Suites de nombres, cours, première STMG

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1 Suites de nombres, cours, première STMG F.Gaudon 9 juin 2014 Table des matières 1 Notion de suite 2 2 Méthodes de construction des suites Dénition explicite Dénition par récurrence Variations et représentation graphique 3 4 Suites arithmétiques 4 5 Suites géométriques 6 1

2 1 Notion de suite On appelle suite toute onction u qui à tout entier naturel n associe un nombre réel u(n) pour tout entier naturel. Il s'agit en ait d'une liste numérotée de réels. Soit u la suite dénie par u(n) = 3 n. On a u(4) = 3 4 = 81. L'image de n par la suite u est notée u n au lieu de u(n). u n est appelé terme de rang n ou terme général de la suite. u n+1 est le terme suivant u n et u n 1 est le terme précédent u n. La suite u est souvent notée (u n ). Remarque : Si u 0 est le premier terme de la suite, u n est le n + 1 e terme. Si u 1 est le premier terme de la suite, u n est le n e terme. 2 Méthodes de construction des suites 2.1 Dénition explicite Soit une onction dénie de [0; + [ dans R, on dénit une suite (u n ) en posant pour tout n N, u n = (n) c'est à dire un procédé qui à tout rang n associe le terme u n c'est à dire : n u n Soit (u n ) dénie pour tout entier naturel n par u n = 3n On a u 1 = = 5. u 2 = = 14 u 10 = = 302. http: // mathsg. net. ree. r 2

3 2.2 Dénition par récurrence Soit une onction dénie de R dans R. Une suite dénie par récurrence est une suite dénie par son premier terme u 0 (ou u 1 ) et par un procédé indiquant comment calculer le terme suivant à partir du terme actuel c'est à dire par la relation vraie pour tout n N, u n+1 = (u n ) c'est à dire : u 0 u 1 u 2... u n u n = { u 0 = 4 u n+1 = 2u n + 3 On a u 1 = 2u = = 11 puis u 2 = 2u = = 25 et u 3 = 2u = = Variations et représentation graphique sens de variations : Une suite (u n ) n est strictement croissante si pour tout entier naturel n, u n+1 > u n. Une suite (u n ) n est strictement décroissante si pour tout entier naturel n, u n+1 < u n. représentation graphique : La représentation graphique d'une suite (u n ) dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées (n; u n ). http: // mathsg. net. ree. r 3

4 La gure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite dénie par u n = n pour tout entier naturel n Suites arithmétiques Soit r un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison r toute suite dénie par son premier terme u 0 (ou u 1 ) et pour tout entier naturel n par la relation : u n+1 = u n + r D'où le schéma : +r +r +r +r u 0 u 1 u 2... u n La suite dénie par u 0 = 11 et u n+1 = u n 2 pour tout entier naturel n est arithmétique. On a : u 1 = u 0 2 = 11 2 = 9, u 2 = u 1 2 = 9 2 = 7, u 3 = u 2 2 = 7 2 = 5. Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si pour tout entier n, la diérence u n+1 u n est constante. Cette constante est alors la raison de la suite. http: // mathsg. net. ree. r 4

5 Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique dans un repère du plan est constituée de points alignés. La gure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite dénie par u n = 4 + 2n pour tout entier naturel n Variations : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors (u n ) est strictement croissante. Si r < 0, alors (u n ) est strictement décroissante. 5 Suites géométriques Soit b un réel. On appelle suite géométrique de raison b toute suite dénie par son premier terme u 0 (ou u 1 ) et telle que pour tout entier naturel n 0 (ou n 1) : u n+1 = bu n D'où le schéma : b b b b u 0 u 1 u 2... u n http: // mathsg. net. ree. r 5

6 La suite (v n ) dénie par v 0 = 9 et v n+1 = v n 1 3 de raison 1 3. On a : v 1 = v 0 1 = 9 1 = v 2 = v 1 1 = 3 1 = pour tout entier naturel n, est géométrique Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si pour tout entier n, le quotient u n+1 u n constant. Sa valeur est alors la raison b de la suite. est On considère la suite (v n ) dénie pour tout entier naturel n par v n = 0, 5 3 n. On a : v n+1 v n = 0,5 3n+1 = 0,5 3n 3 = 3 0,5 3 n 0,5 3 n Donc la suite est géométrique de raison 3. Soit (u n ) une suite géométrique de raison b > 0. (u n ) est : strictement croissante si b > 1 ; strictement décroissante si 0 < b < 1. http: // mathsg. net. ree. r 6