exprimer les soluions de (E) en foncion de f. b) Résoudre y' + y + y x - 4 x² = 0 20

21 3. Equaions homogèmes exercice 3.1: On di qu'une équaion es homogène si elle es de la forme y' = f( y ), f éan coninue sur un inervalle J de r. a) Monrer le héorème suivan (en posan y() =.u()...) Si f es coninue sur ]a, b[, si l'équaion f(u) = u n'a pas de soluion sur ]a, b[, alors pour ou ( 0, y 0 ) el que a < y 0 y' = f( < b, le problème de Cauchy ) y 0 y( 0 ) = y 0 adme une soluion maximale e une seule don le graphe es conenu dans G = {(,y)/ a< y <b}. b) illusraion: y' () = ( ²-y²() + y) = f( y ) rechercher les soluions elles que f(u) =u. Préciser l'isocline 0 e régionner le domaine de définiion de f( y ). Rechercher les soluions maximales. 4.Méhode de variaion des consanes pour les équaions linéaires. Exemple 4.1: Soi (E) (x+1)y" - y' -xy = C(x) d'équaion homogène associée (H): (x+1)y" - y' -xy = 0. a) Rechercher les soluions de (H) développables en série enières. Soi ϕ une elle soluion. b) On pose y() = α(x)ϕ(x). Rechercher les soluions de de (E) e de (H) sous cee forme. Exise--il des soluions définies sur r? 21

22 Exercice 4: sysème différeniel de Loka-Volerra (d après [Arnold p 41], voir aussi l éude de ce sysème dans [A e F] 3). chapire 1 a) Soi (E) y (x) = u(x) / v(y) une équaion à variables séparables, on lui associe le x'( ) = ux ( ( )) sysème différeniel auonome: (S) (ou X = U(X)...). y'( ) = v( y( )) Monrer que les rajecoires (ou orbies) du sysème (S) son les courbes inégrales de l équaion (E). Rappel: une courbe inégrale d une équaion différenielle es une courbe de classe C 1, ϕ: I r 2 elle que la pene de la angene en ϕ() = (x(), y()) vérifie: y'( ) = f( x, y). x'( ) x'( ) = kx( ) ax( ) y( ) b) On considère le sysème auonome, don les y'( ) = lx( ) + bx( ) y( ) coefficiens son des réels sricemen posiifs. Monrer que les orbies du sysème son des courbes fermées, en déduire que les soluions du sysème son périodiques. 22

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