Logique. P 2 : doc 1 Logique et Raisonnement Largement inspiré de «PRÉPAS SCIENCES - PCSI - Éllipses» Plusieurs définitions :

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1 Largement inspiré de «PRÉPAS SCIENCES - PCSI - Éllipses» I Logique Plusieurs définitions : Une proposition est un énoncé mathématique qui peut prendre deux valeurs : vrai (V ) ou faux (F) ; On appelle négation d une proposition P et on note non P la proposition définie par : non P vraie lorsque P est fausse ; non P fausse lorsque P est vraie ; Conjonction de deux propositions : Soit P et Q deux propositions. On appelle conjonction de deux propositions notée P et Q, et définie de la manière suivante : P et Q est vraie lorsque P et Q sont vraies ; P et Q est fausse lorsque l une au moins des deux propositions est fausse ; Disjonction de deux propositions : Soit P et Q deux propositions. On appelle disjonction de deux propositions notée P ou Q, et définie de la manière suivante : P ou Q est vraie lorsque l une au moins des deux propositions est vraie ; P ou Q est fausse lorsque P et Q sont fausses ; Soit P et Q deux propositions. On appelle implication P Q la proposition non P ou Q. Soit P et Q deux propositions. On appelle réciproque de P Q, l implication Q P ; Soit P et Q deux propositions. On appelle équivalence de P et Q la proposition P Q et Q P. Cette proposition se note P Q. Principe de déduction : si P et P Q sont vraies alors Q est vraie ; Soit P et Q deux propositions. On appelle contraposée de la proposition P Q, l implication non Q non P. Équivalences à connaître pour raisonner en mathématiques : Soit P et Q deux propositions. Alors : L implication P Q et sa contraposée non Q non P sont équivalentes ; (IMPORTANT) non(p et Q) (non P ) ou (non Q) ; non(p ou Q) (non P ) et (non Q) ; non(p Q) P et (non Q) (négation d une implication) ; Ì Ð Ú Ö Ø Å Ó ÒÆÒ Ø Ù Ö Ð Ó Õ Ù Å P Q non P P et Q P ou Q P Q P Q V V V F F V F F Des exemples ici, vidéo «La logique» : My Maths Space 1 sur 5

2 II Quantificateurs Soit P (x) une propriété dépendant d un paramètre x, où x est un élément de E. On écrit x E, P (x), pour signifier que la propriété P (x) est vraie pour tous les éléments x de E. ( se lit «quel que soit» : quantificateur universel) ; On écrit x E, P (x), pour signifier que la propriété P (x) est vraie pour au moins un élément x de E. ( se lit «il existe» : quantificateur existentiel) ; Négation des propositions avec quantificateurs : La négation de la proposition x E, P (x) est La négation de la proposition x E, P (x) est Attention lorsque plusieurs quantificateurs interviennent dans une proposition, il est risqué d intervertir leur ordre d apparition : le sens de la proposition peut changer. Remarque 1 On n a pas besoin de connaître de savoir si une proposition est vraie ou fausse pour écrire sa négation. Exemple 1 Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. x R, y R, y 2 > x ; 2. x R, y R, y 2 > x ; 3. y R, x R, y 2 > x 4. y R, x R, y 2 > x ; Exemple 2 : Vrai ou faux 1. a R, ǫ > 0, a < ǫ 2. ǫ > 0, a R, a < ǫ 3. y R, x R +, y < x Exemple 3 : Écrire la négation des propositions 2 x < y ; x R, y R, f(x) = f(y) x = y ; Exemple 4 : Soit (u n ) n N une suite de nombre réels et f une fonction de R dans R. Écrire avec des quantificateurs chacune des propositions suivantes : La suite (u n ) est majorée par 4 ; La suite (u n ) est majorée ; La suite (u n ) n est pas majorée ; La suite (u n ) est bornée ; La suite (u n ) est croissante ; La suite (u n ) est constante ; La fonction f est la fonction nulle ; La fonction f s annulle ; La fonction f est croissante ; La fonction f admet un maximum. My Maths Space 2 sur 5

