Chapitre 2 : Les nombres entiers et décimaux

Transcription

1 Chapitre 2 : Les nombres entiers et décimaux 1) Nombres entiers : Un nombre entier naturel est un nombre que l on peut trouver dans la nature (compter ses doigts, compter les arbres, ). 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9 sont les dix chiffres qui permettent d écrire tous les nombres que l on veut. Exemples : est un nombre de quatre chiffres. 7 est un nombre d un seul chiffre. Pour lire les grands nombres entiers facilement, on regroupe ses chiffres par tranches de trois en partant de la droite. Exemple : s écrit Ce nombre se lit : Un milliard quarante-neuf millions deux cent cinquante-huit mille sept cent soixante-trois.

2 2) Rang d un chiffre dans l écriture d un nombre entier : Quand on écrit un nombre, la place de chaque chiffre détermine sa valeur : 9 unités est plus petit que 1 million, même si 9 est plus grand que 1! Pour trouver le rang de chaque chiffre, on peut s aider d un tableau : MILLIARDS MILLIONS MILLE UNITES c d u c d u c d u centaine dizaine unité u pour unités (de milliards, de millions, de mille, simple ) d pour dizaines (de milliards, de millions, de mille, d unités) c pour centaines (de milliards, de millions, de mille, d unités) Pour le nombre est le chiffre des unités de milliards 0 est le chiffre des centaines de millions 4 est le chiffre des dizaines de millions 9 est le chiffre des unités de millions 2 est le chiffre des centaines de mille 5 est le chiffre des dizaines de mille 8 est le chiffre des unités de mille 7 est le chiffre des centaines (d unités) 6 est le chiffre des dizaines (d unités) 3 est le chiffre des unités (simples). Remarques : Chaque chiffre représente une valeur dix fois plus grande que le chiffre qui est juste après lui. Le chiffre le plus important est celui de gauche. Le tableau se prolonge à gauche des milliards mais on utilisera plutôt une autre notation pour les nombres très grands.

3 3) Nombres décimaux : Certains nombres ne sont pas entiers. Exemple : 21, 457 est un nombre décimal. C est l écriture à virgule. Ce nombre se lit : vingt et un virgule quatre cent cinquante-sept. 21 est la partie entière et 0,457 est la partie décimale. On peut placer ce nombre dans un tableau qui complète celui des nombres entiers : Partie entière partie décimale MILLIONS MILLE UNITES c d u c d u centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 1, est le chiffre des dizaines 1 est le chiffre des unités partie entière 4 est le chiffre des dixièmes 5 est le chiffre des centièmes partie décimale 7 est le chiffre des millièmes. Ce nombre peut s écrire en lettres : Vingt et une unités quatre dixièmes cinq centièmes sept millièmes ou bien Vingt et une unités quatre cent cinquante-sept millièmes.

4 Remarques : Attention à ne pas confondre dixièmes qui s écrit avec un x et dizaines qui s écrit avec un z. Les centaines et les centièmes ne doivent pas être confondus non plus. Un nombre entier est toujours décimal : 12 = 12,0 Un nombre décimal est entier lorsque sa partie décimale est égale à zéro. L ensemble des nombres entiers fait partie de l ensemble encore plus grand des nombres décimaux. Les zéros placés à gauche de la partie entière et à droite de la partie décimale sont inutiles. Les autres zéros sont indispensables : 0012,0400 = 12,04 Un nombre décimal a une écriture à virgule finie. Certains nombres ne sont pas décimaux comme le résultat de la division de 10 par 3. Le tableau se prolonge à droite des millièmes mais on arrondira les nombres qui ont plus de 3 chiffres après la virgule.

5 4) Fraction décimale : Un nombre décimal a une écriture à virgule mais aussi une écriture fractionnaire appelée fraction décimale (fraction de dénominateur 10 ou 100 ou 1000, ). Exemple : 4 dixièmes s écrit centièmes s écrit et 7 millièmes s écrit On a donc 21, 457 = ou bien 21, 457 = ou bien 21, 457 = Remarques : Un nombre décimal peut s écrire de nombreuses manières possibles avec l écriture à virgule et l écriture fractionnaire. Pour écrire une fraction, on commence par placer la barre de fraction sur la grosse interligne.

6 5) Demi-droite graduée : Les nombres entiers et décimaux peuvent être placés sur une demi-droite graduée (comme les dates en histoire, les températures sur un thermomètre, la règle graduée, ). Exemple : O B A x Pour graduer une demi-droite, on choisit une unité que l on reporte régulièrement à partir de l origine qu on appelle O. On oriente la demi-droite en mettant une flèche vers les nombres les plus grands et on écrit x juste sous la flèche. Sur une demi-droite graduée, un point est repéré par un nombre appelé abscisse. L abscisse du point O est zéro. L abscisse du point A est 4. On note A(4) ou x A = 4 mais on n écrit pas A = 4 L abscisse du point B est 2,5. On note B(2,5) ou x B = 2,5. Cette demi-droite est appelée «axe des x» ou «axe des abscisses». Remarques : Sur une demi-droite graduée, on note les points AU DESSUS du trait et les nombres EN DESSOUS. Lorsqu on écrit x A, la lettre A s écrit SOUS la grosse interligne et «en miniature».

7 6) Comparer deux nombres décimaux : Comparer deux nombres, c est indiquer le plus petit, le plus grand, ou s ils sont égaux. «est plus petit que» ou «est inférieur à» s écrit en symbole mathématique Ce symbole s écrit sur DEUX interlignes, avec le «pointu» sur la première interligne. «est plus grand que» ou «est supérieur à» s écrit Le côté le plus large du symbole est toujours du côté du nombre le plus grand. «est exactement égal à» s écrit (sur une seule interligne). «n est pas égal à» s écrit Pour comparer deux nombres en écriture décimale : On compare les parties entières : le nombre le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière. Si les parties entières sont égales, alors on compare les chiffres des dixièmes : le nombre le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des dixièmes. Si les chiffres des dixièmes sont égaux, alors on compare les chiffres des centièmes ; Et on fait la même chose jusqu à ce que les deux nombres aient des chiffres différents.

8 Exemples : 27,1 26,93 car ,35 2,8 car 3 8 2,35 = 2,350 1, ,584 car 3 4 7,9 7,85 car 9 8 Remarque : on peut aussi rajouter des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule. On compare alors les parties décimales si les parties entières sont égales : 7,90 7,85 car ) Ranger une liste de nombres : Ranger des nombres dans l ordre croissant veut dire les ranger du plus petit au plus grand : Ranger des nombres dans l ordre décroissant veut dire les ranger du plus grand au plus petit : Pour encadrer un nombre, on écrit un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui : Pour encadrer le nombre 2,4, on peut écrire 2 2,4 3 Sur une demi-droite graduée, les nombres sont rangés de la gauche vers la droite dans l ordre croissant. Pour intercaler un nombre entre deux autres, on choisit un nombre qui est placé entre les deux sur la demi-droite graduée : Pour intercaler un nombre entre 3 et 4 on peut écrire 3 3,5 4

9 Annexe : extrait du programme officiel : 2.1 Nombres entiers et décimaux Désignations. - Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou d'un décimal. - Associer diverses désignations d un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales. - Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. - Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. - Placer un nombre sur une demi-droite graduée. - Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement.