Rochambeau Enseignement de spécialité. Corrigé

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1 Rochambeau. 06. Enseignement de spécialité. Corrigé EXERCICE Partie A L énoncé donne P = 0,96, PA = 0,6 et P A = 0,98. Représentons la situation par un arbre de probabilités. 0,98 0,6 A 0,0 0,4 B La probabilité demandée est PA. PA = PA P A = 0,6 0,98 = 0,88. D après la formule des probabilités totales, P = PA + PB et donc Ensuite, PB = P PA = 0,96 0,88 = 0,37. 3 La probabilité demandée est P B. P B = P B = p Le technicien a donc raison. Partie B P B = PB PB PB P B PA +PB = = 0,37 0,4 = 0,93. 0,4 0,37 0,37+0,88 = 0,08 0,0,04 = 0,7. La probabilité demandée est P0,9 X,. La calculatrice fournit P0,9 X, = 0, ou encore P0,9 X, = 0,93 au centième près. D autre part, P B = PB = 0,37 = 0,93. Donc, la probabilité qu une bille produite par la machine B soit PB 0,4 vendable est bien égale au centième près à celle de la partie A. 0,9 Y, 0, Y 0, 0, σ Y σ 0, Y. On sait que la variable Z = σ σ suit la loi normale centrée réduite et de plus, P0,9 Y, = P 0, σ Z 0, σ. Ensuite, pour des raisons de symétries, P Z 0, σ = P 0, σ Z 0, σ +P Z 0, σ = 0,98+ 0,0 = 0,99. La calculatrice fournit Donc, σ = 0,043 arrondi à 0 3. P Z 0, σ = 0,99 0, σ = σ = 0, http :// c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.

2 Partie C a Notons X la variable aléatoire égale au nombre de billes noires dans le sachet. 40 expériences identiques et indépendantes sont effectuées. chaque expérience a deux issues à savoir «la bille est noire» avec une probabilité p = et «la bille n est pas noire» avec une probabilité p = 4. X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 40 et p =. La probabilité demandée est PX = 0. On sait que fourni par la calculatrice. PX = 0 = = 0,07 arraondi à 0 3 b Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 9%. Ici, n = 40 et p = = 0,. On note que n 30, np = 8 et n p = 3 de sorte que np et n p. Un intervalle de fluctuation est [ ] [ ] p p p p 0, 0,8 0, 0,8 p,96,p+,96 = 0,,96,0,+,96 = [0,07;0,33] n n en arrondissant de manière à élargir un peu l intervalle. La fréquence observée est f = = 0,3. Cette fréquence 40 appartient à l intervalle de fluctuation et donc on ne peut pas remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes. Soit n le nombre de billes dans un sachet. Le nombre de billes noires de ce sachet est une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,. La probabilité que le sachet contienne au moins une bille noire est Par suite, PX = PX = 0 = 0,8 n. PX 0,99 0,8 n 0,99 0,0 0,8 n 0,8 n 0,0 ln0,8 n ln0,0 par stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+ [ n ln0,8 ln0,0 n ln0,0 ln0,8 n 0,6... n car n est un entier. car ln0,8 < 0 Le nombre minimal de billes que doit contenir un sachet pour avoir une probabilité supérieure à 0,99 d avoir au moins une bille noire est. http :// c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.

3 EXERCICE Partie A e fx B = fe = eln fx I = f = eln e+ = e e+ = = y B. Donc, le point B appartient à la courbe C f. + = + = 0 = y I. Donc, le point I appartient à la courbe C f. La fonction f est dérivable sur [,e] et pour tout x de [,e], Par suite, f x I = ln x f x = ln +x / x x x/ = ln + = ln. = ln = 0. On en déduit que l axe des abscisses est tangent à la courbe C f en I. a On a déjà x B = e et fx B =. Ensuite, f x B = f e = ln à C f au point B est y = + x e ou encore y = x+ e. e = lne =. Une équation de la tangente Ensuite, x+ e = 0 x = e. Le point D a donc pour coordonnées e,0. b L aire, exprimée en m, du triangle ABI vaut AB AI ou encore e ou enfin e. L aire, exprimée en m, du trapèze AIDB vaut AB+ID AI ou encore e +e 4 On en déduit que e S 4e 6. Ceci fournit pour le volume, exprimé en m 3, de la cuve : Ceci fournit encore 7, 4,4. 0e 0 0e a La fonction G est dérivable sur [,e] et pour tout x de [,e], G x = x ln x + x / x/ x x 4 = x ln + x x x = x ln = gx. Donc, la fonction G est une primitive de la fonction g sur [,e]. b Une primitive de la fonction f sur [,e] est alors la fonction F : x x x ln x 4 x F : x x x ln 3x 4 +x c puis e [ x ] e x S = fx dx = x ln 3x 4 +x e e = ln 3e + 4 ln 3 4 = e +3e 3 = e 3, = e 3 = m 3 arrondi au mètre cube. ou enfin 4e 6. + x ou encore Partie B Notons 0 le volume cherché. La fonction f est continue sur [,e] et croît strictement de 0 à sur cet intervalle. Donc, existe un réel x 0 et un seul dans l intervalle [,e] tel que fx 0 =. La calculatrice fournit f4,3 = 0,99... < et f4,4 =,06... >. Puisque la fonction f est croissante sur [,e], on en déduit que 4,3 x 0 4,4. http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.

4 Quand x augmente, la hauteur d eau dans la cuve augmente puis le volume d eau dans la cuve augmente. Donc, la fonction v est croissante sur [,e]. On en déduit que v4,3 0 v4,4. La calculatrice fournit v4,3 = 7,3... et v4,4 = 8,... et on en déduit que 0 = 8 m 3 au m 3 près. L algorithme affiche une valeur approchée de la hauteur d eau dans la cuve pour laquelle le volume d eau dans la cuve vaut la moitié du volume total à 0 3 près. http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.

5 EXERCICE 3 +i = + = puis +i = + i = π π cos +i sin = 4 4 e iπ 4. Graphique. 4 B M 3 3 M M M 4 C 4 3 O M 0 A M 4 D M 6 Soit n un entier naturel. La plus grande distance du point O à un point du carré ABCD est OA = 4. Donc, on est sûr que le point M n est à l extérieur du carré si OM n > 4. n OM n > 4 z n > 4 +i n > 4 > 4 n ln > ln4 par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, + [ n ln > ln n ln > ln n > n > 4 n. Donc, l entier n 0 = convient. On note que, puisque M 4 = C, est la plus petite valeur possible de n 0. http :// c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.

6 EXERCICE 4 a P Xn=X n+ = est la probabilité que l urne U contienne une blanche après le n + -ème tirage sachant que le U contient une boule blanche après le n-ème tirage. Si X n = 0, il y a deux boules noires dans l urne U après le n-ème tirage et deux boules blanches dans l urne. Numérotons B, B les deux boules blanches et N, N les deux boules noires. L urne contient donc N,N et l urne contient B,B. Tout tirage simultané d une boule dans chaque urne amène oblgatoirement après échange à la situation où chacune des deux urnes contient une boule blache et une boule noire. Donc, P Xn=0X n+ = =. De même, si X n =, il y a deux boules blanches dans l urne U puis obligatoirement exctament une boule blanche après le n+-ème tirage. Donc, P Xn=X n+ = =. Supposons maintenant que X n =. Il y a une boule blanche et une boule noire dans l urne U et une boule blanche et une boule noire dans l urne après le n-ème tirage. Sur les quatre tirages simultanés d une boule dans chaque urne, tous équiprobables, deux amènent à la situation X n+ = et les deux autres non. Donc, P Xn=X n+ = = 4 =. b D après la formule des probabiltés totales, PX n+ = = PX n = 0 P Xn=0X n+ = +PX n = P Xn=X n+ = +PX n = P Xn=X n+ = = PX n = 0+ PX n = +PX n =. 0 0 R = R 0 M = = 0 0. Ceci signifie qu il est certain que l urne U contienne une 0 0 boule blable et une boule noire après le premier tirage. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, R n = R 0 M n. R 0 M 0 = R 0 I 3 = R 0. L égalité est vraie quand n = 0. Soit n 0. Supposons que R n = R 0 M n. Alors R n+ = R n M = R 0 M n M par hypothèse de récurrence = R 0 M n+. Le résultat est démontré par récurrence. 3 Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, M n = P D n P. P D 0 P = P I 3 P = PP = I 3 = M 0. L égalité est vraie quand n = 0. Soit n 0. Supposons que M n = P D n P. Alors M n+ = M n M Le résultat est démontré par récurrence. = P D n P P D P par hypothèse de récurrence = P D n I 3 D P = P D n D P = P D n+ P. Remarque. Il y a une erreur d énoncé : le résultat fourni par l énoncé est faux quand n = 0 car D 0 = I 3. 4 a Soit n un entier naturel non nul. n 0 0 D n P = D autre part, D 0 P = P = 0 0. = n n n http :// 6 c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés..

7 b Soit n un entier naturel non nul. R n = R 0 M n = R 0 PD n P = = n Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, Puisque < lim n + PX n = = 3. PX n = 0 = PX n = = 3 <, on sait que lim 3 n n n n n n + 6. et PX n = = 3 n + 3. n. On en déduit que lim n + PX n = 0 = lim PX n = = n + n + 6 et Ceci signifie qu au bout d un grand nombre de tirages, on a environ deux chances sur trois que l urne U contienne une boule blanche et une boule noire, une chance sur six que l urne U contienne deux boules blanches et une chance sur six que l urne U contienne deux boules noires. http :// 7 c Jean-Louis Rouget, 06. Tous droits réservés.