3 III Modes de raisonnement III.1 Démontrer une proposition par déduction Le principe de déduction est celui le plus utilisé en maths : si P vraie et P Q vraie alors Q est vraie. Exemple 5 Montrer que, pour tout x R, x 2 4x + 5 > 0. III.2 Démontrer par disjonction de cas On est parfois amené à distinguer plusieurs cas pour démontrer qu une proposition est vraie. C est la principe d une démonstration par disjonction de cas. En particulier, si l on souhaite démontrer qu une proposition P (x) est vraie pour tous les éléments x d un ensemble E, on peut prouver la propositon pour tous les éléments d une partie A de E, puis pour tous les éléments de E n appartenant pas à A. (un mode de raisonnement particulièrement utiliser en arithmétique) Exemple 6 : Montrer que, pour tout n N, n(n + 1) 2 est un entier naturel. III.3 Démontrer une implication P Q Par raisonnement direct : On suppose que P est vraie et on démontre que Q est vraie. Exemple 7 : Démontrer que, pour x et y réels, x 2 = y 2 = x = y En utilisant la contraposée : On suppose que non Q est vraie et on démontre que non P est vraie. Exemple 8 : Soit n un entier naturel. Montrer que, si n 2 est pair, alors n est pair. Exemple 9 : Autre exemple. Soit n 1, n 2,..., n 9 des entiers naturels vérifiant n 1 + n n 9 = 90. Montrer qu il existe trois de ces entiers dont la somme est supérieure à 30. Par un raisonnement par l absurde : On suppose que P est vraie et que Q est fausse et on aboutit à une contradiction. Exemple 10 : Soit x, y R + x. Montrer que, si 1 + y = y, alors x = y. 1 + x III.4 Démontrer une équivalence P Q Par double implication : On démontre P Q, puis on démontre Q P (deux démonstrations à faire). Exemple 11 : Soient a, b et c trois réels, a 0. Montrer que : Le trinôme ax 2 + bx + c a deux racines réelles non nulles et de signes contraires si, et seulement si ac < 0. Par un raisonnement direct : On enchaîne les équivalences. On passe de P à Q par une succession d équivalence en s assurant, à chaque étape du raisonnement, que l équivalence est bien conservée. Méthode particulièrement adaptée au résolution d équations ou d inéquations. Exemple 12 : Résoudre dans R, 2x = x My Maths Space 3 sur 5

4 Exemple 13 : Résoudre dans R l inéquation x 1 x 7 Exemple 14 : Autre exemple. Résoudre dans R, 3x x 24 2x x 48 Exemple 15 : Résoudre dans R l inéquation 3 x x + 1 > 1 2 III.5 Utiliser un contre-exemple La négation de la proposition «x E, P (x)» est «x E, non P (x)». Si l on souhaite démontrer qu une proposition du type «x E, P (x)» est fausse, il suffit de trouver une valeur x de E pour laquelle la proposition P (x) est fausse. On utilise alors un contre-exemple. Exemple 16 : La proposition «tout entier naturel est somme de trois carrés» est-elle vraie? III.6 Raisonner par analyse-synthèse Le raisonnement par analyse-synthèse est utilisé pour déterminer les solutions d un problème donné lorsque la rédaction «par équivalence» est impossible ou délicate. Dans la première partie (ANALYSE), on détermine les propriétés d une éventuelle solution de manière à limiter sévèrement les possibilités. La seconde partie (SYNTHESE), parmi les solutions fournies par l analyse, lesquelles sont effectivement solutions du problème. Exemple 17 : Déterminer toutes les applications f de N dans R vérifiant m, n N, f(m + n) = f(m) + f(n) Exemple 18 : Déterminer les couples d entiers relatifs solutions de 2x + 5y = 7 (E) (équation diophantienne) (Au programme de la spécialité maths en TS) En phase d analyse : soit (x, y) Z 2 une solution de (E). On parvient, moyennant l utilisation du théorème de Gauss, à démonter que (x, y) = (1 + 5k, 1 2k) avec k Z ; Il reste à effectuer la synthèse. III.7 III.7.1 Effectuer un raisonnement par récurrence Principe de récurrence Soit P(n) une propriété dépendant de n N, et n 0 N. Si d une part, la proposition P(n 0 ) est vraie ; (Initialisation) d autre part, pour tout entier n n 0, P(n) implique P(n + 1) ; (Hérédité) alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n n 0. My Maths Space 4 sur 5

5 Exemple 19 : Démontrer par récurrence que Pour tout entier naturel n 4, n! 2 n III.7.2 Récurrence double Soit P(n) une propriété dépendant de n N, et n 0 N. Si d une part, les propositions P(n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vraies ; d autre part, pour tout entier n n 0, P(n) et P(n + 1) implique P(n + 2) ; alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n n 0. Exemple 20 : Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 5 et, pour tout n N, u n+2 = 5u n+1 6u n. Démontrer que Pour tout n N, u n = 4 2 n n My Maths Space 5 sur 5

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